Transformações Geométricas

Transcrição

1 Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Transformações Geométricas Edward Angel, Cap. 4

2 Questão 1, exame de 29/06/11 Considere o triângulo T={V 1, V 2, V 3 }, com V 1 =[0 2 3] T, V 2 =[3 3 3] T e V 3 =[4 2 3] T. Calcule o valor da normal ao triângulo T: n T. Sendo a = [V % V & ] e a = [V & V ( ] a b = y, z. z, y. z, x. x, z. x, y. y, z. = (3 3)(2 3)? (3 0)(4 3) (3 2)(4 3) = 0 0 4?

3 Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Transformações Geométricas Edward Angel, Cap. 4

4 LEIC CG Modelação Geométrica Grafos de Cena

5 Grafo de Cena Motivação Cenas geralmente complexas Modelos são dinâmicos Grafo de cena permite representação hierárquica

6 Grafo de Cena Motivação

7 Grafo de Cena Motivação

8 Grafo de Cena Motivação

9 Grafo de Cena Motivação Δx 1 Δx 2 Δx 3 α α Δx 4 Δy 2 β Δy 1 Y β Δy 4 Δy 3 X

10 Grafo de Cena

11 Grafos de Cena Hierarquia modular Construção ascendente (bottom-up) Permitem modelos complexos de primitivas básicas Propagação de actualizações

12 Grafos de Cena Δx θ Δv 1 φ Δv 2 Δy 1 Y Δw 1 X

13 Grafos de Cena

14 Grafos de Cena

15 LEIC CG Transformações Geométricas Transf. Geom. Planas Elementares

16 Transf. Geom. Planas Elementares Translação Escala

17 Transformações Geométricas Translação P P d y d x T &8 (d :, d < ) = 1 0 dx 0 1 dy = T &8 (d :, d < ) A P

18 Transformações Geométricas Escala P P s x, s y S &8 (s :, s < ) = s : s < = S &8 (s :, s < ) A P

19 Transformações Geométricas Escala Uniforme Y Não - Uniforme Y s x = s y = 2 s x = 1; s y = 2 X P P X Y Y X s x = 2; s y = 1 X s x = 1; s y = -1

20 Transformações Geométricas Rotação P θ d y P d x R &8 (θ) = cos θ sin θ 0 sin θ cosθ = R &8 (θ) A P

21 LEIC CG Transformações Geométricas Composição de Transformações

22 Transformações Geométricas Composição de Transformações = M % A P = M & A P = M 2 A M 1 A P

23 Transformações Geométricas Composição de Transformações P P = M % A P

24 Transformações Geométricas Composição de Transformações P P P = M % A P = M & A P

25 Transformações Geométricas Composição de Transformações P P = M % A P = M & A P = M 2 A M 1 A P

26 Transformações Geométricas Composição de Transformações Genericamente não é comutativa T 1 após T 2 não é o mesmo que T 2 após T 1

27 Composição de Transformações Exemplo de composições não comutativas Translação seguida de Escala Escala seguida de Translação

28 Problema

29 LEIC CG Transformações Geométricas Transformações em 3D

30 Espaço vectorial tri-dimensional (1/2) Usa o referencial de mão direita Right handed coordinate system Rotações positivas Sentido oposto ao da rotação dos ponteiros do relógio counterclockwise Eixo ZZ aponta para fora da página Y Z (fora da página) X

31 Espaço vectorial tri-dimensional (2/2) Referencial de mão direita Convenção matemática Referencial de mão esquerda Interpretação natural em CG (câmara) Objecto com maiores valores na coordenada Z Encontram-se mais distantes do observador (vista)

32 Transformações Geométricas 3D Transformações 2D Matrizes 3x3 no espaço homogéneo Analogamente Transformações 3D Matrizes 4x4 no espaço homogéneo

33 Transformações Elementares 3D Translação M T = T(dx, dy, dz) = dx dy dz x dx x y = dy. y z dz z

34 Transformações Elementares 3D Escala M S = S(Sx, Sy, Sz) = Sx Sy Sz x Sx x y = 0 Sy 0 0. y z 0 0 Sz 0 z

35 Transformações Elementares 3D Rotação Y a Z X Matriz de rotação única genérica Quaterniões

36 Quaterniões

37 Transformações Elementares 3D Rotação Y R y (f) R z (y) Z R x (q) X Abordagem mais simples Realizar rotações apenas sobre eixos de coordenadas Três matrizes distintas

38 Transformações Elementares 3D Rotação Y R z (y): em torno do eixo dos ZZ R z (y) Z R y (f) R x (q) X cos q -sin q 0 0 sin q cos q R x (q): em torno do eixo dos XX cos q -sin q 0 0 sin q cos q R y (f): em torno do eixo dos YY cos q 0 sin q sin q 0 cos q

39 Próxima Aula Matriz de Transformação Composta Mudança de Referenciais Exemplo