Representação de vetores

Transcrição

1 UL PSSD Representação de vetores Modo Gráfico: Segmento de reta orientado com a mesma direção e sentido qe o vetor considerado e cjo comprimento é proporcional à magnitde do mesmo. Modo escrito: Letras maiúsclas o minúsclas em negrito:,, C, a, b, c Módlo o magnitde de m vetor é representado por: O letras em itálico com ma flecha em cima: C a b c,, C, a, b, c,, o C, a, b, c

2 UL PSSD Soma de vetores C Calclando o módlo da soma de dois vetores senθ θ ( C ) ( D) ( DC ) cosθ D D D cosθ DC senθ ( cosθ ) ( senθ ) cosθ cos θ sen θ cosθ (cos θ sen θ ) cosθ

3 UL PSSD Soma de vetores C Calclando a direção do vetor resltante E β senθ α θ cosθ D CD C senα C senθ senα senθ o senθ senα da mesma forma senα sen β sen β senα jntando as eqações: senθ sen β senα

4 UL PSSD Diferença entre dois vetores θ D - - π-θ D D cos( π θ ) (cosπ cosθ senπ senθ ) D cosθ

5 UL PSSD Componentes de m etor Qalqer vetor pode ser considerado como o resltado da soma de dois o mais vetores. s sas componentes ortogonais e são mtamente perpendiclares. Y No plano C 0 X θ Sege qe φ

6 etor posição UL PSSD Um caso particlarmente importante é o do vetor-posição r de m ponto de P de coordenadas (,, ). O vetor-posição relativo de dois pontos P e P é O seja,

7 Física Geral Prodto de etores

8 Prodto de m etor e m escalar Se temos dois vetores paralelos podemos representá-los como: ' e ' ' sendo e chamando λ ' λ '

9 Prodto Escalar 0 e É ma grandea escalar representada por (Leia -se escalar.) O valor é definido por cosθ ssim, o prodto escalar entre os vetores nitários ortogonais é: θ

10 Prodto Escalar cosθ Propriedade distribtiva em relação à soma: ( C ) C Usando as componentes ortogonais: Notando qe ( ) ( ) como visto anteriormente.

11 Prodto Escalar Também, mostra-se facilmente qe o módlo da soma, Isto é válido para a soma de qalqer número de vetores Nesse caso ( ) ( ) cosθ i i... 3 ( ) vetores todos pares todos j i i

12 Prodto Escalar cosθ

13 Prodto Escalar

14 Prodto etorial representação é dada por (leia-se vetor ). É m vetor perpendiclar ao plano formado por e sen θ e

15 Prodto etorial O módlo do prodto vetorial é igal à área do paralelogramo formado pelos dois vetores. ( sen θ)h

16 Prodto etorial Propriedade distribtiva em relação à soma: O prodto entre os vetores ortogonais nitários é: ( ) C C 0,,, sen θ

17 Prodto etorial Escrevendo o prodto vetorial em termos das componentes ortogonais, temos ( ) ( ) o ( ) ( ) ( ) Podendo ser representado também pelo determinante ( ) ( ) ( )

18 Prodto etorial

19 Prodto etorial

20 Prodto etorial

21 Área - Representação etorial Consideremos ma sperfície plana S. Convenciona-se representá-la por m vetor, cjo módlo é igal à área da sperfície e cja direção é perpendiclar à sperfície.

22 Área - Representação etorial Sponhamos qe a sperfície faça m ângloθcom o plano XY. projeção de S sobre o plano XY é S cosθ. Mas a normal com o plano também fa o mesmo ânglo com o eio Z. Logo, também S Z S cosθ. s componentes do vetor S são igais às projeções da sperfície sobre os três planos coordenados.

23 Área - Representação etorial Se a sperfície não é plana, pode sempre ser dividida em m grande número de áreas mito peqenas, cada ma representada por m vetor. S S S S 4... i S i Porém, S i Si O seja, o módlo do vetor S não é igal à área da sperfície. Mas as sas componentes são igais às projeções da área sobre os três planos coordenados.

24 Área - Representação etorial Eemplo: Sponha m terreno composto de ma área de horiontal S e otra inclinada S. área tiliável para a lavora é S S. Mas spondo qe o terreno seja tiliado para a constrção de m prédio, apenas a projeção horiontal interessa. O seja a área de interesse é S S cosθ. O vetor S S possi módlo igal a S S S S SS cosθ qe é menor qe S S. Mas a sa componente Z é igal a S S cosθ, qe concorda com a projeção das sperfícies no plano XY.

25 Área - Representação etorial Consideremos ma sperfície fechada. Dividamo-la em várias sperfícies planas, cada ma representada por m vetor S i no sentido eterno. Podemos sempre agrpar as peqenas áreas em pares cjas projeções somadas resltam em ero. O seja, S a e S -a Somado todo o conjnto desses pares obtém-se S Σ i S i 0. Com esse mesmo argmento, vemos qe o mesmo resltado vale para as otras das componentes ( e ). Portanto, o vetor qe representa ma sperfície fechada é ero.