Uma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real

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1 Uma condição necessária e suciente para integrabilidade de uma função real Jonas Renan Moreira Gomes 1 e Fernanda S. P. Cardona (orientadora) 1 Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME USP), Bolsista do programa USP-Santander jgomes@ime.usp.br; jrenan@gmail.com Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (IME USP) cardona@ime.usp.br; 1. Introdução No estudo das funções Riemann integráveis (R[a, b]) surge o fato de que todas as funções contínuas num intervalo fechado são Riemann integráveis nesse mesmo intervalo (C[a, b] R[a, b]) e é claro que nem todas as funções Riemann integráveis são contínuas. No entanto a relação entre integrabilidade e continuidade é mais sutil. O critério de Lebesgue para a existência da integral de Riemann arma que uma função limitada é Riemann integrável se, e somente se, o conjunto dos pontos de descontinuidade do seu domínio tem medida Seguimos a argumentação proposta por [] para mostrar que é possível renar a hipótese do critério: basta que o conjunto dos pontos de um tipo especíco de descontinuidade (que chamaremos no texto de descontinuidade essencial de primeira ordem) tenha medida zero para que a correspondente função limitada seja Riemann integrável. Os conceitos topológicos básicos estarão denidos na seção, com esses conceitos provaremos algumas propriedades sobre Conjuntos de Medida Zero, na seção 3. Começaremos então um estudo mais aprofundado sobre Descontinuidades na seção 4, sendo capazes de identicar o conjunto dos pontos de descontinuidade essencial de primeira ordem. Dessa forma, provaremos na seção 5 um renamento do critério de Lebesgue. No texto utilizaremos o fato de que todo intervalo fechado é um conjunto fechado, sem enunciar explicitamente essa passagem.. Pre-Liminares Assumiremos que os conjuntos R, N, Q estão construídos como em [3]. Todas as provas que não são dadas (nesse caso utilizaremos o rodapé) podem ser encontradas em [4]. Introduziremos a notação que iremos utilizar pelo resto do artigo e após damos algumas denições..1 Notação Optamos por manter a notação padrão quando ela existe, vamos mostrar aqui algumas exceções: R + irá denotar o conjunto dos reais estritamente positivos. Um intervalo será representado por I. diâmetro, por D(I). Seu O conjunto de todas as partições do intervalo fechado [a, b] será representado por P [a, b]. A soma superior (respectivamente: soma inferior) de uma função f com respeito a uma partição P de seu domínio será denotada por S(P, f) (respectivamente: I(P, f)).. Denições Algumas denições que serão utilizadas ao longo do texto: Um conjunto E será dito enumerável se existir uma bijeção entre E e N. Um conjunto A R será aberto se x A, ɛ R tal que [x ɛ, x + ɛ] A (todo ponto de A é um ponto interior ). Um conjunto A R será fechado se seu complementar em R (i.e. R \ A) for aberto. Uma função, f : I R será contínua em x I se ɛ R +, δ R + tal que ( x x < δ f(x) f(x ) < ɛ). Uma função limitada f : I R (I necessariamente é um intervalo fechado) será Riemann Integrável se ɛ R +, P P [a, b] tal que S(P, f) I(P, f) < ɛ. Teorema 1. Se A e B contidos em R são abertos, então a sua união (A B) também o é. Demonstração. Basta notar que, x A B implica que x A ou x B. Sem perda de generalidade, vamos considerar x A. Assim, ɛ R, [x ɛ, x + ɛ] A [x ɛ, x + ɛ] A B. Assim A B é aberto. Corolário 1. Se A e B contidos em R são fechados, então a sua intersecção (A B) também o é.

