Bifurcações no Sistema Regulador de Watt. Luis Fernando Mello Universidade Federal de Itajubá

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1 Bifurcações no Sistema Regulador de Watt Luis Fernando Mello Universidade Federal de Itajubá IME-USP, São Paulo, 29 de setembro, 2006

2 I. Alguns Marcos de Referência O trabalho nos tempos antigos baseava-se na: - força muscular - rodas movidas pelas águas - moinhos de vento Estes controlados pela intervenção HUMANA. Um evento NOTÁVEL aconteceu com a invenção do instrumental para o CONTROLE AUTOMÁTICO da força do vapor, um passo fundamental para o sucesso econômico da REVOLUÇÃO INDUSTRIAL NO SÉCULO XVIII, na Inglaterra. 1

3 O regulador centrífugo de Watt é um dispositivo que controla automaticamente a velocidade de rotação de uma máquina a vapor. Sua invenção data de 1788 e pode ser tomada como ponto de partida para a TEORIA DE CONTROLE AUTOMÁTICO, i.e., sem a intervenção direta da mão humana. Para se ter uma idéia da repurcussão e aplicabilidade deste invento, podemos citar que existiam unidades construídas, somente na Inglaterra, nos 80 primeiros anos após sua invenção. Dado de MacFarlane. Aprimoramentos na arquitetura e desenho do regulador, ocorridos na primeira metade do séc. XIX, levaram a produtos menos confiáveis cujo desempenho passou a ser OSCILATÓRIO em lugar do ideal de velocidade CONSTANTE. 2

4 Regulador de Watt 3

5 Máquinas com reguladores 4

6 Scientific American, setembro

7 Sistema Máquina de Vapor - Regulador de Watt Watt, 1788 Maxwell, 1868 Vyshnegradskii, 1877 Pontryagin,

8 II. Equações Diferenciais de Pontryagin d ϕ dτ d ψ dτ d Ω dτ = ψ = c 2 Ω 2 sin ϕ cos ϕ g l = 1 (µ cos ϕ F ) I sin ϕ b m ψ ϕ ( 0, π 2) ângulo de abertura dos braços do regulador a partir de seu eixo vertical S 1, Ω [0, ) velocidade angular de rotação do volante D, com momento de inércia I, τ tempo, ψ = dϕ/dτ, θ velocidade angular de S 1, 7

9 H camisa mecânica que suporta os braços do regulador e pode deslizar ao longo de S 1, T conjunto de engrenagens, V válvula que determina a quantidade de vapor para a máquina, l comprimento dos braços do regulador, m massa de cada contrapeso esférico, g aceleração da gravidade, θ = c Ω, c > 0 razão de transmissão, b > 0 constante da força atrito, F torque equivalente da carga mecânica, µ > 0 uma constante de proporcionalidade. 8

10 III. Os aspectos Matemáticos desta palestra referem-se a um relato de nosso estudo das Bifurcações das Equações Diferenciais de Pontryagin Realizando as seguintes mudanças nas coordenadas e no tempo x = ϕ, y = l g ψ, z = c l g Ω, τ = l g t, as equações de Pontryagin SRW se escrevem como x = dx dt y = dy dt z = dz dt = y = z 2 sin x cos x sin x ε y = α (cos x β) 9

11 dependendo dos parâmetros normalizados dados por ε > 0, α > 0, 0 < β < 1, ε = b m l g, α = c l µ g I, β = F µ. SRW é uma família a 3 parâmetros de equações diferenciais x = f(x, ζ), f(x, ζ) = ( y, z 2 sin x cos x sin x εy, α (cos x β)), x = (x, y, z) ( 0, π ) 2 R [0, ), ζ = (β, α, ε) (0, 1) (0, ) (0, ). 10

12 SRW tem apenas um ponto de equiĺıbrio P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) = arccos β, 0, ( ) 1 β. A matriz Jacobiana de f em P 0 é Df (P 0 ) = β2 β ε 2 β(1 β 2 ) α 1 β e seu polinômio característico p(λ) p(λ) = λ 3 + ε λ β2 β λ + 2 α β 3/2 1 β2. β 11

