Palavras-Chave: Autovalores, Matriz, Método de Jacobi. (1)

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1 MSc Alexandre stácio Féo Associação ducacional Dom Bosco - Faculdade de ngenharia de Resende Caixa Postal: 8.698/87 - CP: Resende - RJ Brasil Professor e Doutorando de ngenharia aefeo@yahoo.com.br Resumo: Será apresentado neste trabalho o Método de Jacobi, muito utilizado para encontrar os autovalores de uma matriz real e simétrica. Através deste, visa-se entender melhor o desenvolvimento teórico do Método de Jacobi, a fim de construir um programa específico para implementação do mesmo, através do Matlab. Muitos dos métodos para resolução do autoproblema, para uma matriz A de forma geral, dependem da aplicação de uma série de transformações similares, que convertem A em uma matriz de forma especial. Vale ressaltar que, neste método, utilizam-se as transformações unitárias elementares. Palavras-Chave: Autovalores, Matriz, Método de Jacobi. INTRODUÇÃO Através deste trabalho, visamos entender melhor o desenvolvimento teórico do Método de Jacobi, a fim de construir um programa específico para implementação do mesmo, através do Matlab. Muitos dos métodos para resolução do autoproblema, para uma matriz A de forma geral, dependem da aplicação de uma série de transformações similares que convertem A em uma matriz de forma especial. Neste método, usaremos as transformações unitárias elementares, conforme Lima Jr. (005). OBJTIVO Abordagem teórica sobre a determinação dos autovalores de uma matriz real e simétrica, usando o Método de Jacobi; xemplificação do método com o auxílio de exemplo resolvido, através do uso da programação utilizando Matlab. DSNVOLVIMNTO No Método de Jacobi (846), a matriz original é transformada para a forma diagonal por uma sucessão de rotações planas. No sentido exato, o número de rotações planas necessárias para produzir a forma diagonal é infinito. Isto será esperado desde que não possamos, em geral, resolver uma equação polinomial em um número finito de passos. Na prática, o processo é terminado quando os elementos fora da diagonal forem desprezíveis de acordo com a precisão desejada. Para uma real matriz simétrica, usamos reais rotações planas. Segundo Wilinson (965), a matriz original será representada por A 0, podemos, então, descrever o processo de Jacobi como se segue, ou seja, uma sucessão de matrizes A produzidas tal que satisfaçam q. () abaixo: T A = T A T () Onde a matriz T é determinada pelas regras a seguir, conforme qs. () a (9). Vale T ressaltar que utilizamos a anotação da equação, e não, conforme a análise geral adotada em outros trabalhos anteriores. T A T II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT

2 Suponha o elemento fora da diagonal de A -, de módulo máximo, e que está dentro da posição (p, q). ntão, T corresponde a uma rotação dentro do plano (p, q), e o ângulo da rotação é escolhido para reduzir o elemento de (p, q), A -l, a zero. Sendo assim, temos, conforme Wilinson (965:66-67): T = T = cos θ, T = T = senθ () pp qq pq qp T = ( i p, q ), T = 0 i j (3) ij Onde assumimos que aquele p é menor que q. A difere de A - único em filas e colunas, e p e q, assim como todos os A, são simétricos. Os valores modificados são definidos por: ( ) ( ) ( ) ( ) a =+ a cos θ + a senθ = a, i p, q ip ip iq pi (4) ( ) ( ) ( ) ( ) a = a sinθ + a cos θ = a, i p, q iq ip iq qi (5) ( ) ( ) ( ) ( ) a = a cos θ + a cosθ senθ + a sen θ (6) pp pp pq qq ( ) ( ) ( ) ( ) a = a sen θ a cosθ senθ + a cos θ (7) qq pp pq qq ( ) ( ) ( ) ( ) ( a a a )cos sen a = θ θ + (cos θ sen θ ) (8) pq qq pp pq ( ) ( ) ( ) ( ) ( a a a )cos sen a = θ θ + (cos θ sen θ ) (9) qp qq pp pq ntão, desde que ( ) a pq seja zero, teremos: ( ) ( ) ( ) tanθ a /( a a ), pq pp qq = (0) Vale ressaltar que sempre levaremos a assumir valores na faixa de: θ 0.5 π (), se ( ) ( ) a = a, então o ângulo assumirá o seguinte valor: pp qq De acordo com o sinal de ( ) a pq. θ = ± π 4 Assumindo que ( ) a pq, neste caso, ao contrário, a diagonalização estará completa. 0 Ainda para Wilinson (965), se cada ângulo é definido pela equação, então: ( λ ) A diag conforme i () Onde λ i são os autovalores de A 0, e, conseqüentemente, de todos A. screvemos: 097 II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT 005