2 Demonstração. R\(A B) = (R\A) (R\B), pelas leis de De Morgan. Assim, pelo teorema anterior, R\(A B) é aberto (porque é a união de dois abertos) e, por denição, A B é fechado. Teorema. Para todo A R é equivalente: 1. A é fechado e limitado.. Toda cobertura de A por intervalos abertos admite uma subcobertura nita. Preferimos omitir a demonstração desse teorema para não recorrer ao conceito de compacidade (ou de pontos de acumulação). Uma demonstração pode ser encontrada em [1]. 3. Conjuntos de medida zero Dizemos que um subconjunto Z de R tem medida zero (ou medida de Lebesgue zero) se, ɛ R + existe uma seqüência {I n } de intervalos abertos tais que: Z n I n. n D(I n) < ɛ. Teorema 3. Todo conjunto unitário tem medida Demonstração. Se F = {x }, então ɛ R +, F ]x ɛ 4, x + ɛ 4 [ e é claro que podemos formar uma seqüência de intervalos cuja soma de seus diâmetros seja menor que ɛ. Teorema 4. Se Z tem medida zero e Y Z, então Y também tem medida Demonstração. Dado ɛ, seja {I n } a seqüência de intervalos que satisfazem os dois critérios para Z. Logo, Y Z Y n I n. E assim, Y tem medida Teorema 5. A união enumerável de conjuntos de medida zero é um conjunto de medida Demonstração. Se E = n Z n, então, dado ɛ >, para cada n podemos escolher para cada Z n uma seqüência ({Im})de n intervalos de diâmetro menor que ɛ e formar, a partir dessas seqüências {I n s } 1. Como s D(I s) < ɛ = ɛ, então as duas n condições estão satisfeitas. Corolário. Todo conjunto enumerável tem medida 1 Aqui estamos assumindo que N N é enumerável. Demonstração. Se M é enumerável então M = n {x n}. Mas, pelo teorema 3, cada {x n } tem medida Pelo teorema 5, M tem medida Corolário 3. Se X [a, b] é um conjunto fechado e de medida zero, então ɛ R +, P P [a, b] tal que a soma do comprimento dos intervalos de P da forma [x j, x j+1 ] X é menor que ɛ. Demonstração. Dado ɛ R +, sejam {I n } os intervalos abertos que satisfazem as duas condições de medida zero para X. Como X é limitado e fechado, então existe uma subcobertura nita de {I n } que ainda cobre X, e m D(I n) < ɛ. Podemos formar as seqüências {a j } e {a m } de números reais tais que I i = [a j, a m ] (os extremos inferiores e superiores dos intervalos) e então criar a seqüência de pontos{p n }, dispondo em ordem crescente {a j } e {a m }. Tome P = m {P n } {a, b}. O conjunto P de fato é uma partição de [a,b] e, como m D(P i) < m D(I i), então a soma dos comprimentos dos intervalos que contém algum ponto de x é menor que ɛ. 4. Descontinuidades Nessa seção iremos descrever vários tipos de descontinuidades possíveis para uma função. Como esse conceito será central, vamos explicitar a negação da denição de continuidade de uma função em um ponto x pertencente ao seu domínio: f é descontínua em x pertencente ao seu domínio ɛ R +, δ R +, ( x Dom ( f ) tal que x x < δ e f(x) f(x ) > ɛ) 4.1 Tipos de descontinuidades No que se segue, vamos supor sempre que x pertence ao domínio da função em questão. Diremos que f tem uma descontinuidade removível em x se mas lim x x f(x) lim f(x) f(x ). x x Chamamos de descontinuidade removível porque, se alterarmos a denição de f de forma que f(x) = f(x ), então f seria contínua em x.

