AULA 5. 2º Experimento 2ª Semana Fractais

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Jonathan Arantes
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1 AULA 5 2º Experimento 2ª Semana Fractais

2 Caderno de Dados Conteúdo deve apoiar a realização do experimento - O que você precisaria saber se fosse repetir o experimento daqui a 6 meses? - O que um dos seus colegas precisaria saber para realizar o experimento pela primeira vez? - Registrar detalhes insuficientes é prejudicial - Registrar detalhes em excesso é prejudicial Use informações de diversas fontes - Não se trata de um relatório formal, são anotações simplificadas - Texto conciso, mas coerente - Fotografias, diagramas, tabelas, links para manuais, etc.

3 Aula passada Objetos regulares

4 Geometria Euclidiana Relação entre massa e dimensões características: Bastões: m = k 1 L onde L= comprimento Discos: m = k 2 L² onde L = diâmetro Esferas: m = k 3 L³ onde L = diâmetro

$Fractais A palavra fractal é derivada do adjetivo fractus e significa irregular ou quebrado.$

5 Fractais A palavra fractal é derivada do adjetivo fractus e significa irregular ou quebrado. Esse termo foi adotado por Benoit Mandelbrot para descrever formas geométricas com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados numa área finita. benoit.mandelbrot@yale.edu

6 Dimensões Fractais A dimensão dos fractais, ao contrário do que sucede na geometria euclidiana, não é necessariamente uma quantidade inteira. A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação de um objeto no espaço, e portanto está relacionada ao seu grau de irregularidade. Curvas de Koch

ntre massa Geometria e dimensões Euclidiana Geometria características: Euclidiana Relação entre massa e dimensões características: folha de papel folha de papel folha

kmassa n L n e dimensões característic Relação Bidimensional entre massa e dimensões características: Bidimensional Tridimensional (?)?

8 ntre massa Geometria e dimensões Euclidiana Geometria características: Euclidiana Relação entre massa e dimensões características: folha de papel folha de papel folha de papel Geometria Euclidiana Relação entre massa e dimensões características: folha de papel folha de papel amassada Geometria Euclidiana n= 1,2,3 Relação entre m = kmassa n L n e dimensões característic Relação Bidimensional entre massa e dimensões características: Bidimensional Tridimensional (?)??? Bidimensional Bidimensional Bidimensional m??? m L 2??? L 2??? L 3???????????????????? folha de papel amassada folha de folha papel de amassada papel amassada Tridimensional (?)??? Tridimensional (?) (?)

9 Perguntas: Qual a relação entre massa e diâmetro em bolas de papel amassado? Qual o valor do expoente n que melhor explica essa relação? n=2 ou n=3? n m = k L

10 Procedimento Dividir 2 folhas de papel A0 de acordo com o diagrama

11 Procedimento Amassar os pedaços individuais formando 9 bolas. Cada integrante do grupo mede várias vezes o diâmetro de cada bola, usando um instrumento adequado. Registre seus dados em seu Caderno de Dados e também na planilha do link disponivel na aba de extras É muito importante obter um diâmetro médio que seja representativo para cada bola de papel. Pode-se assumir que a massa da menor esfera é de 1 unidade arbitrária (ua), a massa da segunda menor esfera é 2 ua, depois as próximas esferas têm massa 4 ua, 8 ua, 16 ua, etc.

12 Análise Faça dois gráficos no WebRoot: m x L² e m x L³ Analise os 2 gráficos e responda: Qual dos dois gráficos é uma reta? Isto é, qual o expoente n=2 ou n=3 explica a relação entre massa e diâmetro para as bolas de papel amassado?

13 Análise Critério de qualidade para um bom ajuste Esse ajuste está razoável?

14 Análise Critério de qualidade para um bom ajuste Há mais pontos de um lado da reta que do outro NÃO É UM BOM AJUSTE

15 Análise Critério de qualidade para um bom ajuste Esse ajuste está razoável?

16 Análise Critério de qualidade para um bom ajuste Há um equilíbrio no número de pontos dos dois lados da reta MAS... há uma tendência ou estrutura na posição dos pontos NÃO É UM BOM AJUSTE

17 Análise Critério de qualidade para um bom ajuste Esse ajuste está razoável?

18 Análise Critério de qualidade para um bom ajuste Equilíbrio no número de pontos dos dois lados da reta Sem tendência na posição dos pontos em cada lado ESTE É UM BOM AJUSTE Esse ajuste está razoável?

19 Análise Retornando... Analise os gráficos do WebRoot: Qual dos dois gráficos: m x L² e m x L³ é uma reta? Qual o expoente n=2 ou n=3 explica a relação entre massa e diâmetro para as bolas de papel amassado? n m = k L

20 Linearização de funções log n m = k L n m = log kl log m = log k + n log L y b x a y = ax + b

21 Análise Através de um gráfico linear no WebRoot n m = k L Qual o valor de k? Qual o valor de n? 20

22 Objetivo do experimento Caderno de Dados Descrição dos instrumentos e medidas efetuadas Resultados - 1 tabela de massas e dimensões para todas as bolas de papel - 1 tabela de: valores médios das grandezas, e linearização desses valores, para cada bola Análise - Gráficos m x L² e m x L³ com ajustes - Gráfico linearizado m x L com ajuste Conclusão - Os ajustes quadrático ou cúbico são adequados? - Qual o valor do expoente n que explica a relação entre massa e dimensão característica para as bolas de papel? - Qual o valor e as unidades da constante k?

23 Atividade Extraclasse Disponível na aba Extras: Do Macro ao Micro Atividade individual e obrigatória Acrescenta até 1 ponto na nota de Caderno do Experimento 2 Entrega: dia de aula da última semana do Experimento 2, arquivo PDF pelo Moodle, até o dia 27/04 às 23h55. Estará disponível na aba Extras: lista preparatória para P1 - Exercícios típicos de provas anteriores - Não é para entregar

24 Frequentemente a linearização de uma função permite uma análise mais simplificada do problema Exemplos: Linearização de funções Função original Exemplo de Linearização Função linearizada z t = z o + g 2 t2 y = z, x = t2 2, a = g, b = z o y = b + ax T L = 2π L g y = T 2, x = L, a = 4π2 g, b = 0 y = ax + b F t = A o sin ωt y = F, x = sin ωt, a = A o, b = 0 y = ax + b I z = I o e μz y = log I, x = z, a = μ, b = log I o y = b + ax

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