UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS RODRIGO SILVA DE SOUZA FRACTAIS GEOMÉTRICOS Alfenas 2010

2 Rodrigo Silva de Souza Fractais Geométricos Trabalho de Conclusão de Curso apresentado a Universidade Federal de Alfenas, como parte dos requisitos para obtenção do título de Licenciado em Matemática. Orientadora Prof a. Dr a. Andréa Cardoso Universidade Federal de ALfenas Alfenas 2010

3 Rodrigo Silva de Souza Fractais Geométricos A banca examinadora abaixo-assinada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como parte dos requisitos para obtenção do Certificado de Conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal de Alfenas. Aprovado em: de de Prof a. Dr a. Andréa Cardoso Orientadora Prof. Dr. Evandro Monteiro Universidade Federal de Alfenas Prof. Dr. Aldício José Miranda Universidade Federal de Alfenas Prof. Dr. José Paulo Carvalho dos Santos (Suplente) Universidade Federal de Alfenas

4 Resumo A observação da complexidade e irregularidades encontradas nas formas da natureza levaram ao surgimento de uma nova Geometria, distinta da clássica Geometria Euclidiana, denominada Geometria Fractal ou Geometria da Natureza. A Geometria Fractal apresenta caráter interdisciplinar por permitir inúmeras aplicações em diversas áreas da Ciência, além de rara beleza plástica. As figuras fractais podem ser geradas por processos distintos, regidos por princípios matemáticos diversificados, sendo assim há uma enorme variedade de fractais, este trabalho concentra-se no estudo dos fractais geométricos, que são em geral regidos por regras simples de substituição geométrica. Fractais apresentam características de homotetia interna ou auto-similaridade, isto é, uma pequena parcela da figura é semelhante ao todo. Também é possível definir outras formas para determinar a dimensão de uma figura fractal que, em geral, assume valor fracionário enquanto a dimensão topológica de formas geométricas clássicas são números inteiros. Os objetivos do presente trabalho foram, primeiramente definir formalmente Fractal com base em conceitos topológicos, para em seguida reconstruir, utilizando a linguagem de programação LOGO, fractais bidimensionais famosos como o conjunto de Cantor e a curva de Koch, e fractais tridimensionais, como exemplo a esponja de Menger, para finalmente calcular a dimensão destes fractais. Os algoritmos para gerar as imagens fractais foram desenvolvidos e implementados utilizando o aplicativo SuperLOGO 3.0. Apesar de ser fundamentada em teorias matemáticas avançadas, a teoria dos Fractais possuem diversas aplicações que podem ser utilizadas no ensino, visto que a compreensão da Teoria Fractal possibilita uma nova visão da natureza e dos objetos que nos cercam. Palavras chave: Geometria Fractal. Fractais geométricos. LOGO (Linguagem de programação de computador).

5 Abstract The complexity and irregularities of natural forms led to arise of a new Geometry, distinct from the classical Euclidean Geometry, called Fractal Geometry or Geometry of Nature. The Fractal Geometry can be applied to various problems in many fields of science, further presents beauty and unique geometric shape. The fractals can be generated by different processes governed for diverse mathematical principles, so there are a huge variety of fractals, this work focuses on the geometric fractals study which are generated by simple rules of geometric replace. Internal homothety or self-similarity are fractals features, this is, a figure small piece are similar to whole figure. It is possible to define other ways to determine the fractal dimension, which usually takes fractional value while the topological dimension of classical geometric shapes are integers. The goals of this work were first define formally Fractals based on topological concepts, second reconstruct famous two and three-dimensional fractals for example the Cantor set, Koch curve and Menger sponge, using the LOGO programming language, finally estimate the fractals dimension of these sets. The algorithms to generate fractal images were developed using the software SuperLogo 3.0. The fractals theory has several applications that can be adapted for math teaching in high school, although based on advanced mathematical theories, since the knowledge of fractal theory provides a new view of nature and the objects that surround us. Key words: Fractal Geometry. Geometric fractals. LOGO (Computer programming language).

6 Sumário Introdução 6 1 Estado da Arte 8 2 Teoria Preliminar Conceitos Topológicos Espaço de Hausdorff Transformações num Espaço Métrico Funções de contração no Espaço dos Fractais H(X) Fractais Recursos Computacionais O ambiente LOGO Processos Recursivos Geogebra Construindo Fractais geométricos O conjunto de Cantor A Curva de Koch Ilha de Koch O triângulo de Sierpinski O Jogo do Caos O tapete de Sierpinski Fractais no Espaço

7 Tetraedro de Sierpinski Esponja de Menger Dimensão Fractal Dimensão de Homotetia ou de Auto-similaridade Determinando a Dimensão de alguns Fractais Geométricos Considerações Finais 68 Referências Bibliográficas 69 Bibliografia Consultada 70

8 6 Introdução Há na constituição das formas da natureza irregularidades impossíveis de serem simplificadas empregando formas usuais da clássica geometria euclidiana. Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, cristais, a trajetória das gotículas de água quando penetram a terra, enfim uma infinidade de fenômenos na natureza que não podem ser descritos por pontos, retas e polígonos. Algumas das formas encontradas na natureza são tão irregulares e fragmentadas, que técnicas baseadas na geometria euclidiana tem se mostrado insuficiente para identificar a complexidade de fatores que influenciam em sua forma geométrica. No século XX, alguns cientistas como Poincaré, Koch, Hausdorff e Julia, entre outros descreveram formas geométricas que não podem ser descritas pela geometria euclidiana (Boyer, 1974). Estes pesquisadores foram visionários que publicaram diversos trabalhos, mas não puderam convencer a comunidade científica e os objetos de seus estudos foram classificados como patologias geométricas. A percepção de tais formas levou matemáticos a estudá-las sob aspectos que Euclides não alcançou, Benoit Mandelbrot utilizando algoritmos numéricos simples pode visualizar as formas geométricas patológicas anteriormente descritas pelos pioneiros pesquisadores, e assim concebeu e desenvolveu a denominada Geometria da Natureza para descrever formas irregulares e complexas, também implementou seu uso em um número diverso de aplicações. A partir desta teoria descreveu vários dos irregulares e fragmentados modelos que encontramos em nossa volta através da família de formas que chamou Fractais, referindo-se às características naturais dos objetos que parecem fragmentados, irregulares e complexos. Em suma, objetos fractais se caracterizam pela auto-similaridade infinita, sua aparência é semelhante qualquer que seja a escala espacial em que é observado e segundo o próprio Mandelbrot A geometria dos fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas também uma forma de ajudar os homens a verem o mesmo velho mundo diferente. Os objetivos do presente trabalho foram, primeiramente obter uma definição formal para Fractal com base nos conceitos Topológicos que fundamentam esta teoria, reconstruir,

9 7 utilizando recursos computacionais adequados, Fractais bidimensionais e tridimensionais, analisando as características principais de cada um e por fim determinar a dimensão Fractal de cada um daqueles que foram estudados. Num primeiro momento foi necessário compreender os conceitos topológicos e as teorias matemáticas que fundamentam a Teoria dos Fractais, foram estudados os conceitos básicos de Espaços Métricos para obter as ferramentas necessárias para caracterizar o Espaço de Hausdorff, espaço este onde se encontram os fractais. Estes resultados estudados serão apresentados no terceiro capítulo. Fractais podem ser classificados como determinísticos, ou geométricos, e não determinísticos, ou aleatórios. Um estudo aprofundado sobre os Fractais seria de caráter enciclopédico o que leva a maioria dos autores a limitar seu trabalho a alguns tipos de Fractais. Neste trabalho o estudo se concentra nos Fractais geométricos, O quarto capítulo, intitulado Fractais, apresenta os Fractais que foram estudados, tais como o conjunto de Cantor, a curva de Koch, o triângulo de Sierpinski, dentre outros. Foram analisados as características principais destes Fractais e utilizou-se os softwares SuperLOGO 3.0, versão em português desenvolvido e disponibilizado pelo Núcleo de Informática Aplicada à Educação (NIED) da Unicamp, e o Geogebra, aplicativo de código livre de Geometria dinâmica, para construir as imagens Fractais. O quinto capítulo é dedicado ao estudo da dimensão Fractal, que é uma das mais intrigantes características destes entes geométricos, esta pode assumir valores fracionários e difere da clássica dimensão euclidiana, ou dimensão Topológica. Foram estudados os métodos para determinar a dimensão Fractal e calculados a dimensão de cada um dos Fractais discutidos. Enfim, os Fractais constituem umas das mais impressionantes descobertas matemáticas. Apesar de seu recente surgimento, esta teoria encontra-se bem avançada e podemos encontrar diversas aplicações em vários ramos da Ciência.

10 8 1 Estado da Arte A primeira publicação da teoria dos fractais data de 1975 de autoria do matemático Benoit Mandelbrot. Informalmente, fractais são estruturas que apresentam irregularidades e fragmentação em uma faixa de escala muito ampla, aparentemente infinita, como as encontradas em tecidos animais e vegetais. Em suma, um fractal é uma forma cujas partes são réplicas do todo sob algum aspecto. Fractais são objetos matemáticos gerados por meio da iteração infinita de um processo perfeitamente definido (GUZMÁN, 1993). A fórmula matemática pode ser simples porém, devido à aplicação iterativa, tem como resultado uma forma complexa e geralmente de rara beleza. Formalmente define-se fractal como sendo um subconjunto F do espaço R 2 cuja dimensão de Hausdorff (DH) excede estritamente a sua dimensão topológica (DT). Falconer (1990) propõe uma definição menos rigorosa, em termos das características das construções ou conjuntos denominados fractais, define que um conjunto é considerado um fractal se satisfaz pelo menos algumas das seguintes características: Possui detalhes em qualquer escala; É localmente ou globalmente muito irregular para ser descrito em linguagem geométrica tradicional; É exatamente, aproximadamente ou estatisticamente auto-similar; Possui dimensão fractal maior do que a dimensão topológica; e Pode ser definido por um algoritmo recursivo simples. Para exemplificar, o conjunto de Cantor e as curvas de Peano, Hilbert e Koch possuem características fractais como auto-semelhança, estrutura fina, de fácil construção geométrica e difícil descrição matemática por uma função analítica simples.

11 9 A dimensão fractal quantifica o grau de irregularidade ou de fragmentação de um conjunto geométrico, de uma figura ou de um objeto natural e que pode assumir em circunstâncias especiais, no caso dos objetos da geometria clássica de Euclides, a suas dimensões usuais inteiras (MANDELBROT, 1991). Assim a dimensão fractal pode ser um número fracionário, diferentemente da dimensão euclidiana. Segundo Serra e Karas (1997) a dimensão fractal de um conjunto pode ser calculada através dos seguintes métodos: Dimensão de Homotetia ou de auto-similaridade; Dimensão de contagem de caixas ou de cobertura; Dimensão de Hausdorff-Besicovitch. Tais métodos expressam algo diferente da dimensão topológica, eles envolvem o conceito de espaço ocupado ou preenchido por uma figura geométrica. Barnsley (1988) trata a Geometria Fractal com grande rigor matemático, enunciando diversas definições e teoremas com o objetivo de melhor caracterizar o tema, em sua obra caracterizou os fractais como subconjuntos de um espaço métrico situando grande parte da análise rigorosa e formal da geometria fractal na Topologia. A Geometria Fractal está intimamente ligada à ciência do Caos. Um sistema caótico se caracteriza pela sensibilidade às condições iniciais, qualquer pequena perturbação no estado inicial do sistema pode levar a uma grande mudança no estado final. As estruturas fragmentadas, extremamente belas e complexas dessa geometria, fornecem certa ordem ao caos, razão de ser, às vezes, considerada como a sua linguagem, que busca padrões dentro de um sistema por vezes aparentemente aleatório. De acordo com Barbosa (2005), ambas, Geometria Fractal e Caos se desenvolveram principalmente pelo rápido aprimoramento das técnicas computacionais; a primeira teve e tem como poderoso propulsor o seu inegável apelo estético, daí sua entrada no domínio das artes. Fractais são geralmente figuras de grande complexidade, com detalhes que se multiplicam em suas partes mais ínfimas. À exceção de raros casos, o computador é o único instrumento capaz de construir a imagem de um fractal que se aproxime razoavelmente daquilo que o fractal realmente é. Os processos utilizados para construção de imagens fractais baseiam-se em processos geométricos, em sistemas de funções iteradas ou em sistemas dinâmicos complexos.

