Caos e Fractais. Ana Maria M. Morita, Fernando Nera Lenarduzzi e Juliana Conceição Precioso

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1 Caos e Fractais Ana Maria M. Morita, Fernando Nera Lenarduzzi e Juliana Conceição Precioso ana.morita@hotmail.com, ferlenarduzzi@gmail.com, precioso@ibilce.unesp.br Universidade Estadual Paulista, Departamento de Matemática - São José do Rio Preto-SP, CEP: , Brazil. Resumo Neste artigo, trabalharemos principalmente com a família quadrática Q c () = + c, c R, onde o valor c R é denominado parâmetro da família. Desenvolveremos uma teoria para compreendermos o comportamento das possíveis órbitas de um sistema. Em seguida introduziremos a noção de caos, apresentando as condições para que um sistema dinâmico seja considerado caótico. Por fim, apresentaremos também uma breve introdução a teoria dos fractais. Palavras-chave: Sistemas dinâmicos, órbita, bifurcação, caos, fractais. Abstract In this paper, we will work mainly with the quadratic family Q c () = + c, c R, where the value c R is denominated the parameter of the family. We will develop a theory for we understand the behavior of the possible orbits of a system. Soon afterwards, we will introduce the chaos notion, presenting the conditions so that a dynamic system is considered chaotic. Finally, we will also present an little introduction the theory of the fractals. keywords: Dynamical systems, orbit, bifurcation, chaos, fractals.. Introdução Os fenômenos ditos caóticos são aqueles onde não há previsibilidade. As variações climáticas e as oscilações da bolsa de valores são eemplos de fenômenos caóticos. Atualmente, com o desenvolvimento da Matemática e das outras ciências, a Teoria do Caos surgiu com o objetivo de compreender e dar respostas a estes fenômenos imprevisíveis que se encontram na natureza e em nosso cotidiano. Segundo a Teoria do Caos, a evolução de um sistema dinâmico depende crucialmente das suas condições iniciais. O trânsito é um bom eemplo. Já observou que há dias em que o congestionamento é maior? Tal transtorno pode ter sido causado por um carro acidentado, ou quem sabe uma empresa tenha dispensado seus funcionários mais cedo e houve um fluo maior num cruzamento ou pode ter ocorrido outras situações semelhantes. Mesmo assim, o número de variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito das condições iniciais. Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou ruim. Uma das mais conhecidas bases da teoria do Caos é o chamado efeito borboleta que se refere às condições iniciais, segundo o qual, o bater de asas de uma simples borboleta poderia provocar um tufão do outro lado do planeta. Neste trabalho apresentaremos de uma maneira simples e contetual, a teoria do caos dentro de um eemplo dinâmico real. Apresentaremos ainda, alguns conceitos e eemplos da geometria presente nos sistemas caóticos conhecida como geometria fractal.. Um eemplo de sistema dinâmico Como motivação para o nosso trabalho, apresentaremos agora, um eemplo de um sistema dinâmico bem simples, aplicado as finanças. Consideremos a seguinte situação: suponha que depositamos R$.000 em um banco a juros de 0% ao ano. Se deiarmos n anos o dinheiro em nossa conta, quanto teremos em conta ao final deste período? Ao final do primeiro ano aumentamos 0% ao nosso capital A 0 e obtemos o nosso novo montante A, isto é, A = A A 0 =, A 0 Dessa forma, temos que A =R$.00. Dessa forma, ao final de cada ano, fazemos a mesma operação A =, A, A =, A, A n =, A n. Note que estamos usando uma fórmula de recorrência, isto é, sempre se faz necessário saber um valor anterior para determinar o próimo. Mais ainda, podemos definir uma F() =, de forma que: A = F(A 0 ), A = F(A ), A = F(A ), e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

2 y Assim, podemos compor as funções F da seguinte forma A = F(F(A 0 )) = F F(A 0 ) = (, ) A = F(F(F(A 0 ))) = F F F(A 0 ) = (, ). De maneira geral, a n-ésima iteração de funções é dada por F F() = (, ) n Então, para encontrarmos A n basta calcularmos (, ) n e multiplicar por A 0. Por eemplo, podemos verificar que A 0 = R$.59, 7.. Iterações e Órbitas Nesta seção, definiremos iterada de uma função, órbita de um ponto e citaremos alguns tipos de órbitas. Iterar uma função signica avaliar a função repetidamente, usando o valor obtido da avaliação anterior como o valor de entrada para a próima. Para uma função F, F () é a segunda iterada de F, avaliada em, F () é a terceira iterada, e mais geralmente, F n () seria a n-ésima iterada, ou seja, a n-ésima composição de F com ela mesma. Definição. Dado 0 R, a órbita de 0 definida em F é a sequência dos pontos 0, = F( 0 ), = F ( 0 ),..., n = F n ( 0 ),.... O ponto 0 é chamado origem da órbita. Eemplo. Seja F() = e 0 = 8, então a órbita de 0 é: 0 = 8, = 8 = 9, = 9 = = =, 70, Note que se continuarmos esse processo, vemos que a órbita de 0 converge para.. Tipos de Órbitas Eistem vários tipos de órbitas. O tipo de órbita mais importante é a do ponto fio. Definição. Um ponto fio é um ponto 0 satisfazendo F( 0 ) = 0 e, mais geralmente, F n ( 0 ) = 0, pois F n ( 0 ) = F n (F( 0 )) = F n ( 0 ) = = F( 0 ) = 0. Consequentemente, a órbita de um ponto 0 é a sequência constante 0, 0,. Pontos fios são obtidos resolvendo a equação F() =. Interpretação gráfica: Os pontos fios são determinados geometricamente pela interseção do gráfico da F com a reta y = Outro tipo de órbita importante é a órbita periódica. Definição. Uma órbita é chamada órbita periódica ou cíclo se o ponto 0 é um ponto periódico, isto é, temos F n ( 0 ) = 0, para algum n > 0 e F k ( 0 ) 0 para k < n. Figura : F() = sin() e em azul a reta y =. Se 0 for um ponto periódico, de período n, então a órbita de 0 será uma sequência de números que se repetem a cada