Método da Determinação da Dimensão Fractal por Fourier e Análise Multiescala para Reconhecimento de Padrões

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1 Método da Determinação da Dimensão Fractal por Fourier e Análise Multiescala para Reconhecimento de Padrões Leandro Paganotti Brazil, Leonardo A. Andrade, Odemir M. Bruno USP - Universidade de São Paulo ICMC - Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação SCC - Departamento de Ciência da Computação Cx Postal CEP São Carlos (SP) (leandro,landrade,bruno)@icmc.usp.br Resumo A Dimensão Fractal de um objeto possui uma grande riqueza de informação em suas diferentes escalas espaciais. Este trabalho tem como propósito o estudo e validação de um método para o cálculo de Dimensão Fractal fazendo o uso da Transformada de Fourier. Com base nesse método, apresenta-se uma análise da dimensão de um objeto fractal em suas diversas escalas de complexidade, isto é, a Dimensão Fractal MultiEscala. Esta, por sua vez, demonstrou-se ser uma eficiente ferramenta para o reconhecimento de padrões. Foram realizados testes para o cálculo das dimensões de alguns objetos clássicos da geometria fractal, tais como Koch, TreeLike e entre outros. Por fim, são apresentados resultados de testes para reconhecimento de padrões usando a curva multiescala sobre texturas de Brodatz. 1. Introdução A geometria euclidiana define e estuda formas ditas como perfeitas (pontos, retas, quadrados, círculos entre outras), contudo, não é suficiente para classificar algumas formas presentes na natureza. Essas formas possuem como base, regras simples de construção, mas que ao serem repetidas inúmeras vezes, geram figuras de uma complexidade espantosa [1]. Essas novas formas apresentam auto-semelhança em nível de escala, ou seja, o conjunto total é constituído por pequenas réplicas dele mesmo independente da escala utilizada para visualizálo [8]. O nome dado a essas formas foi cunhado por Mandelbrot, sendo chamadas de fractais [9]. Uma característica importante dos fractais é relativa a sua dimensão. Os objetos ditos euclidianos possuem sua dimensão inteira, enquanto os objetos fractais possuem sua dimensão fracionada. O objetivo geral deste trabalho é o estudo e a validação de um método para o cálculo de dimensão fractal fazendo o uso da Transformada de Fourier. Com base nesse método, apresenta-se uma análise da Dimensão Fractal MultiEscala e seu uso para o reconhecimento de padrões. Serão apresentados testes com o método de Fourier para objetos clássicos da geometria fractal e, também, análise multiescala para reconhecimento de padrões sobre as texturas de Brodatz. Este trabalho está organizado na seguinte forma: na seção 2 serão vistos os conceitos básicos sobre a dimensão fractal; na seção 3 será mostrado o método de Fourier para o cálculo da dimensão fractal; na seção 4 é mostrado uma análise multiescala para o método proposto; na seção 5 serão introduzidos alguns conceitos sobre texturas; na seção 6 serão mostrados alguns resultados obtidos com o método de Fourier e, também, com a análise multiescala para reconhecimento de padrões e, porfim, na seção 7 serão discultidos os resultados obtidos com o método proposto. 2. Dimensão Fractal A dimensão de um objeto fractal é um valor fracionário, pois este valor indica o grau de complexidade ou irregularidade que uma imagem possui, ou seja, o quanto do espaço físico ela ocupa [7] [11]. Seja uma linha de comprimento L e outra de comprimento u, de modo que L > u. Sobrepondo a linha u sobre a linha L até cobri-la completamente, encontra-se um valor N = L/u, que nada mais é que uma medida da linha. Da mesma forma que é feito para linha, pode ser feito para um quadrado de lado L, sobrepondo-se quadrados menores de lado u, obtendo a mesma relação N = (L/u) 2. De modo geral temos a seguinte relação: N = (L/u) D (1)