12 10 Um sistema dinâmico consiste de uma função que produz iterativamente um novo valor a partir do valor obtido precedentemente. Sistemas dinâmicos de funções de variáveis complexas são os mais portentosos geradores de fractais que já se desenvolveram. A forma dos fractais gerados por órbitas, pontos fixos, atratores e repulsores de sistemas dinâmicos complexos é perfeitamente determinada pela função que governa o sistema e pelo valor inicial que a variável assume. Apesar do grande acúmulo de trabalho desenvolvido no campo das iterações das funções polinomiais e racionais, e dos brilhantes sucessos que aí foram alcançados, restam algumas questões abertas ou controversas que continuam a desafiar o esforço e a argúcia dos pesquisadores (SERRA; KARAS, 1997).

13 11 2 Teoria Preliminar Na Geometria Fractal estudamos a estrutura de subconjuntos de vários espaços que possuem uma geometria simples. Um espaço é um conjunto e seus pontos são os elementos desse conjunto. Por exemplo, a reta R é um espaço e cada um de seus pontos é um número real. Por hora, Fractal será um subconjunto de um espaço, e mesmo o espaço sendo simples o subconjunto Fractal é geometricamente complicado. Os conceitos discutidos a seguir fornecem uma estrutura para compreensão dos fractais. 2.1 Conceitos Topológicos Definição Um espaço métrico (X, d) é composto por um conjunto X munido de uma métrica d : X X R satisfazendo as seguintes condições: (1) d(x, y) = d(y, x), x, y X (2) 0 d(x, y) < (3) d(x, y) = 0 x = y (4) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X. Exemplo A aplicação d : R R, dada por: d(x, y) = x y é uma métrica sobre R. De fato: (1) d(x, y) = x y = (y x) = 1 y x = y x = d(y, x) (2) 0 d(x, y) < (3) d(x, x) = x x = 0 e d(x, y) = 0 x y = 0 x = y (4) d(x, y) = x y = x z+z y = (x z)+(z y) x z + z y = d(x, z)+d(z, y)

14 12 Quando nos referir a um espaço métrico, por conveniência usaremos X ao invés de (X, d). Definição Dizemos que K X, K, é limitado, se existir M > 0 tal que, para todo x, y K, d(x, y) < M. Definição Seja X um espaço métrico, uma aplicação s definida como segue: s : N X n s(n) = x n é chamada sequência de elementos em X. Representa-se uma sequência por (x 1, x 2,..., x n,...) ou simplesmente por (x n ) n N, onde n representa o índice do elemento x. O conjunto dos termos de uma sequência é constituído por todos os elementos distintos da sequência. Definição Uma sequência é dita limitada, se existir M > 0 tal que, para todo m, n N, têm-se d(x m, x n ) < M. O conjunto dos pontos x n pertencentes a sequência é um conjunto limitado. Exemplo (1, 1, 1, 1, 1, 1,...) é uma sequência de elementos em R cujo conjunto dos termos é { 1, 1}. Definição Uma sequência que para cada n, x n < x n+1, é dita sequência crescente. Se x n x n+1, então dizemos que (x n ) é uma sequência não-decrescente. Quando x n > x n+1 ou x n x n+1, dizemos que a sequências é decrescente ou nãocrescente, respectivamente. Se (x n ) é de alguma das formas descritas acima então (x n ) é dita monótona. Definição Sejam X um espaço métrico e p X. Dado um número real ɛ > 0, chama-se bola de centro p e raio ɛ, o conjunto B(p, ɛ) dos pontos x X cuja distância do ponto p é menor do que ɛ. Ou seja: B(p, ɛ) = {x X : d(x, p) < ɛ} Definição Uma sequência (x n ) de elementos em X é dita convergente se existir p X tal que, para cada ɛ > 0, existir r N de modo que: n r ɛ d(x n, p) < ɛ

15 13 Ou seja, todo elemento da sequência a partir deste índice r fica contido na bola B(p, ɛ) O ponto p neste caso é dito limite da sequência denotado por, lim x n = p. Proposição Toda sequência monótona limitada de números reais é convergente. Demonstração. Tomemos a sequência limitada {x 1 x 2... x n...}. Seja a = sup x n, n N Suponha a = lim x n. Então, dado arbitrariamente ɛ > 0, o número a ɛ não pode ser cota superior do conjunto dos valores x n, pois é menor que a. Logo existe n 0 N tal que, a ɛ < x n0 a. Então n > n 0 a ɛ < x n0 x n a < a + ɛ a ɛ < x n < a + ɛ. Portanto, d(x x, a) < ɛ, n > n 0 Definição Uma sequência (x n ) em um espaço métrico X é chamada sequência de Cauchy se, para todo ɛ > 0, existe um índice r tal que: m, n r d(x m, x n ) < ɛ Teorema Se uma sequência de pontos (x n ) em X converge para o ponto x X, então esta é uma sequência de Cauchy. Demonstração. Supondo que (x n ) convirja para x X. Então dado ɛ 2 tal que, n > N d(x, x n ) < ɛ 2. > 0, existe N, Sejam x n e x m, dois pontos, então pela desigualdade triangular, d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ɛ. Portanto, dado ɛ > 0, se n, m > N, d(x n, x m ) < ɛ, ou seja, (x n ) é uma sequência é de Cauchy.

16 14 Teorema Seja (x n ) uma sequência de Cauchy em X. Se existir uma subsequência de (x n ) que converge para p X, então lim x n = p Demonstração. Seja (x n1, x n2,...) uma subsequência conforme o enunciado. para todo ɛ > 0, existe um índice n k tal que: Então, n i n k = d(x ni, p) < ɛ 2 Por outro lado, sendo (x n ) sequência de Cauchy, existe s tal que: m, n s = d(x m, x n ) < ɛ 2 Tomando t = max{n k, s}, existe n j > t, tal que: n t = d(x n, p) d(x n, x nj ) + d(x nj, p) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Logo, lim x n = p. Definição Um espaço métrico X é dito completo se toda sequência de Cauchy em X converge para um ponto pertencente a X. A seguinte proposição, é atribuída a Cauchy e estabelece o exemplo mais importante de espaço métrico completo. Proposição A reta é um espaço métrico completo. Demonstração. Seja (x n ) uma sequência de Cauchy em R. Tomando δ = 1 existe r tal que: m, n r = d(x m, x n ) = x m x n < 1. Em particular x m x r < 1, para todo m r. Mas x m = x m x r + x r x m x r + x r e, portanto, para todo m r x m < 1+ x r.

17 15 Seja λ = max{ x 1,..., x r 1, 1+ x r }. Então para todo n, d(x n, 0) = x n < λ. Concluímos assim que para todo n 1, x n B(0, λ). Assim existe k > 0 tal que x n < k, para todo n 1, logo para cada índice m existe y m = inf{x m, x m+1,...} Assim é claro que: y 1 y 2... y n... k. e portanto (y n ) é uma sequência convergente pela proposição lim y n = p R, vamos mostrar que (x n ) converge para p. Digamos que Dado ɛ > 0 existe s tal que: n s = y n p < ɛ 3 como (x n ) é de Cauchy, existe t de modo que: m, n t = x m x n < ɛ 3. Seja l > max{s, t}. Levando em conta que y l = inf{x l, x l+1,...}, existe j l para o qual, y l x j < y l + ɛ 3 e portanto x j y l < ɛ 3. Assim, para todo n > l, temos: x n p x n x j + x j y l + y l p < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Portanto, lim x n = p. Definição Seja K um subconjunto do espaço métrico X. Um ponto x é dito ponto de fronteira de K se para todo ɛ > 0 a bola B(x, ɛ) contém pontos de K e de seu complementar. O conjunto de todos pontos x dessa forma constitui a fronteira de K, denotada por K. Define-se fecho de K por K = K K.

18 16 Se K K, ou seja, se K possui todos seus pontos de fronteira então dizemos que K é fechado. Por definição temos K K, então se K é fechado, K = K. Definição K X é dito compacto se toda sequência (x n ) em K, contém uma subsequência com limite em K. Definição Dizemos que um subconjunto K X é totalmente limitado se, para cada ɛ > 0, existe um conjunto finito de pontos {a 1, a 2, a 3,..., a n } K tal que, sempre que x K, d(x, a i ) < ɛ, para algum a i {a 1, a 2, a 3,..., a n }. Isto é, n B(a i, ɛ) K. i=1 Chamamos o conjunto {a 1, a 2, a 3,..., a n } de ɛ rede. Para demonstrar o próximo teorema vamos precisar do chamado Princípio da casa dos pombos, o qual enunciaremos agora. Lema (Princípio da casa dos pombos) Distribuídos n + 1 pombos em n casas, haverá pelo menos uma casa que terá dois pombos. Teorema Se X é um espaço métrico completo, então K X é compacto se, e somente se, é fechado e totalmente limitado. Demonstração. Supondo inicialmente que K é fechado e totalmente limitado. Vamos mostrar que K é compacto. Seja (x i ) uma sequência em K. Como K é totalmente limitado, podemos encontrar uma coleção finita de bolas fechadas de raio unitário, tal que, K esteja contido na união dessas bolas. Pelo princípio da casa dos pombos, uma dessas bolas, por exemplo B 1, contém infinitos pontos da sequência (x n ), seja N 1 tal que x N1 B 1. Obviamente, B 1 K é totalmente limitado. Deste modo podemos cobrir B 1 K com um conjunto finito de bolas de raio 1 2. Novamente, pelo princípio da casa dos pombos, a bola B 2, contém infinitos pontos de (x n ), seja N 2 tal que x N2 B 2 e N 2 > N 1. Continuando dessa maneira, para construir uma sequência de bolas encaixantes, B 1 B 2 B 3 B 4 B 5... B n... 1 onde o raio B n é 2. Sendo assim, existe uma sequência de inteiros (N n) tal que, n 1 B n. Note que, a subsequência (x Nn ) é uma sequência de Cauchy em K. Como x Nn

19 17 K é fechado e X é um espaço métrico completo segue que K também é completo. Deste modo, (x n ) converge para algum ponto x em K que é exatamente B n. n=1 Portanto K é compacto. Reciprocamente, suponhamos que K seja compacto. Seja ɛ > 0. Suponha que não exista uma ɛ rede para K. Logo, existe uma sequência (x n ) em K com d(x i, x j ) ɛ, para todo i j. Mas essa sequência deve ter uma subsequência convergente (x n1 ). Pelo teorema esta é uma sequência de Cauchy, e assim, podemos encontrar um par de inteiros N i e N j com N i N j tal que, d(x Ni, x Nj ) < ɛ. Mas d(x Ni, x Nj ) > ɛ. O que é uma contradição. Portanto existe uma ɛ rede, o que completa a demonstração. 2.2 Espaço de Hausdorff Os estudos anteriores irão servir de base para a definição e conceituação do Espaço de Hausdorff, que é o espaço onde define-se a Geometria Fractal. Com a introdução do espaço H a discussão sobre fractais torna-se natural. Apresentaremos as características deste espaço com o objetivo de construir as ferramentas necessárias para definição de Fractal. Definição Seja X um espaço métrico completo. Então H(X) denota o espaço cujos pontos são subconjuntos compactos de X exceto o conjunto vazio. As definições que seguem tratam da distância de um ponto a um conjunto e da distância entre dois conjuntos. Sejam (X, d) um espaço métrico completo, x X e A, B H(X). Definição Distância de um ponto a um conjunto Define-se a distância de um ponto x X a um conjunto A H(X) por, d(x, A) = min{d(x, y) : y A}

20 18 Como A é um conjunto compacto e não-vazio, temos garantia que: y A : d(x, A) = d(x, y) Figura 1: Distância do ponto x ao conjunto A Definição Distância entre conjuntos A distância entre dois conjuntos A e B H(X), é dada por: d(a, B) = max{d(x, B) : x A} Novamente por A e B serem compactos e não-vazios, temos que: x A e y B : d(a, B) = d(x, y) Figura 2: Distância entre o conjunto A e o conjunto B Proposição A distância entre os conjuntos A e B será zero se, e somente se, A = B. Demonstração. (= ) Se d(a, B) = 0, então max{d(x, B) : x A} = 0, logo para todo x A, d(x, B) = 0, daí, min{d(x, y) : y B} = 0, assim, existe y B tal que d(x, y) = 0. Como d é métrica seque que x = y e, como é válido para todo x A segue que A = B.