bloco de n elementos, isto é, 0, F( 0 ), F ( 0 ) F n ( 0 ), 0, F( 0 ), F ( 0 ) F n ( 0 ),. Se 0 for um ponto periódico de período k, então 0 será um ponto fio para F k, ou seja, F k ( 0 ) = 0. Logo, os pontos periódicos de período k, podem ser encontrados resolvendo a equação F k () =. Eemplo 5. Com F() = e 0 = 0, temos que o período da órbita é uma vez que F(0) = e F( ) = 0. Dessa forma, a órbita de 0 = 0 por F() =, será composta por 0 e da forma 0,, 0,, 0,,... Além disso, F tem dois pontos fios, = + 5, = 5 os quais podem ser obtidos resolvendo-se a equação =. Anteriormente discutimos a órbita do ponto fio e a órbita periódica. Eistem também outros tipos de órbitas, a saber, as órbitas eventualmente fias e eventualmente periódicas. Definição 6. Um ponto 0 é chamado ponto eventualmente fio, ou eventualmente periódico, se 0 não é um ponto fio ou periódico, mas algum ponto da órbita de 0 é fio ou periódico. Eemplo 7. é um ponto eventualmente periódica para F() =, pois F() = 0, F(0) = e F( ) = 0. Logo, F possui uma órbita eventualmente periódica para 0 =. Temos a seguinte sequência como órbita, 0,, 0,, 0,,... Eemplo 8. Seja F() = e 0 =. Temos que a órbita de é eventualmente fia e dada por,,,,. 5. Análise gráfica das órbitas e retrato de fase Suponha que tenhamos o gráfico de F e gostaríamos de determinar a órbita de um determinado ponto 0. Começaremos sobrepondo a reta diagonal y = sobre o gráfico de F. Como vimos na Definição., os pontos de interseção da diagonal e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

3 com o gráfico de F, nos fornecem os pontos fios de F. Para encontrar a órbita de 0, começamos com o ponto ( 0, 0 ) que encontra-se na reta diagonal. Deste ponto, traçamos uma reta vertical que tocará o gráfico de F no ponto ( 0, F( 0 )). Traçando a reta horizontal que passa por este ponto, tocaremos a reta diagonal no ponto (F( 0 ), F( 0 )). Para determinar o próimo ponto desenhamos a reta vertical partindo de (F( 0 ), F( 0 )) em direção ao gráfico; isto nos fornece (F( 0 ), F ( 0 )). Novamente, traçamos a linha horizontal para encontrar a diagonal e assim sucessivamente. y K K 0 K, K,0 0,8 0,6 0, 0, - 0 K,0 K0,5 0 0,5,0 K0, Figura : Acima temos a análise gráfica e abaio o retrato de fase. K0, Figura : Em vermelho temos a função F() = e em azul a reta y =. A análise gráfica nos permite determinar o comportamento das órbitas de um sistema dinâmico. Lancemos mão de outra ferramenta: o Retrato de Fase. Esta é uma representação na reta real das órbitas de um sistema. Representamos os pontos fios em um retrato de fase por pontos e a dinâmica da órbita por setas. Eemplo 9. Para a função F() =, os pontos fios são, 0 e. Se 0 <, então F n ( 0 ) 0, por outro lado se 0 >, então F n ( 0 ) diverge. A análise gráfica e o retrato de fase desta função estão representados na figura abaio. 6. Teorema do Ponto Fio Teorema 0. (Teorema do Ponto Fio) Suponha que F : [a, b] [a, b] é contínua. Então eiste um ponto fio para F em [a, b]. Demonstração. Considere a função H : [a, b] R, definida por H() = F(). Como F é contínua, segue que H é contínua. Além disso, H satisfaz H(a) = F(a) a 0 e H(b) = F(b) b 0. Dessa forma, pelo Teorema do Valor Intermediário, eiste c [a, b], com H(c) = 0. Assim, H(c) = F(c) c = 0, o que implica que F(c) = c. Portanto, c é um ponto fio. 7. Ponto fio atrator e repulsor Definição. Suponha que 0 é um ponto fio de F. Então, 0 é um ponto fio atrator, se F ( 0 ) <. O ponto 0 é um ponto fio repulsor, se F ( 0 ) >. Finalmente, se F ( 0 ) =, o ponto fio é chamado de neutro ou indiferente. Teorema. (Teorema do Ponto Fio Atrator) Suponha que 0 é um ponto fio atrator para F. Então, eiste um intervalo I, que contém 0 em seu interior tal que a seguinte condição é satisfeita: se I, então F n () I, para todo n e F n () 0 quando n +. Demonstração. Como F ( 0 ) <, eiste λ > 0 tal que F ( 0 ) < λ <. Podemos escolher um δ > 0, de forma que F () < λ, se pertence ao intervalo I = [ 0 δ, 0 + δ]. Seja p um ponto de I. Pelo Teorema do Valor Médio F(p) F( 0 ) p 0 = F (k) < λ, para algum k entre p e 0. Então, uma vez que 0 é um ponto fio, F(p) F( 0 ) = F(p) 0 < λ p 0. Temos então, que a distância de F(p) à 0 é menor do que a distância de p à 0, pois 0 < λ <. Em particular, F(p) também pertence ao intervalo I. Portanto, podemos aplicar novamente o mesmo argumento para F(p) e F( 0 ) e obter F (p) 0 = F (p) F ( 0 ) < λ F(p) F( 0 ) = λ F(p) 0 < λ(λ p 0 ) = λ p 0. < λ p 0 e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

4 Note que F (p) está ainda mais próimo de 0. Observe ainda, que podemos continuar usando o mesmo argumento para obter F n (p) 0 < λ n 0. Agora, como lim n + λn = 0, F n (p) 0 quando n. Teorema. (Teorema do Ponto Fio Repulsor) Suponha que 0 é um ponto fio repulsor de F. Então eiste um intervalo I que contem 0 em seu interior e com a seguinte condição satisfeita: se I e 0, então eiste um inteiro n > 0 tal que F n () I. Demonstração. A demonstração é análoga a do teorema do ponto fio atrator. Vejamos agora, alguns eemplos de pontos fios neutros. Eemplo. Considere a função identidade f () =. Todos os pontos são fiados por f, mas nenhum é atrator ou repulsor. Eemplo 5. Seja f () =. O ponto zero é o único ponto fio, mas zero não é atrator e nem repulsor, pois 9. Dinâmica das Aplicações Quadráticas Nosso objetivo é entender a dinâmica da família quadrática Q c, quando o parâmetro c varia. Para isso, encontramos inicialmente seus pontos fios. Estes pontos são obtidos resolvendose a equação + c =, a qual tem duas raízes: p + = ( + c) p = ( c). Dessa forma, concluímos que Q c não tem pontos fios, se c >, p + = p =, se c = e Q c tem dois pontos fios distintos p + > p, se c <. No caso c >, o gráfico de Q c é uma parábola côncava para cima e este gráfico não intercepta a diagonal y =. Assim, a análise gráfica mostra que neste caso, todas as órbitas de Q c tendem para o infinito e, portanto a dinâmica fica completamente entendida. 