3 Diremos que f tem uma descontinuidade de salto em x se lim f(x) lim f(x). x x x x + Diremos que f tem uma descontinuidade essencial de primeira ordem em x se f(x) e + f(x) não existem. Diremos que f tem uma descontinuidade essencial de segunda ordem em x se Ou f(x) ou + f(x) não existe. Representaremos o conjunto das descontinuidades removíveis, de salto, essenciais de primeira ordem e essenciais de segunda ordem, de uma função f, respectivamente por R f, S f, E 1f, E f. Obtemos então outra denição para descontinuidade de uma função em um ponto de seu domínio: f é descontínua em x pertencente ao seu domínio x R f S f E 1f E f. Exemplos Se f : [1, 1] R, f(x) = então R f. { sen(x) Se 3 f : R R, x [x], então Z = S f. Se f : [, 1] R, f(x) = [, 1] = E 1f. x, se x,, se x = { 1, se x Q, se x / Q então { x, se x Se f : [1, 1] R, f(x) = 1, então x, se x > E f. 4. Outra caracterização da descontinuidade Estaremos interessados agora em encontrar outra caracterização para a descontinuidade, que será importante para decidir se o conjunto de descontinuidade de uma função é enumerável ou não. 3 [x] representa o menor inteiro mais próximo de x. Oscilação de uma função A oscilação de uma função f em um subconjunto (I) de seu domínio será denida por ω f (I) = sup { f(s) f(t), {s, t} I}. De forma análoga, deniremos a oscilação de f em um ponto x de seu domínio como: ω f (x ) = inf{ω f ([x δ, x + δ]), δ R + }. Teorema 6. Seja x um ponto do domínio de f. A função f é contínua em x se, e somente se, ω f (x ) =. Demonstração. Se f é contínua em x, ɛ R +, existe δ R + tal que, se {s, t} [x δ, x + δ], então f(s) f(x ) < ɛ e f(t) f(x ) < ɛ, mas f(s) f(t) = f(s) f(x ) (f(t) f(x )) f(s) f(x ) + f(t) f(x ) = ɛ. Então ω f (x ) = inf{ɛ, ɛ R + } ω f (x ) = Suponha agora que ω f (x ) =, mas então inf{ω f ([x δ, x + δ]), δ R + } =, isto é 4, ɛ R +, δ R + tal que < ω f ([x δ, x +δ]) < ɛ, ou ainda: ɛ R +, δ R + tal que {s, t} [x δ, x + δ] então sup { f(s) f(t) } = ɛ, logo, f(s)f(t) < ɛ. Como δ R +, x [x δ, x +δ], f é contínua em x. Teorema 7. Se α R + então, xada uma função f (com domínio D), o conjunto {x D ω f (x) < α} é aberto em R Demonstração. Fixado α R +, se p {x D ω f (x) < α}, então, δ R + tal que ω f ([p δ, p + δ]) < α. Se x [pδ, p+δ], então w f (x) < α. Como x é arbitrário, [p δ, p + δ] {x D ω f (x) < α}. Assim p é um ponto interior. Como p é arbitrário, {x D ω f (x) < α} é aberto. Corolário 4. Seja f : [a, b] R, xado (α R + ) então S = {x [a, b] ω f (x) α} é fechado e limitado. Demonstração. Pelo teorema anterior, {x [a, b] ω f (x) < α} é aberto em R, assim, seu complementar em relação a R({x R ω f (x) α}) é fechado, por denição. Então {x [a, b] ω f (x) α} = {x R ω f (x) α} [a, b] é a intersecção de dois conjuntos fechados e, pelo corolário 1, é fechado. Como {x D ω f (x) α} [a, b], então {x [a, b] ω f (x) α} também é limitado. 4 Usamos aqui a denição de ínmo de um subconjunto de R: b = infa se b é cota inferior de A e ɛ R +, a A tal que b < a < b + ɛ.

4 Teorema 8. Seja f : [a, b] R. O conjunto S = R f S f E f é enumerável. Demonstração. Seja A 1 = {x E f existe f(x)} e A = {x E f existe + f(x)}. É claro que S = (R f S f A 1 ) (R f S f A 1 ). Denotaremos (R f S f A 1 ) por S 1 e (R f S f A ) por S. Sabemos (pela caracterização 4.1 da descontinuidade) que x S f é descontínua em x. Para cada n N, consideremos o conjunto O n = {x S 1 ω f (x ) > 1 n }. Como x S 1, pelo teorema 6, ω f (x ) > e assim, n N ω f (x ) > 1 n. Logo, x O n, para algum n, isto é, S 1 n O n. Assim, se cada O n for enumerável, S 1 também será 5. Provaremos que cada O n é enumerável. Se x O n, então existe f(x). Fixado ɛ R + δ R + tal que (x ]x δ, x [ f(x) f(x ) < ɛ). Mas, se x 1 ]x δ, x [, então, δ R + tal que ( x x 1 < δ f(x) f(x 1 ) f(x) f(x ) + f(x 1 ) f(x ) < ɛ) (basta tomar δ tal que ]x 1 δ, x 1 + δ [ ]x δ, x [). Como ɛ foi arbitrário, para x ]x δ, x [, f é contínua em x, logo x / S 1, ou ainda, x O n, δ R + tal que ]x δ, x [ O n =. Fixado n, tome x O n. Seja q n (x ) um número racional em ]x δ(x ), x [ (δ(x ) para o qual ]x δ, x [ O n = ). Dena F : O n Q por x q n (x ). Se {x, y } O n e x y, então (considerando x < y ), ]x δ(x ), x [ ]y δ(y ), y [=, caso contrário x ]y δ(y ), y [, o que é um absurdo. Assim q n (x ) q n (y ) e F é injetora. Restringindo o contradomínio, criamos F : O n A( Q) bijetora. Assim 6, cada O n é enumerável e S 1 é enumerável. Poderíamos fazer exatamente a mesma construção para S e chegarmos a conclusão de que S é enumerável. Assim, S = S 1 S é enumerável. 