21 19 ( =) Se A = B, então, d(a, B) = d(b, B) max{d(x, B) : x B} = max{min{d(x, y) : y B} : x B} = 0. Portanto, d(a, B) = 0. É usado o máximo das distâncias entre os pontos x A e o conjunto B, pois, do contrário, se definíssemos d(a, B) = min{d(x, B) : x A} quando A B e A B, resultaria em d(a, B) = 0. Mas como A B, por definição, devemos ter distância não nula. Figura 3: Distância entre A e B com A B Observação. Em geral, d(a, B) d(b, A). De fato, seja B A, onde A é o disco com centro na origem e raio dois e B é o disco de mesmo centro e raio um. Assim sendo d(a, B) 1, por outro lado como B A então d(b, A) = 0 pois todo ponto x B também pertence ao conjunto A. Figura 4: As distâncias d(a, B) e d(b, A) são em geral diferentes

22 20 Levando em consideração a observação acima, podemos concluir que d(a, B) não é uma métrica para H(X) o que nos leva a próxima definição. Definição Métrica de Hausdorff Sejam A, B H(X), definimos então a métrica de Hausdorff denotada h(a, B) por: h(a, B) = max{d(a, B), d(b, A)} Ou seja, o maior valor entre essas distâncias será a distância de Hausdorff entre os conjuntos A e B. Para mostrar que h é uma métrica para H(X) devemos verificar as quatro propriedades de métrica. Sejam A, B, C H(X). Vamos supor sempre que necessário que max{d(a, B), d(b, A)} = d(a, B). Sabemos que d(a, B) = d(a, b) para algum a A e b B, por serem A e B conjuntos compactos e não-vazios. (1) h(a, B) = h(b, A) A, B H(X), de fato: h(a, B) = max{d(a, B), d(b, A)} = max{d(b, A), d(a, B)} = h(b, A). (2) Temos que h(a, B) = max{d(a, B), d(b, A)} = d(a, b) para algum a A e algum b B, mas como d é métrica em X, 0 d(a, B) <, e portanto, 0 h(a, B) < (3) h(a, B) = 0 A = B Se A = B então, h(a, B) = h(a, A) = max{d(a, A), a A} = max{min{d(a, a 1 ), a, a 1 A}} Como min d(a, a 1 ) = 0, pois podemos ter a = a 1 conjunto A. Então, h(a, A) = 0. uma vez que ambos pertencem ao

23 21 Por outro lado, se h(a, B) = 0 então temos: max{d(a, B), d(b, A)} = 0 = d(a, B) = d(b, A) = 0 Segue da proposição que A = B. (4) h(a, B) h(a, C) + h(c, B), A, B, C H(X) Inicialmente provemos que d(a, B) d(a, C) + d(c, B). Para algum a A temos que d(a, B) = min{d(a, b) : b B} min{d(a, c) + d(c, b) : b B} c C = d(a, c) + min{d(c, b) : b B} c C, portanto d(a, B) min{d(a, c) : c C} + max{min{d(c, b) : b B} : c C} = d(a, C) + d(c, B), logo d(a, B) d(a, C) + d(c, B). Analogamente, d(b, A) d(b, C) + d(c, A), portanto h(a, B) = max{d(a, B), d(b, A)} max{d(b, C), d(c, B)} + max{d(a, C), d(c, A)} = h(b, C) + h(a, C). Portanto h(a, B) = max{d(a, B), d(b, A)} é uma métrica para H(X). Assim dado um espaço métrico completo X podemos associar este a um novo espaço métrico, com uma métrica induzida de d, que será a métrica de Hausdorff, representado por (H(X), h(d)). A partir de agora, passaremos a nos preocupar com a demonstração de que H(X), é completo. Definição Sejam S X e ɛ 0. Então: S + ɛ = {y X : d(x, y) ɛ para algum x S}. O conjunto S + ɛ é chamado dilatação de S por uma bola de raio ɛ.

24 22 Lema Sejam A, B H(X), onde (X, d) é um espaço métrico. Seja ɛ > 0, então h(a, B) ɛ A B + ɛ e B A + ɛ Demonstração. Comecemos por mostrar que d(a, B) ɛ A B + ɛ. Suponha d(a, B) ɛ. Então max{d(a, B) : a A} ɛ d(a, B) ɛ, a A. Então para cada a A, temos a B + ɛ, e portanto A B + ɛ. Suponha agora que A B + ɛ. Seja a A, e considere d(a, B) = max{d(a, B) : a A}. Desde que, A B + ɛ, para cada a A existe b B tal que, d(a, b) ɛ, a A. Então d(a, B) ɛ. Isso vale para todo a A. Logo, d(a, B) ɛ. De modo análogo teremos que d(b, A) ɛ B A + ɛ, o que completa a demonstração. Seja {A n : n = 1, 2, 3,...}, uma sequência de Cauchy de conjuntos em (H(X), h). Isto é, dado ɛ > 0, existe N tal que n, m N implica A m A n + ɛ e A n A m + ɛ, ou seja, h(a n, A m ) ɛ. Nosso interesse está nas sequências de Cauchy (x n ) em X, com a propriedade {x n A n, n}. Em particular, precisamos estender esta propriedade para uma subsequência de Cauchy, ou seja, para {x nj A nj }, subsequência de {x n A n }, teremos que x nj A nj, para cada j. Para tal, utilizaremos o Lema da Extensão, que enunciaremos agora. Lema Lema da Extensão Seja (X, d) um espaço métrico e {A n : n = 1, 2, 3,...} uma sequência de Cauchy em (H(x), h). Seja (n nj ) uma sequência infinita e crescente de inteiros positivos. Supondo que temos uma sequência de Cauchy {x nj A nj : j = 1, 2, 3,...} em (X, d). Então existe uma sequência de Cauchy { x n A n : n = 1, 2, 3,...} tal que, x nj = x nj, j = 1, 2, 3,.... Demonstração. Vamos construir a sequência { x n A n : n = 1, 2, 3,...}. Para cada n {1, 2, 3,..., n 1 }, faça { x n A n : d( x n, x n1 ) = d(x n1, A n )}. Isto é, x n é o ponto mais próximo (ou um dos pontos mais próximos) em A n para x n1. A existência

25 23 de tal ponto, é garantida pela compaticidade de A n. Em geral, para cada j {2, 3,...} e cada n {n j+1,..., n j }, faça x n {x A n : d(x, x nj ) = d(x nj, A n )}. Agora mostraremos que ( x n ) tem a propriedade desejada, ou seja, que é de fato uma extensão de (x nj ) para (A n ). Por construção temos que x n = x nj e x n A n Para mostrar que ( x n ) é uma sequência de Cauchy, dado ɛ > 0, como (x nj ) e uma sequência de Cauchy, por hipótese, existe N 1 e N 2 tais que n k, nj N 1 d(x nk, x nj ) ɛ 3 m, n N 2 d(a m, A n ) ɛ 3. Seja N = max{n 1, N 2 } e note que, para m, n N, d( x m, x n ) d( x m, x nj ) + d(x nj, x nk ) + d(x nk, x n ), onde m {n j 1 + 1, n j 1 + 2,..., n j } e n {n k 1 + 1, n k 1 + 2,..., n k }. Como h(a m, A nj ) ɛ 3, então existe y A m ((x nj ) + ɛ 3 ) tal que, d( x m, x nj ) ɛ 3. De modo análogo, d(x nk, x n ) ɛ 3, portanto d( x m, x n ) ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ, m, n > N. Portanto, ( x n ) é uma sequência de Cauchy. O que completa a demonstração. Teorema Seja X uma espaço métrico completo. Então (H(X), h) é um espaço métrico completo. Além disso, se {A n H(X)} é uma sequência de Cauchy, então sendo que: A = lim n A n H(X), A = {x X : existe uma sequência de Cauchy {x n A n }, que converge para x}. Demonstração. Seja (A n ) uma sequência de Cauchy em H(X) e A definido como no teorema. A demonstração será dividida nas seguintes etapas: 1. A 2. A é fechado e portanto completo, já que X é completo.

26 24 3. para ɛ > 0, existe N tal que, para n N, A A n + ɛ 4. A é totalmente limitado e portanto, junto à (2), é compacto 5. lim A n = A. Demonstração de (1). Para provar (1), mostraremos que existe uma sequência de Cauchy {a i A i } em X. Para este fim encontraremos uma sequência de inteiros positivos N 1 < N 2 < N 3 <... < N n <..., tal que h(a m, A n ) < 1 2, para m, n > N i. i Para x N1 A N1. Então como h(a N1, A N2 ) 1 2, podemos encontrar x N 2 A N2 tal que, d(x N1, x N2 ) 1. Assuma que tenhamos selecionado uma sequência finita 2 x Ni A Ni, i = 1, 2,..., k para o qual d(x Ni 1, x Ni ) 1 2. i 1 Como h(a Nk, A Nk+1 ) 1 2 k, e x N k A Nk, podemos encontrar x Nk+1 A Nk+1 tal que, d(x Nk, x Nk+1 ) 1 2 k. Por exemplo, seja x Nk+1 o ponto em A Nk+1 que é o mais próximo para x Nk. Por indução podemos encontrar uma sequência infinita {x Ni A Ni } tal que, d(x Ni, x Ni+1 ) 1 2 i. Para ver que (x ni ) é uma sequência de Cauchy em X, seja ɛ > 0 e escolha N ɛ tal que, então, para m > n N ɛ, temos i=n ɛ 1 2 i < ɛ d(x Nm, x Nn ) d(x Nm, x Nm+1 ) + d(x Nm+1, x Nm+2 ) d(x Nn+1, x Nn ) < i=n ɛ 1 2 i < ɛ, pelo lema da extensão, existe uma subsequência convergente {a i a Ni = x Ni. A i } para o qual Então, lim a i existe e por definição está em A. Portanto A. Demonstração de (2). Para mostrar que A é fechado, suponha que {a i A} seja uma sequência convergente para o ponto a.

