Universidade Federal de Santa Catarina. Universidade Virtual do Maranhão. Operadores Lineares Homotetia e Rotação no

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1 Universidade Federal de Santa Catarina Universidade Virtual do Maranhão Operadores Lineares Homotetia e Rotação no R e Imagem de triângulos por estes operadores R. Por emésio Rodrigues da Silva Filho e Rubens Lopes etto Especialiação em Matemática Pólo de Brejo MA Orientador: Prof. Dr. Roberto Corrêa da Silva

2 Brejo 9 Nemésio Rodrigues da Silva Filho e Rubens Lopes Netto

3 Operadores Lineares Homotetia e Rotação no R e Imagem de triângulos por estes operadores R. Monografia apresentada ao curso de Pósgraduação da Universidade Federal de Santa Catarina, para obtenção do grau de Especialista em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Roberto Corrêa da Silva Chapadinha 9

4 A todos aqueles que desejam conhecer um pouco mais sobre OPERADORES LINEARES HOMOTETIA E ROTAÇÃO NO R E R E IMAGENS DE TRIÂNGULOS POR ESTES OPERADORES como uma possibilidade facilitadora do processo ensino-aprendiagem.

5 Agradecimentos Agradecemos: A Deus, que em seu infinito amor sempre nos amparou nos momentos de dificuldade; Aos nossos familiares e amigos, pelo apoio incondicional; À Universidade Federal de Santa Catarina e a Universidade Virtual do Maranhão, pela ecelência na formação; Ao nosso orientador, Professor Doutor Roberto Corrêa da Silva; A todos os nossos professores, pela segura orientação; A nossos colegas de curso Geordane Vasconcelos de Aguiar, Joel Castelo Branco e Joubert Jorge Lima Viana, que passaram a ser amigos e não apenas colegas. Àqueles que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realiação deste trabalho.

6 Um conceito é ferramenta quando o interesse é focaliado sobre seu uso para resolver um problema. (R. Douad)

7 Resumo Neste trabalho centramos as atenções nas imagens de vetores e triângulos obtidas pelos operadores homotetia e rotação no R er. Definimos de forma eplícita o operador homotetia em relação a cada eio tanto no R quanto no R e, ainda, a homotetia independente em cada eio; o mesmo fiemos com o operador rotação e, também, definimos as imagens de triângulos por estes operadores. Esta determinação levou-nos a estudar um pouco mais dos demais operadores lineares e algumas propriedades dos triângulos. Os resultados foram utiliados na determinação eplícita de imagens de vetores e triângulos, sendo estes representados até pelas matries canônicas associadas. Palavras-chave: Operadores Lineares, Homotetia, Rotação, Imagem, Matri Canônica, Vetor, Triângulo.

8 Sumário Introdução.... Operador Linear Homotetia..... Operador Homotetia de raão k (dilatação ou contração)..... Dilatação ou contração na direção dos eios..... Dilatação independente em cada eio Operador Linear Rotação..... Operador Rotação no.. Operador Rotação no... Operador Rotação no..4. Operador Rotação no..7. Operador Rotação no R em torno da origem... R em torno de um eio coordenado... 7 R em torno do eio dos... 7 R em torno do eio dos... 4 R em torno do eio dos Imagem de Triângulos pelos Operadores Homotetia e Rotação no R e R Eemplo: Operador Homotetia Eemplo: Operador Rotação Imagem de triângulos pelo Operador Homotetia no.4. Imagem de triângulos pelo Operador Rotação no R e R e R... 5 R Conclusão Referências Bibliográficas... 6

9 Introdução Neste trabalho focaliamos os operadores lineares homotetia e rotação no R e imagem de triângulos por estes operadores. R e No capítulo são definidos: Operador Homotetia de raão k (dilatação ou contração), Dilatação ou contração na direção dos eios e Dilatação independente em cada eio. Deduimos de forma eplícita os operadores complementando com suas representações gráficas e pelas matries canônicas associadas. No capítulo são definidos: Operador Rotação no R em torno da origem e Operador Rotação no R em torno de um eio coordenado (do eio, eio e eio ) também reforçados por suas representações gráficas e pelas matries canônicas associadas. R e No capítulo são definidos: Imagem de triângulos pelo Operador Homotetia no R e Imagem de triângulos pelo Operador Rotação no R e ainda, algumas propriedades da congruência e da semelhança de triângulos. R. Demonstramos,

10 . Operador Linear Homotetia Consideraremos neste trabalho conhecidas as definições de espaço vetorial, base, dimensão, transformação e operador linear, como eposto em [], [] e []. Neste capítulo veremos operador linear homotetia e alguns eemplos gráficos de operadores deste tipo..l. Operador Homotetia de raão k (dilatação ou contração)... Definição: Um Operador Homotetia de raão k é um operador n n linear T: R R da forma T(v) = kv onde v R n e k R e k é n fiado. Isto é, cada vetor do R é levado num vetor de mesma direção, mesmo sentido ou sentido oposto e módulo maior ou menor, dependendo do valor de k. otação: para vetores do n R podemos escrever na forma: T: n R n R v kv ou, pela matri de T na base canônica, sendo construída da seguinte forma: n Sejam v = (,,..., n ) um vetor do R e n B = {(,,..., ), (,,..., ),..., (,,..., )} base canônica do R, a matri do operador linear T em relação à base canônica B é : Aplicando os vetores da base canônica do n R ao operador T, tem-se: T(,,..., ) = k(,,..., ) = (k,,..., ) T(,,..., ) = k(,,..., ) = (, k,..., ) T(,,..., ) = k(,,..., ) = (,,..., k) é: Assim, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do n R ao operador T [T] B = k k k