2 Extraindo o logaritmo de ambos os lados obtemos: D = ln(n) ln(l/u) onde D é a dimensão fractal do objeto. Para um objeto euclidiano D é inteiro, para um fractal D é fracionário. 3. Dimensão Fractal pela Transformada de Fourier Em análises de uma imagem, esta é considerada como sendo uma função discreta f(x, y), onde x e y são as coordenadas de pixel na horizontal e vertical respectivamente. A Transformada Discreta de Fourier é aplicada para transformar uma imagem 2D em uma imagem F (u, v) correspondente no domínio da freqüência, e é dada como: F (u, v) = 1 M.N M 1 x=0 N 1 y=0 (2) f(x, y) e j 2π(ux/M+vy/N) (3) onde u e v são as coordenadas de pixel da imagem no domínio da freqüência. A magnitude da imagem no domínio da freqüência é dado como: M(u, v) = R(u, v) 2 + I(u, v) 2 (4) onde R(u, v) é a parte real e I(u, v) a parte imaginária da função F (u, v). A fase da imagem no domínio da freqüência é dado como: ( ) I(u, v) Φ(u, v) = arctan (5) R(u, v) A dimensão de um objeto fractal pode ser obtida pelo relacionamento linear do logaritmo da magnitude com o logaritmo da fase. Esse relacionamento é representado por uma reta u(t) aproximada. Assim, a dimensão fractal é D = α, onde α é a inclinação da reta u(t) aproximada [4]. Para gerar o gráfico da dimensão fractal, é necessário inicialmente calcular o histograma da fase. Variando o ângulo de 0 a 180 o, com incremento de 1 o, é possível calcular o valor da fase para cada um desses ângulos, e seu valor será dado pelo arco-tangente da parte imaginária divida pela parte real. Os valores obtidos geram o eixo horizontal do gráfico citado. O eixo vertical é calculado pelo acúmulo da magnitude, que é dado pela raiz quadrada do espectro na fase do domímio da imagem. 4. Análise Multiescala A curva log-log u(t) gerada pelo método para cálculo de dimensão fractal por Fourier possui uma grande riqueza de detalhes em suas diferentes escalas espaciais. Aplicando a essa curva uma transformação multiescala U(u(t), a), onde a é a escala de observação, obtemos uma função de escala espacial relacionada à curva e não mais a um valor numérico [6] [11]. A essa nova função gerada dá-se o nome de Dimensão Fractal MultiEscala(DFM). O uso da transformação multiescala sobre u(t) permite analisar não apenas um valor da dimensão para um objeto fractal, mas sim, uma função que representa os seus diferentes níveis de fractalidade para as diferentes escalas observadas [6] [10]. Essa curva é obtida a partir da primeira derivada da curva u(t), onde DFM é a dimensão fractal. DF M = du(t) dt Validação da derivada: a derivada numérica utiliza apenas a vizinhança de um ponto para o cálculo da derivada, a derivada no espectro leva em consideração todos os pontos da curva, garantindo uma maior precisão do resultado[1]. Diferenciação Multiescala Baseada em Fourier: é um método que permite extrair características MultiEscala de um sinal por meio da prorpiedade Derivativa da Transformada de Fourier. Esse método é a transformada de fourier da função, diferenciada no domínio da freqüência, juntamente com uma suavização gaussiana e a Transformada Inversa de Fourier [2] [3]. Obtemos a seguinte equação: du(t) dt (6) = F 1 {F {u(t)}g a (f)(j2πf)} (7) onde t e u(t) são, respectivamente, os logaritmos da magnitude e da fase da imagem do método de dimensão fractal por Fourier, f é a frequência, j é o número imaginário e G a (f) é a transformada de Fourier da função gaussiana de desvio padrão a. Para garantir um bom resultado do método de derivação, é necessário levar em consideração alguns aspectos importantes. Deve-se garantir que o sinal analisado possui uma boa amostragem. Para isso, basta desconsiderar os primeiros pontos do sinal, pois a amostragem nesses pontos é baixa. Além disso, a curva gerada pelo método de Fourier é uma reta aproxima de coeficiente angular negativo, portanto deve-se inverter o sinal de inclinação da reta, como observado na Figura 1. Outro fator importante a ser considerado na derivada de Fourier é em relação a descontinuidade nas extremidades do sinal. Esse Fenômeno é conhecido como Gibbs [2]. Para resolver tal problema, usa-se o método de replicação e reflexão de sinal, afim de fazê-lo contínuo para a transformada de Fourier. Esse método garante a continuidade do sinal no intervalo [2N 1, 3N] [1], como observado na Figura 2. Finalmente, depois de resolver tais problemas acima, pode-se então extrair a derivada do sinal pelo método de