27 25 Mostraremos que a A, portanto fazendo A fechado. Para cada inteiro positivo i, existirá uma sequência {x i,n A n } tal que, quando n lim x i,n = a i. Então existe uma sequência crescente de números inteiros (N i ) tal que, d(a Ni, a) < 1. Além disso, i existe uma sequência de inteiros (m i ) tal que, d(x Ni,mi, a Ni ) 1 i. Logo, d(x Ni,m i, a) 2 i. Se fizermos y mi = x Ni,m i, veremos que y mi A mi e quando i então lim y mi = a. Pelo lema da extensão, (y mi ) pode ser estendida para uma sequência convergente {z i A i }, e assim a A. Portanto mostramos que A é fechado. Demonstração de (3). Seja ɛ > 0. Então existe uma N tal que, para m, n N, h(a m, A n ) ɛ. Agora seja n N. Então, se m n, A m A n + ɛ. Precisamos mostrar que A A n + ɛ. Para isso, seja a A. Existe uma sequência {a i A i } que converge para a. Podemos assumir N grande o bastante tal que, m N, d(a m, a) < ɛ. Então, a m A n + ɛ, já que, A m A n + ɛ. Como A n é compacto, temos que A n + ɛ é fechado. Então, uma vez que a m A n + ɛ, m N, a necessariamente estará em A n + ɛ. Logo, temos que A A n + ɛ para N grande o bastante. Demonstração de (4). Supondo que A não seja totalmente limitado. Então para algum ɛ > 0 não existirá uma ɛ rede finita. Podemos então encontrar uma sequência (x i ) em A tal que, d(x i, x j ) ɛ para i j. Vamos mostrar que isto é uma contradição.

28 26 Por (3) existirá um n grande o bastante tal que, A A n + ɛ 3. Para cada x i, existe um correspondente y i A n, para qual d(x i, y i ) ɛ 3. Como A n é compacto, alguma subsequência (y ni ) de (y i ) converge. Então podemos encontrar pontos nesta sequência tão próximos quanto desejarmos. Em particular, podemos encontrar dois pontos y ni e y nj tais que, d(y ni, y nj ) < ɛ 3, daí, d(x ni, x nj ) d(y ni, y ni ) + d(y ni, y nj ) + d(y nj, y nj ) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ, e assim, temos uma contradição para a maneira em que (x ni ) foi escolhida. Portanto A é totalmente limitado e, por (2), também é compacto. Demonstração de (5). Por (4), A H(X). Então por (3) e pelo lema 2.2.1, a prova que lim A i = A será completa se mostrarmos que, dado ɛ > 0, existirá um N tal que, n N A n A + ɛ. Para mostrar isso, faremos ɛ > 0 e encontraremos N, tal que, para m, n N, h(a m, A n ) ɛ 2 A m A n + ɛ 2. Seja n N, Mostraremos que A n A + ɛ. Seja y A n. Então existe uma sequência crescente (N i ) de inteiros, tal que, n < N 1 < N 2 <... < N n <..., e para m, n N j, A m A n + ɛ 2 j+1. Note que, A n A N1 + ɛ 2. Como y A n, existe um ponto x N2 A N2 tal que, d(x N1, x N2 ) ɛ 2 2 De maneira similar, podemos usar indução para encontrar um sequência {x N1, x N2, x N3,...} tal que, x Nj A Nj e d(x Nj, x Nj+1 ) < ɛ. Usando desigualdade 2j+1 triangular algumas vezes podemos mostra que, d(y, x Nj ) ɛ 2, j,

29 27 e também que (x Nj ) é uma sequência de Cauchy. Pela maneira que n foi escolhido, cada A Nj A n + ɛ 2. (x Nj ) converge para um ponto x e como A n + ɛ 2 é fechado, x A n + ɛ 2 ainda, d(y, x Nj ) ɛ o que implica que d(y, x) ɛ. também. Mais Mostramos assim que A n A + ɛ para n N. Portanto, lim A n = A e consequentemente que (H(X), h) é um espaço métrico completo. 2.3 Transformações num Espaço Métrico Definição Seja X um espaço métrico. Uma transformação em X é uma aplicação f : X X, para o qual, para cada ponto x X temos um ponto f(x) X. Se K X então f(k) = {f(x) : x K}. Definição Dizemos que f : X X é injetora, se para x y, x, y X temos, f(x) f(y). Dizemos que f : X X é sobrejetora, se f(x) = X, ou seja, o contradomínio e a imagem de f são iguais. Caso f seja injetora e sobrejetora, então dizemos que f é uma bijeção. Definição Se f : X X for uma bijeção, então definimos por transformação inversa a aplicação f 1 : X X onde, f 1 (y) = x f(x) = y. Definição Seja f : X X uma transformação em X. Chamamos de iteração sobre f transformações da forma f n : X X definidas por: f 0 (x) = I, f 1 (x) = f(x), f 2 (x) = f f(x),..., f n = f... f(x) }{{} n vezes para n = 0, 1, 2, 3,.... Definição Seja a transformação f : X X, dizemos que um ponto x f X, é um ponto fixo de f, se f(x f ) = x f. Neste caso dizemos que x f é invariante pela aplicação de f. Definição Uma transformação f : X X em X é dita função de contração se existe uma constante 0 s < 1 tal que, d(f(x), f(y)) s.d(x, y), x, y X.

30 28 s é dito fator de contração de f. Teorema Teorema das Funções de Contração Seja f : X X uma função de contração sobre um espaço métrico completo X. Então f possui exatamente um ponto fixo x f X e mais ainda, para algum ponto x X, a sequência {f n (x); n = 0, 1, 2,...} converge para x f. Isto é, lim f n (x) = x f, para cada x X. n Demonstração. Seja x X. Seja 0 s < 1 um fator de contração para f. Então, d(f n (x), f m (x)) = s min{n,m} d(x, f n m (x)) (1) para todo m, n = 0, 1, 2,..., com x X fixo. Em particular para k = 0, 1, 2,..., temos, d(x, f k (x)) d(x, f(x)) + d(f(x), f 2 (x)) d(f k 1 (x), f k (x)) (1 + s + s s k 1 )d(x, f(x)) (1 s) 1 d(x, f(x)), substituindo na equação (1), teremos d(f n (x), f m (x)) s min{m,n}.(1 s) 1.(d(x, f(x))), daqui seque imediatamente que (f n (x)) é uma sequência de Cauchy. Como X é completo esta sequência de Cauchy possui um limite x f X, temos então lim n f n (x) = x f Agora precisamos mostrar que x f é ponto fixo de f. Como f é uma contração ela é continua e portanto f(x f ) = f( lim n f n (x)) = lim n f n+1 (x) = x f. Finalmente, supondo que haja mais que um ponto fixo de f, sejam x f e y f dois pontos fixos de f. Então, x f = f(x f ), y f = f(y f ), e d(x f, y f ) = d(f(x f ), f(y f )) sd(x f, y y ), onde (1 s)d(x f, y f ) 0, o que implica d(x f, y f ) = 0.

31 Funções de contração no Espaço dos Fractais H(X) Estamos em condições de apresentar uma definição para Fractais, para tal, falaremos inicialmente das funções de contração no espaço de Hausdorff. Lema Se w : X X é uma função de contração sobre X. Então w é contínua. Demonstração. Seja ɛ > 0 dado. Seja s > 0 um fator de contração para w então d(w(x), w(y)) sd(x, y) < ɛ sempre que d(x, y) < δ, onde δ = ɛ s. Lema Seja w : X X uma função de contração num espaço métrico (X, d). Então w aplica H(X) em H(X). Demonstração. Seja K um subconjunto não-vazio e compacto de X. Então, w(k) = {w(x) : x K} é não-vazio. Queremos mostrar que w(k) é compacto. Seja {y n = w(x n )} uma sequência de pontos em K. Então (x n ) é uma sequência de pontos em K. Como K é compacto então existe uma subsequência (x Nn ) que converge para um ponto ˆx K. Mas a continuidade de w implica que {y Nn = w(x Nn )} seja uma subsequência de (y n ) que converge para ŷ = w(ˆx) w(k). Lema Seja w : X X uma função de contração num espaço métrico (X, d), com o fator de contração s. Então w : H(X) H(X), definida por w(b) = {w(x) : x B}, B H(X) é uma contração sobre (H(X), h(d)), com o fator de contração s. Demonstração. Pelos lemas anteriores temos que w é contínua e aplica H(X) nele próprio. Seja B, C H(X). Então d(w(b), w(c)) = max{min{d(w(x), w(y)) : y C} : x B} max{min{s.d(x, y) : y C} : x B} = s.d(b, C).

32 30 De modo análogo, d(w(c), w(b)) s.d(c.b). Portanto h(w(b), w(c)) = max{d(w(b), w(c)), d(w(c), w(b))} max{s.d(b, C), s.d(c, B)} s. max{d(b, C), d(c, B)} s.h(b, C). O resultado enunciado agora será utilizado na demonstração do próximo lema, para demonstrá-lo basta utilizar as definições apresentadas anteriormente. Lema Seja (X, d) um espaço métrico completo. Então para A, B, C H(X), temos d(a, B C) = min{d(a, B), d(a, C)} Lema Para todo B, C, D, E H(X), temos h(b C, D E) max{h(b, D), h(c, E)} onde h é a métrica de Hausdorff. Demonstração. Para demonstrar este lema, usaremos o lema anterior. Mostremos inicialmente que d(b C, D E) max{d(b, D), d(c, E)}. De fato, d(b C, D E) = max{d(x, D E) : x B C} = max{max{d(x, D E) : x B}, max{d(x, D E) : x C}} = max{d(b, D E), d(c, D E)} = max{min{d(b, D), d(b, E)}, min{d(c, D), d(c, E)}} max{d(b, D), d(c, E)}. De modo análogo teremos que d(d E, B C) max{d(d, B), d(e, C)}.

33 31 Finalmente, h(b C, D E) = max{d(b C, D E), d(d E, B C)} max{max{d(b, D), d(c, E)}, max{d(d, B), d(e, C)}} max{max{d(b, D), d(d, B)}, max{d(c, E), d(e, C)}} max{h(b, D), h(c, E)}. O que completa a demonstração. Lema Seja (X, d) um espaço métrico. Seja {w n : n = 1, 2,..., N}, contrações sobre (H(X), h). Seja o fator de contração de w n, denotado por s n para cada n. Defina W : H(X) H(X) por W (B) = w 1 (B) w 2 (B)... w N (B) N = w n (B) n=1 Então W é uma contração com o fator de contração s = max{s n : n = 1, 2,..., N}. Demonstração. Demonstraremos para N = 2. demonstração. Um argumento indutivo completa a Seja B, C H(X). Temos h(w (B), W (C) = h(w 1 (B) w 2 (B), w 1 (C) w 2 (C)) max{h(w 1 (B), w 1 (C)), h(w 2 (B), w 2 (C))} (P elo Lema anterior) max{s 1 h(b, C), s 2 h(b, C)} sh(b, C)}. Definição Um Sistema de Funções Iteradas (IFS) é formado por um conjunto finito de contrações w n em um espaço métrico X, com os respectivos fatores de contração s n, para n = 1, 2, 3,..., N. A notação usada para um sistema de funções iteradas é {X; w n, n = 1, 2,..., N}. Teorema Seja {X; w n, n = 1, 2,..., N} um IFS com o fator de contração s. Então a transformação W : H(X) H(X) definida por n W (B) = w n (B) n=1

34 32 para todo B H(X), é uma contração sobre o espaço métrico completo (H(X), h(d)) com o fator de contração s. Isto é h(w (B), W (C)) s.h(b, C) para todo B, C H(X). O único ponto fixo A H(X), é tal que, n A = W (A) = w n (A) n=1 e é dado por, lim W n (B) para algum B H(X) n Definição Dados um IFS {X; w n, n = 1, 2,..., N}, com o fator de contração s, e W uma função de contração em H(X). Define-se por Fractal, o ponto fixo A H(X) da função de contração W. Em outras palavras o Fractal é o resultante após infinitas iterações de uma função. O capítulo seguinte é reservado a discussão deste objeto geométrico e as maneiras para construí-lo.