11 Escrevendo o vetor v = (,,..., n ) como combinação linear dos vetores da base canônica dor n, teremos: v B = (,,..., n ) = (,,..., ) + (,,..., ) n (,,..., ) Daí, a matri da combinação linear do vetor v = (,,..., n ) em relação aos n vetores da base canônica do R é: [v] B = n Finalmente, a matri da aplicação do vetor v = (,,..., n ) ao operador T n em relação à base canônica do R é dada pelo produto da matri da aplicação dos n vetores da base canônica do R ao operador T pela matri da combinação linear do vetor v = (,,..., n ) em relação aos vetores da base canônica dor n : [T(v)] B = [T] B. [v] B, isto é, [T(v)] B = k k k. n Podemos caracteriar algumas situações especiais para homotetia como segue:... Se k >, o operador fa com que o vetor sofra uma dilatação;... Eemplo: T: R R v 4v ou T(, ) = 4(, ) = (4, 4 ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do T(, ) = 4(, ) = (4, ) T(, ) = 4(, ) = (, 4) R ao operador T, tem-se:

12 é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do 4 R ao operador T [T] = 4 4 canônica do Escrevendo o vetor (, ) como combinação linear dos vetores da base R, teremos: (, ) = (, ) + (, ) = (, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(, )] = Portanto, a matri da aplicação do vetor (, ) ao operador T em relação à base R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do canônica do R ao operador T pela matri da combinação linear do vetor (, ) em relação aos vetores da base canônica do R : [T(, )] = [T]. [(, )] = T T(v) v O O 4 Figura Eemplo: T: R R v v

13 5 ou T(,, ) = (,, ) = (,, ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) R ao operador T, tem-se: é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador T [T] = Escrevendo o vetor (,, ) como combinação linear dos vetores da base canônica dor, teremos: (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(,, )] = Portanto, a matri da aplicação do vetor (,, ) ao operador T em relação à base canônica do R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador T pela matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica dor : [T(,, )] = [T]. [(,, )] =.

14 6 T T(v) v O O Figura Se k <, o operador fa com que o vetor sofra uma contração;..6. Eemplo: T: R R v 4 v ou, T(, ) = 4 (, ) = ( 4, 4 ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: T(, ) = 4 (, ) = ( 4, ) T(, ) = 4 (, ) = (, 4 ) Então, [T] = 4 4

15 7 (, ) = (, ) + (, ) = (, ) Assim, [(, )] = Portanto: [T(, )] = [T]. [(, )] = 4. 4 v T T(v) 4 O O Figura Eemplo: T: R R v v ou, T(,, ) = (,, ) = (,, ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, )

16 8 Então, [T] = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] = Portanto: [T(,, )] = [T]. [(,, )] =. v T T(v) O O Figura..7

17 9..8. Se k =, o operador resulta na transformação identidade I;..9. Eemplo: T: R R v v ou T(, ) = (, ) = (, ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: Então, T(, ) = (, ) = (, ) T(, ) = (, ) = (, ) [T] = (, ) = (, ) + (, ) = (, ) Assim, [(, )] = Portanto: [T(, )] = [T]. [(, )] =. T T(v) v O O Figura..9

18 ... Eemplo: T: R R v v ou T(,, ) = (,, ) = (,, ) ou, pela matri de T na base canônica: Então, T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) [T] = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] = Portanto: [T(,, )] = [T]. [(,, )] =. T v T(v) O O Figura..

19 ... Se k <, o operador fa com que o vetor troque de sentido.... Eemplo: T: R R v -v ou T(, ) = -(, ) = (-, - ) ou, pela matri de T na base canônica: Então, T(, ) = -(, ) = (-, ) T(, ) = -(, ) = (, -) [T] = (, ) = (, ) + (, ) = (, ) Assim, [(, )] = Portanto: [T(, )] = [T]. [(, )] =. O T T(v) O v Figura..

20 ... Eemplo: T: R R v -v ou T(,, ) = -(,, ) = (-, -, - ) ou, pela matri de T na base canônica: T(,, ) = -(,, ) = (-,, ) T(,, ) = -(,, ) = (, -, ) T(,, ) = -(,, ) = (,, -) Então, [T] = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] = Portanto: [T(,, )] = [T]. [(,, )] =. - - O v T T(v) O - Figura..

21 .. Dilatação ou contração na direção dos eios.... Definição: Dilatação ou contração na direção dos eios é um n n operador linear T: R R da forma T(,,,..., k, k+,..., n ) = (,,,..., α k, k+,..., n ), com α R, fiado, ou, pela matri de T em relação à base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do n R ao operador T, tem-se: T(,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) T(,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) T(,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) T(,,,...,,,..., ) = α (,,,...,,,..., ) = (,,,..., α,,..., ) T(,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) T(,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) = (,,,...,,,..., ) é: Assim, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do n R ao operador T [T] = α Escrevendo o vetor (,,,..., α k, k+,..., n ) como combinação linear dos vetores da base canônica dor n, teremos: (,,,..., k, k+,..., n ) = (,,,...,,,..., ) (,,,...,,,..., ) + (,,,...,,,..., ) k (,,,...,,,..., ) + k+ (,,,...,,,..., ) n (,,,...,,,..., ) = (,,,..., k, k+,..., n ) Daí, a matri da combinação linear do vetor (,,,..., k, k+,..., n ) em n relação aos vetores da base canônica do R é:

22 4 [(,,,..., k, k+,..., n )] = + n k k Portanto, a matri da aplicação do vetor (,,,..., k, k+,..., n ) ao operador T em relação à base canônica do n R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do n R ao operador T pela matri da combinação linear do vetor (,,,..., k, k+,..., n ) em relação aos vetores da base canônica do n R : [T(,,,..., k, k+,..., n )] = [T]. [(,,,..., k, k+,..., n )] = = α. + n k k Observemos que: se α >, o operador fa com que o vetor sofra uma dilatação; se < α <, o operador fa com que o vetor sofra uma contração.... Eemplo: Dilatação na direção do eio dos, no R : T: R R (, ) (, ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do R ao operador T, tem-se: T(, ) = (, ) = (, ) T(, ) = (, ) = (, )

23 5 é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador T [T] = do Escrevendo o vetor (, ) como combinação linear dos vetores da base canônica R, teremos: (, ) = (, ) + (, ) = (, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(, )] = Portanto, a matri da aplicação do vetor (, ) ao operador T em relação à base R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do canônica do R ao operador T pela matri da combinação linear do vetor (, ) em relação aos vetores da base canônica do R : [T(, )] = [T]. [(, )] =. (, ) (, ) T O O Figura..... Eemplo: Contração na direção do eio dos, no T: R R (, ) (, ) R :

24 6 ou, pela matri de T em relação à base canônica: Então, T(, ) = (, ) = (, ) T(, ) = (, ) = (, ) [T] = (, ) = (, ) + (, ) = (, ) Assim, [(, )] = Portanto: [T(, )] = [T]. [(, )] =. (, ) (, ) T O O Figura Eemplo: Dilatação na direção do eio dos, no T: R R (,, ) (,, ) R :

25 7 ou, pela matri de T em relação à base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) R ao operador T, tem-se: é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador T [T] = Escrevendo o vetor (,, ) como combinação linear dos vetores da base canônica dor, teremos: (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(,, )] = Portanto, a matri da aplicação do vetor (,, ) ao operador T em relação à base canônica do R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador T pela matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica dor : [T(,, )] = [T]. [(,, )] =.

26 8 (,, ) (,, ) T O O Figura Eemplo: Contração na direção do eio dos, no T: R R (,, ) (,, ) R : ou, pela matri de T em relação à base canônica: T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) Então, [T] = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] =

27 9 Portanto: [T(,, )] = [T]. [(,, )] =. (,, ) (,, ) T O O Figura Eemplo: Dilatação na direção do eio dos, no T: R R (, ) (, ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: Então, T(, ) = (, ) = (, ) T(, ) = (, ) = (, ) R : [T] = (, ) = (, ) + (, ) = (, )

28 Assim, [(, )] = Portanto: [T(, )] = [T]. [(, )] =. (, ) (, ) T O O Figura Eemplo: Contração na direção do eio dos, no T: R R (, ) (, 4 ) R : ou, pela matri de T em relação à base canônica: T(, ) = (, ) = (, ) T(, ) = 4 (, ) = (, 4 ) Então, [T] = 4 (, ) = (, ) + (, ) = (, )

29 Assim, [(, )] = Portanto: [T(, )] = [T]. [(, )] =. 4 (, ) T (, ) 4 4 O O Figura Eemplo: Dilatação na direção do eio dos, no T: R R (,, ) (, 4, ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = 4(,, ) = (, 4, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) R : Então, [T] = 4

30 (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] = Portanto: [T(,, )] = [T]. [(,, )] = 4. 4 (, 4, ) T (,, ) O O Figura Eemplo: Contração na direção do eio dos, no T: R R (,, ) (,, ) R : ou, pela matri de T em relação à base canônica: T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, )

31 Então, [T] = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] = Portanto: [T(,, )] = [T]. [(,, )] =. (,, ) (,, ) T O O Figura Eemplo: Dilatação na direção do eio dos : T: R R (,, ) (,, )

32 4 ou, pela matri de T em relação à base canônica: Então, T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) [T] = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] = Portanto: [T(,, )] = [T]. [(,, )] =. (,, ) (,, ) T O O Figura..

33 5... Eemplo: Contração na direção do eio dos : T: R R (,, ) (,, ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) Então, [T] = (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] = Portanto: [T(,, )] = [T]. [(,, )] =.

34 6 (,, ) (,, ) T O O Figura.... Homotetia independente em cada eio.... Definição: Homotetia independente em cada eio é um operador n n linear T: R R da forma T(,,,..., n ) = (α, α, α,..., α n n ), com α i R, fiados, ou, pela matri de T em relação à base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do T(,,,..., ) = α (,,,..., ) = (α,,,..., ) T(,,,..., ) = α (,,,..., ) = (, α,,..., ) T(,,,..., ) = α (,,,..., ) = (,, α,..., ) T(,,,..., ) = α n (,,,..., ) = (,,,..., α n ) n R ao operador T, tem-se: é: Assim, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do n R ao operador T [T] = α α α α n

