2ª Experiência : Medidas - Dimensões. 2ª Semana Dimensões no contexto da geometria fractal

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Júlia Martinho
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1 2ª Experiência : Medidas - Dimensões 2ª Semana Dimensões no contexto da geometria fractal Objetivos Na experiência de fractais, temos o objetivo de determinar a dimensão fractal de bolas de papel amassado. Dando continuidade ao experimento de dimensões euclidianas, será estudada a dependência da massa das bolas com a sua dimensão característica, que no caso é o diâmetro da esfera. As atividades que serão realizadas neste experimento são: 1) Realizar a medida das grandezas características (diâmetro e massa) das bolas de papel amassado, utilizando instrumentos de medidas adequados e representando-as com o número correto de algarismos significativos. 2) Analisar a dependência da massa das bolas com suas dimensões características, utilizando procedimentos gráficos. 3) Determinar a dimensão fractal das bolas de papel amassado. Introdução O termo fractal foi criado em 1975 por Benoit Mandelbrot, matemático francês, para descrever objetos geométricos que nunca perdem sua estrutura, qualquer que seja a distância em que são observados 1-3. Isto é, um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes e cada parte é semelhante ao objeto original (autosimilaridade). Um dos fractais mais conhecidos é o conjunto de Mandelbrot 1, mostrado na figura 1. Figura 1 - Conjunto de Mandelbrot. Fractal vem do latino fractus que significa quebrar. Mandelbrot utilizou este termo pelo fato de seus objetos de estudo possuírem uma dimensão fracionária, ou seja, uma dimensão não inteira. Devido à inadequação da geometria euclidiana quando aplicada a estes casos, foi desenvolvida a chamada geometria de fractais. Mais alguns exemplos de fractais 4 são mostrados na figura 2 e 3.

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2 Figura 2 Exemplos de fractais As estruturas fractais são muito comuns na natureza, sendo observadas nas nuvens, raios, folhas de árvores, brócolis, etc. Veja alguns exemplos na figura 3. Figura 3 Fractais encontrados na natureza.

3 Proposta de experimento Neste experimento vamos verificar aplicabilidade da geometria fractal para o caso de bolas de papel amassado. A folha de papel é um objeto plano que é transformado em uma bola de papel, que é um objeto espacial. Espera-se que uma esfera de papel amassado apresente características fractais, as quais irão depender do tipo de papel utilizado, de como as fibras do papel estão distribuídas, etc. Realizando medidas do diâmetro (d) de esferas de diferentes massas (m), podemos estudar a dependência entre estas grandezas, a partir da relação: m = Kd D (1) onde K é uma constante de proporcionalidade e D é a dimensão fractal que quantifica o grau de fragmentação. Para uma esfera maciça, temos que D=3, conforme foi observado na experiência de dimensões euclidianas da aula passada. No caso da esfera feita ao amassar o papel, espera-se uma dimensão não-inteira. Procedimento Experimental Atenção Antes de iniciar a tomada de dados leia o texto Segurança no Laboratório Didático, disponível na aba Extras do Moodle, e discuta com seus colegas de grupo as precauções que devem ser adotadas neste experimento para garantir a sua segurança pessoal, a segurança na utilização dos instrumentos e do patrimônio, bem como a segurança ambiental. Registre no caderno de dados as eventuais precauções adotadas pelo grupo. Cada grupo receberá duas folhas de papel e deverá confeccionar esferas de papel amassado, de acordo com as seguintes regras: 1) Uma das folhas deve ser reservada e a outra folha deve ser cortada ao meio; 2) Guarde uma das metades e corte a outra metade ao meio novamente; 3) Repita este procedimento até que o grupo obtenha 9 pedaços de papel com diferentes tamanhos, conforme mostrado na figura 4;

4 Figura 4- Esquema de como a folha de papel deve ser cortada. 4) Forme a melhor esfera que conseguir com cada um dos 9 pedaços de papel. Apenas um integrante do grupo deve amassar as esferas de papel para evitar discrepâncias. 5) Espere pelo menos 20 minutos, enquanto as esferas podem sofrer pequenas modificações em seu tamanho 5. Cada componente do grupo deve medir o diâmetro de cada esfera com um equipamento adequado, com cuidado para não deformá-las. A massa das esferas podem ser medidas ou pode-se considerar que a menor esfera tem uma unidade arbitrária (1 UA). Desta forma, a segunda menor esfera terá o dobro da massa, que é 2 UA. A terceira menor esfera terá 4 UA e assim sucessivamente. Análise de dados Com os valores das massas e do diâmetro das esferas, faça gráficos de forma a poder estudar a relação entre estas grandezas (equação 1). Referências Como o valor de D (dimensão fractal) pode ser determinado? Os fractais Apresentação do Prof. Elydio Pereira de Sá, Universidade Estadual do Rio de Janeiro.

5 3 Que espaço ocupa um fractal?, A. Fontana e A. Collin, Universidade de Caxias do Sul Fractais no Laboratório Didático AMAKU, M. Moralles et AL. Revista Brasileira do Ensino de Física, Dezembro 2001, vol 23, nº 4, p 422. Observação : As referências 2, 3 e 5 estão disponíveis no Moodle na aba Extras.

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