35 33 3 Fractais Apesar de seu recente surgimento, os Fractais são alvo de pesquisas em diversas áreas da ciência tais como geologia, física, meteorologia etc. Após aproximadamente três décadas, a teoria Fractal encontra-se bem desenvolvida, e existe uma enorme variedade de Fractais gerados por processos distintos e regidos por princípios matemáticos diversificados. Assim o conceito de figuras Fractais é matemático, enquanto a construção de imagens Fractais só pode ser feita computacionalmente, evidenciando como a informática pode modificar a forma da compreensão da própria matemática. De uma forma geral podemos classificar os Fractais de duas maneiras, os Fractais determinísticos e os não-determinísticos. Um exemplo de Fractal não-determinístico, ou aleatório, é o famoso conjunto de Mandelbrot, que é gerado a partir de um sistema dinâmico de funções polinomiais complexas, este tipo de Fractal é de enorme complexidade e caracterizado pela sua rara beleza. Figura 5: O conjunto de Mandelbrot

36 34 Dentre os Fractais aleatórios também podemos dar destaque aqueles encontrados na natureza, que quando observado uma parte esta é estatisticamente semelhante ao todo. Figura 6: Brócolis, um exemplo de Fractal natural. Nos Fractais determinísticos, ou geométricos, podemos citar duas características fundamentais: 1. São obtidos através de uma regra fixa de substituição geométrica; 2. Possuem Homotetia interna ou Auto-similaridade. Os Fractais geométricos são regidos por IFS, estas são, em geral, de formação simples. Geometricamente, a partir de uma determinada figura, aplica-se uma regra de substituição fixa e repete-se novamente o processo na figura resultante, por exemplo o Conjunto de Cantor, o ponto de partida é um segmento de reta, dividimos este segmento em três partes iguais e retiramos a parte central, repetimos esse procedimento com os segmentos restantes e assim sucessivamente e indefinidamente. Figura 7: O Conjunto de Cantor Dizer que uma figura possui Homotetia interna, ou Auto-similaridade, significa que em qualquer escala de ampliação da imagem a parte ampliada é exatamente idêntica ao todo, ou quando observamos uma iteração aplicada a uma parte da figura e a comparamos a iteração anterior. Tendo em vista a enorme variedade dos Fractais este trabalho concentra-se neste segundo tipo de Fractal.

37 35 Neste trabalho foram utilizados os softwares SuperLogo 3.0 e Geogebra. Antes de tratarmos dos Fractais, daremos uma breve descrição de cada um destes, abordando os recursos utilizados para gerar as imagens Fractais, possibilitando assim ao leitor melhor compreensão dos algoritmos e processos apresentados. 3.1 Recursos Computacionais O ambiente LOGO O Logo é um ambiente computacional que foi desenvolvido por pesquisadores do Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT), sob a coordenação do educador sulafricano Seymour Papert. O nome Logo foi derivado da palavra grega que significa Pensamento. O desenvolvimento da linguagem foi baseado em diferentes áreas do conhecimento, podendo ser citadas como as principais, a Teoria Piagetiana e a Inteligência Artificial. O software educativo SuperLOGO 3.0, desenvolvido pelo Núcleo de Informática Aplicada à Educação (NIED) da Unicamp, foi utilizado em nosso trabalho para criação dos algoritmos geradores de imagens Fractais. Apesar de ser um programa simples é uma ferramenta poderosa e serviu muito bem no intuito de gerar Fractais geométricos. O programa é constituído por duas janelas, uma janela gráfica onde a tartaruga (Tat) executa os comandos que são acionados à partir de uma segunda janela, a janela de comandos. Alguns dos comandos mais comuns são os que seguem: pf # (Tat andará # passos para frente); pt # (Tat andará # passos para trás); pd * (Tat gira * graus para à direita); pe * (Tat gira * graus para à esquerda); un (Tat não deixará rastro quando movimentar); ul (Tat volta a deixar rastro com esse comando); ub (Tat apaga os rastros feitos quando passar por estes);

38 36 pc (Tat retorna ao centro da janela gráfica). Figura 8: O programa SuperLOGO 3.0 em execução Processos Recursivos Se faz necessário, na construção de algoritmos para gerar imagens Fractais, o uso de processos recursivos. Esse tipo de processo faz com que o algoritmo seja pequeno, porém nem sempre é fácil de compreender sua execução. Os passos executados não são simples e é preciso muita atenção para entender o que está se passando a cada momento do processo. De forma geral, um processo recursivo ocorre quando, em algum momento, executamos um programa dentro do próprio programa. Nos algoritmos criados com a linguagem LOGO, utilizou-se recursão, para tal foi necessário compreender a lógica por trás do processo recursivo. Daremos agora alguns exemplos de algoritmos recursivos utilizando linguagem LOGO. Vamos entender o processo com o seguinte procedimento: aprenda contar :num esc :num contar :num - 1 fim O procedimento contém um parâmetro :num, ao executarmos, por exemplo, contar 10 no SuperLogo, Tat inicia o processo e na primeira linha de comando esc retorna o

39 37 valor inicial 10, que aparecerá na janela de comandos do aplicativo. Na segunda linha Tat executará novamente o procedimento contar, mas dessa vez com o valor 10 1 = 9, está linha de comando equivale ao mesmo que iniciar o procedimento com o valor 9, assim será executada novamente a primeira linha de comando e será escrito na janela de comandos o número 9. O procedimento continuará indefinidamente e para interromper a execução será necessário utilizar o botão PARAR na janela de comandos. Para que o procedimento seja interrompido automaticamente é necessário estabelecer um critério de parada. Inserindo um critério de parada na processo teremos: aprenda contar :num se (:num = 0) [pare] esc :num contar :num - 1 fim Agora a primeira linha de comando fará um teste. O comando se avalia o valor do parâmetro, se este for igual a zero então o procedimento é interrompido. Assim se executarmos contar 10 o processo retornará 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 3, 2, 1, e após retornar o valor 1 é finalizado. Neste simples exemplo que acabamos de mostrar podemos perceber facilmente como um processo recursivo funciona. Um critério de parada é necessário caso contrário a execução continuará indefinidamente. Um exemplo clássico em qualquer texto sobre recursão é o algoritmo para determinar o fatorial de um número natural. No nosso exemplo utilizaremos a linguagem Logo, através do software livre SuperLogo 3.0, ambos já descritos na seção anterior. Exemplo Algoritmo do fatorial de um número natural O algoritmo para obter o fatorial de um número natural no ambiente Logo é o seguinte: aprenda fatorial :n se :n=0 [envie 1 pare] envie :n*fatorial (:n-1) fim Onde * representa a multiplicação.

40 38 O comando se estabelece o critério de parada, quando este não é satisfeito ele passa a linha de comando seguinte, nesta etapa o programa é chamado pelo programa novamente, o valor 3 é multiplicado pelo fatorial de 2. Novamente o comando se não é satisfeito e o novo fatorial passa a linha de comando seguinte chamando a si outra vez. O processo segue até o valor se tornar zero. Neste momento como o critério de parada está satisfeito a tartaruga recebe o valor 1. O último fatorial aberto é finalizado e então o comando passa a linha seguinte no processo anterior que é o comando fim fechando o processo anterior e assim sucessivamente até finalizar todos processos abertos. O esquema abaixo indica o processo executado para fatorial 3 Figura 9: Execução do processo fatorial 3 Finalmente Tat retornará o valor que n recebeu no passo envie 3*fatorial (3-1), este valor será a multiplicação de todos os processos abertos, ou seja, = 6 exatamente o valor de 3! Geogebra Criado por Markus Hohenwarter, o Geogebra é um aplicativo de código livre que reúne recursos de Geometria, Álgebra e Cálculo. Por um lado, o Geogebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de Geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por outro lado, equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente. Assim, o Geogebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si, sua representação geométrica e sua representação algébrica.

41 39 Para reproduzir processos recursivos no Geogebra e necessário que o usuário tenha um domínio avançado do programa, mas ainda é possível construir Fractais neste software. Uma das maiores vantagens em utilizar o Geogebra para gerar imagens Fractais é que neste software podemos observar a cada passo as transformações geométricas que ocorrem a cada iteração e ainda, o caráter algébrico do programa permite uma melhor percepção dos conceitos matemáticos envolvidos na construção dos Fractais. O leitor interessado poderá encontrar alguns exemplos de Fractais construídos no Geogebra na Home page do programa, BR, no fórum de usuários. Apesar de utilizar o Geogebra nas construções que apresentaremos adiante, não descreveremos os passos utilizados, uma vez que basta repetir os procedimentos geométricos para construção apresentados utilizando os recursos disponíveis no programa. Figura 10: O programa Geogebra em execução. 3.2 Construindo Fractais geométricos Nesta seção apresentaremos alguns dos mais famosos Fractais geométricos e os processos para sua construção O conjunto de Cantor O matemático alemão Georg Cantor ( ), concentrou seus estudos principalmente na Teoria dos Conjuntos. É de autoria de Cantor um famoso paradoxo conhecido como Conjunto de todos os conjuntos, que culminou na definição de conjunto universo.

42 40 Antes mesmo de toda a fundamentação teórica dos Fractais por Mandelbrot, Cantor, em 1883, publicou um trabalho no qual é construído um conjunto, chamado hoje Conjunto de Cantor ou Poeira de Cantor, que na época foi classificado como um dos monstros matemáticos. Segundo Lima (2002), o conjunto de Cantor possui as seguintes propriedades: 1. É compacto; 2. Tem interior vazio (não contém intervalos); 3. Não contém pontos isolados (todos seus pontos são de acumulação); 4. É não enumerável. O conjunto de Cantor, é um subconjunto do intervalo fechado [0, 1] R, obtido da seguinte forma: ( 1 Retira-se do intervalo [0, 1] seu terço médio aberto 3, 2 ). Depois retira-se o terço [ 3 médio de cada um dos intervalos fechados restantes 0, 1 ] [ ] 2 e 3 3, 1, assim após esta etapa o que resta é: [ 0, 1 ] [ 2 9 9, 1 ] [ 2 3 3, 7 ] [ ] 8 9 9, 1. Em seguida retira-se o terço médio de cada um destes quatro intervalos. Repete-se o processo indefinidamente. O conjunto dos pontos não retirados é o conjunto de Cantor. Geometricamente o procedimento para a construção do Conjunto de Cantor é dado da seguinte maneira; 1. Considerar um segmento de reta de comprimento unitário; 2. Dividir o segmento em três parte iguais e retirar a central; 3. Repetir o segundo passo em cada um dos segmentos restantes e, assim, sucessivamente e indefinidamente. Observemos que após a primeira iteração temos como resultado dois segmentos, após a segunda iteração obtemos quatro segmentos e assim por diante, denotando por N a quantidade de iterações realizadas e por s N o número de segmentos após N iterações realizadas, temos inicialmente s 0 = 1, após a primeira iteração obtemos s 1 = 2, na

43 41 Figura 11: As três primeiras iterações do processo de construção do Conjunto de Cantor segunda iteração temos s 2 = 4, com um raciocínio indutivo podemos facilmente concluir que após N iterações realizadas o número de segmentos será dado por: s N = 2 N. Se fizermos o número de iterações tender ao infinito, temos: lim N 2N = ou seja, se o número de iterações tender ao infinito resultam infinitos segmentos. Observemos o que ocorre agora com o comprimento C N N. de cada segmento quando Antes de qualquer iteração temos C 0 = 1, após a primeira iteração o comprimento de cada segmento é C 1 = 1, na segunda iteração teremos que cada segmento possuirá 3 comprimento C 2 = 1, novamente utilizando indução concluímos que após N iterações o 9 comprimento será: Quando N tende ao infinito temos: C N = lim N ( ) N 1. 3 ( ) N 1 = 0 3 isto é, o comprimento de cada segmento tende a zero, na construção numérica isto significa que o intervalo tende a um ponto, donde a denominação poeira de Cantor. Para obtermos o comprimento total C T, basta que multipliquemos o número de segmentos pelo comprimento de cada um deles; C T = 2 N ( ) N 1 = 3 ( ) N 2. 3