35 Escrevendo o vetor (,,,..., n ) como combinação linear dos vetores da base canônica dor n, teremos: (,,,..., n ) = (,,,..., ) + (,,,..., ) + (,,,..., ) n (,,,..., ) = (,,,..., n ) Daí, a matri da combinação linear do vetor (,,,..., n ) em relação aos n vetores da base canônica do R é: 7 [(,,,..., n )] = n Portanto, a matri da aplicação do vetor (,,,..., n ) ao operador T em n relação à base canônica do R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da n base canônica do R ao operador T pela matri da combinação linear do vetor (,,,..., n ) em relação aos vetores da base canônica dor n : [T(,,,..., n )] = [T].[(,,,..., n )] = α = α α α n. n... Dilatação independente em cada eio no... Eemplo: T: R R (, ) (, ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do T(, ) = (, ) = (, ) T(, ) = (, ) = (, ) R : R ao operador T, tem-se: é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador T

36 8 [T] = Escrevendo o vetor (, ) como combinação linear dos vetores da base canônica do R, teremos: (, ) = (, ) + (, ) = (, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(, )] = Portanto, a matri da aplicação do vetor (, ) ao operador T em relação à base R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do canônica do R ao operador T pela matri da combinação linear do vetor (, ) em relação aos vetores da base canônica do R : [T(, )] = [T]. [(, )] =. (, ) T (, ) O O Figura Contração independente em cada eio no..5. Eemplo: T: R R (, ) ( 4, ) R :

37 9 ou, pela matri de T em relação à base canônica: T(, ) = 4 (, ) = ( 4, ) T(, ) = (, ) = (, ) Então, [T] = 4 (, ) = (, ) + (, ) = (, ) Assim, [(, )] = Portanto: [T(, )] = [T]. [(, )] = 4. (, ) T (, ) 4 O Figura..5 O 4

38 ..6. Dilatação independente em cada eio no..7. Eemplo: T: R R (,, ) (,, 4 ) ou, pela matri de T em relação à base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = 4(,, ) = (,, 4) R : R ao operador T, tem-se: é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador T [T] = 4 Escrevendo o vetor (,, ) como combinação linear dos vetores da base canônica dor, teremos: (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(,, )] = Portanto, a matri da aplicação do vetor (,, ) ao operador T em relação à base canônica do R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador T pela matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica dor : [T(,, )] = [T]. [(,, )] =. 4

39 (,, 4 ) (,, ) T O O 4 Figura Contração independente em cada eio no..9. Eemplo: T: R R (,, ) (,, 4 ) R : ou, pela matri de T na base canônica: T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = (,, ) = (,, ) T(,, ) = 4 (,, ) = (,, 4 )

40 Então, [T] = 4 (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] = Portanto: [T(,, )] = [T]. [(,, )] = 4. (,, ) T (,, 4 ) O O 4 Figura..9

41 . Operador Linear Rotação Neste capítulo definiremos operador rotação no daremos alguns eemplos. R e R e.. Operador Rotação no R em torno da origem... Definição: Um Operador Rotação no plano em torno da origem é um operador linear Tθ : R R da forma Tθ (, ) = ( cosθ senθ, senθ + cosθ ), θ real e fiado, que fa cada vetor descrever um ângulo θ no sentido anti-horário. Esse operador também pode ser representado por sua matri na base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do R ao operador Tθ, tem-se: Tθ (, ) = (.cosθ.senθ,.senθ +.cosθ )= (cosθ, senθ ) Tθ (, ) = (.cosθ.senθ,.senθ +.cosθ )= ( senθ, cosθ ) é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador Tθ do cosθ senθ T = senθ cosθ [ θ] Escrevendo o vetor (, ) como combinação linear dos vetores da base canônica R, teremos: (, ) = (, ) + (, ) = (, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(, )] =

42 Portanto, a matri da aplicação do vetor (, ) ao operador Tθ em relação à base canônica do R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador Tθ pela matri da combinação linear do vetor (, ) em relação aos vetores da base canônica do R : 4 [Tθ (, )] = [ θ] cosθ senθ T.[(, )] =. senθ cosθ... Justificativa de que Tθ realmente realia uma rotação de vetores geométricos no plano de ângulo θ no sentido anti-horário. Tθ Tθ (v) v θ α α O O Figura.. = r cos (α + θ ) = r cosα cosθ r senα senθ, sendo r o módulo de v. Mas r cosα = e r senα =. Então, = cosθ senθ. Analogamente, = r sen (α + θ ) = r (senα cosθ + cosα senθ ) = = senθ + cosθ. Logo, sendo feita a rotação as coordenadas são dadas por = r cos (α + θ ) e = r sen (α + θ ). Essas contas mostram que e são as coordenadas polares do vetor (, ) rotacionado. Assim, Tθ (, ) = ( cosθ senθ, senθ + cosθ ) ou por sua matri na base canônica: [Tθ (, )] = cosθ senθ + senθ cosθ cosθ senθ = senθ cosθ. ([], pg. 49)

43 5 π... Eemplo: Consideremos o caso particular onde θ = para determinar a imagem do vetor v = (, ). Neste caso, senθ = e cosθ =. T π π π π π π π (, ) = (.cos.sen,.sen +.cos )= (cos, sen ) = (, ) T Então, π π π π π π π (, ) = (.cos.sen,.sen +.cos )= ( sen, cos )= (, ) Assim, Portanto: T π = (, ) = (, ) + (, ) = (, ) [(, )] = [T π (, )] = T π.[(, )] =. (, ) (, ) T(v) π v O Figura..