0 =, f ( 0 ) =, f ( f ( 0 )) =,..., R {0}, isto é, as órbitas dos pontos 0 são -ciclos. Eemplo 6. A função f () = tem como ponto fio 0 = 0. Este ponto é fio e é atrator à direita e repulsor à esquerda. 8. Pontos periódicos Um ponto periódico também pode ser classificado como atrator, repulsor ou neutro. Aqui, o cálculo é um pouco mais compleo e por esta razão, começaremos com um eemplo. Considere a função F() =. Note que F tem um ciclo atrator de período com órbita 0,, 0,,. Os pontos 0 e são os pontos fios da segunda iterada F () = ( ) ) =. Temos que (F ) () = ( ), o que implica que (F ) (0) = (F ) ( ) = 0. Logo, (F ) (0) < e (F ) ( ) <. Portanto, os pontos fios de F, 0 e, são pontos fios atratores. Essas idéias nos motivam a estender as definições de atração e repulsão para ciclos de uma maneira natural: Definição 7. Um ponto periódico de periodo n é atrator (repulsor) se é um ponto fio atrator (repulsor) para F n. Algumas órbitas periódicas podem conter alguns pontos que são atratores e alguns que são repulsores. Para determinar se um ponto periódico 0 de período n é atrator ou repulsor, devemos computar a derivada da F n para 0. Utilizando a regra da cadeia, temos (F n ) ( 0 ) = F (F n ( 0 )) (F n ) ( 0 ) = F ( n ) F ( n )... F ( 0 ). y K K 0 K Figura : Todas órbitas de Q c () = + c para c > tendem ao infinito Quando c =, o gráfico de Q c toca a diagonal em um único ponto e quando c <, o gráfico de Q c toca a diagonal em dois pontos. Portanto, em c <, encontramos nossa primeira bifurcação. Bifurcação significa uma divisão em dois. Na próima seção chamaremos este tipo de bifurcação de selanó ou bifurcação tangente. Podemos verificar que p ± são atratores, repulsores ou neutros, dependendo do parâmetro c. Uma vez que Q c() =, temos Q c(p + ) = + c e Q c(p ) = c. Note que Q c(p + ) =, se c =. Assim, p+ é um ponto fio neutro. Agora, se c <, então Q c(p + ) >, pois c > 0 para c nestas condições. Portanto, p + é ponto fio repulsor. Analisemos agora o ponto fio p. Temos que Q c(p ) =, quando c =, ou seja, neste caso p é um ponto fio neutro. e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

5 Quando c é ligeiramente menor que, Q c(p ) <, então p torna-se atrator. Observe que Q c(p ) < < Q c(p ) < 0 < c < < c <. Portanto, p é atrator, quando < c <. Note ainda, que Q c (p ) =, quando c =, e portanto, p é neutro. Se c <, então Q c(p ) <. Logo, p é repulsor. Podemos resumir toda a discussão acima, no seguinte resultado: Proposição 8. (A Primeira Bifurcação) Para a família Q c () = + c i) Todas as órbitas tendem ao infinito, se c >. ii) Quando c =, Q c tem um único ponto fio p + = p =, o qual é neutro. iii) Para todo c <, Q c tem dois pontos fios p + e p. O ponto fio p + é sempre repulsor. a) Se < c <, p é atrator. b) Se c =, p é neutro. c) Se c <, p é repulsor. Se c, as dinâmicas mais interessantes ocorrem no intervalo p + p +. Note que Q c ( p + ) = p+, então p + é um ponto eventualmente fio. Na verdade, a análise gráfica mostra que, se p > p+ ou p < p +, então a órbita de p tende ao infinito. Para < c <, todas órbitas no intervalo ( p +, p + ) tendem para o ponto fio atrator p. Quando c < aparece um ciclo de período. Para encontrar os pontos de período, basta resolver a equação, Q c() =, cujas soluções são: p + = ( + c) e p = ( c). Daí, fazendo a divisão de Q c () por ( p + )( p ) encontramos o polinômio + +c+, cujas raízes são os pontos q + = ( + c ) e q = ( c ). Desta forma, é fácil ver que, se c =, temos q + = q = p, que é um ponto fio neutro para Q c. Note que q + e q são reais se, e somente se, c 0, ou seja, se c. Portanto, temos um novo tipo de bifurcação chamada bifurcação de duplicação de período. Quando c é menor que, duas coisas acontecem: O ponto fio p se torna repulsor e um novo -ciclo surge em q ±. Note que quando c =, q + = q = = p, então estes períodos se originam em p. Observe que (Q c) (q + ) = Q c(q + )Q c(q ) = ( + c )( c ) = c +, pois Qc (q + ) = q. Logo, (Q c) (q + ) < se, e somente se, c + <, ou seja, 5 < c <, (Q c) (q + ) >, se c < 5 e finalmente, (Q c) (q + ) =, se c = 5. Portanto, temos demonstrado a seguinte proposição: Proposição 9. (A Segunda Bifurcação) Para a família Q c () = + c, concluímos que: i) Para < c <, Q c tem um ponto fio atrator em p e nenhum -ciclo. ii) Para c =, Q c tem um ponto fio neutro em p = q ± e nenhum -ciclo. iii) Para 5 < c <, Q c tem dois pontos fios repulsores p + e p e q ± é um -ciclo atrator. iv) Para c < 5, Q c tem dois pontos fios repulsores p + e p e q ± é um -ciclo repulsor. 0. A bifurcação Sela-Nó Consideraremos uma família de funções a um parâmetro F λ. Para cada parâmetro λ, F λ é um função de. Por eemplo, F λ () = λ( ), S λ () = λ sin e E λ () = e + λ são todas famílias de funções a um parâmetro. Bifurcações ocorrem em uma família de funções a um parâmertro quando eiste uma mudança na estrutura do ponto fio ou periódico quando λ passa por algum valor particular de parâmetro. Entre as mais importantes bifurcações está a sela-nó ou bifurcacão tangente. Definição 0. Uma família de funções F λ sofre uma bifurcação sela-nó (ou tangente) no parâmetro de valor λ 0, se eiste um intervalo aberto I e um ɛ > 0 tal que:. Para λ 0 ɛ < λ < λ 0, F λ não tem pontos fios no intervalo I.. Para λ = λ 0, F λ tem um ponto fio em I e este ponto fio é neutro.. Para λ 0 < λ < λ 0 + ɛ, F λ tem dois pontos fios em I, um atrator e um repulsor. Intuitivamente, esta definição significa o seguinte: uma bifurcação sela-nó ou tangente, ocorre se as funções F λ não tem pontos fios no intervalo I, para valores de λ ligeiramente menores que λ 0, tem eatamente um ponto fio em I, quando λ = λ 0, e tem eatamente dois pontos fios em I, para λ s ligeiramente maiores que λ 0. Eemplo. A família quadrática Q c () = +c tem uma bifurcação sela-nó em c =, como discutido previamente. Neste eemplo podemos tomar o intervalo I como sendo toda a reta real. Não eistem pontos fios quando c >, eiste um ponto fio neutro quando c = e um par de pontos fios (um e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

