SRA. SOPHIE KOWALEWSKY EM ESTOCOLMO.

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1 ADENDOS E OBSERVAÇÕES A RESPEITO DA INVESTIGAÇÃO DE LAPLACE SOBRE A FORMA DOS ANÉIS DE SATURNO SRA. SOPHIE KOWALEWSKY EM ESTOCOLMO. Traduzido por Carlos Edgard Harle, IME - USP em dezembro de 28, a partir do original: Zusätze und Bemerkungen zu Laplace s Untersuchung über die Gestalt der Saturnsringe, Astronomische Nachrichten, 885, pp A autora, a meu pedido, autorizou-me a entregar à redação da Astronomische Nachrichten o manuscrito anexado. O trabalho foi escrito há anos, ainda não impresso até o presente, razão pela qual acredito que a publicação desta investigação altamente interessante somente poderá ser de agrado dos leitores. Hugo Gyldén Na seção referente à mecânica celeste, que se ocupa da forma dos corpos celestes, Laplace também se ocupou em determinar teoricamente a forma dos anéis de Saturno. O seguinte problema forma a base de suas investigações: Um anel preenchido com massa homogênea, gerado pelo giro de uma elipse em torno de uma reta que não a corta, porém em seu plano e também paralela a um de seus eixos principais, esteja em rotação em torno desta reta (o eixo do anel). A superfície deste anel esteja recoberta por uma lamina líquida de espessura infinitesimal, submetida à atração do anel e além disso à atração de um corpo central cujo centro de gravidade coincide com o ponto médio do anel. Coloca-se a questão de se os elementos do anel (os semi-eixos principais da elipse geradora e a distância de seu centro ao eixo de rotação) e a velocidade de rotação podem ser determinados de modo que a lâmina líquida possa persistir em equilíbrio (relativamente à superfície do anel). Para isso, é reconhecidamente necessário e suficiente que se verifique a seguinte igualdade, na qual significa n a velocidade de rotação do anel, V o potencial do mesmo em relação a um ponto indeterminado da superfície do mesmo, ρ a distância desse ponto ao eixo de rotação, z sua distância ao plano equatorial, M a massa do corpo central pensada como concentrada em seu centro de gravidade, C uma constante: Date: Jan 885.

2 2 SOPHIE KOWALEWSKY () V + M ρ 2 + z n2 ρ 2 C =. Entretanto, Laplace examina essa questão somente na hipótese de que a abertura do anel (i.e. a distância de seu ponto médio ao ponto médio da elipse geradora) é muito grande relativamente aos semi-eixos da última. Dado que, sob esta hipótese, uma pequena parte da superfície do anel sofre, de uma parte afastada da mesma, uma atração muito débil, Laplace considera no cálculo de V a parte influente do anel como um cilindro elíptico infinito, e assim chega ao seguinte resultado: Se se considera a relação entre o eixo maior da elipse geradora do anel e a distância do ponto médio da mesma ao eixo de rotação como uma grandeza pequena de primeira ordem, é possível escolher, sendo dados a massa do corpo central, a velocidade de rotação e a relação dos eixos da elipse de modo que a igualdade mencionada esteja satisfeita aproximadamente, até uma quantidade pequena de terceira ordem (exclusiva). Mas a hipótese de Laplace de que, para a determinação de V, o anel possa ser substituído por um cilindro é insatisfatória, na medida em que não se pode decidir, sem mais, se o erro cometido é, de fato, da ordem mencionada. Além disso, o tratamento de Laplace dessa questão não permite conhecer se, e como, através de uma pequena mudança da seção elíptica do anel, possa-se fazer acontecer que o segundo membro da igualdade () seja ou nulo ou arbitrariamente próximo desse valor. Por esses motivos procurei tratar da questão em pauta de uma outra maneira. Eu suponho que a linha delimitadora da figura que gera o anel, denotada a partir de agora por L, se desvie pouco de uma elipse, precisamente de uma elipse cujo eixo de simetria corta perpendicularmente o eixo de rotação do anel; além disso, toda linha paralela ao mencionado eixo de simetria corta a linha somente em dois pontos. Se eu tomar um sistema de coordenadas ortogonal, com o eixo Z sendo o eixo de rotação do anel e o plano XY contendo o mencionado eixo de simetria, posso descrever a superfície do anel, tomando como unidade a média entre a maior e menor distância da mesma ao eixo Z, por meio de duas equações da forma: (2) x2 + y 2 = α cos t z = α(β sin t + β sin 2t + β 2 sin 3t + ), onde t denota uma variável real que deve percorrer todos os valores desde a 2π e α, β, β, β 2,... denotam constantes. Mantida a hipótese de Laplace de que toda corda de L seja muito pequena em relação ao valor médio da distância dessa linha ao eixo dos Z, o valor de α nestas fórmulas deve ser o de uma fração muito pequena. Além disso, visto que L se desvia pouco de uma elipse, não só os valores de β, β 2,... devem ser pequenos, bem como a soma de seus valores absolutos deve ser pequena relativamente a β. Posto isto, sejam: σ um elemento infinitesimal da superfície do anel, P um ponto da mesma, P um ponto determinado da superfície, em relação ao qual o potencial V deverá ser calculado, e θ o ângulo formado pela normal externa a superfície em P com a reta PP. Deste modo, segundo Gauss (Obras Completas vol. V, observação manuscrita na publicação Theoria Attractionis Corporum Sphaeroidicorum Ellipticorum Homogeneorum, página 286): (3) V = cos θ σ. 2