44 ..4. Eemplo: Determinar a imagem do vetor v = (, ) pela rotação de θ = π. Resolução: T π (, ) = (.cosπ.senπ,.senπ +.cosπ )= (cosπ, senπ ) = (, ) T π (, ) = (.cosπ.senπ,.senπ +.cosπ )= ( senπ, cosπ ) = (, ) Então, Assim, Portanto: T = [ ] π (, ) = (, ) + (, ) = (, ) [(, )] = [T π (, )] =[ ] π T.[(, )] =. = 6 v π O Tθ (v) Figura..4

45 7.. Operador Rotação no... Operador Rotação no R em torno de um eio coordenado R em torno do eio dos... Definição: Um Operador Rotação no espaço em torno do eio dos é um operador linear Tθ : R R da forma Tθ (,, ) = (, cosθ senθ, senθ + cosθ ), θ real e fiado. Esse operador também pode ser representado por sua matri na base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do R ao operador Tθ, tem-se: Tθ (,, ) = (,.cosθ.senθ,.senθ +.cosθ ) = (,, ) Tθ (,, ) = (,.cosθ.senθ,.senθ +.cosθ ) = (, cosθ, senθ ) Tθ (,, ) = (,.cosθ.senθ,.senθ +.cosθ ) = (, senθ, cosθ ) é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador Tθ [ T θ] = cosθ senθ sen θ cosθ Escrevendo o vetor (,, ) como combinação linear dos vetores da base canônica dor, teremos: (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(,, )] = Portanto, a matri da aplicação do vetor (,, ) ao operador Tθ em relação à base canônica do R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador Tθ pela matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica dor :

46 8 [Tθ (,, )] = [ T θ].[(,, )] = cosθ senθ sen θ. cosθ Tθ (v) θ α v O Figura.. Para conferir se T representa a rotação de um ângulo θ em torno do eio dos, observemos o seguinte: a) T gira de θ, em torno da origem O, os pontos do plano = (plano O ), pois: T(,, ) = (, cosθ senθ, senθ + cosθ ) e: b) T não altera os pontos do eio dos, pois: T(,, ) = (,, )... Eemplo: Determinar a imagem do vetor v = (, 4, 5) pela rotação de θ = π em torno do eio dos.

47 9 Resolução: T π (,, ) = (,.cos π.sen π,.sen π +.cos π ) = (,, ) T π (,, ) = (,.cos π.sen π,.sen π +.cos π ) = = (, cos π, sen π ) = (,, ) T π (,, ) = (,.cos π.sen π,.sen π +.cos π ) = = (, sen π, cos π ) = (,, ) Então, π T = (, 4, 5) = (,, ) + 4(,, ) + 5(,, ) = (, 4, 5) Assim, [(, 4, 5)] = 5 4 Portanto: [T π (, 4, 5)] = π T.[(, 4, 5)] =. 5 4 = 4 5

48 4 5 4 Tθ (v) π 5 4 O v O Figura Operador Rotação no R em torno do eio dos..5. Definição: Um Operador Rotação no espaço em torno do eio dos é um operador linear Tθ : R R da forma Tθ (,, ) = ( cosθ senθ,, senθ + cosθ ), θ real e fiado, Esse operador também pode ser representado por sua matri na base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do R ao operador Tθ, tem-se: Tθ (,, ) = (.cosθ.senθ,,.senθ +.cosθ ) = (cosθ,, senθ ) Tθ (,, ) = (.cosθ.senθ,,.senθ +.cosθ ) = (,, ) Tθ (,, ) = (.cosθ.senθ,,.senθ +.cosθ ) = ( senθ,, cosθ ) é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador Tθ

49 4 [ T θ] = cosθ senθ senθ cosθ Escrevendo o vetor (,, ) como combinação linear dos vetores da base canônica dor, teremos: (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(,, )] = Portanto, a matri da aplicação do vetor (,, ) ao operador Tθ em relação à base canônica do R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador Tθ pela matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica dor : [Tθ (,, )] = [ θ] cosθ T.[(,, )] = senθ senθ. cosθ α v Tθ (v) θ O O Figura..5

50 Para conferir se T representa a rotação de um ângulo θ em torno do eio dos, observemos o seguinte: a) T gira de θ, em torno da origem O, os pontos do plano = (plano O ), pois: T(,, ) = ( cosθ senθ,, senθ + cosθ ) e: b) T não altera os pontos do eio dos, pois: T(,, ) = (,, ) Eemplo: Determinar a imagem do vetor v = (,, ) pela rotação de θ = π em torno do eio dos. Resolução: T π (,, ) = (.cosπ.senπ,,.senπ +.cosθ ) = (cosπ,, senπ ) = (,, ) T π (,, ) = (.cosπ.senπ,,.senπ +.cosθ ) = (,, ) T π (,, ) = (.cosπ.senπ,,.senπ +.cosθ ) =( senπ,, cosπ )=(,, ) Então, [ T ] = π (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, [(,, )] = Portanto: [T π (,, )] =[ T ].[(,, )] = π. =

51 4 v O α π O Tθ (v) Figura Operador Rotação no R em torno do eio dos..8. Definição: Um Operador Rotação no espaço em torno do eio dos é um operador linear Tθ : R R da forma Tθ (,, ) = ( cosθ senθ, senθ + cosθ, ), θ real e fiado, Esse operador também pode ser representado por sua matri na base canônica: Aplicando os vetores da base canônica do R ao operador Tθ, tem-se: Tθ (,, ) = (.cosθ.senθ,.senθ +.cosθ, ) = (cosθ, senθ, ) Tθ (,, ) = (.cosθ.senθ,.senθ +.cosθ, ) = ( senθ, cosθ, ) Tθ (,, ) = (.cosθ.senθ,.senθ +.cosθ, ) = (,, ) é: Então, a matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador Tθ