6 K0,8 K0,7 K0,6 K0,5 K0, K0, K0, K0, 0 K0, y K0, K0, K,5 K,0 K0,5 0 0,5,0,5 K0, K K0,5 Figura 5: Em azul, Q (); em amarelo, Q (); em vermelho, Q (); em verde, a reta y =. atrator e um repulsor) para < c <. Note que podemos tomar ɛ = neste eemplo.. A Bifurcação de Duplicação de Período Definição. Uma família de funções a um parâmetro F λ, sofre uma birfucação de duplicação de período no parâmetro de valor λ = λ 0, se eiste um intervalo aberto I e um ɛ > 0 tal que:. Para cada λ no intervalo [λ 0 ɛ, λ 0 + ɛ], eiste um único ponto fio p λ para F λ em I.. Para λ 0 ɛ < λ λ 0, F λ não tem ciclos em I e p λ é atrator (respectivamente, repulsor).. Para λ 0 < λ < λ 0 + ɛ, eiste um único ciclo q λ, q λ em I com F λ (q λ ) = q λ. Este ciclo é atrator ( respectivamente repulsor). Enquanto, o ponto fio p λ é repulsor (respectivamente atrator).. Quando λ λ 0, temos q i λ p λ 0. Eemplo. Considere a família F λ () = λ. Note que esta família tem um ponto fio em 0, para todo λ. Quando < λ <, este ponto fio é atrator. Quando λ =, 0 é neutro. E quando λ <, 0 é repulsor. Uma bifurcação de duplicação de período ocorre em λ =. O caminho mais fácil para verificar isso, é notar que F λ é uma função ímpar. Isto é, F λ ( ) = F λ () para todo. Em particular, se F λ ( 0 ) = 0, então temos Fλ ( 0) = F λ ( 0 ) = F λ ( 0 ) = 0. Deste modo, podemos resolver a equação F λ () = para encontrar ciclos. Isto produz a equação λ =, cujas raízes são = 0, λ +, λ +. O ponto 0 é nosso ponto fio, e as outras raízes fomam um ciclo. Observe que este ciclo aparece somente quando λ >.. O caso c = Vamos analisar as órbitas de Q () =. Lembre-se que toda dinâmica interessante de Q c está situada em p + p +, onde p + é o ponto fio repulsor, com p + > 0. Para c =, temos p + =, então nos concentraremos no intervalo [, ], o qual chamaremos de I. Observe que Q é estritamente crescente em [0, ], e leva este subintervalo em I de maneira injetora. Analogamente, Q é estritamente decrescente no subintervalo [, 0] e também leva este subintervalo em I de maneira injetora. Logo, todo ponto de I, (eceto -), tem duas pré-imagens em I, uma em [, 0] e a outra em [0, ]. K K 0 K K Figura 6: Em verde Q e em vermelho y =. Sabemos que [0, ] e [, 0] são ambos levados por Q em I, assim, com ecessão do ponto -, todos os pontos de I tem duas pré-imagens em [0, ] por Q e o mesmo ocorre para [, 0]. Dessa forma, conseguimos encontrar vales em Q e intervalos que são levados por Q em I. Usando o mesmo argumento, podemos encontrar vales em Q e 8 intervalos que são levados pela Q em I. Seguindo a mesma linha de raciocínio, veremos que Q n tem n vales em I. O gráfico de Q n, intercepta a diagonal, no mínimo, n vezes em I. Cada cruzamento fornece um ponto periódico de período n. Então, temos o seguinte resultado: Teorema. A função Q tem no mínimo n pontos periódicos de período n no intervalo. e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

7 . O caso c < K K 0 K K K K 0 K K Considere o intervalo I = [, ]. Para c <, a órbita de alguns pontos não permanecem neste intervalo I e tendem para o infinito. Porém, eistem órbitas que nunca deiam o intervalo I, como por eemplo, a órbita dos pontos fios. K K 0 K K K K Figura 7: Gráfico de Q c para c <. Denotemos por λ, o conjunto de pontos cuja órbita nunca deia o intervalo I. Isto é, Λ = { I/ Q n c() I, n}. Seja A, o intervalo constituído pelos pontos cuja primeira iterada sai do intervalo I. Assim, as órbitas desses pontos, tendem para o infinito. Para a segunda iterada, temos um par de intervalos que chamaremos de A, constituído pelos pontos onde a segunda iterada sai do intervalo I. Logo, as órbitas desses pontos tendem para o infinito. Assim, continuando o processo, teremos o conjunto A n, constituído pelos pontos cuja a n-ésima iterada sai do intervalo I cujas órbitas tendem para o infinito. Retirando os conjuntos A, A,, A n do intervalo I teremos o conjunto λ. Teorema 5. Suponha c <. Então o conjunto de pontos de Λ cujas as órbitas sobre Q c não tendem ao infinito é um conjunto fechado, não-vazio em I que não contem intervalos. Demonstração. Temos que os dois pontos etremos do intervalo I pertencem ao conjunto λ. Além disso, os pontos etremos de cada conjunto A i, com i =,, n que foram retirados do intervalo I também pertencem ao conjunto λ. Logo, o conjunto λ não é vazio. Vamos mostrar que Λ não contém intervalos. Suponha que c < (5 + 5).68. Logo, Q c() >, I A. Em particular, eiste uma constante µ > de forma que Q c() µ I A. Suponhamos agora, que Λ contem um intervalo J. Seja l o comprimento do intervalo J, l > 0. Como Q c() > µ, J, se e y são dois pontos quaisquer de J, pelo Teorema do Valor Médio temos Q c () Q c (y) > µ y, isto é, o comprimento do intervalo Q c (J) é maior do que µl: Q c (J) > µl. Como J Λ, temos que Q c (J) Λ. Dessa forma, usando o mesmo argumento para o intervalo Q c (J), temos Q c(j) > µ l, ou seja, o comprimento de de Q c(j) é maior do que µ l. Continuando o processo, obtemos Q n c(j) > µ n l, que significa que o comprimento de Q n c(j) é maior do que µ n l. Como µ >, quando n, temos que µ n. Isto é uma contradição, pois Q n c(j) está contido em Λ que por sua vez, está contido em I que tem comprimento finito. Por fim, observamos que Λ é um subconjunto fechado de I, pois Λ c é a união dos conjuntos abertos (, p + ), (p +, + ) e de todos os A ns. Observação: O Teorema 5 é válido para todos os valores de c <. Na demonstração apresentada acima, supomos que c < (5 + 5). O caso em que valores de c mais próimos de são considerados, é bem mais difícil e será omitida. e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