3 ( ( ) ) A diag a = + (3) Onde é a matriz simétrica dos elementos fora da diagonal. Para Wilinson (965), pode se dizer que: Das qs. (4) e (5), temos: 0 conforme diag. (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a ( ) ip + a iq = aip + a iq, (5) i p, q i p, q Isso uma vez que a soma dos quadrados dos elementos fora da diagonal, excluindo os elementos (p, q) e (q, p) permaneçam constantes. Portanto, estes dois últimos elementos tornam-se zero, e tem-se: ( ) ( ), (6) apq = Desde que ( a ) pq seja o elemento de de módulo máximo, então: ( ) ( ) 0. / n n / n n (7) A desigualdade da equação 7 fornece a equação para a razão de convergência, fazendo: N = / n n (8) ( ) ntão: rn r rn / N 0 < e 0. (9) Certamente, pode-se dizer que: rn < e 0, quando r > ln( / e ), (0) A tende a uma matriz diagonal fixa. Assim, continuamos a iteração até, finalmente: < ε. () Nota-se, desta forma, que o processo é essencialmente iterativo, como um elemento que é reduzido a zero, através de uma rotação. m geral, é feito não zero através de rotações subseqüentes. XMPLO RSOLVIDO Seja A = e ε < e II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT 005

4 Por ser uma matriz 3x3 é fácil, algebricamente, encontrarmos os autovalores. Resolvendo o sistema algebricamente encontraremos (Wilinson, 965:74): λ =0.3 λ =0.837 λ = Vamos verificar agora, através do Método de Jacobi, com o uso do programa elaborado (Lima Jr., 005), se os resultados convergirão para os valores encontrados algebricamente. A matriz 0 0 T = corresponde à rotação no plano (p, q), e o ângulo ao de rotação. Após a primeira interação, teremos, conforme qs. (), (3) e (0): θ = 0.53[ rad ] e T = T = cosθ = 0.868, T = T = senθ = pp qq pq qp Resultando num plano de rotação T: ntão, fazendo o teste de convergência: T = ( i p, q ), T = 0 i j ij T= > ε = Desta forma, teremos, após a primeira interação, a matriz A como: A = Teremos, após a ª interação, os seguintes dados: θ = [ rad ] T = A= convergência = > Após a 5ª interação, teremos, finalmente: 099 II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT 005

5 θ = 8.766e 00 [ rad ] T = A= convergência = 4.4 e 050> Sendo assim, podemos dizer que os autovalores encontrados são os elementos da diagonal da matriz A acima mostrada. Isto é: λ = Portanto, os autovalores da matriz A são: λ = 0.303, λ = e λ 3 = Que, após cinco interações, resultará na eficiência de convergência do método em questão, pois vemos que os valores realmente se aproximam, cada vez mais, dos valores encontrados algebricamente. CONCLUSÃO Concluiu-se que a determinação dos autovalores de uma matriz real e simétrica, usando o Método de Jacobi, é de fácil compreensão e simples implementação computacional. BIBLIOGRAFIA LIMA Jr., J. J., 005. Notas de Aula. Métodos Matemáticos para Sistemas Mecânicos. PPG- IM, UNIFI. WILKINSON, J. H., 965 The Algebraic igenvalue Problem, Clarendon Press, Oxford, London: 66p. 00 II Simpósio de xcelência em Gestão e Tecnologia SGeT 005