52 44 [ T θ] = cosθ senθ senθ cosθ Escrevendo o vetor (,, ) como combinação linear dos vetores da base canônica dor, teremos: (,, ) = (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) Assim, a matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica do R é: [(,, )] = Portanto, a matri da aplicação do vetor (,, ) ao operador Tθ em relação à base canônica do R é dada pelo produto da matri da aplicação dos vetores da base canônica do R ao operador Tθ pela matri da combinação linear do vetor (,, ) em relação aos vetores da base canônica dor : [Tθ (,, )] = [ θ] cosθ T.[(,, )] = senθ senθ cosθ. O θ Tθ (v) v α O Figura..8

53 Para conferir se T representa a rotação de um ângulo θ em torno do eio dos, observemos o seguinte: a) T gira de θ, em torno da origem O, os pontos do plano = (plano O ), pois: T(,, ) = ( cosθ senθ, senθ + cosθ, ) e: b) T não altera os pontos do eio dos, pois: T(,, ) = (,, ) Eemplo: Determinar a imagem do vetor v = (,, 4) pela rotação de θ = π em torno do eio dos. Resolução: T π π π π π (,, ) = (.cos.sen,.sen +.cos, ) = = (cos π, sen π, ) = (,, ) Então, T T π π π π π (,, ) = (.cos.sen,.sen +.cos, ) = = ( sen π, cos π, ) = (,, ) π π π π π (,, ) = (.cos.sen,.sen +.cos, ) = (,, ) T π = (,, 4) = (,, ) + (,, ) + 4(,, ) = (,, 4)

54 46 Assim, [(,, 4)] = 4 Portanto: [T π (,, 4)] = π T.[(,, 4)] =. 4 = 4 O 4 π Tθ (v) α v O Figura..9 Observação: Nos itens..,..5 e..8 o ângulo θ corresponde ao ângulo central cujos lados interceptam, na circunferência de centro O, um arco de medida θ. Esse ângulo θ não é o ângulo α formado pelos vetores v e Tθ (v), mas sim, o ângulo descrito pelo vetor v na rotação em torno da origem.

55 47 n... Teorema: Se T é um operador linear no R ortogonal tal que o n determinante de [T] can é igual a, então T é uma rotação no R. ([], pg. 57 e 58) Demonstração: Faremos a demonstração para n =. Como can é n uma base ortonormal do R e T é um operador ortogonal, então a matri [T] can = a b c d é uma matri ortogonal. Logo, [T] t. [T] = I a c b d a c. b d = a² + b² ac+ bd ac+ bd c² + d ² = a² + b² = (I) c² + d² = (II) ac + bd = (III) ac + bd = < (a, b), (c, d) > = (comprovado na equação III). < (a, b), (a, b) > = a ² + b² = = (com base na equação I) < (c, d), (c, d) > = c ² + d² = = (com base na equação II) Com base no sistema concluímos que os vetores (a, b) e (c, d) são unitários e ortogonais entre si. Portanto, usando trigonometria, eiste um ângulo θ tal que cosθ = a e senθ = b e (c, d) = ±(senθ, cosθ ), isto é, o vetor (c, d) que é a segunda coluna da matri [T] can é igual a menos um ou mais um vees senθ e cosθ. Logo a matri de T em relação à base B pode ter duas formas: [T] B = cosθ senθ senθ cosθ cosθ senθ ou [T] B = senθ cosθ

56 mas por outra hipótese o determinante da matri deve ser igual a, sobrando assim uma única alternativa para a matri [T] B que é dada por cos e sen como na matri rotação: 48 [T] B = cosθ senθ senθ cosθ pois neste caso teremos: det([t] B ) = cos²θ + sen²θ =

57 . Imagem de Triângulos pelos Operadores Homotetia e Rotação no R e R. A imagem de figuras geométricas por operadores lineares é importante na computação gráfica, por eemplo em programas tipo CAD. Daremos alguns eemplos somente para ilustrar geometricamente, mais adiante daremos eemplos numéricos... Eemplo: Imagem de uma figura do R obtida pelo operador homotetia. T: V V, v v O O Figura... Eemplo: Imagem de uma figura do R obtida pelo operador rotação. T O O Figura.

58 5.. Imagem de triângulos pelo Operador Homotetia no R e... Proposição: No espaço vetorial R, o operador homotetia leva triângulo em triângulo, cujos ângulos internos dos triângulos são congruentes e as medidas dos lados são multiplicadas pelo fator k. Demonstração: Seja o triângulo ABC formado pelos vértices A( A, A ), B( B, B ) e C( C, C ), no R. A sua imagem obtida pelo operador homotetia T(, ) = k(, ), k R, é: Aplicando os pontos A, B e C ao operador T, tem-se: T(A) = T( A, A ) = k( A, A ) = (k A, k A ) T(B) = T( B, B ) = k( B, B ) = (k B, k B ) T(C) = T( C, C ) = k( C, C ) = (k C, k C ) Assim, graficamente teremos: R ABC k C T(C) C C T γ A T(A) λ δ = A B A α β B k A = k B θ T( ABC) T(B) O A C B O k A k C k B Figura.. Observe que a medida do lado AB, representada por d AB, é igual à medida do lado T ( A) T ( B), representado por d T(A)T(B), dividido por k, ou seja, d AB = d T ( A) T ( B) k.