8 . O Conjunto do Terço Médio de Cantor O conjunto do Terço Médio de Cantor, que veremos adiante, é o fractal mais simples definido no intervalo [0, ]. Para construir este conjunto, começamos com o intervalo 0. Deste intervalo removemos o terço médio: o intervalo aberto < <. Note que deiamos as etremidades para trás. O que sobra é um par de intervalos fechados, cada um deles com um terço do tamanho original. Agora, de cada um dos intervalos que sobraram removemos o terço médio. Isto é, do intervalo 0 removemos 9 < <, e de removemos 7 9 < < 8. Repita este processo várias vezes. Em 9 cada etapa remova o terço médio dos intervalos que sobraram na etapa anterior. O que resta após essas sucessivas retiradas de intervalos abertos, é o que chamamos de Conjunto do Terço Médio de Cantor, que denotaremos por K. Uma das características notáveis do Conjunto de Cantor é o fato que K é não enumerável. Para verificar isso, fazemos uma breve digressão sobre epansões ternárias de números reais. Relembremos que as séries geométricas a i = + a + a + a +... i=0 convergem se a < e, na verdade, Mais geralmente, i=0 i=k a i = a. a i = ak a. Definição 6. A sequência de inteiros 0, s s s... onde cada s i é 0, ou é chamada epansão ternária de se = i= s i i. Eemplo 7. A sequência 0, é a epansão ternária de já que ( ) i +... = 9 =. Observe que se tem epansão ternária 0, s s s..., então o dígito s determina em qual [ terço do intervalo [0, ] está contido. Se s = 0, então 0, ] [ ; se s =, então, ] ; se [ ] s =, então,. A razão para isso é que a representação das séries de, s i i i= i= não são maiores que i= i =. Usando esse mesmo argumento, vemos que o segundo dígito s nos diz em qual terço destes subintervalos está. A razão para isso é que as séries i= s i i, que representam, neste caso não são maiores que 9. Assim, vemos que epansões ternárias tem uma relação direta com os pontos no conjunto de Cantor. Em particular, se tem epansão ternária com alguma entrada s n =, então deve estar em um dos intervalos que foram removidos durante a construção de K. A única eceção, é se é um ponto da etremidade desse intervalo, e nesse caso, tem uma epansão ternária alternativa que não tem s. Deste modo podemos dizer que o Conjunto de Cantor é o conjunto de números reais em [0, ], para o qual eiste uma epansão ternária não contendo s. Teorema 8. O conjunto do Terço Médio de Cantor é não enumerável. Demonstração. Montaremos uma correspondência biunivoca entre pontos no Conjunto de Cantor e pontos no intervalo [0, ]. Dado K, considere a epansão ternária de que não contem s. Então troque todo nessa epansão por e considere a sequência resultante como a epansão binária de um número em [0, ]. Assim, K. Agora, associamos a a sequência binária 0, que corresponde a visto que i= ( ) i =. A correspondência entre sequências binárias e ternárias é claramente bijetora. Como o intervalo [0, ] é não enumerável, o resultado segue. 5. Caos Agora, introduziremos a noção de caos. Mostraremos que eistem alguns sistemas dinâmicos que são caóticos, mas que no entanto, podem ser compreendidos. Descreveremos como isto acontece, primeiramente para a função deslocamento e depois para outros eemplos inclusive para a família quadrática. 6. As propriedades de um Sistema Caótico Definição 9. Suponhamos que X é um conjunto e Y um subconjunto de X. Dizemos que Y é denso em X se, para e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

9 qualquer X, eiste y em Y arbitrariamente próimo de. Equivalmentemente, Y é denso em X, se para qualquer X, conseguimos encontrar uma sequência {y n } Y que converge para. Eemplo 0. O conjunto dos números racionais é denso em R. Seja um número real qualquer. Devemos encontrar uma sequência de racionais, que converge para. Se é racional, não há o que fazer. Suponhamos que é irracional. Precisaremos da seguinte definição: Definição. O espaço sequência em dois símbolos é o conjunto Σ = {(s 0 s s...)/ s j = 0 ou }. Uma vez que é um irracional, tem uma epansão decimal infinita da forma = a n...a 0, b b b, onde os a i s e os b j s são dígitos de 0 a 9. Agora, para j =,,,, seja j = a n a 0, b b b j. Como j tem uma epansão decimal finita, j é um número racional. Claramente j quando j +. Logo, eiste um sequência de números racionais convergindo para e, portanto, Q é denso em R. Definição. A aplicação deslocamento σ : Σ Σ é definida por σ(s 0 s s...) = (s s s...) Estudaremos agora, a dinâmica da aplicação deslocamento σ, no espaço das sequências Σ. Nossa primeira observação é que o subconjunto de Σ que consiste de todos os pontos periódicos em Σ é um subconjunto denso. Para isto, devemos mostrar que, dado qualquer s = (s 0 s s...) em Σ, podemos encontrar um ponto periódico arbitrariamente ( próimo ) de s. n Tomemos ε > 0 e n Z, tal que < ε. Precisaremos do seguinte resultado: Teorema. (Teorema da Proimidade) Sejam ( ) s, t Σ e n suponha s i = t, i = 0,,..., n. Então, d[s, t]. Reciprocamente, se d[s, t], então s i = t, para i n. ( ) n s i t i Acima, d[s, t] = i denota a distância entre s = i=0 (s 0 s s ) e t = (t 0 t t ) Σ. Além disso, d é uma métrica em Σ. Podemos agora escrever um ponto periódico que dista n unidades de s. Seja t n = (s 0 s s n s 0 s s n ). As primeiras (n + ) entradas de t n e s são as mesmas. Assim, pelo Teorema da Proimidade: d[s, t n ] n < ε. Uma vez que ε e s são arbitrários, encontramos uma sequência (t n ) que converge para s quando n. A segunda propriedade de σ é que eiste um