13 IV. Teorema do livro de Pontryagin e Primeiro Coeficiente de Lyapunov l 1 Para todo ε > 2 α β 3/2 SRW tem P 0 como um ponto de equiĺıbrio assintoticamente estável. Para 0 < ε < 2 α β 3/2, P 0 é instável (sela). A superfície de parâmetros críticos superfície de bifurcação Σ 1 é ε c = ε(β, α) = 2 α β 3/2. 12

14 Superfície Σ 1 DESCREVER a mudança na estabilidade do equiĺıbrio P 0 quando os parâmetros intersectam a superfície Σ 1 é o principal objetivo desta apresentação. 13

15 Artigos anteriores sobre o estudo da bifurcação de Hopf sobre Σ 1 : Estudo numérico da bifurcação de Hopf: B. D. Hassard, N. D. Kazarinoff and Y. H. Wan, Theory and Applications of Hopf Bifurcation, Cambridge University Press, Cambridge, Estudo anaĺıtico da bifurcação de Hopf mas pouco conclusivo a respeito do sinal de l 1 : A. Al-Humadi and N. D. Kazarinoff, Hopf bifurcation in the Watt steam engine, Bull. Inst. Math. Appl., 21 (1985),

16 Um estudo sobre a bifurcação de Hopf de codimensão 1 em SRW está em: J. Sotomayor, L. F. Mello and D. C. Braga, Stability and Hopf bifurcation in the Watt governor system, Commun. Appl. Nonlinear Anal., 13 (2006), Um estudo mais geral sobre a bifurcação de Hopf até a codimensão 3 em SRW está em: J. Sotomayor, L. F. Mello and D. C. Braga, Bifurcation analysis of the Watt governor system, aceito para publicação em Comp. Appl. Math. (2006). 15

17 Encontramos uma EXPRESSÃO SIMPLES para o PRIMEIRO COEFICIENTE DE LYAPU- NOV l 1 sobre Σ 1, seu sinal e a curva onde ele se anula Σ 2 : Teorema (Sotomayor, Mello, Braga). O primeiro coeficiente de Lyapunov para P 0 em um ponto de Σ 1 é dado por l 1 = αβ3/2 (1 β 2 ) ( 3 + (α 2 5)β 2 + α 4 β 6 2 ( 1 β 2 + α 2 β 4) ( 1 β 2 + 4α 2 β 4). Se g(β, α) = 3 + (α 2 5)β 2 + α 4 β 6 é diferente de zero, então SRW tem um ponto de Hopf transversal H1 em P 0. ) 16

18 Se (β, α, ε c ) S U então SRW tem um ponto de Hopf H1 em P 0. Se (β, α, ε c ) S então o ponto H1 em P 0 é assintoticamente estável e para cada ε < ε c, mas próximo de ε c, existe uma órbita periódica estável perto do equíıbrio instável P 0. Se (β, α, ε c ) U então o ponto de Hopf H1 em P 0 é instável e para cada ε > ε c, mas próximo de ε c, existe uma órbita periódica instável perto do equiĺıbrio assintoticamente estável P 0. 17

19 Fica determinado o conjunto Σ 2 Σ 1 onde o primeiro coeficiente de Lyapunov se anula, definido por g(β, α) = 0. Teorema (Sotomayor, Mello, Braga). O segundo coeficiente de Lyapunov para P 0 em um ponto de Σ 2 é dado por l 2 (β, α, ε c ) = onde α β 3/2 h(β, α) 36(9 9β 2 + 4α 2 β 4 )h 1 (β, α), h 1 (β, α) = (1 β 2 + α 2 β 4 ) 3 (1 β 2 + 4α 2 β 4 ) 3 18

20 Expressão de h numa página ( α 2 )β 2 3α 2 ( α 2 )β 4 36( α α 4 )β 6 + ( α α α 6 )β 8 6( α α α 6 )β 10 + ( α α α α 8 )β ( α α α α 8 )β 14 α 2 ( α α α α 8 )β α 4 ( α 2 ( α α 4 ))β 18 2α 6 ( α α α 6 )β α 8 ( α α 4 )β 22 α 10 ( α α 4 )β α 12 ( α 2 )β 26 16α 14 ( α 2 )β α 16 β

21 A figura a seguir apresenta uma síntese geométrica do Teorema anterior. O sinal de h(β, α) dá o sinal do segundo coeficiente de Lyapunov l 2 para P 0 : l 2 < 0 sobre o arco aberto, denotado por C 1, da curva Σ 2 onde l 1 = 0. Sobre este arco um típico ponto R é representado. Ainda, l 2 > 0 sobre o arco aberto, denotado por C 2, da curva Σ 2. Este arco contêm um típico ponto denotado por T. 20

