Projeto Jovem Nota 10 Áreas de Figuras Planas Lista 5 Professor Marco Costa

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Armando Brandt Cesário
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1 1 Projeto Jovem Nota (Uerj 97) Observe as regiões hachuradas do plano cartesiano, que correspondem aos pontos que satisfazem o sistema de inequações a seguir: Calcule: a) o ângulo formado entre as retas r e s. b) a área total das regiões hachuradas. 2. (Ufes 99) No triângulo ABC da figura, temos AD=CF=BE=2cm e DC=FB=EA=(1+Ë3)cm. Calcule a medida, em graus, do ângulo AÊD e a área do triângulo DEF.

2 2 Projeto Jovem Nota (Uerj 97) Observe a figura I, onde ABC é um triângulo retângulo e {r,s,t,u} é um feixe de retas paralelas equidistantes. A figura I foi dobrada na reta (t), conforme ilustra a figura II. Calcule: a) a área do triângulo A'BM, hachurado. b) o seno do ângulo š = BPA'. 4. (Uff 99) Determine a área da região limitada do plano que está compreendida entre as retas y=x e y=0 e é exterior ao círculo de centro em (1, 1) e raio (Uff 99) Deseja-se construir uma janela com a forma de um retângulo encimado por uma semicircunferência de raio x como indica a figura. Sabendo que o perímetro da janela deve ser igual a 4m: a) Expresse a área da janela em função de x. b) Encontre o valor de x para o qual a área da janela é a maior possível.

3 6. (Uff 99) Determine a área do retângulo MNPQ, representado na figura abaixo, sabendo que a diagonal MP é o diâmetro da circunferência C cujo raio mede 10cm. 7. (Ufrj 97) No círculo a seguir, a figura é formada a partir de semicircunferências e AC=CD=DE=EB. Determine S/S a razão entre as áreas hachuradas. 8. (Ufrj 97) Na figura a seguir o quadrado ABCD tem lado 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16. Determine x.

4 9. (Ufrj 98) Na figura a seguir, R é um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC. Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS. Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale pq/bc. 10. (Ufrj 98) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir: A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B. 11.(Ufrj 2000) Existe um único b Æ IR para o qual a reta de equação y=2x+b divide o triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(0,1) em dois polígonos de áreas iguais. Determine b.

5 12. (Ufu 99) Na figura a seguir, temos que o quadrilátero ABCD é um quadrado e o triângulo AEF é retângulo isósceles. Se AH=AB/2, HE=HB e AB=1m, determine a razão entre as áreas do triângulo AEF e do retângulo FBCG. 13. (Unb 96) Uma sala quadrada, de 6 m de lado, tem seu piso em madeira, feito de tábuas colocadas em faixas diagonais. A largura da tábua utilizada foi calculada de modo a dividir cada lado da sala em 60 partes iguais, conforme mostra a figura adiante. Para o preenchimento do espaço de cada faixa diagonal, utilizou-se uma tábua retangular com comprimento suficiente apenas para preencher tal espaço, desprezando-se as sobras. Usando, para Ë2, o valor aproximado de 7/5, calcule, em decâmetros lineares, a quantidade de madeira utilizada no piso, desconsiderando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

6 14. (Unb 98) A Geometria Fractal é uma linguagem criada pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot, no começo da década de 50. Mandelbrot criou essa geometria após observar padrões surgidos em diversas áreas, tais como na estrutura do ruído das comunicações telefônicas, na flutuação dos preços em operações do mercado financeiro e no estudo empírico da geometria dos litorais. As figuras abaixo ilustram os três primeiros passos da construção de um fractal a partir de um quadrado de lado Ø, sendo que a figura II representa o padrão desse fractal. O procedimento pode ser escrito da seguinte maneira: Passo 1: Considere o quadro representado na figura I. Passo 2: Dividindo-se três lados desse quadrado em três partes iguais, constroem-se três outros quadrados, conforme ilustra a figura II. Passo 3: Repetindo-se o processo com os três quadrados obtidos no passo 2, obtêm-se nove outros quadrados, conforme ilustra a figura III. O processo pode ser repetido um número qualquer de vezes. Considerando Ø = 5 cm, determine, em cm, a área total da figura obtida no oitavo passo. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 15. (Unb 98) Na situação representada na figura, determine os pontos sobre a reta Ø distantes 7,5cm de A. Entre esses pontos, escolha aquele que determina com A e B o triângulo de maior área. Considerando sen 41 = 0,6, calcule em cm, área desse triângulo, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