ponto cuja órbita é densa em Σ. Isto é, podemos encontrar uma órbita a qual fica arbitrariamente próima de qualquer ponto de Σ. Claramente, este tipo de órbita não pode ser periódica. Vamos descrever tal órbita. Considere o ponto ŝ = ( 0 }{{} bloco 00 } 0 {{ 0 } ). blocos Isto é, ŝ é a sequência que consiste de todos os possíveis blocos de 0 s e s de comprimento, em seguida os de comprimento e assim sucessivamente. O ponto ŝ tem uma órbita que forma um subconjunto denso de Σ. Tomemos s = (s 0 s s...), ε > 0 e n, tal que n < ε. Mostraremos agora, que a órbita de ŝ está a uma distância de de s. n Temos que um dos blocos de ŝ de comprimento n + cujos dígitos são s 0 s...s n. Suponhamos que a entrada s 0 é o k-ésimo dígito na sequência. Logo, se aplicarmos σ k em ŝ, teremos que as primeiras n + entradas de σ k (ŝ) serão s 0 s...s n. Então, pelo Teorema da Proimidade temos d[σ n (ŝ), s] n < ε. O conceito de transitividade que apresentaremos a seguir, está intimamente relacionado com a propriedade de órbita densa. Definição. Um sistema dinâmico é transitivo, se para qualquer par de pontos e y e qualquer ε > 0 eistir um terceiro ponto z a uma distância de no máimo ε de, e sua órbita está a uma distância ε de y. Um sistema dinâmico que tem uma órbita densa é transitivo. A recíproca também é verdadeira. A terceira propriedade da função deslocamento é a dependência sensitiva das condições iniciais. Definição 5. Um sistema dinâmico F depende sensitivamente das condições iniciais se eiste β > 0, tal que e ε > 0, eiste y a uma distância menor do que ε de e eiste um número natural k, tal que a distância entre F k () e F k (y) é pelo menos β. Verificaremos que a aplicação σ, depende sensitivamente das condições iniciais. Para isto, tomemos β =. Para qualquer s Σ e ε > 0 escolhamos n, tal que < ε. Suponha que t Σ n satisfazendo d[s, t] < n, mas t s. Então, temos que t i = s i, para i = 0,,, n. No entanto, como t s, eiste k > n, tal que s k t k. Logo, s k t k =. Consideremos σ k (s) e σ k (t). As entradas iniciais de cada uma das sequências são diferentes e, portanto, d[σ k (s), σ k (t)] s k t k 0 + i= 0 i = = β. e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

10 Isto prova que a aplicação deslocamento depende sensitivamente das condições iniciais. As três propriedades discutidas acima, são os ingredientes básicos de um sistema caótico: Definição 6. Um sistema dinâmico F é caótico se: ) Os pontos periódicos de F são densos. ) F é transitivo. ) F depende sensitivamente das condições iniciais. Vimos que a aplicação deslocamento satisfaz as três condições necessárias para um sistema dinâmico ser caótico. Logo, provamos o seguinte teorema: Teorema 7. σ : Σ Σ é um sistema dinâmico caótico. Nosso objetivo agora é mostrar que para parâmetros c s adequados, a família quadrática Q c () = + c é caótica no conjunto Λ = { I/ Q n c() I, n}, I = [, ]. Para isto, apresentaremos algumas definições e resultados que serão utilizados. Definição 8. Uma aplicação h é um homeomorfismo, se h é contínua, bijetora e h é continua. Definição 9. Sejam F : X X e G : Y Y duas funções. Dizemos que F e G são conjugadas, se eiste um homeomorfismo h : X Y, tal que h F = G h. A aplicação h é chamada conjugação. Proposição 0. (A Proposição da Densidade) Suponha F : X Y contínua e sobrejetora e suponha D X é um subconjunto denso. Então F(D) é denso em Y. Demonstração: Tome y 0 Y e ε > 0. Como F é sobrejetora, eiste 0 X tal que F( 0 ) = y 0. Como F é contínua, eiste δ > 0 tal que se ( 0 δ, 0 + δ), então F() (F( 0 ) ε, F( 0 ) + ε). Como D é denso em X, podemos tomar D, com ( 0 δ, 0 + δ). Portanto, z = F( ) F(D) e z (y 0 ε, y 0 + ε). Portanto F(D) é denso em Y. Agora, considere Λ = { I/ Q n c() I, n}, I = [, ] e A o intervalo constituído pelos pontos cuja primeira iterada de Q c sai do intervalo I, como definidos no capítulo anterior. Para valores de c <, o conjunto I A consiste de dois intervalos fechados que serão denotados por I 0 e I. Note que tais intervalos são disjuntos. Definição. Seja Λ. O itinerário de é a sequência infinita de 0 s e s dada por S () = (s 0 s s...), onde s j = 0, se Q j c() I 0 e s j =, se Q j c() I. Teorema. Suponha c < (5 + 5). Então S : Λ Σ é um homeomorfismo. Demonstração. Para a demonstração deste teorema, veja a referência []. Teorema. Se Λ, então S Q c () = σ S (). Demonstração. Para a demonstração deste teorema, veja a referência []. Teorema. (Teorema da Conjugação) A aplicação deslocamento em Σ é conjugada de Q c em Λ, quando c < (5 + 5). Demonstração. Para a demonstração deste teorema, veja a referência []. Teorema 5. Suponha c < (5 + 5). Então a aplicação quadrática Q c () = + c é caótica no conjunto Λ. Demonstração. Temos que S : Λ Σ é uma conjugação para valores de c < (5 + 5). Daí, temos que S é um homeomorfismo, ou seja, S é injetora, sobrejetora, contínua e possui inversa contínua. Portanto, a proposição densidade garante que o conjunto de pontos periódicos de Q c é denso em Λ, desde que S leve pontos periódicos de σ em pontos periódicos de Q c. Também, se s é uma órbita densa para σ, então a proposição da densidade garante que a órbita de S (s ) é uma órbita densa para Q c, e então Q c é transitivo. Agora, para provar que Q c é caótico, precisamos eibir uma dependência sensitiva. Lembremos que Λ está contido na união de dois intervalos fechados I 0 e I os quais são disjuntos. Escolhamos β menor que a distância mínima entre estes intervalos. Seja, y Λ com y. Uma vez que S é um homeomorfismo, S () S (y). Como consequência, estas duas sequências diferem em alguma entrada, digamos na k-ésima. Isto significa que Q k c() e Q k c(y) permanecem cada um em um intervalo I j. Daí, a distância entre Q k c() e Q k c(y) é ao menos β. Portanto, qualquer órbita próima de, em algum momento se separa da órbita de a uma distância de pelo menos β. Portanto, a família quadrática Q c () = + c é caótica no conjunto Λ. 7. Outros Sistemas Caóticos Na seção anterior, mostramos que a aplicação quadrática Q c é caótica no conjunto Λ, quando c < De certa forma, este resultado pode parecer insatisfatório, pois o conjunto Λ no qual Q c é caótica é pequeno, na verdade, Λ é um conjunto de Cantor. Nesta seção, mostraremos que a aplicação quadrática Q () = é caótica em todo o intervalo [, ]. Teorema 6. A função Q () = é caótica em [, ]. Demonstração. Considere a função V() =. Veja o gráfico de V na figura (6.). Note que o gráfico leva o intervalo [, ] nele mesmo, eatamente como Q =. e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

