Determinação numérica de autovalores e autovetores: Método de Jacobi

Transcrição

1 Determinação numérica de autovalores e autovetores: Método de Jacobi Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 3 de setembro de 2012 Baseado no livro Cálculo Numérico, de Neide B. Franco. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

2 Método de Jacobi Vamos agora nos concentrar em determinar autovalores e autovetores de matrizes simétricas. Matrizes simétricas de ordem n têm a propriedade de possuir n autovalores reais e n autovetores linearmente independentes. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

3 Método de Jacobi O Método de Jacobi consiste em, dada uma matriz simétrica A, aplicar uma série de transformações similares k = 1, 2,..., com A 1 = A. A k+1 = U 1 k A ku k, As matrizes A 1, A 2,... convergem a uma matriz diagonal. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

4 Método de Jacobi Após m passos do Método de Jacobi, temos A m+1 = U 1 m...u 1 2 U 1 1 AU 1U 2...U m. Se A m+1 D, D matriz diagonal, os elementos da diagonal de A m+1 são aproximações para os autovalores de A, e as colunas de V = U 1 U 2...U m são aproximações para os autovetores de A. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

5 Rotação de Jacobi Uma matriz U IR n n, com elementos definidos por u pp = u qq = cos(ϕ), u pq = u qp = sen(ϕ), u ii = 1, i p, i q, u ij = 0, caso contrário, para p e q entre 1 e n, é chamada de matriz de rotação. Esta nomenclatura vem do fato de que, ao calcular o produto y = Ux, para um vetor x IR n, o vetor resultante y é o vetor x rotacionado de um ângulo ϕ no plano dos eixos p e q. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

6 Rotação de Jacobi cos(ϕ) sen(ϕ) sen(ϕ) cos(ϕ) Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

7 Rotação de Jacobi Uma rotação (p, q) de Jacobi é a operação U T AU, com U matriz de rotação. Vamos ver como fica uma matriz A depois de aplicada uma rotação (p, q) de Jacobi. Para isso, vejamos como exemplo o que acontece quando aplicamos uma rotação (2, 4) de Jacobi em uma matriz A IR 4 4. O que acontece para (p, q) gerais e matrizes A IR n n é análogo. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

8 Rotação de Jacobi U T A = cos(ϕ) 0 sen(ϕ) sen(ϕ) 0 cos(ϕ) a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 23 a 31 a 32 a 33 a 33 a 41 a 42 a 43 a 43 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 c a 41 s a 22 c a 42 s a 23 c a 43 s a 24 c a 44 s a 31 a 32 a 33 a 34 a 21 s + a 41 c a 22 s + a 42 c a 23 s + a 43 c a 24 s + a 44 c = = A, com c = cos(ϕ) e s = sen(ϕ). Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

9 Rotação de Jacobi A U = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 23 a 31 a 32 a 33 a 33 a 41 a 42 a 43 a 43 a 11 a 12 c a 14 s a 13 a 12 s + a 14 c a 21 a 22 c a 24 s a 23 a 22 s + a 24 c a 31 a 32 c a 34 s a 33 a 32 s + a 34 c a 41 a 42 c a 44 s a 43 a 42 s + a 44 c cos(ϕ) 0 sen(ϕ) sen(ϕ) 0 cos(ϕ) = A, = com c = cos(ϕ) e s = sen(ϕ). Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

10 Rotação de Jacobi De um modo geral, para uma matriz A IR n n e U matriz de rotação com ângulo ϕ no plano dos eixos p e q, o produto U T A gera uma matriz A definida por a pj = a pj cos(ϕ) a qj sen(ϕ), 1 j n, a qj = a pj sen(ϕ) + a qj cos(ϕ), 1 j n, a ij = a ij, i p, i q, 1 j n. (1) O produto A U gera uma matriz A definida por (2) a ip = a ip cos(ϕ) a iqsen(ϕ), 1 i n, a iq = a ip sen(ϕ) + a iq cos(ϕ), 1 i n, a ij = a ij, j p, j q, 1 i n. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

11 Rotação de Jacobi Assim, comparando as matrizes A e A, apenas os elementos das linhas e colunas p e q são modificados. E A continua sendo simétrica. Vejamos agora como escrever a mudança dos elementos a pp, a qq e a pq. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

12 Rotação de Jacobi a pp = a pp cos(ϕ) a pqsen(ϕ) = (a pp cos(ϕ) a pq sen(ϕ)) cos(ϕ) (a pq cos(ϕ) a qq sen(ϕ))sen(ϕ). Ou seja, a pp = a pp cos 2 (ϕ) 2a pq sen(ϕ) cos(ϕ) + a qq sen 2 (ϕ). (3) Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