59 5 De fato, (I) d T ( A) T ( B) k = ( k k )² + ( k k )² B A B A k = = ( k² B k³ AB k² A) ( k² B k³ AB k² A) k = = k k + + k k + ²( B B A A) ²( B B A A) k = = k²( )² + k²( )² B A B A k = k²[( )² + ( )²]² B A B A k = = k ( )² + ( )² B A B A k = ( )² + ( )² = d AB. B A B A Pode-se trabalhar analogamente, dois a dois, para se demonstrar que a medida do lado BC, representada por d BC, é igual à medida do lado T ( B) T ( C), representado por d T(B)T(C), dividido por k, e que a medida do lado AC, representada por d AC, é igual à medida do lado T ( A) T ( C), representado por d T(A)T(C), dividido por k. Para determinação do cosλ, sendo λ o ângulo formado pelos segmentos T ( A) T ( B) e T ( A) T ( C), aplicaremos a lei dos cossenos. Assim: (d T(B)T(C) )² = (d T(A)T(B) )² + (d T(A)T(C) )².(d T(A)T(B) ).(d T(A)T(C) ).cosλ ou, colocando-se a equação acima em função de cosλ : (II) cosλ = ( d T ( B) T ( C) ) ² ( d ( dt ( T ( A) T A) T ( B) ( B) ) ² ( d )( dt ( A) T ( T ( A) T ( C) ) C) ) ² = ( ( kc kb )² + ( kc kb )²)² ( ( kb ka)² + ( kb ka)²)² ( ( kc ka)² + ( kc ka)²)² = = ( ( k k )² + ( k k )²)( ( k k )² + ( k k )²) B A B A C A C A ( k²[( C B)² + ( C B)²])² ( k²[( B A)² + ( B A)²])² ( k²( C A)² + ( C A)²])² = = ( k²[( )² + ( )²])( k²[( )² + ( )²]) B A B A C A C A ( k [( C B)² + ( C B)²])² ( k [( B A)² + ( B A)²])² ( k ( C A)² + ( C A)²])² = = ( k [( )² + ( )²])( k [( )² + ( )²]) B A B A C A C A

60 k²( [( C B)² + ( C B)²])² k²( [( B A)² + ( B A)²])² k²( ( C A)² + ( C A)²])² = = k²( [( )² + ( )²])( [( )² + ( )²]) B A B A C A C A k²[( [( C B)² + ( C B)²])² ( [( B A)² + ( B A)²])² ( ( C A)² + ( C A)²])²] = = k²( [( )² + ( )²])( [( )² + ( )²]) B A B A C A C A ( [( C B)² + ( C B)²])² ( [( B A)² + ( B A)²])² ( ( C A)² + ( C A)²])² = = ( [( )² + ( )²])( [( )² + ( )²]) B A B A C A C A 5 = ( d BC )² ( d ( d AB AB )² ( d )( dac) AC Logo, λ α. )² = cosα. De forma análoga se demonstra que θ γ e δ β. Observação: Por similaridade se demonstra esta proposição no R.... Eemplo: Dado o triângulo ABC, de vértices A(, ), B(, ) e C(, ). Determinar sua imagem pelo operador T: R R tal que T(, ) = (, ). Resolução: Aplicando os pontos A, B e C ao operador T, tem-se: T(A) = T(, ) = (, ) = (, ) T(B) = T(, ) = (, ) = (6, ) T(C) = T(, ) = (, ) = (4, 6) Assim, graficamente teremos:

61 5 T(C) 6 ABC θ T( ABC) C γ T T(A) λ δ A α β B T(B) O O 4 6 Observações: α λ, β δ e γ θ ; Figura.. AB T ( A) T ( B) = BC T ( B) T ( C) = AC. T ( A) T ( C)... Eemplo: Dado o triângulo DEF, de vértices D(,, ), E(,, ) e F(,, ). Determinar sua imagem pelo operador T: R R tal que T(,, ) = (,, ). Resolução: Aplicando os pontos D, E e F ao operador T, tem-se: T(D) = T(,, ) = (,, ) = (6, 6, ) T(E) = T(5,, ) = (5,, ) = (5, 6, ) T(F) = T(, 5, ) = (, 5, ) = (9, 5, 6) Assim, graficamente teremos:

62 54 5 F γ A α β C O 5 5 T(F) θ 6 T(D) λ δ T(E) O Figura..

63 55 Observações: α λ, β δ e γ θ ; DE T ( D) T ( E) = EF T ( E) T ( F) = DF. T ( D) T ( F).4. Imagem de triângulos pelo Operador Rotação no R e.4.. Proposição: No operador rotação, considerando-se o espaço vetorial R, o triângulo obtido como imagem é congruente ao triângulo submetido à transformação, conservando os ângulos internos e as medidas dos lados. Demonstração: Seja o triângulo ABC formado pelos vértices A( A, A ), B( B, B ) e C( C, C ), no R. A sua imagem obtida pelo operador rotação Tθ (, ) = ( cosθ senθ, senθ + cosθ ) é: R (I) T (, ) = ( cos - sen, sen + cos ) = θ = ( cos θ - sen θ, sen θ + cos θ ). ( cos θ - sen θ, sen θ + cos θ ) = = ( cos θ - sen θ )² + ( sen θ + cos θ )² = = ²cos² θ - cos θ. sen θ+ ²sen² θ + ²sen² θ+ sen θ. cos θ+ ²cos² θ = = ²(sen² θ+ cos² θ ) + ²(sen² θ+ cos² θ )- sen θ. cos θ + sen θ. cos θ = = ². + ². = ² + ² = (, ).(, ) = (, ) Logo, o operador T fa com que todos os pontos do triângulo sejam rotacionados em um ângulo θ, mas conserva seus módulos, o que garante a igualdade das medidas dos lados correspondentes. (II) cosλ = Por (I) sabe-se que: ( d Tθ ( B) T θ ( C) ) ² ( d ( dtθ ( A Tθ ( A) T ) Tθ ( B) θ ( B) ) ² ( d )( dtθ ( A) Tθ ( Tθ ( A) Tθ ( C) ) C) ) ² = d Tθ ( A) Tθ( B) = d AB