11 K K 0 K K K K 0 de V n consiste de n fragmentos, cada um com coeficiente angular n ou n. Cada uma dessas porções lineares do gráfico é definida num intervalo de comprimento. n Para comprovar que V é caótico, consideremos um subintervalo aberto J em [, ]. Note que conforme a observação acima podemos sempre encontrar um subintervalo de J, de comprimento n no qual o gráfico de Vn estende-se de a. Em particular, V n tem um ponto fio em J, então, isso prova que pontos periódicos são densos em [, ]. Além disso, a imagem de J cobre todo o intervalo [, ] e, portanto, V é transitivo. Finalmente, para qualquer J, eiste um y J tal que V n () V n (y). Deste modo, podemos escolher β = e temos a dependência das condições iniciais. Agora, usaremos este fato para provar que Q é também ( π caótica. Considere a função C() = cos leva o intervalo [, ] nele mesmo. Ver figura ). Esta função K K Figura 8: Em verde, Q (); em azul, V(); em vermelho a reta y =. K K 0 A análise gráfica mostra que se >, então a órbita de sobre V tende ao infinito, novamente como ocorre com Q =. Observe que K K Assim, V () = =. V () = 6, se +, se 0 < +, se < < 0 6, se Considere o diagrama: C cos ( π ) V? C cos(π π) Gostaríamos de descobrir qual aplicação completa o diagrama acima. Observe que K K 0 K Figura 9: V () = Note que o gráfico de V consiste de fragmentos lineares, cada um com coeficiente angular ou -. Em geral, o gráfico cos(π π) = cos(π ) Isto é, F é a função que satisfaz: cos ( π ) = cos(π) ( = cos. π ) ( π ) = cos ( ( π )) = cos ( ( π )) = cos F ( ( π )) cos. e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

12 ( π ) Fazendo u = cos temos F(u) = u = Q (u). Assim, obtemos o seguinte diagrama comutativo: [, ] C [, ] V [, ] C Q [, ] Apesar de parecer, C não é uma conjugação, pois C não é injetora e, portanto, não é um homeomorfismo. No entanto, o diagrama comutativo mostra que C leva órbitas de V em órbitas de Q. Observe ainda, que C leva ciclos em ciclos, (mas C não preserva necessariamente o período dos ciclos). Uma vez que C é contínua e sobrejetora, a Proposição da Densidade mostra que Q tem pontos periódicos que são densos, assim como uma órbita densa. Já que n pode ser escolhido tal que V n aplique arbitrariamente intervalos pequenos sobre todo [, ], o mesmo deve ser verdade para Q. Isto prova a dependência sensitiva e concluímos que Q () = é caótica em [, ]. construção do conjunto de Cantor) é menor por um fator de, isto significa que se ampliarmos cada uma destas porções de K, por um fator de, obteremos o conjunto original. Mais precisamente, para ampliar estas porções de K, usamos transformações afim. [ Seja L() =. Se aplicarmos L a porção de K em 0, ], [ vemos que L leva 9, ] [ em 9, ] [ ] [, 7, em 7 9, ], e [ 9 asim por diante. Cada abertura na porção de K em 0, ] é levada pela transformação [ L em] uma abertura em K. Para ampliarmos porção de K em, usamos a transformação afim, R() =. Note também que, na n-ésima etapa da construção do conjunto de Cantor K, teremos n pequenas cópias de K, cada uma das quais pode ser ampliada por um fator de n, para obtermos todo o conjunto de Cantor. 8. Fractais Neste capítulo iremos estudar a geometria de determinados conjuntos, chamados fractais. Definição 7. Um fractal é um subconjunto de R n, o qual é auto-similar e cuja dimensão fractal, que definiremos adiante, ecede a dimensão topológica. Começamos o estudo da geometria de fractais considerado três eemplos importantes: 0. O triângulo de Sierpinski O triângulo de Sierpinski, pode ser construído de forma semelhante ao conjunto de Cantor. Iniciamos com um triângulo equilátero. Unindo os pontos médios de seus lados, obtemos triângulos equiláteros. Removemos o triângulo centra obtemos triângulos, cujas dimensões são eatamente metade das do triângulo original. Continuando este processo a imagem resultante será denotada por T e chamada de triângulo de Sierpinski. 9. O conjunto de Cantor O conjunto do Terço-Médio de Cantor K, é obtido através de sucessivas remoções de intervalos abertos do intervalo [0, ], os quais são o terço médio do intervalo anterior. Uma das mais importantes propriedades de um fractal é conhecida como auto-similaridade. A grosso modo, autosimilaridade significa que se ampliarmos uma parte microscópica deste fractal, a imagem que obteremos será semelhante a original. Por eemplo, note que K pode ser decomposto [ em dois subconjuntos distintos, a porção de K em 0, ] e a [ ] porção em,. Se eaminarmos cada uma destas porções, vemos que elas assemelham-se ao conjunto de Cantor original K. A única diferença é que o intervalo original (utilizado na Figura 0: Triângulo de Sierpinski. O triângulo de Sierpinski também é auto-similar, entretanto, o fator de ampliação é. Por eemplo, depois de remover o triângulo equilátero central na primeira etapa da construção, ficamos com três pequenas cópias de T cujas dimensões são metade da dimensão de todo o triângulo. Na n-ésima etapa desta construção temos n triângulos e cada um deles pode ser ampliado por um fator de n para produzir o triângulo original. e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