13 Rotação de Jacobi a qq = a qpsen(ϕ) + a qq cos(ϕ) = (a pp sen(ϕ) + a qp cos(ϕ))sen(ϕ) + (a pq sen(ϕ) a qq cos(ϕ)) cos(ϕ). Ou seja, a qq = a pp sen 2 (ϕ) + 2a pq sen(ϕ) cos(ϕ) + a qq cos 2 (ϕ). (4) Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

14 Rotação de Jacobi a pq = a ppsen(ϕ) + a pq cos(ϕ) = (a pp cos(ϕ) a pq sen(ϕ))sen(ϕ) + (a pq cos(ϕ) a qq sen(ϕ)) cos(ϕ). Ou seja, a pq = a qp = (a pp a qq )sen(ϕ) cos(ϕ) + a pq (cos 2 (ϕ) sen 2 (ϕ)). (5) Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

15 Rotação de Jacobi Portanto, para aplicar rotações (p, q) de Jacobi, em vez de calcular o produto U T AU, usamos as fórmulas (1), (2), (3), (4) e (5). Vejamos agora um exemplo numérico de como calcular uma rotação de Jacobi. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

16 Rotação de Jacobi - exemplo Considere a matriz A = Vamos fazer uma rotação de ϕ = π/2 em torno do elemento (p, q) = (1, 3). Temos que cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

17 Rotação de Jacobi - exemplo Usando a fórmula (3), temos que a 11 = a 11 cos 2 (π/2) 2a 13 sen(π/2) cos(π/2) + a 33 sen 2 (π/2) = = 3. Usando a fórmula (4), temos que a 33 = a 11 sen 2 (π/2) + 2a 13 sen(π/2) cos(π/2) + a 33 cos 2 (π/2) = 2. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

18 Rotação de Jacobi - exemplo Usando a fórmula (5), temos que a 13 = a 31 = (a 11 a 33 )sen(π/2) cos(π/2) + a 13 (cos 2 (π/2) sen 2 (π/2)). (2 3) (0 1) = 3. Usando as fórmulas (1) e (2), temos a 12 = a 12 = a 12 = a 12 cos(ϕ) a 32 sen(ϕ) = 1 0 ( 1) 1 = 1, a 14 = a 14 = a 14 = a 14 cos(ϕ) a 34 sen(ϕ) = = 0, Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

19 Rotação de Jacobi - exemplo a 32 = a 32 = a 32 = a 12 sen(ϕ) + a 32 cos(ϕ) = ( 1) 0 = 1, a 34 = a 34 = a 34 = a 14 sen(ϕ) + a 34 cos(ϕ) = = 1. Assim, a matriz resultante A é dada por A = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

20 Método de Jacobi Como mencionamos no início, o Método de Jacobi determina autovalores e autovetores de uma matriz simétrica através de sucessivas rotações A 1 = A A 2 = U T 1 A 1 U 1 A 3 = U T 2 A 2 U 2... A k+1 = U T k A ku k D, com U i, i = 1, 2,..., k matrizes de rotação e D matriz diagonal. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

21 Método de Jacobi Para calcular a matriz A k+1, escolhemos o maior elemento em módulo dentre os elementos fora da diagonal de A k, que chamamos de a pq. Fazemos, então, uma rotação para zerar o elemento a pq. Este processo é repetido até que uma matriz A k+1 seja (quase) diagonal. Quando isto acontece, os elementos da diagonal de A k+1 são aproximações dos autovalores de A e as colunas de V = U 1 U 2...U k são aproximações dos autovetores de A. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

22 Método de Jacobi Vejamos agora como definir a matriz U k de modo que o elemento a pq seja zerado. Supomos que a pq 0, já que, se isso não acontecesse, nada precisaria ser feito. Usando a expressão (5), queremos que a pq = (a pp a qq )sen(ϕ) cos(ϕ) + a pq (cos 2 (ϕ) sen 2 (ϕ)) = 0. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

23 Método de Jacobi Como sen(ϕ) cos(ϕ) = 1 2 sen(2ϕ), cos 2 (ϕ) sen 2 (ϕ) = cos(2ϕ), temos que a pp a qq = a pq cos(2ϕ) 1 2 sen(2ϕ) = 2a pq cotg(2ϕ) cotg(2ϕ) = a qq a pp 2a pq = φ. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