3 sos de reconhecimento, descrição e classificação de imagens [1], contudo, o processo de reconhecimento é caro computacionalmente [5] Assinaturas Figura 1. Curva log-log gerada pelo método com o inverso da sua inclinação. Parte com fundo cinza desconsiderada para o método de derivada por Fourier. A assinatura de uma imagem pode ser definida como uma função ou matriz de menor complexidade que possa representar ou caracterizar a mesma, com a qual é possível reconhecer se um trecho de um padrão é similar a outro. As técnicas utilizadas para determinação da assinatura, envolvem transformações T : I 2 R ou T : I 2 I, onde a função ou vetor obtido caracteriza a imagem. 6. Resultados Experimentais Os resultados apresentados foram implementados com o software MatLab, e o código foi executado em um computador Pentium IV de 3,4 GHz com 2 GB de RAM. Foram realizados cálculos de dimensão fractal utilizando uma implementação do método de Fourier para os objetos da Figura 3. Em seguida, os resultados são comparados com os resultados obtidos pelo método de Minkowiski implementado em [1]. Figura 2. Curva log-log gerada pelo método com o inverso da sua inclinação e o esquema de replicação e reflexão. Fourier. A Dimensão Fractal Multiescala é obtida como sendo DF M(t) = du(t) dt onde u(t) é a curva gerada pelo método de Fourier. (8) 5. Análise de Textura As texturas, assim como os fractais, se caraterizam pela repetição de um padrão. No caso das texturas, o padrão é aplicado sobre uma determinada região, sendo que este pode sofrer pequenas variações. A textura se apresenta como um ótimo descritor de regiões, e contribui para uma maior precisão para os proces- Figura 3. Imagens testadas com o método de Fourier implementado. (a) Quadrado, (b) Box, (c) Koch (n=4), (d) Triângulo de Sierpinski e (e) TreeLike.

4 6.1. Comparações da Dimensão Fractal por Fourier, Minkowsky e Boxcounting A seguir, são mostrados os resultados do cálculo da dimensão fractal pelo método de Fourier implementado. O primeiro cálculo feito foi realizado para um quadrado, sendo o valor encontrado igual a O gráfico mostrado na Figura 4 indica pelo inverso de sua inclinação, a dimensão fractal da Figura Box. O valor encontrado foi de Multiescala e Reconhecimento de Padrões O método de determinação da dimensão fractal multiescala por Fourier, determina uma assinatura geométrica da figura em sua curva multiescala, e isto pode ser utilizado para reconhecimento de padrões. Com a implementação deste método, é possível realizar a identificação de determinada textura. Para testar a implementação realizada foram utilizados blocos de 256x256 pixels retiradas de determinadas imagens de textura de Brodatz, como mostram as Figuras 5, 6, 7 Figura 4. Dimensão de Fractal da figura Box pelo método de Fourier. Desvios da ordem de 5% e regressão linear na forma y = ax + b. Foi calculada a dimensão fractal das curvas de Koch, do Triângulo de Sierpinski e da Figura TreeLike, sendo os valores encontrados de 1.444, e respectivamente. A Tabela 1 mostra os resultados encontrados pelo método de Fourier, Box e Minkowski, além do valor teórico da dimensão fractal para as figuras de testes. F igura F ourier M inkowski T eorico Quadrado Box Koch(n = 4) Sierpinski T reelike Tabela 1. Comparações de métodos que calculam a dimensão fractal. Os resultados de Minkowski utilizaram raio = 20 e foram extraídos de [1] Figura 5. Bloco 1 - Imagens retiradas do padrão 1 de Brodatz testadas com o método de Dimensão Fractal Multiescala por Fourier implementado. (a) Recorte 1, (b) Recorte 2, (c) Recorte 3, (d) Recorte 4. Para as figuras originais com os padrões de Brodatz (em resolução 640x480 pixels) foi gerada uma curva multiescala com a técnica utilizada, e em seguida um gráfico com as curvas geradas para cada um dos três blocos. Os resultados podem ser observados nas figuras 8, 9, 10, 11, 12, 13 Se ajustarmos a escala dos gráficos em relação ao eixo da escala de qualquer uma das curvas geradas por recortes do padrão de Brodatz, e em seguida realizarmos o somatório das difenças entre os valores da dimensão fractal das curvas de recorte e o da assinatura, a menor diferença indica a qual padrão o recorte pertence, o que valida o método para reconhecimento de padrões. 