Aplicações de Álgebra Linear - Fractais

Transcrição

1 Aplicações de Álgebra Linear - Fractais Departamento de Matemática - UFPR Ademir Alves Ribeiro Elizabeth Wegner Karas Lucas Pedroso Outubro de 2010

2 Características

3 Características

4 Características

5 Características

6 Características Estrutura Fina Autoafinidade

7 Características Estrutura Fina Autoafinidade

8 Características dos fractais Estrutura fina Autoafinidade Simplicidade na lei de formação Algoritmos simples Processos repetitivos Difícil descrição analítica

9 Características dos fractais Estrutura fina Autoafinidade Simplicidade na lei de formação Algoritmos simples Processos repetitivos Difícil descrição analítica

10 Características dos fractais Estrutura fina Autoafinidade Simplicidade na lei de formação Algoritmos simples Processos repetitivos Difícil descrição analítica

11 Características dos fractais Estrutura fina Autoafinidade Simplicidade na lei de formação Algoritmos simples Processos repetitivos Difícil descrição analítica

12 Características dos fractais Estrutura fina Autoafinidade Simplicidade na lei de formação Algoritmos simples Processos repetitivos Difícil descrição analítica

13 Características dos fractais Estrutura fina Autoafinidade Simplicidade na lei de formação Algoritmos simples Processos repetitivos Difícil descrição analítica

14 Processos de Construção Processos Geométricos Sistema Iterativo de Funções IFS - Iterated Function System Sistemas Dinâmicos Complexos

15 Processos de Construção Processos Geométricos Sistema Iterativo de Funções IFS - Iterated Function System Sistemas Dinâmicos Complexos

16 Processos de Construção Processos Geométricos Sistema Iterativo de Funções IFS - Iterated Function System Sistemas Dinâmicos Complexos

17 Processos de Construção Processos Geométricos Sistema Iterativo de Funções IFS - Iterated Function System Sistemas Dinâmicos Complexos

18 Sistema Iterativo de Funções - IFS Aplica-se de forma iterativa um conjunto de transformações afins em uma figura inicial arbitrária. Transformações afins são as transformações lineares e as translações.

19 Sistema Iterativo de Funções - IFS Aplica-se de forma iterativa um conjunto de transformações afins em uma figura inicial arbitrária. Utilizamos 3 classes de transformações afins: Contração - Dado 0 ( < α ) < 1 T 1 : IR 2 IR 2 x1 ; T 1 = α Translação x 2 T 2 : IR 2 IR 2 ; T 2 ( x1 Rotação x 2 T 3 : IR 2 IR 2 ; T 3 ( x1 x 2 ) = ) = ( x1 ( x1 x 2 x 2 ) = ) + ( a1 ( α 0 0 α a 2 ) ( cosθ senθ senθ cosθ )( x1 )( x1 x 2 x 2 ) )

20 Contração no plano S

21 Contração no plano T 1 (S)

22 Translação no plano S

23 Translação no plano T 2 (S)

24 Rotação no plano S

25 Rotação no plano T 3 (S)

26 A curva de Koch Partimos de um segmento unitário.

27 A curva de Koch T 1 (x) = 1 3 x

28 A curva de Koch T 2 (x) = 1 3 ( cosπ/3 senπ/3 sen π/3 cos π/3 )( x1 x 2 ) ( 1/3 + 0 )

29 A curva de Koch T 3 (x) = 1 3 ( cos2π/3 sen2π/3 sen 2π/3 cos 2π/3 )( x1 x 2 ) ( 2/3 + 0 )

30 A curva de Koch T 4 (x) = 1 3 ( x1 x 2 ) ( 2/3 + 0 )

31 A curva de Koch T 1 (x) = 1 3 x

32 A curva de Koch T 2 (x) = 1 3 ( cosπ/3 senπ/3 sen π/3 cos π/3 )( x1 x 2 ) ( 1/3 + 0 )

33 A curva de Koch T 3 (x) = 1 3 ( cos2π/3 sen2π/3 sen 2π/3 cos 2π/3 )( x1 x 2 ) ( 2/3 + 0 )

34 A curva de Koch T 4 (x) = 1 3 ( x1 x 2 ) ( 2/3 + 0 )

35 A curva de Koch

36 A curva de Koch

37 A curva de Koch

38 A curva de Koch

39 A curva de Koch

40 A curva de Koch

41 A curva de Koch

42 A curva de Koch

43 A curva de Koch

44 A curva de Koch

45 A curva de Koch

46 A curva de Koch

47 A curva de Koch

48 A curva de Koch

49 A curva de Koch

50 A curva de Koch

51 Revisão das características - Curva de Koch

52 Revisão das características - Curva de Koch

53 Revisão das características - Curva de Koch

54 Revisão das características - Curva de Koch

55 Revisão das características - Curva de Koch

56 O triângulo de Sierpinski

57 O triângulo de Sierpinski

58 O triângulo de Sierpinski

59 O triângulo de Sierpinski

60 O triângulo de Sierpinski

61 O triângulo de Sierpinski

62 O triângulo de Sierpinski

63 O triângulo de Sierpinski

64 O triângulo de Sierpinski

65 O triângulo de Sierpinski

66 O triângulo de Sierpinski

67 O triângulo de Sierpinski

68 O triângulo de Sierpinski

69 O triângulo de Sierpinski

70 O triângulo de Sierpinski

71 O triângulo de Sierpinski

72 O triângulo de Sierpinski

73 O triângulo de Sierpinski

74 O triângulo de Sierpinski

75 O triângulo de Sierpinski

76 O triângulo de Sierpinski

77 O triângulo de Sierpinski

78 A Samambaia de Barnsley

79 A Samambaia de Barnsley

80 A Samambaia de Barnsley

81 A Samambaia de Barnsley

82 A Samambaia de Barnsley

83 A Samambaia de Barnsley

84 A Samambaia de Barnsley

85 A Samambaia de Barnsley

86 Ramos de árvores

87 Ramos de árvores

88 Ramos de árvores

89 Referências H. Anton e C. Rorres. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman, 8.a edição, 2001 C.P. Serra e E.W. Karas. Fractais gerados por sistemas dinâmicos complexos. Champagnat, 1997