44 42 Quando N tende ao infinito; lim N ( ) N 2 = 0. 3 Ou seja, o comprimento total do conjunto de Cantor tende a zero. Este fato será utilizado mais tarde quando tratarmos de dimensão Fractal. No conjunto numérico de Cantor isto implica que a dimensão Topológica do conjunto de Cantor é equivalente a dimensão Topológica de um ponto, isto é, igual à zero. Computacionalmente podemos gerar o conjunto de Cantor utilizando o software SuperLOGO 3.0, o algoritmo abaixo descrito foi criado neste programa. Onde x indica o tamanho inicial do segmento gerador do Fractal e y é a iteração que desejamos obter. aprenda cantor :x :y se :y=0 [pf :x pare] cantor :x/3 :y-1 un pf :x/3 ul cantor :x/3 :y-1 fim A Curva de Koch Pouco se sabe da vida do matemático polonês Niels Fabian Helge Van Koch ( ). Em 1904 publicou um artigo que trazia uma curva sem tangentes que hoje recebe seu nome. Esta curva é mais um belo exemplo de Fractal que, assim como o conjunto de Cantor é de simples construção geométrica. Apesar de ser uma curva de fácil construção, não existe uma função analítica simples capaz de descrevê-la. Apresentaremos agora os passos para construir geometricamente a curva de Koch: 1. Considerar um segmento unitário; 2. Dividir o segmento em três partes iguais, substituindo-os por quatro segmentos congruentes; sendo o segmento intermediário substituído por um triângulo equilátero sem a sua base;

45 43 3. Substituir cada um dos segmentos conforme o segundo passo, e assim sucessivamente e iterativamente. Figura 12: As duas primeiras iterações do processo de construção da Curva de Koch Antes de prosseguir é útil observar que não há a necessidade de iniciar o procedimento com um segmento unitário, podemos obter a curva de Koch a partir de qualquer segmento de reta, vamos analisar algumas características desta curva para um segmento de comprimento arbitrário. Quanto ao número de segmentos obtidos após cada iteração, denotando por N a iteração, temos que s 0 = 1, após a primeira iteração temos s 1 = 4, na segunda iteração o número de segmentos será s 2 = 16 e assim por diante. Podemos concluir então que o número de segmentos obtidos numa certa iteração N será: s N = 4 N. seja: Quando N tende ao infinito, o número de segmentos também tende ao infinito, ou lim N 4N = Logo o número de segmentos na curva de Koch cresce indefinidamente quanto mais cresce o número de iterações. Vejamos agora o que ocorre com o comprimento C N de cada segmento quando iteramos sucessivamente. Chamemos de k o comprimento do segmento inicial, como estamos considerando um segmento de comprimento ( ) arbitrário sempre que N = 0 teremos C 0 ( = ) k, k k após a primeira iteração teremos C 1 =, na segunda iteração teremos C 2 =, 3 9 após N iterações o comprimento de cada segmento será dado por: C N = ( ) N k, se N 1 3

46 44 Quando o número de iterações tende ao infinito o comprimento de cada segmento tende a zero, ou seja: lim N ( ) N k = 0 3 Podemos obter o comprimento total da curva de Koch multiplicando o número de segmentos pelo comprimento de cada um deles e assim obtendo a expressão, lembrando novamente que se N = 0 o comprimento total será dado por C T = k, uma vez que estamos considerando que o segmento inicial possui comprimento arbitrário, com isso temos: C T = ( ) N 4k 3 Quando fazemos N tender ao infinito nesta expressão veremos que o comprimento total também tende ao infinito. lim N ( ) N 4k = 3 Assim, apesar do comprimento de cada segmento tender a zero o comprimento total da curva de Koch cresce indefinidamente. Para gerar a imagem Fractal da curva de Koch no ambiente LOGO, utilizamos o algoritmo abaixo, onde x é o tamanho do segmento inicial e y é a iteração que queremos obter; aprenda koch :x :y se :y=0 [pf :x pare] koch :x/3 :y-1 pe 60 koch :x/3 :y-1 pd 120 koch :x/3 :y-1 pe 60 koch :x/3 :y-1 fim A figura 13, mostra a décima iteração da curva de Koch no ambiente LOGO. Para gerar esta o programa necessitou de um tempo de execução maior. Este fato se deve ao processo recursivo que, apesar de tornar o algoritmo menos extenso, torna o processo mais lento.

47 45 Figura 13: A décima iteração da curva de Koch no ambiente LOGO Ilha de Koch Iniciando com um polígono regular e construindo sobre cada lado a curva de koch, obteremos o que se chama ilha de Koch. Em especial, a figura obtida a partir do triângulo equilátero se assemelha a um floco de neve, e recebe esse nome devido a essa semelhança. Figura 14: As duas primeiras iterações da Ilha de Koch Vamos analisar algumas características do floco de neve de Koch. Quanto ao perímetro deste Fractal, temos que cada lado é formado a partir de uma curva de Koch, assim para obtermos o perímetro basta que multipliquemos o comprimento da curva de Koch por três. Teremos então que o perímetro desta figura é também infinito. Iremos agora determinar a área delimitada por esta figura, para facilitar os cálculos vamos supor que o comprimento dos lados do triângulo equilátero gerador do floco de neve é 1.

48 46 Temos que a área de um triângulo equilátero qualquer de lado l é dado por: A = 3 4 l2 Como estamos considerando o lado do triângulo inicial sendo unitário temos que a 3 área inicial será de. A cada iteração, é inserido um triângulo a cada segmento que 4 a figura possui. Observemos na tabela abaixo o número de triângulos inseridos a cada iteração: Tabela 1: Número de triângulos inseridos a cada iteração Iteração N Número de triângulos N 1 Assim ( ) na N-ésima iteração da construção do floco de neve são inseridos 3 4 N 1 de N 1 lado, logo a área de cada um desses novos triângulos será: 3 A N = N Esta área tende a zero quando N tende ao infinito. A área total da floco de neve de Koch é dada pela área do triângulo inicial adicionada das áreas individuais de cada triângulo inserido na figura após iteração, resultando assim: A T = N=1 4 N 1 A N com algumas manipulações algébricas obtemos: ( 3 A T = ( ) ) N N=1 ( ) Note que S = N=1 ( ) N 4 9 corresponde a um somatório infinito de uma progressão geométrica de razão r = 4 9, cujo

49 47 o primeiro termo é a 1 = 4, como r < 1 temos que a soma é dada por, 9 a 1 1 r = = 4 5 substituindo em ( ), 3 4 ( ) = Assim podemos verificar que este Fractal possui área finita, o que é uma característica curiosa uma vez que a curva que delimita a figura tem comprimento infinito. Podemos utilizar o algoritmo construído para gerar a curva de Koch no ambiento LOGO, para construir o floco de neve de Koch. A sequência de comandos abaixo gera este Fractal no ambiente LOGO, aqui x representa o tamanho que o lado do triângulo inicial terá e y indica a iteração que desejamos; aprenda ilha3 :x :y ad dt repita 3[koch :x :y pd 120] fim Onde o comando ad apaga qualquer desenho feito anteriormente e o comando dt faz com que a tartaruga desapareça. É importante ressaltar que o programa está chamando o programa koch já conhecido O triângulo de Sierpinski O também matemático polonês Warlaw Sierpinski ( ), obteve enorme reputação principalmente na década , a ponto de uma das crateras lunares ter o seu nome. Em 1916 Sierpinski apresentou um dos famosos monstros matemáticos em seu trabalho. Os passos para a construção do Triângulo de Sierpinski são os seguintes. 1. Considerar inicialmente o triângulo equilátero; 2. Construir os segmentos determinados pelos pontos médios de cada lado formando

50 48 quatro triângulos equiláteros; 3. Retirar o triângulo central, o que pode ser entendido na figura abaixo como o triângulo branco entre os demais que são pretos; 4. Repetir em cada um dos triângulos não eliminados (pretos) os passos 2 e 3; 5. Repetir o passo 4 sucessivamente. Figura 15: As duas primeiras iterações do processo de construção do triângulo de Sierpinski O processo descrito acima é conhecido como Processo por remoção de triângulos. vamos agora analisar alguns aspectos deste Fractal. Verificamos que inicialmente temos um triângulo, após a primeira iteração obtemos três triângulos, repetindo o processo teremos nove triângulos, e assim sucessivamente. Podemos demonstrar por indução que o número de triângulos T N em uma determinada iteração N será: T N = 3 N. Quando N cresce indefinidamente o número de triângulos tende a infinito. Ou seja: lim N 3N =. Agora verifiquemos o que ocorre com o perímetro do triângulo de Sierpinski a medida que as iterações ocorrem. Consideremos que o lado do triângulo inicial é l, assim inicialmente temos que o perímetro é dado por C 0 = 3l. Na primeira iteração teremos que o perímetro de cada triângulo será C 1 = 3l 2, na segunda teremos C 2 = 3l 4, seguindo este raciocínio concluímos que após N iterações o perímetro de cada triângulo contido na figura será: C N = 3l 2 N. Como verificamos anteriormente o número de triângulos é dado por 3 N, logo numa

51 49 determinada iteração N o perímetro total será dado por: C T = 3 3N 2 N l. Quando N tende ao infinito o perímetro total vai para o infinito. Denotando por A 0 a área do primeiro triângulo, vamos determinar a área de cada um dos triângulos obtidos após as iterações. Na primeira iteração dividimos o triângulo inicial em quatro triângulos e retiramos o triângulo central, sendo assim, a área de cada triângulo será dada por A 1 = 1 4 A 0, na segunda iteração pelo mesmo raciocínio cada triângulo possuirá área igual a um quarto da área A 1, assim A 2 = 1 16 A 0, repetindo esse argumento podemos concluir que dada uma iteração N o área de cada triângulo será: A N = 1 4 N A 0. será: Com isso, a área total A T obtida pela soma das áreas individuais dos 3 N triângulos A T = 3 N 1 4 N A 0 = ( ) N 3 A 0 4 como A 0 é um valor finito fixo e 3 < 1, temos que se N tende ao infinito a área total 4 tende a zero, ou seja, ( ) N 3 lim A 0 = 0. N O Jogo do Caos Existem outros processos capazes de gerar o triângulo de Sierpinski. O processo que discutiremos a seguir constitui um dos mais interessantes dentre os que geram este Fractal. O Jogo do Caos, criado por Barnsley, é descrito por Nunes (2006) como sendo um processo que em cada iterada do sistema é aplicado de forma aleatória. Esta técnica pode ser utilizada para obter diferentes formas, mas aqui nosso interesse está em utilizar este processo para gerar o triângulo de Sierpinski, para tal é necessário um dado convencional de seis lados. Os passos são os seguintes: Considere um triângulo de vértices A, B e C, e um ponto qualquer P n, interior ou exterior ao triângulo. Fixe o número k de iterações a serem realizadas. 1. Faça n = 0;

52 50 2. Por um processo de sorteio, escolha um dos vértices do triângulo; 3. Troque n por n + 1; 4. Marque o ponto P n+1 médio dos pontos P n e o vértice sorteado; 5. n < k? não - Volte ao passo 2. sim - Fim. Figura 16: Os quatro primeiros pontos obtidos pelo sorteio dos vértices CBBA Para valores de k pequenos o resultado pode parecer pouco interessante mas, quando fixamos um valor alto de k, a figura resultante se aproxima do triângulo de Sierpinski. Utilizando linguagem LOGO, programamos o Jogo do Caos, a figura 17 mostra a imagem gerada no software SuperLOGO 3.0, para diferentes valores de k. Figura 17: Jogo do Caos para k igual a 1000, 2000 e 4000 respectivamente.