7. Conclusões O cálculo da dimensão fractal por Fourier implementado utilizou a mesma metodologia para geração de resultados, e podemos observar que a distribuição dos pontos do loga-

5 Figura 8. Curva Multiescala para o padrão 1 de Brodatz. Figura 6. Bloco 2 - Imagens retiradas do padrão 20 de Brodatz testadas com o método de Dimensão Fractal Multiescala por Fourier implementado. (a) Recorte 1, (b) Recorte 2, (c) Recorte 3, (d) Recorte 4. Figura 9. Curvas Multiescalas para os quatro recortes do padrão 1 de Broadatz encontrados na figura 5. Figura 7. Bloco 3 - Imagens retiradas do padrão 23 de Brodatz testadas com o método de Dimensão Fractal Multiescala por Fourier implementado. (a) Recorte 1, (b) Recorte 2, (c) Recorte 3, (d) Recorte 4. Figura 10. Curva Multiescala para o padrão 20 de Brodatz.

6 Figura 11. Curvas Multiescalas para os quatro recortes do padrão 20 de Brodatz encontrados na figura 6. ritmo da magnitude indica se o resultado é confiável. Em especial na Figura Box encontramos o caso onde a distribuição não é uniforme, observando que o valor da dimensão fractal calculado não se aproximou do valor teórico, a diferença foi de 0,592, enquanto as outras diferenças foram de 0.103, 0.182, e para as Figuras Quadrado, Koch (n = 4), Triângulo de Sierpinki e TreeLike respectivamente. Também é importante observar que parte dos dados iniciais dos dados que geram a dimensão fractal devem ser descartados, para que a distribuição seja uniforme e confiável. Este foi um dos passos iniciais realizados na implementação da dimensão multiescala, onde foram descartados 30% dos dados iniciais da curva de dimensão fractal. Isto garantiu que a derivada por Fourier calculada não fosse descaracterizada, inviabilizando a eficácia do método proposto. A assinatura de texturas indicada pela curva multiescala implementada demonstrou o potencial da técnica multiescala para a análise e classificação de imagens, o que pode ser observado pelos resultados testados com as texturas de Brodatz. Referências Figura 12. Curva Multiescala para o padrão 23 de Brodatz. Figura 13. Curvas Multiescalas para os quatro recortes do padrão 23 de Brodatz encontrados na figura 7. [1] A. R. Backes. Implementação e comparação de métodos de estimativa da dimensão fractal e sua aplicação à análise e processamento de imagens. Master s thesis, USP - Universidade de São Paulo, [2] E. O. Brigham. The Fast Fourier Transform. New Jercey, Practice Hall, second edition, [3] L. F. Costa and R. M. Cesar. Shape Analysis and Classification: Theory and Practice. CRC, first edition, [4] A. G. M. Dongming Tang. Microstructure and fractal analysis of fat crystal networks. Journal of the American Oil Chemists Society, 83(5): , May [5] D. Ebert. Texturing and Modeling: A Procedural Approach. Academic Press, [6] C. Emerson, N. S.-N. Lam, and D. A. Quattrochi. Multi-scale fractal analysis of image texture and pattern. Photogrammetric Enginnering and Remote Sensing, 65(1):51 61, [7] K. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical and Applications. New York, John Wiley, [8] D. Gulick. Encounters With Chaos. McGraw-Hill International Editions - Mathematics and Statistics Series, [9] B. B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, 19th edition edition, [10] R. O. Plotze, M. Flavio, and O. M. Bruno. Fractal dimensions applied to plant identification. submetido para publicação na Patter Recogniton lettes, [11] C. Tricot. Curves and Fractal Dimension. New York: Springer-Verlag, 1994.