Computação Gráfica. Prof. MSc. André Yoshimi Kusumoto

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1 Computação Gráfica Prof. MSc. André Yoshimi Kusumoto

2 Transformações Geométricas São operações que podem ser utilizadas visando a alteração de algumas características como posição, orientação, forma ou tamanho do objeto a ser desenhado Manipulações envolvem muitas operações de aritmética simples As matrizes são mais fáceis de usar e entender do que equações algébricas Suas representações se relacionam diretamente as estruturas de armazenamento Facilidade de implementação e velocidade de acesso 2

3 Pontos, Vetores e Matrizes Dado um sistema de coordenadas cartesianas, é possível definir pontos e objetos pelas suas coordenadas Nos espaços bidimensionais ou nos objetos planos, duas coordenadas caracterizam um ponto. Para objetos tridimensionais, três coordenadas são necessárias. Ex. Podem ser chamadas de vetores linhas ou vetores colunas. Para definir um ponto, usa-se a sua distância em relação a cada um dos eixos do sistema de coordenadas 3

4 Primitivas gráficas em duas dimensões* Pontos, vetores e matrizes Os vetores e matrizes não são limitados a dois ou três elementos. Matriz 2x3 Matriz nula ou zero Matriz Quadrada 5x5 Matriz Diagonal Matriz Identidade * revisão 4

5 Primitivas gráficas em duas dimensões* Operações de Matrizes Adição e subtração matrizes de mesma dimensão Multiplicação por um valor constante Transposta a matriz transposta, simbolizada pela letra T sobrescrito, tem como matriz resultante da troca dos valores de suas linhas e colunas. * revisão 5

6 Primitivas gráficas em duas dimensões* Operações de Matrizes Multiplicação de matrizes desde que o número de colunas da primeira seja igual ao níveis de linha da segunda. Isto é, uma matriz de dimensão m x n pode ser multiplicada por outra matriz de dimensão n x p. A matriz resultante será de dimensão m x p. Considere os seguintes vetores e verifique * revisão 6

7 Transformações Geométricas Levam o tom do pixel na posição (x o,y o ) da imagem origem, para outra posição (x d, y d ) do plano em uma imagem destino 7

8 Translação, Rotação e Escala Translação Movimentar o objeto. Transladar todos os seus pontos Adicionar um valor às suas coordenadas Cada ponto em (x,y) pode ser movido adicionando T x unidades em relação ao eixo x e T y unidades em relação ao eixo y (a) (b) Exemplo de translação da imagem. (a) Imagem Original. (b) Imagem Transladada. 8

9 Translação, Rotação e Escala Escala Mudas as dimensões Multiplicar os valores de suas coordenadas por um fator de escala (a) (b) (c) Exemplo de ampliação e redução da imagem. (a) Imagem Original. (b) Imagem Ampliada 2 vezes. (c) Imagem Reduzida pela metade 9

10 Translação, Rotação e Escala Escala Importante lembrar que, se o objeto não estiver definido em relação à origem, a multiplicação também fará com que o objeto translade A mesma figura antes e depois de uma mudança de escala genérica, de ½ na horizontal e 1/4 na vertical. Repare que esse mesmo efeito relativo seria conseguido mudando a escala do sistema de eixos para uma outra que fosse o dobro da primeira na horizontal e quatro vezes maior na vertical. 10

11 Translação, Rotação e Escala Rotação Girar Exemplo de Rotação de 90º no sentido horário 11

12 Translação, Rotação e Escala Deve-se primeiro convencionar o sistema de eixos. Supondo que a distância do ponto P à origem seja D, tem-se: x o = D cos (β) y o = D sen (β) 12

13 Translação, Rotação e Escala x' = D cos (α + β) y = D sen (α + β) x o = D cos (β) y o = D sen (β) Da trigonometria, tem-se: cos(α + β) = cos(α) cos(β) sen(α) sen(β) sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α) Substituindo: x = D cos(α) cos(β) D sen(α) sen(β) y = D sen(α) cos(β) + D sen(β) cos(α) x d = x o cosθ y o sinθ y d = x o sinθ + y o cosθ O que resulta em: x = x o cos(α) y o sen(α) y = x o sen(α) + y o cos(α) 13

14 Espelhamento ou reflexão (a) (b) (c) Exemplo de espelhamento. (a) Imagem Original. (b) Flip Horizontal. (c) Flip Vertical. 14

15 Cisalhamento Shearing ou Skew Distorce o formato de um objeto Aplica-se um deslocamento aos valores das coordenadas x, y ou z do objeto proporcional ao valor das outras coordenadas de cada ponto transformado 15

16 Cisalhamento Uma distorção na direção x, proporcional à coordenada y pode ser produzida com a seguinte matriz de transformação Onde S é um valor fixo qualquer de modo que, se um cubo unitário for transformado por essa operação, passará a ter a forma, se S=1: # Pré Pós # Pré Pós 1 1,0,0 1,0,0 5 0,1,0 1,1,0 2 1,1,0 2,1,0 6 0,0,1 0,0,1 3 1,0,1 1,0,1 7 0,1,1 1,1,1 4 1,1,1 2,1,1 8 0,0,0 0,0,

17 Referências AZEVEDO, E. CONCI, A. Computação Gráfica: Teoria e Prática. Rio de Janeiro, Editora Campus, v. 1. CONCI, A.; AZEVEDO, E.; LETA, F. R. Computação Gráfica: Teoria e Prática. Rio de Janeiro, Editora Campus, v. 2. GONZALEZ, R. C.; WOODS, R. E. Processamento digital de imagens. 3. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, Material Prof. Sheila Cáceres - UNIP 17