53 51 Podemos também utilizar o Software Geogebra para obter o triângulo de Sierpinski através do Jogo do Caos, basta seguirmos os passos descritos anteriormente. Não há a necessidade de iniciarmos de um triângulo, podemos aos invés disso considerar inicialmente três pontos não colineares. Na figura 18 temos o processo realizado no software Geogebra a partir de três pontos aleatórios não colineares. Figura 18: Jogo do Caos no software Geogebra. As discussões que faremos agora tem o objetivo de explicar o motivo pelo qual a imagem constituída pelos pontos obtidos no jogo do Caos se assemelha ao triângulo de Sierpinski. Para tal, vamos estudar o comportamento dos pontos a medida que sorteamos os vértices no jogo do Caos. Para facilitar a visualização vamos considerar o ABC e sejam M, N e O os pontos médios dos segmentos AC, AB e BC, respectivamente. Aplicamos a primeira iteração do triângulo de Sierpinski obtendo assim 4 triângulos semelhantes ao primeiro. Como mostra a figura 19, o triângulo central é removido. Para iniciar o jogo do Caos precisamos de um ponto P 0 qualquer. Este ponto pode ser interior ao triângulo ABC ou não. Dividiremos a discussão em dois casos. Caso 1 P 0 é interior ao ABC Caso 2 P 0 é exterior ao ABC

54 52 Figura 19: Primeira iteração do triângulo de Sierpinski. Caso 1 Se o ponto P 0 é interior do ABC, e assumiremos que o vértice A foi o primeiro vértice sorteado. Se P 0 encontra-se no triângulo 1 da figura 19, obviamente o ponto médio P 1 do segmento P 0 A também pertencerá a este triângulo, pois sendo o triângulo um polígono convexo, qualquer segmento que une dois pontos deste estará totalmente contido neste, assim o ponto médio de um segmento qualquer contido em um triângulo pertence ao triângulo. Agora, se P 0 pertence a alguns dos outros 3 triângulos, consideremos os segmentos CB e MN, seja X um ponto no segmento CB, o ponto médio do segmento AX irá pertencer ao segmento M N, deste modo se tomarmos qualquer ponto Y pertencente aos triângulos 2, 3 ou 4, o ponto médio do segmento AY pertencerá ao triângulo 1. Portanto, P 1 também irá pertencer ao triângulo 1. Figura 20: Posição de P 1 quando o vértice A for sorteado. De modo análogo, se o vértice sorteado na primeira iteração for C ou B, então P 1 pertencerá ao triângulo 2 ou 3, respectivamente. Portanto após o primeiro sorteio o ponto P 1 pertencerá ao triângulo 1, 2 ou 3. Pelas mesmas considerações já feitas, o ponto P 2 também pertencerá a um destes triângulos.

55 53 Podemos concluir assim que qualquer que seja n > 0, P n não pertencerá ao triângulo 4, desde que P 0 esteja no ABC. Supondo agora que para a segundo sorteio C seja o vértice escolhido, então o ponto P 2 médio do segmento P 1 C pertencerá ao triângulo 2. Aplicando ao ABC a segunda iteração do triângulo de Sierpinski, verificaremos que o ponto P 2 pertencerá a uma região semelhante à região que pertence P 1 no ABC, deste modo, a posição referente a P 2 no triângulo 2 será semelhante à posição de P 1 no triângulo ABC. Se supormos agora que o terceiro vértice sorteado tenha sido B, então o ponto P 3 pertencerá ao triângulo 3 e assim como ocorreu com o ponto P 2 a posição de P 3 no triângulo 3, será equivalente à posição de P 2 no ABC, como mostra a figura 21. Figura 21: Posição de P 2 e P 3 após o sorteio dos vértices C e B respectivamente. Se continuarmos o raciocínio iremos verificar que para n sorteios, o ponto P n pertencerá ao triângulo 1, 2 ou 3, e terá uma posição semelhante ao ponto P n 1 no triângulo ABC. Se inicialmente o ponto P 0 pertencer ao triângulo 4, já verificamos que, para qualquer que seja n > 0, P n não estará no triângulo 4. Mas se A for o primeiro vértice sorteado, então P 1 estará em uma região do triângulo 1 semelhante a que P 0 se encontra no ABC. Assim se considerarmos a segunda iteração do triângulo de Sierpinski, P 1 não pertence a nuvem de pontos que irão gerar o triângulo de Sierpinski.

56 54 Sabemos que um ponto possui dimensão nula. Porém, quando caracterizamos um ponto, geralmente por um pequeno círculo num papel, este passa a ter um dimensão, assim, dado ɛ > 0, vamos considerar que cada ponto utilizado para caracterizar uma iteração do jogo do Caos seja uma círculo de raio ɛ. Como verificamos anteriormente cada segmento do triângulo de Sierpinski tende a zero quando o número de iterações tende ao infinito, portanto, para alguma iteração do triângulo de Sierpinski o comprimento de cada segmento será menor que ɛ daí, existirá r tal que P r irá coincidir com algum ponto do triângulo de Sierpinski. Logo, para n r, P n será um ponto do triângulo de Sierpinski. Podemos concluir assim que a partir de um certo valor de r, para todo n r, os pontos P n obtidos a cada sorteio vão se alocando nas regiões não removidas nas iterações do triângulo de Sierpinski. Podemos considerar os pontos P n obtidos como uma sequência {P 0, P 1, P 2, P 3,..., P n,...}, esta sequência não será convergente mas, podemos obter três subsequências (P 1i ), (P 2j ) e (P 3k ), convergentes para A, B e C respectivamente. Os pontos da subsequência convergente para A estarão todos localizados no triângulo 1, os que convergem para B estarão no triângulo 3 e aqueles que convergem para C encontram-se no triângulo 2, como mostra a figura 22. Pelas nossas discussões, a partir de um certo índice r, os pontos pertencentes a estas subsequências pertencerão ao triângulo de Sierpinski. Logo quando n a nuvem de pontos terá uma forma aproximada do triângulo de Sierpinski. Figura 22: Subsequências convergentes para os vértices A, B e C.

57 55 Caso 2 Se o ponto inicial P 0 não pertence ao triângulo ABC, como os pontos obtidos formam subsequências que convergem para os vértices, vai existir k tal que P k estará no interior do ABC, desta forma podemos considerar P O = P k e teremos o mesmo resultado que o já discutido até aqui. Figura 23: P 0 é ponto exterior do ABC O tapete de Sierpinski Aplicando um processo semelhante ao processo por remoção de triângulos para obter o triângulo de Sierpinski, em um quadrado, a figura resultante é o que chamamos Tapete de Sierpinski. Para gerar esta figura seguimos os seguintes passos: 1. Considere um quadrado; 2. Dividir os lados em três partes iguais, unir por segmentos os pontos que dividem os lados obtendo assim nove quadrados semelhantes ao primeiro quadrado; 3. Retirar o quadrado central; 4. Repetir os passos 2 e 3 para os quadrados restantes e assim sucessivamente. O resultado nas duas primeiras iterações pode ser visto na figura 24. Não iremos detalhar este Fractal como fizemos nos exemplos anteriores, quando as iterações tenderem ao infinito o que ocorre com o número de segmentos, o comprimento de cada segmento, o perímetro e a área da figura é semelhante ao que verificamos no triângulo de Sierpinski, ou seja, a medida que cresce o número de iterações, o número de

58 56 Figura 24: O resultado da primeira e segunda iteração do tapete de Sierpinski respectivamente segmentos e o perímetro tendem ao infinito, enquanto o comprimento de cada segmento e a área tendem a zero. Na verdade inserimos este Fractal pois sua variação no espaço gera um outro Fractal chamado Esponja de Menger que possui características interessantes as quais serão discutidas na seção seguinte Fractais no Espaço Vamos apresentar agora dois Fractais geométricos que possuem coordenadas espaciais. São eles o tetraedro de Sierpinski e a esponja de Menger. Estes são variações no espaço do triângulo de Sierpinski e do tapete de Sierpinski, respectivamente Tetraedro de Sierpinski Obtido a partir de um tetraedro, este fractal é uma variação do triângulo de Sierpinski no espaço. Geometricamente os passos para a construção deste Fractal são os seguintes. 1. Considere um tetraedro; 2. a partir dos pontos médios de cada aresta obter cinco novos tetraedros semelhantes ao tetraedro original; 3. retirar o tetraedro central; 4. repetir os passos 2 e 3 para os tetraedros restantes e assim sucessivamente. Vamos analisar algumas características deste fractal. Quanto a área deste fractal, seja A a área inicial de cada face do tetraedro, assim antes de qualquer iteração a área total é dada por 4A. Na primeira iteração de cada

59 57 Figura 25: As quatro primeiras iterações do processo de construção do tetraedro de Sierpinski. face será removido um triângulo que tem área correspondente a 1 de A. No entanto, 4 serão acrescidos 4 novos triângulos que possuem área igual a dos triângulos anteriormente removidos. Portanto, a perda e o acréscimo na área se anulam e a área total após a primeira iteração se mantém. Do mesmo modo, na segunda iteração a perda de área será compensada pelo acréscimo e novamente a área total se manterá a mesma. Concluímos assim que a área do tetraedro de Sierpinski se mantém qualquer que seja ao número de iterações realizados. Agora seja V o volume do tetraedro inicial. Na primeira iteração dividimos a figura em cinco tetraedros equivalentes ( ) e retiramos um deles. O volume de cada um dos tetraedros 1 obtidos será igual a V. Como teremos quatro tetraedros restantes, o volume total 5 após a primeira iteração será ( 4 5 ) V. Na segunda iteração dividiremos cada um dos tetraedros restantes em cinco tetraedros equivalentes e retiramos um ( tetraedro ) de cada um deles. O volume de cada um dos 2 1 tetraedros restantes será de V. De cada um dos quatro tetraedros restantes após a 5 primeira iteração obtemos quatro novos tetraedros, assim temos um total de 4 2 tetraedros. ( ) 2 4 Logo o volume total do tetraedro de Sierpinski após a segunda iteração será V. 5 Continuando este raciocínio, teremos que após n iterações do tetraedro de Sierpinski o volume total será dado por: V T = ( ) n 4 V 5

60 Como ( ) 4 < 1, temos que se n, então V T 0. 5 Assim concluímos que a medida que cresce o número de iterações a área deste Fractal se mantém a mesma ao passo que seu volume tende a zero Esponja de Menger Criado por Karl Menger ( ) a esponja de Menger é um Fractal que possui um incrível paradoxo: o de ser um objeto geométrico com volume zero e área infinita. Geometricamente, os passos para construir este Fractal são os seguintes: 1. Considere um cubo; 2. Dividir o cubo original em 27 cubos semelhantes ao primeiro a razão de 1 3 ; 3. Retirar os cubos centrais de cada uma das faces e a cubo centra; 4. Repetir os passos 2 e 3 em cada um dos cubos restantes e assim sucessivamente. Figura 26: As quatro primeiras iterações do processo de construção da esponja de Menger. Vamos analisar as características deste fractal. Primeiramente vamos verificar o total de cubos removidos e cubos restantes e o comprimento da aresta de cada cubo após a divisão resultante de uma determinada iteração. Na primeira iteração dividimos o cubo inicial em 27 cubos e retiramos 7 cubos, consideremos que o cubo inicial possua aresta igual a k, logo cada um dos 27 cubos terá aresta igual a k. Concluímos assim que após a primeira iteração teremos 7 cubos removidos e 3 20 cubos restantes. Na segunda iteração em cada um dos 20 cubos restantes repetiremos o processo obtendo assim um total de 7 20 cubos removidos ( ) e restarão 20 2 cubos, a aresta de cada 2 k um destes cubos terá comprimento igual a. 3

