SEGUNDA PROVA. Segunda prova: 11/maio, sábado, 08:00 ou 10:00 horas. Capítulo 3: Vetores, produto escalar, produto vetorial.

Transcrição

1 SEGUNDA PROVA Segunda prova: 11/maio, sábado, 08:00 ou 10:00 horas. Capítulo 3: Vetores, produto escalar, produto vetorial. Capítulo 4: Retas e Planos no espaço. Ângulos e distâncias.

2 VETORES

3 Operações com vetores SOMA: regra do paralelogramo

4 Operações com vetores SOMA: regra do paralelogramo

5 Operações com vetores SOMA: regra do paralelogramo Na figura, vemos que a soma de vetores é comutativa: V + W = W + V

6 Operações com vetores A soma de vetores também é associativa (V + W ) + U = V + (W + U)

7 Operações com vetores A soma de vetores também é associativa (V + W ) + U = V + (W + U)

8 Operações com vetores O vetor nulo 0 é o vetor representado por um ponto. Ele tem mesmo ponto inicial e mesmo ponto final. Ele é o elemento neutro da soma:

9 Operações com vetores O vetor nulo 0 é o vetor representado por um ponto. Ele tem mesmo ponto inicial e mesmo ponto final. Ele é o elemento neutro da soma: V + 0 = V para todo vetor V.

10 Operações com vetores O vetor nulo 0 é o vetor representado por um ponto. Ele tem mesmo ponto inicial e mesmo ponto final. Ele é o elemento neutro da soma: V + 0 = V para todo vetor V. Dado um vetor V, o simétrico de V é o vetor V que tem sentido contrário ao de V.

11 Operações com vetores O vetor nulo 0 é o vetor representado por um ponto. Ele tem mesmo ponto inicial e mesmo ponto final. Ele é o elemento neutro da soma: V + 0 = V para todo vetor V. Dado um vetor V, o simétrico de V é o vetor V que tem sentido contrário ao de V. V + ( V ) = 0

12 Operações com vetores DIFERENÇA:

13 Operações com vetores DIFERENÇA: V W = V + ( W )

14 Operações com vetores DIFERENÇA: V W = V + ( W )

15 Operações com vetores Dadois dois vetores V e W, as diagonais do paralelogramo gerado por eles são a soma e a diferença.

16 Operações com vetores Dadois dois vetores V e W, as diagonais do paralelogramo gerado por eles são a soma e a diferença.

17 Operações com vetores Multiplicação por escalar

18 Operações com vetores Multiplicação por escalar

19 Operações com vetores Multiplicação por escalar Se dois vetores são múltiplos escalares um do outro, então eles são representados por segmentos orientados paralelos.

20 Operações com vetores Multiplicação por escalar Se dois vetores são múltiplos escalares um do outro, então eles são representados por segmentos orientados paralelos. Reciprocamente,

21 Operações com vetores Multiplicação por escalar Se dois vetores são múltiplos escalares um do outro, então eles são representados por segmentos orientados paralelos. Reciprocamente, Se dois vetores são representados por segmentos orientados paralelos, então um vetor é um múltiplo escalar do outro.

22 Exemplo 1 Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo e tem a metade do comprimento do terceiro lado.

23 Exemplo 2 Mostre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.

24 Vetores em coordenadas

25 Vetores em coordenadas

26 Vetores em coordenadas Por definição, as coordenadas de um vetor são as coordenadas do ponto final do seu representante com ponto inicial na origem.

27 Vetores em coordenadas Por definição, as coordenadas de um vetor são as coordenadas do ponto final do seu representante com ponto inicial na origem. Isso é muito importante.

28 Vetores em coordenadas Por definição, as coordenadas de um vetor são as coordenadas do ponto final do seu representante com ponto inicial na origem. Isso é muito importante. Para pegar as coordenadas, o vetor sai da origem!!!

29 Operações de vetores em coordenadas

30 Operações de vetores em coordenadas Se V = (v 1, v 2 ) e W = (w 1, w 2 ) então V + W = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) e αv = (αv 1, αv 2 )

31 Operações de vetores em coordenadas Se V = (v 1, v 2 ) e W = (w 1, w 2 ) então V + W = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) e αv = (αv 1, αv 2 )

32 O vetor que liga dois pontos no plano Dados dois pontos P e Q no plano, determinar as coordenadas do vetor V = PQ

33 O vetor que liga dois pontos no plano Dados dois pontos P e Q no plano, determinar as coordenadas do vetor V = PQ

34 O vetor que liga dois pontos no plano Dados dois pontos P e Q no plano, determinar as coordenadas do vetor V = PQ Interprete geometricamente para P = (2, 5), Q = (4, 1) e PQ = (2, 4).

35 Exercícios: 1. Os pontos P = (3, 7), Q = (5, 11) e R = (7, 16) são colineares? 2. Considere os pontos A = (2, 1) e B = (5, 5). Determine as coordenadas dos pontos C e D que dividem o segmento AB em três partes iguais. 3. Dados os pontos A e B determine o ponto médio M do segmento AB. 4. Dados os pontos A = (1, 2), B = ( 5, 2) e C = (4, 0), determine o ponto D tal que ABCD sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.

36 Propriedades das operações de vetores

37 Propriedades das operações de vetores São as mais naturais possíveis, graças a Deus.

38 Propriedades das operações de vetores São as mais naturais possíveis, graças a Deus. Leia na apostila.