3 SOBRE A FORMA DOS ANÉIS DE SATURNO 3 Sendo x, y, z, as coordenadas de P; x, y, z, as de P ; r a distância entre estes pontos, e ξ, η, ζ os cossenos dos ângulos formados pela mencionada normal com as direções positivas dos eixos, tem-se (4) cos θ = x x r (5) e (6) (7) ξ + y y r η + z z r Se se fizer x = x 2 + y 2 cos ψ, y = x 2 + y 2 sin ψ, então tem-se x = ( α cos t) cos ψ y = ( α cos t) sin ψ z = αϕ(t) = α(β sin t + β sin 2t + β 2 sin 3t + ) Se, para brevidade, escrever-se então virá ou, se for (8) tem-se que: x = ( α cos t ) cos ψ y = ( α cos t ) sin ψ z = αϕ(t ). A = 4( α cos t)( α cos t ) B = α 2[ ( ) 2 ] (cos t cos t ) 2 + ϕ(t) ϕ(t ) [ ] C = 2a 2 ( α cos t) (cos t cos t )ϕ (t) + sin t[ϕ(t) ϕ(t )] V = 4 C Aαϕ (t) sin 2 [ 2 dt (ψ ψ )] ψ B + A sin 2 [ 2 (ψ ψ )] ϑ = 2 (ψ ψ ) W = π/2 (9) V = C Aαϕ (t) sin 2 ϑ B + A sin 2 ϑ W t. A integral W, quando eu escrevo A sin 2 ϑ + B = Bs se transforma em onde W = /k ϑ ζ. C + Bαϕ (t) Bαϕ (t)s 2 s2 k 2 s 2 s () k 2 = B. Uma vez que, pelas hipóteses feitas, k 2 é uma quantidade muito pequena, pode-se utilizar mais convenientemente para o cálculo de W fórmulas conhecidas (Weierstrass Theorie der Abelsche Functionen Crelle s Journal B&2, P&75 e 8):

4 4 SOPHIE KOWALEWSKY /k /k ξ ξ2 k 2 ξ = 6 K log 2 2 k 2 k 2 ξ 2 ξ ξ2 k 2 ξ = 6 F log 2 2 k 2 K F Então: ( ) 2k ( 3 ) 2k K = ( ) 2k K = ( 3 ) 2k F = 2 k2 + 3 ( ) 2k F = + 4 k ( ) 2k W = W log 6 k 2 + W 2 W = 2 C + αbϕ (t) K 2 αbϕ (t) F W 2 = C + αbϕ (t) K + αbϕ (t) F. As quantidades W, W 2 podem ser desenvolvidas em séries de potências de senos e cossenos de t, t, e mesmo de tal modo que os coeficientes se tornem séries de potências nas grandezas α, β, β,.... Estas séries são, visto a pequenez de α, fortemente convergentes. A integral W 2 t pode, então, ser determinada sem mais, pela multiplicação por 2π do termo independente de t da série W 2. Algo não tão simples se passa com a integral W log 6 k 2 t. A quantidade B = α 2[ (cos t cos t ) 2 + ( ϕ(t) ϕ(t ) ) 2] será, se considerada como função de t, somente igual a zero se ao mesmo tempo cos t = cos t e ϕ(t) = ϕ(t ), o que, para a suposta forma da linha L, somente pode acontecer quando t = t +2mπ, onde m indica um número inteiro; daí segue que B e divisível por cos(t t ). Pode-se então escrever B = a 2 [ cos(t t )]B onde B é desenvolvível em senos e cossenos de t, t. Tomando-se β, β 2,... todos iguais a zero, B se reduz a 2 ( + β2 ) 2 ( β2 ) cos(t + t ) donde segue que para β, β 2,... suficientemente pequenos, B nunca se anula. Além disso, os coeficientes dos membros individuais de B são novamente funções inteiras de α, β, β 2,...