64 56 d Tθ ( B) Tθ( C) = d BC d Tθ ( A) Tθ( C) = d AC Então, cosλ = ( d Tθ ( B) T θ ( C) )² ( d ( dtθ ( A Tθ ( A) T ) Tθ ( B) θ ( B) )² ( d )( dtθ ( A) Tθ ( Tθ ( A) Tθ ( C) ) C) )² = ( d BC )² ( d ( d AB AB )² ( d )( dac) AC )² = = ( d BC )² ( d ( d AB AB )² ( d )( dac) AC )² = cosα. Logo, λ α. De forma análoga se demonstra que θ γ e δ β. Observação: Por similaridade se demonstra esta proposição no R. Resolução:.4.. Eemplo: Dado o triângulo ABC, de vértices A(, ), B(4, ) e C(, 4). Determinar sua imagem pelo operador T: R R tal que T 9 (, ) = ( cos 9 sen 9, sen 9 + cos 9 ). Aplicando os pontos A, B e C ao operador T, tem-se: T 9 (A) = T 9 (, ) = (cos 9 sen 9, sen 9 + cos 9 ) = = (..,. +.) = (, ) T 9 (B) = T 9 (4, ) = (4cos 9 sen 9, 4sen 9 + cos9 ) = = (4.., 4. +.) = (, 4) T 9 (C) = T 9 (, 4) = (cos9 4sen 9, sen 9 + 4cos 9 ) = = (. 4.,. + 4.) = ( 4, )

65 57 Assim, graficamente teremos: C T 9 (B) 4 γ δ 4 θ T 9 (C) A α β B T 9 λ T 9 (A) O 4 4 O Figura.4. Observações: α λ, β δ e γ θ ; AB = T 9 (A)T 9 (B), BC = T 9 (B)T 9 (C) E AC = T 9 (A)T 9 (C). Resolução:.4.. Eemplo: Dado o triângulo DEF, de vértices D(,, ), B(6,, 5) e C(4,, ). Determinar sua imagem pelo operador T: R R tal que T 8 (,, )=( cos8 sen8, sen8 + cos8, ), em torno do eio das cotas. Aplicando os pontos D, E e F ao operador T, tem-se: T 8 (D) = T 8 (,, ) = (cos8 sen8, sen8 + + cos8, ) = (.( ).,. +.( ), ) = (,, ) T 8 (E) = T 8 (, 4, 5) = (cos8 4sen8, sen cos8, 5) = (.( ) 4.,. + 4.( ), 5) = (, 4, 5) T 8 (F) = T 8 (4, 7, ) = (4cos8 7sen8, 4sen cos8, ) = (4.( ) 7., ( ), ) = ( 4, 7, )

66 58 Assim, graficamente teremos: 7 F γ 4 α β E D 5 O 4 4 O 5 T 8 D λ T 8 E δ 4 θ T 8 F 7 Figura.4. Observações: α λ, β δ e γ θ ; DE = T 8 (D)T 8 (E), EF = T 8 (E)T 8 (F) E DF = T 8 (D)T 8 (F). Analogamente se obtém imagens de triângulos pelo operador rotação no R em torno dos eios das abscissas e das ordenadas.

67 . Conclusão R e Neste trabalho estudamos um pouco sobre operadores homotetia e rotação no R e imagens de triângulos por estes operadores. Tínhamos como objetivo reunir algumas das principais características destes operadores e de sua aplicação em triângulos. Começamos caracteriando o operador homotetia de raão k (dilatação ou contração) no no R e no R, em seguida tratamos do operador rotação, também no R e R e, ainda, demonstramos a imagem destes operadores em triângulos. Definimos cada operador e eemplificamos cada um dos casos particulares em relação aos dois espaços, R e graficamente. R, sendo representados pelas transformações, por matries e Este trabalho nos permitiu descrever de uma forma bem simples, utiliando-se de uma linguagem técnica, mas de fácil compreensão e bem objetiva, permitindo que todos os interessados pelo estudo destes operadores possam usá-la como fonte de pesquisa, principalmente alunos graduandos em Matemática. As várias representações utiliadas nos eemplos - transformação, matries e gráficos - permitem uma visão geral da aplicação destes operadores em vetores e triângulos. Como trabalho futuro, pretendemos ampliar este trabalho estudando a utiliação destes operadores em programas computacionais, como o CAD e o Cabrigéomètre II.

68 4. Referências Bibliográficas [] BOLDRINI, Costa e FIGUEIREDO, Wetler, Álgebra Linear, a edição, Harbra, São Paulo, 98. [] CALLIOLI, Carlos A, DOMINGUES Hgino H. e COSTA, Roberto C. F, Álgebra Linear e Aplicações, 6a edição reformulada, Atual, São Paulo, 99. [] STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo, Álgebra Linear, a edição, Pearson Makron Books, São Paulo, 987.