13 . O floco de neve de Koch Diferente do triângulo de Sierpinski, o floco de neve de Koch é gerado por uma infinita sucessão de adições de parte de um triângulo. Começamos com a fronteira de um triângulo equilátero com lados de tamanho. O primeiro passo neste processo, é remover o terço médio de cada lado do triângulo, eatamente como fizemos na construção do conjunto de Cantor. Entretanto, devemos repor cada uma dessas partes com duas partes de tamanho igual, dando à região um formato de estrela. Esta nova figura tem doze lados, cada um com tamanho. Repetindo este processo, de cada um dos lados removemos o terço médio e recolocamos uma protuberância triangular constituída de duas partes de tamanho. Continuando este processo repetidamente obtemos uma curva ondulada. Este objeto 9 é chamado de floco de neve de Koch. Então, temos N 0 = N =. = N =. =. N k = N k = k. Agora vamos computar o perímetro. Seja L k o tamanho de um segmento do perímetro, depois da k-ésima etapa. No início, cada lado tem tamanho ; depois da primeira adição, cada lado tem tamanho ; depois da segunda, cada lado tem tamanho, e assim por diante. Na k-ésima etapa, L k = k. Agora, seja P k o perímetro da figura na k-ésima etapa. Claramente, P n = N k L k. Então, tem-se: Figura : Construção do floco de neve de Koch. Claramente, eistem partes do floco de neve que são autosimilares. Suponha que estamos olhando um dos lados do floco de neve. O que vemos é a chamada curva de Koch. P k = N k L k = k k = ( ) k, quando k, P k. A área contida dentro do floco de neve é mais difícil para computar, mas podemos verificar facilmente, usando geometria plana, que o floco de neve está contido em um quadrado no plano, cujos lados tem tamanho. Portanto, esta área é certamente menor que.. Dimensão Topológica Definição 8. Um conjunto S tem dimensão topológica 0, se para qualquer ponto de S eiste uma região arbitrariamente pequena de forma que a fronteira da região não contenha nenhum ponto do conjunto. Figura : Curva de Koch. Se eaminarmos o terço etremidade desta curva e ampliarmos esta porção por um fator, vemos novamente a mesma figura. Em cada etapa da construção da curva de Koch, a ampliação por um fator produz a imagem anterior. Isto significa que a curva de Koch é auto-similar. O floco de neve de Koch tem uma interessante propriedade geométrica: ele tem área finita mas seu perímetro é infinito! Para verificar este fato, sejam N 0, N, N,... o número de lados do floco de neve correspondente à etapa da construção. Eemplo 9. O conjunto do Terço Médio de Cantor K, tem dimensão topológica 0. Note que, quaisquer dois pontos do conjunto K, são separados por pelo menos uma abertura. Logo, para qualquer ponto de K, eiste uma região arbitrariamente pequena cuja fronteira não contem nenhum ponto do conjunto. Definição 50. Um conjunto S tem dimensão topológica k, se para cada ponto do conjunto S, eiste uma vizinhança arbitrariamente pequena cuja fronteira intercepta S em um conjunto de dimensão k e k é o menor inteiro não negativo para o qual isto ocorre. Eemplo 5. A reta no plano, tem dimensão topológica. e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009

14 Figura : A fronteira da vizinhança intercepta a reta em um conjunto de dimensão 0. Observe que para qualquer ponto da reta teremos pequenas vizinhanças no plano, cujas fronteiras interceptam a reta em dois pontos, ou seja, a interseção da reta com a fronteira das vizinhanças tem dimensão 0. Figura : Triângulo de Sierpinski. Dimensão Fractal Definição 5. Um conjunto S é chamado auto-similar afim, se S pode ser subdividido em k conjuntos congruentes, cada um dos quais pode ser ampliado por um fator constante M, para obtermos todo o conjunto S. Eemplo 5. O conjunto de Cantor, o triângulo de Sierpinski, o floco de neve de Koch e a reta, são eemplos de conjuntos auto-similares afins. Definição 5. Suponha que o conjunto auto-similar afim S possa ser subdividido em k partes congruentes, onde cada um destes pedaços pode ser ampliado por um fator M, de forma a gerar S. Então, a dimensão fractal D de S é D = log(k) log(número de pedaços) = log(m) log(fator de ampliação). Eemplo 55. Segmento de Reta: dividindo um segmento de reta em n partes, seu fator de ampliação também é n. Assim, D = log(n) log(n) = Portanto, a dimensão fractal de um segmento de reta é. Triângulo de Sierpinski: observe que podemos dividir o triângulo original em triângulos congruentes onde o fator de ampliação é. Dessa forma, D = log() log() = Figura 5: Curva de Koch. Conjunto de Cantor: observe que o número de intervalos em cada estágio da construção é n e o fator de ampliação é n. Logo: D = log(n ) log( n ) = n log() n log() = log() log() = Observação: Pudemos computar facilmente as dimensões nos eemplos acima, pois o fator de ampliação cresce à mesma taa que o número de pedaços na figura, mas isto nem sempre acontece. Para muitos fractais, a dimensão eata é desconhecida. Referências [] Devaney, Robert L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Eperiment, Addison-Wesley Publishing Company, 99. [] Lima, E. L., Um curso de Análise, Vol I, Rio de Janeiro, IMPA, CNPq, 98. [] Guidorizzi, H. L., Um curso de cálculo, Vol I e II, LTC Editora, 5 a Edição. Note que D não é um número inteiro! Curva de Koch: Cada lado do triângulo original é decomposto em novos lados e o fator de ampliação é. Portanto: D = log() log() =.6... Observe que usamos os lados do floco de neve, pois nenhum pedaço deste objeto pode ser ampliado de forma a obtermos todo o floco de neve. No entanto, pedaços dos lados são autosimilares. e-acta Belo Horizonte ISSN 98-5 v., n., 09 de Dezembro de 009