24 Método de Jacobi Temos ainda que cotg(2ϕ) = cos(2ϕ) sen(2ϕ) = cos2 (ϕ) sen 2 (ϕ) = 2sen(ϕ) cos(ϕ) cos 2 (ϕ) sen 2 (ϕ) cos 2 (ϕ) 2sen(ϕ) cos(ϕ) cos 2 (ϕ) = 1 tg2 (ϕ). 2tg(ϕ) Denote t = tg(ϕ). Como cotg(2ϕ) = φ, temos que φ = 1 t2 2t 1 t 2 = 2tφ t 2 + 2tφ 1 = 0 t = 2φ ± 4φ = φ ± φ Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

25 Método de Jacobi Multiplicando o numerador e denominador de t por φ ± φ 2 + 1, temos t = 1 φ ± φ Computacionalmente, adotamos { 1 t =, φ 0, φ+sinal(φ) φ , φ = 0. Note que escolhemos o sinal positivo ou negativo de modo a obter o denominador de maior módulo. Assim, sempre teremos t 1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

26 Método de Jacobi Vamos agora escrever sen(ϕ) e cos(ϕ) em função de t. Observe que sec 2 (ϕ) = 1 + tg 2 (ϕ) 1 cos 2 (ϕ) = 1 + tg2 (ϕ) cos 2 (ϕ) = Então tg 2 (ϕ). cos(ϕ) = t 2 e sen(ϕ) = t 1 + t 2. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

27 Algoritmo Método de Jacobi: dados uma matriz simétrica A IR n n, uma tolerância ɛ e um número máximo de iterações MAXIT, devolve D uma matriz quase diagonal com aproximações dos autovalores da matriz A na diagonal, ou emite uma mensagem de erro. Passo 1: Faça k 1. Passo 2: Enquanto (k MAXIT ), execute os passos 3 a 10: Passo 3: Calcule p, q, 1 p, q n, índices tais que a pq = max i j { a ij }. Passo 4: Se a pq ɛ, então devolva A e pare. Passo 5: Faça φ aqq app 2a pq. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

28 Algoritmo Passo 6: Faça t { Passo 7: Faça cos(ϕ) 1 1+t 2. Passo 8: Faça sen(ϕ) 1 φ+sinal(φ) φ 2 +1 φ 0, 1, φ = 0. t 1+t 2. Passo 9: Defina A usando as expressões (1), (2), (3), (4) e (5). Passo 10: Faça A A e k k + 1. Passo 11: Escreva número máximo de iterações atingido e pare. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

29 Algoritmo Note que o algoritmo, como está definido, não calcula os autovetores de A. Para que os autovetores sejam calculados, basta que sejam feitas as seguintes modificações: No Passo 1 deve ser criada uma matriz V I. No Passo 9 deve ser formada a matriz U e, depois, deve-se calcular V VU. Para tornar esta modificação do Passo 9 computacionalmente mais eficiente, pode-se deduzir expressões que correspondem à transformação VU e, então, usar estas expressões para modificar V. Isso faz com que sejam feitos menos cálculos e, ainda, torna dispensável a alocação e definição da matriz U. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

30 Exemplo Vamos usar o Método de Jacobi para determinar os autovalores da matriz A = O maior elemento em módulo, fora da diagonal de A 1 = A, é a 23 = a 32 = 3. Assim, φ = a 33 a 22 = 6 5 = a 23 6 Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

31 Exemplo Usando o valor de φ, calculamos t = tg(ϕ) = , c = cos(ϕ) = e s = sen(ϕ) = Com isso, definimos U 1 = A 2 = U1 T A 1 U 1 = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

32 Exemplo O maior elemento em módulo, fora da diagonal de A 2, é a 12 = a 21 = Assim, φ = , t = , c = e s = U 2 = A 3 = U2 T A 2 U 2 = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

33 Exemplo O maior elemento em módulo, fora da diagonal de A 3, é a 13 = a 31 = Assim, φ = , t = , c = e s = U 3 = A 4 = U3 T A 3 U 3 = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

34 Exemplo O maior elemento em módulo, fora da diagonal de A 4, é a 23 = a 32 = Assim, φ = , t = , c = e s = U 4 = A 5 = U4 T A 4 U 4 = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35

35 Exemplo Observe que, à medida que k aumenta, os elementos fora da diagonal de A k tendem a zero. Assim, os elementos da diagonal de A k convergem para os autovalores de A, que são , e Se estivermos interessados nos autovetores de A, basta calcular o produto U 1 U 2...U k. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 3 de setembro de / 35