22 Teorema. Se (β, α, ε c ) C 1 C 2 então SRW tem um ponto de Hopf transversal de codimensão 2 H2 em P 0. Se (β, α, ε c ) C 2 então P 0 é instável e o diagrama de bifurcação é como no ponto T abaixo. Se (β, α, ε c ) C 1 então P 0 é assintoticamente estável e o diagrama de bifurcação é como no ponto R. 21

23 Diagrama de bifurcação em T 22

24 Diagrama de bifurcação em R 23

25 Teorema. (Sotomayor, Mello, Braga). Para SRW existe um ÚNICO ponto Q = (β, α, ε c ), com coordenadas e β = , α = ε c = onde as curvas Σ 2 (l 1 = 0) and l 2 = 0, sobre a superfície crítica Σ 1, se intersectam e o fazem transversalmente. Além disto, para os valores dos parâmetros em Σ 3 = {Q} SRW tem um ponto de Hopf transversal de codimensão 3 H3 em P 0 o qual é instável, pois l 3 (Q) > 0. O diagrama de bifurcação em Q está ilustrado nas figuras a seguir. 24

26 Diagrama de bifurcação em Q

27 Diagrama de bifurcação em R 1 25

28 Teorema. Suponha que o sistema x = f(x, ζ), x = (x, y, z), ζ = (β, α, ε) tenha equiĺıbrio x = 0 para ζ = 0 com autovalores λ 2,3 (ζ) = η(ζ) ± iω(ζ) e ω(0) = ω 0 > 0, η(0) = 0, l 1 (0) = 0, l 2 (0) = 0, onde l 1 (ζ) e l 2 (ζ) são o primeiro e segundo coeficientes de Lyapunov, respectivamente. Assuma que l 3 (0) 0, onde l 3 (0) é o terceiro coeficiente de Lyapunov; a aplicação ζ (η(ζ), l 1 (ζ), l 2 (ζ)) é regular em ζ = 0. Então, pela introdução de uma variável complexa, o sistema acima, reduzido à família parâmetro dependente de variedades centrais, é topologicamente equivalente a w = (η + iω 0 )w + τw w 2 + νw w 4 + l 3 w w 6 onde η, τ e ν são parâmetros de desdobramento. 26

29 VII. Recapitulação Para a família a 3 parâmetros de E.D.O. SRW, que modela o acoplamento do Regulador de Watt com uma máquina a vapor, foi encontrada uma estratificação Σ 1 Σ 2 Σ 3 = {Q} do espaço de parâmetros, de acordo com a codimensão e o caráter da estabilidade do equiĺıbrio P 0 como um ponto de Hopf. Cada estrato é determinado implicitamente e o caráter da estabilidade é determinado pelo sinal do coeficiente de Lyapunov. O ponto Q tem coordenadas β = , α = , ε = , com terceiro coeficiente de Lyapunov positivo. No interior de uma ĺıngua cuspidal (tongue) com vértice em Q, um equiĺıbrio atrator e uma órbita periódica atratora coexistem. 27

30 VIII. Referências Pertinentes A. A. Andronov, E. A. Leontovich et al., Theory of Bifurcations of Dynamic Systems on a Plane, Halsted Press, J. Wiley & Sons, New York, M. Denny, Watt steam governor stability, Eur. J. Phys., 23 (2002), Y. A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Springer-Verlag, New York, Y. A. Kuznetsov, Numerical normalization techniques for all codim 2 bifurcations of equilibria in ODE s, SIAM J. Numer. Anal., 36 (1999), A. G. J. MacFarlane, The development of frequency - response methods in automatic control, IEEE T. Automat. Contr., AC-24 (1979), J. C. Maxwell, On governors, Proc. R. Soc. London, 16 (1868),

31 L. S. Pontryagin, Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley Publishing Company Inc., Reading, F. Takens, Unfoldings of certain singularities of vectorfields: Generalized Hopf bifurcations, J. Diff. Equat., 14 (1973), I. A. Vyshnegradskii, Sur la théorie générale des régulateurs, C. R. Acad. Sci. Paris, 83 (1876), Site with the paper reported and the files used in the computer assisted proofs: 29