61 59 ( ) Na terceira iteração, serão removidos cubos e sobrarão 20 3 cubos de aresta 3 k. 3 Resumidamente, em relação a contagem de cubos após n iterações, temos a tabela seguinte: Tabela 2: Número de cubos removidos e cubos restantes a cada iteração Iteração N Cubos removidos n Cubos restantes n Para o comprimento de cada aresta após n iterações, temos: Tabela 3: Número de cubos removidos e cubos restantes a cada iteração Iteração N ( ) 2 ( ) 3 ( k k k k Aresta k Quando n, o número de cubos cresce indefinidamente, enquanto a aresta de cada cubo restante tende a zero. Vamos verificar agora o que ocorre com o volume da esponja de Menger a medida que crescem as iterações. Supondo novamente que o cubo inicial tenha aresta k temos k 3 = V que é o volume do cubo inicial, como na primeira iteração cada cubo possui aresta k ( ) 3, 1 então, cada um desses cubos terá volume igual a V, como temos 20 cubos restantes 27 ( ) 20 então o volume total após a primeira iteração será V. 27 ( ) 1 De modo análogo, teremos que o volume de cada cubo será dado por V e como 27 ( 2 ) 2 20 restam 20 2 cubos teremos um volume total na segunda iteração igual a V. Da mesma forma, o volume total após a terceira iteração será dado por Generalizando, após n iterações teremos: ( ) n 20 V T = V 27 ) n 27 ( ) 3 20 V. 27 ( ) 20 Como < 1, quando n o volume da esponja de Menger tende a zero, uma 27 interpretação geométrica para este fato pode ser a seguinte: as perfurações na esponja

62 60 vão aumentando tanto que a esponja tende a desaparecer em volume. Vamos estudar agora as áreas das superfícies a cada iteração da esponja. Seja A a área de cada face do cubo inicial, assim a área da superfície total inicialmente é dada por 6A. Na primeira iteração cada face perde ( ) ( ) 1 1 A, logo a perda total é de 6 A, entre- 9 9 tanto, ganha-se 24 novos quadrados (quadrados brancos na figura 27), na razão de 1 ( ) 9 das 1 faces do cubo original, para a superfície, portanto, aumenta-se a área em 24 A. 9 Figura 27: Quadrados adicionados na área da esponja de Menger Em resumo, a área total da esponja no nível um será dada por: ( ) ( ) [ ] 1 1 ( ) A T = 6A 6 A + 24 A = A = 8A Verificamos assim que a área total tem um aumento de 4 na primeira iteração. Se 3 continuarmos verificaremos que a cada iteração a área aumenta nessa proporção. Como 4 > 1, quando o número de iterações tende ao infinito a área da esponja de Menger 3 crescerá indefinidamente. Assim, verificamos o paradoxo citado anteriormente, apesar do volume da esponja tender a zero a medida que crescem as iterações, a área tende ao infinito.

63 61 4 Dimensão Fractal A dimensão Fractal, termo criado por Mandelbrot, é mais uma das inúmeras características que intrigam nestes entes geométricos. Este capítulo é dedicado a este assunto e também apresentará métodos para calcular a dimensão de um Fractal Geométrico. Primeiramente deixemos claro que a dimensão Fractal difere da dimensão Topológica, ou euclidiana, que intuitivamente pode ser obtida pelo número de coordenadas necessárias para indicar a localização de cada ponto em um determinado objeto. A dimensão Fractal, por sua vez, exprime a dimensão espacial, em outras palavras o espaço que uma figura ocupa. Uma figura fractal também possui dimensão Topológica, por exemplo a curva de Koch possui dimensão de uma curva qualquer, ou seja dimensão 1. A curva de Koch apresenta escalas arbitrariamente pequenas e ocupa um espaço maior que uma curva convencional, não dotada de estrutura fina, tendo assim uma dimensão maior que a unidade, mas também não chega a ocupar tanto espaço quanto a faixa do plano que a contém, tendo portanto dimensão menor que 2. Dai concluímos que a curva de koch possuirá uma dimensão fracionária. A dimensão Fractal nem sempre será fracionária, mas esta é uma característica que a maioria da figuras fractais apresentam. Nas figuras geométricas tradicionais a dimensão Fractal e a dimensão Topológica coincidem. Segundo Serra e Karas (1997), a dimensão Fractal pode ser calculada através dos seguintes métodos: 1. Dimensão de Homotetia ou de Auto-similaridade; 2. Dimensão de Contagem de Caixas ou de Cobertura; 3. Dimensão de Hausdorf-Besicovitch. Em particular o primeiro método é suficiente para obtermos a dimensão de um Fractal Geométrico, devido as características que estes apresentam. O segundo método é mais geral e pode ser aplicado a qualquer tipo de figura, é também adequado para implementação com recursos computacionais. Segundo Serra e Karas (1997), este método

64 62 consiste em cobrir a figura com uma malha de quadrados de lado δ e contarmos o número de quadrados que contém ao menos um ponto da figura. Supondo que n seja esse número. Quanto menor o valor de δ melhor será a precisão do método, assim fazendo-o tender a zero obtemos a dimensão Fractal da figura, ou seja, a dimensão está definida pelo limite dimf = lim δ 0 log n log δ Figura 28: O método de contagem de caixas com δ = 128, 64 e 32 e n = 27, 90 e 315, respectivamente. Não discutiremos este método uma vez que o primeiro é mais adequado para nossos propósitos. O terceiro método é dotado de maior rigor teórico e formalizações e como nosso interesse está em apresentar uma maneira prática de calcular a dimensão Fractal. Assim como o segundo método este também não será abordado. 4.1 Dimensão de Homotetia ou de Auto-similaridade Como já dito anteriormente homotetia ou auto-similaridade consiste em obter réplicas menores da figura, quando ampliamos ou reduzimos. Para compreendermos o processo para calcular a dimensão por esse método, analisemos algumas figuras geométricas conhecidas. Se tomarmos um segmento de reta e o dividirmos em p partes iguais, obteremos segmentos de reta com razão de semelhança de 1. O número n de segmentos obtidos p

65 63 relaciona-se com a razão de semelhança r da seguinte forma: n = 1 r Na figura 29 um segmento de reta dividido em quatro partes iguais, logo r = 1 4. Figura 29: Segmento de reta dividido em 4 partes iguais. Tomando agora um quadrado, se dividirmos cada um de seus lados em p partes iguais, obteremos n = p 2 quadrados semelhantes ao original, relacionando a razão de semelhança r com n temos, n = 1 r 2 Na figura 30 os lados do quadrado foram divididos em três partes iguais, originando assim nove quadrados com razão de semelhança r = 1 3. Figura 30: Quadrado dividido em 9 partes iguais. Na figura 31 podemos observar um cubo do qual cada lado foi dividido em duas partes iguais, originando portanto oito cubos com r = 1, podemos então concluir que: 2 n = 1 r 3 Lembrando que nas figuras geométricas tradicionais a dimensão Topológica é igual a

66 64 Figura 31: Cubo dividido em 8 partes iguais. dimensão Fractal, denotando por D a dimensão Fractal, podemos escrever: n = 1 r D Como nosso objetivo é calcular D, apliquemos a função logarítmica em ambos os lados da igualdade: log n = log 1 r D log n = log 1 log r D log n = 0 D log r D log r = log n D = log n log r e assim fica determinado uma fórmula para calcular a dimensão de figuras Fractais que possuem auto-similaridade. Vamos determinar então a dimensão das figuras estudadas até agora, uma vez que os fractais geométricos, discutidos no capítulo anterior, possuem a característica necessária para utilização do método discutido para determinar a dimensão Fractal. 4.2 Determinando a Dimensão de alguns Fractais Geométricos Agora que possuímos uma maneira de determinar a dimensão fractal, vamos determinar o valor desta dimensão para cada um dos Fractais estudados no capítulo anterior.

67 65 Iniciaremos com o conjunto de Cantor. A cada iteração do conjunto de cantor cada segmento é trisseccionado e retira-se o segmento central. Assim a cada iteração obtém-se dois novos segmentos de cada segmento da iteração anterior logo n = 2. Cada um desses segmentos possui razão de semelhança r = 1 com o segmento anterior. 3 Figura 32: Segmentos obtidos de cada segmento após uma iteração no conjunto de Cantor. Assim a dimensão Fractal do conjunto de Cantor será dada por: D = log n log r = log 2 log 1 3 log 2 = log 1 log 3 = log 2 log 3 0, 63. Como vimos anteriormente a dimensão Topológica do conjunto de Cantor é igual a zero e verificamos agora que sua dimensão Fractal excede estritamente sua dimensão Topológica, em outras palavras, o conjunto de Cantor ocupa mais espaço que um ponto e menos espaço de que uma curva de dimensão 1. Vamos agora calcular a dimensão Fractal da curva de Koch. A cada iteração de cada um dos segmentos são obtidos quatro novos segmentos, logo n = 4, cada um destes segmentos possui razão de semelhança r = 1 em relação ao segmento original (figura 33). 3 Figura 33: Segmentos obtidos de cada segmento após uma iteração na curva de Koch.

68 66 Desta forma temos que a dimensão Fractal da curva de Koch é: D = log n log r = log 4 log 1 3 log 4 = log 1 log 3 = log 4 log 3 1, 26. Assim verificamos que a curva de Koch preenche mais espaço do que uma curva qualquer de dimensão igual a 1. No triângulo de Sierpinski, a cada iteração obtemos 3 novos triângulos semelhantes ao anterior a razão r = 1 2. Figura 34: Novos triângulos obtidos a cada iteração do triângulo de Sierpinski. Logo calculando a dimensão fracionária deste Fractal obtemos: D = log n log r = log 3 log 1 2 = log 3 log 2 1, 58. Para o tapete de Sierpinski obtemos a cada iteração 8 quadrados do a razão de semelhança r = 1 3 do quadrado original. Figura 35: Novos quadrados obtidos a cada iteração do tapete de Sierpinski. Assim a dimensão Fractal do tapete de Sierpinski é dada por: D = log n log r = log 8 log 1 3 = log 8 log 3 1, 89.

69 67 Vamos agora calcular a dimensão do tetraedro de Sierpinski. A cada iteração obtemos 4 novos tetraedros que possuem razão de semelhança r = 1 em relação ao tetraedro 2 original. Figura 36: Tetraedros obtidos a cada iteração do tetraedro de Sierpinski. Assim, a dimensão deste Fractal é: D = log n log r = log 4 log 1 2 = log 4 log 2 = 2. Portanto, apesar deste Fractal ser um objeto do espaço, tem dimensão Fractal de uma figura bidimensional. Este é um exemplo em que a dimensão Fractal não assume um valor fracionário. Por fim vamos determinar a dimensão Fractal da esponja de Menger. A cada iteração da esponja dividimos o cubo em 27 cubos semelhantes ao primeiro a razão r = 1 e retiramos 7 destes cubos, ficando assim com 20 cubos restantes. Temos 3 assim n = 20. Portanto a dimensão Fractal da esponja de Menger será dada por: D = log n log r = log 20 log 1 3 = log 20 log 3 2, 73. Podemos verificar assim, que quando estudamos Fractais no espaço, a dimensão Fractal destes não excede a dimensão Topológica.