7 16. (Unicamp 2000) As diagonais D e d de um quadrilátero convexo, não necessariamente regular, formam um ângulo agudo. a) Mostre que a área desse quadrilátero é [(D.d)/2]sen. b) Calcule a área de um quadrilátero convexo para o qual D = 8cm d = 6cm e = (Ufpr 2000) Considerando o triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto tem vértice A, é correto afirmar: (01) Se a medida do lado æè for igual a 2, então o círculo circunscrito ao triângulo tem área igual a unidades de área. (02) O maior valor possível para a razão AC/AB é 1. (04) Se a medida do lado æè for igual a 1 e a soma das medidas dos outros dois lados for 4/3, então sen2ï=7/9. (08) Se AB AC, o cone de revolução gerado pelo triângulo, por rotação em torno do lado åæ, tem volume igual a (AB) (AC)/3 unidades de volume. (16) O sólido de revolução gerado pelo triângulo, por rotação em torno da reta que contém A e que é paralela ao lado æè, é um cilindro no qual a medida da altura é BC e a medida do raio da base é AB. Soma ( ) 18. (Unb 98) Um trapézio é desenhado sobre uma folha de cartolina, como ilustra a figura abaixo, em que O é o ponto médio do lado NP. Recorta-se, então, o triângulo OMN, girando-o, no plano, 180 em torno do ponto O; assim, o vértice N coincidirá com o vértice P. Desse modo, obtém-se uma nova figura geométrica. Considerando MO=10cm, LM=8cm e o ângulo LMO=90, julgue os seguintes itens. (1) A nova figura geométrica é um quadrilátero. (2) A área da nova figura é igual a 80 cm. (3) A soma dos comprimentos LP e MN é maior que 21 cm. (4) Considerando o ponto Q obtido pela interseção do seguimento LP com a reta paralela a LM passando por O, para se completar o retângulo de lados LM e MO é necessário recortar um triângulo de cartolina cuja área seja igual à soma das áreas dos triângulos OMN e OPQ.

8 19. (Unioeste 99) Na figura ABCDE abaixo, tem-se: AB=1 unidade, BC=6 unidades, AE=3 unidades e DE=2 unidades. Sabendo-se, ainda, que o segmento AB é paralelo ao segmento DE e perpendicular aos segmentos BC e AE, é correto afirmar que: 01. O polígono ABCDE é um pentágono convexo. 02. O ângulo C mede A área do polígono ABCDE é 7,5 unidades de área. 08. A área da superfície total do sólido gerado pela rotação do polígono ABCDE em torno de BC é (15+9Ë2) unidades de área. 16. O perímetro da figura formada pelo polígono ABCDE e seu simétrico em relação em relação ao eixo que passa por AB é 20+6Ë2 unidades. 32. O volume do sólido gerado pela rotação de ABCDE em torno de BC é 12 unidades de volume. 64. O volume do sólido gerado pela rotação do polígono ABCDE em torno do segmento BC é igual ao volume do sólido gerado pela rotação do polígono ABCDE em torno do segmento AB. 20. (Unioeste 99) Considere um triângulo isósceles de base variável, cujos lados congruentes medem 10 unidades cada. Seja a medida do ângulo da base. A respeito da área desse triângulo, pode-se afirmar que: 01. Pode ser expressa por A=100 sen. 02. Pode ser expressa por A=100 sen cos. 04. Pode ser expressa por A=50 sen É máxima quando é igual a É máxima quando é igual a É máxima quando a altura do triângulo é igual a 5Ë3 unidades.

9 GABARITO Projeto Jovem Nota a) 90 b) A = (1 + 2 ) u.a./4 2. AÊD = 45, área = 3Ë(3)/2 cm 3. a) 12 u.a. b) sen š = 24/25 4. S = (1/2 - /8) cm 5. a) A(x) = - [( /2) + 2] x + 4x = - [( +4)/2] x + 4x b) x = 4/( +4) m 6. Área = 100Ë3 cm 7. S/S = 1 8. x = 1 ou x =2 9. Seja = BAC. Temos que Área(ABC)=(b c sen )/2 Da mesma forma, Área(ARS)=(p q sen )/2 Logo Área(ARS) / Área(ABC) = p. q / b. c 10. d = 5m 11. b = Ë / dm cm cm

10 16. a) A área do quadrilátero MNPQ é igual a soma das áreas dos triângulos MON, NOP, POQ, QOM. S = [x.y.sen(180 - )]/2 + [y(d-x)-sen ]/2 + + [(D-x).(d-y).sen(180 - )]/2 + [x.(d-y).sen ]/2 S = 1/2.[D.sen.(y+d-y)] S = [(D.d)/2]sen b) 12 cm = F V V V 19. F F V V F V F 20. F V V V F F

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