5. Renamento do critério de Lebesgue para a Riemann-Integrabilidade Antes de apresentarmos um renamento do critério de Lebesgue, vamos apresentar o próprio critério: 5 Novamente, esse fato equivale à enumerabilidade de N N. 6 Aqui usamos dois fatos: Q é enumerável e todo subconjunto de um conjunto enumerável é, no máximo, enumerável. 5.1 Critério de Lebesgue Teorema 9. Uma função f limitada é Riemann integrável se, e somente se, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tem medida Demonstração. Suponha que f : I R é Riemann integrável, então: ɛ R +, P P [a, b] tal que S(P, f)i(p, f) < ɛ. Se P = {x 1,..., x m }, então n1 (f(η i ) (x i )) (f(ξ i ) (x i )) < ɛ (onde x i = x i+1 x i e f(η i ) = sup{f(x) x x i } e f(ξ i ) = inf{f(x) x x i }). Ou ainda, (f(η i ) f(ξ i )) x i < ɛ. Mas, para cada i {1,..., n}, se {s i, t i } x i, temos f(s i ) f(t i ) < f(η i ) f(ξ i ). Logo f(s i ) f(t i ) x i < ɛ. Para cada n N, seja S n = {x [a, b] ω f (x) > 1 n }. Dado ɛ R+, vamos escolher ɛ = ɛ n e, a partir desse ɛ, extrair uma partição P de f tal que {s i, t i } x i para cada i n, f(s i )f(t i ) x i < ɛ. Então, x S n 1 n < ω f (x). Se i N tal que y i x i então 1 n x i < ω f (y i ) x i < ɛ, o que implica x i < ɛ. Assim, para x S n que estão contidos em algum x i, podemos tomar {]x i, x i+1 [} como uma seqüência de intervalos abertos que contém esses pontos e cujo diâmetro é menor que ɛ. Se não existe i tal que x x i, então x P. Mas, desde que P é enumerável, P tem medida zero e podemos encontrar uma seqüência de intervalos abertos com diâmetro total menor que ɛ que cobre P. Assim, S n tem medida zero e, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tem medida zero (tal conjunto é n S n, pelo teorema 6).

5 Suponha agora que o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tenha medida Fixe ɛ 1 R +, então o conjunto S = {x [a, b] ω f (x) ɛ} (onde ɛ = min{ ɛ1, ɛ 1 (ba) }) está contido no conjunto dos pontos de descontinuidade de f, e, pelo teorema 4, tem medida Pelo corolário 4, S é fechado. Sendo fechado e de medida zero, o corolário 3 garante que existe uma partição de [a,b] cujos intervalos que contém elementos de S são arbitrariamente pequenos. Tomemos então uma partição P de [a,b] tal que os intervalos que contém algum elemento de ɛ S tem diâmetro menor que 4 f (onde f = max{sup{f(x), x [a, b]}, inf{f(x), x [a, b]}}). Logo S(P, f) I(P, f) = S(P, f) I(P, f) + S(P, f) I(P, f). Referências [1] Elon L. Lima, Análise Real, Vol. 1, Publicações IMPA. [] J. Klippert, Advanced Advanced Calculus: Counting the Discontinuities of a Real-Valued Function with Interval Domain, Mathematics Magazine 6, [3] E. Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Pub Co. [4] A.J. White, Real analysis : an introduction, Addison- Wesley. Onde P são os intervalos que não contém nenhum ponto de S e P os que contém. Então: S(P, f) I(P, f) = < f Para os pontos de P : S(C, f) I(C, f) < (f(η i ) f(ξ i )) (x i ) (x i ) < ɛ ɛ 1. (f(η i ) f(ξ i )) (x i ) Logo, < ɛ (x i ) < ɛ(b a) ɛ 1. S(P, f) I(P, f) < ɛ 1 e f é integrável em [a,b]. 5. Renamento do critério de Lebesgue Teorema 1. Uma função f denida em um intervalo fechado será Riemann integrável se, e somente se, E 1f tiver medida Demonstração. Devido ao critério de Lebesgue, f é Riemann integrável se, e somente se, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f tiver medida Porém, pelo teorema 8, sabemos que o conjunto R f J f E f tem medida Assim, o conjunto dos pontos de descontinuidade de f terá medida zero se, e somente se, E 1f tiver medida