5 SOBRE A FORMA DOS ANÉIS DE SATURNO 5 vem Fazendo agora a substituição B = [ 2 ( + β2 ) 2 ( β2 ) cos(t + t )]( + B 2 ) log B = 2 log α + log[ cos(t t )] + log[ 2 ( + β2 ) 2 ( β2 ) cos(t + t )] + log( + B 2 ) e W log(6/k 2 ) fica decomposto nas seguintes cinco partes: W log 6() 2W log α W log[ 2 ( + β2 ) 2 ( β2 ) cos(t + t )] W log[ cos(t t )] W log( + B 2 ). As três primeiras partes podem ser desenvolvidas em séries da mesma forma que W 2 e então também pode-se determinar imediatamente as correspondentes partes na integral W log(6/k 2 ) t. A quarta parte somente pode ser desenvolvida em série da forma mencionada para valores de t t que estão entre,..., 2π; segundo o teorema de Fourier, o termo independente de t, quando multiplicado por 2π dá o valor da integral Para o cálculo da integral W log[ cos(t t )] t. W log( + B 2 ) t deve-se a seguir desenvolver log( + B 2 ) em uma série de potências de B 2, a qual em vista das hipóteses de pequenez da soma dos valores absolutos de β, β 2,..., converge fortemente; em vista do que, pode-se, de mesmo modo, por fórmulas conhecidas, efetuar a integração. Desta maneira, obtém-se V por uma série completamente determinada e fortemente convergente da forma V + V cos t + V 2 cos 2t + Os coeficientes desta série são, no que diz respeito a α, log α, log( + β), β, β 2,..., funções inteiras (com infinitos termos), cujos coeficientes são funções racionais fracionárias de β; deve ser notado que log α aparece somente multiplicado por uma potência de α. A quantidade que aparece em () é igualmente passível de ser desenvolvida em uma série fortemente convergente da forma m + m cos t + m 2 cos 2t + onde os coeficientes m, m,... são funções inteiras (com infinitos termos) de α, β, β 2,.... Finalmente é ρ 2 = ( α cos t ) 2 = + 2 α2 2α cos t + 2 α2 cos 2t.

6 6 SOPHIE KOWALEWSKY Portanto, se, em um anel da forma mencionada, a camada líquida que o recobre possa, durante a rotação, persistir em um estado de equilíbrio, deverá ser possível determinar as grandezas de tal maneira que n, C, β, β, β 2,... () V + m + 2 n2 ( + 2 α2 ) + C = V + m n 2 α = V 2 + m n2 α 2 = e, para todo valor positivo de ν, (2) V ν+2 + m ν+2 =. Estas equações podem ser satisfeitas conjuntamente se a série das grandezas β, β, β 2,... é infinita; mas, dado que, neste caso, comparecem infinitas destas grandezas em cada uma das equações, não será possível determinar as mesmas diretamente. Poder-se-ia, caso os cálculos não conduzam a dificuldades insuperáveis, tentar o seguinte procedimento. Tome-se ϕ(t) = β (µ) sin t + β (µ) sin 2t β (µ) µ sin(µ + )t, calcule-se os coeficientes V λ, m λ, e determine-se n (µ), C (µ), β (µ), β (µ),..., β µ (µ) de tal modo que, das equações (), (2), as (µ + 3) primeiras fiquem satisfeitas. Se se pudesse, então, demonstrar que essas grandezas para µ = se aproximam de determinadas grandezas finitas e de modo que a soma dos valores absolutos dos valores limites de β, β 2,... seja pequeno relativamente ao valor limite de β, poderíamos concluir que as equações (), (2) estariam satisfeitas ao substituir cada uma das grandezas pelo correspondente valor limite n (µ), C (µ), β (µ), β (µ),... n, C, β, β,... Este raciocínio somente deverá servir para tornar plausível a possibilidade do cálculo destas grandezas. Uma aproximação arbitrária destas grandezas poderá ser obtida da seguinte maneira. Faça-se ϕ = β sin t + β sin 2t β µ sin(µ + )t, admitindo, por enquanto, somente a hipótese de que a soma dos valores absolutos de β,..., β µ seja uma quantidade pequena de mesma ordem que α e despreze-se no desenvolvimento de V λ, m λ todos os termos de ordem superior a µ + 2; aqui, devese reconhecer a m log α como sendo uma grandeza infinitesimal de ordem maior do que m. Ao examinar com maior cuidado as µ + 3 primeiras das equações (), (2), nota-se que os valores β, β 2, β µ,... obtidos a partir destas são infinitésimos de

7 SOBRE A FORMA DOS ANÉIS DE SATURNO 7 ordem, 2,..., µ, respectivamente; pode-se, portanto, escrever β = αγ β 2 = α 2 γ 2 β µ = α µ γ µ, de modo que, a partir destas igualdades, podem ser obtidas quantidades finitas γ, γ 2,..., γ µ e, de acordo com a determinação dos β ν conforme acima, aquelas quantidades estão univocamente determinadas; também resulta que, para os valores β, β 2, β µ,... obtidos, os segundos membros das demais equações (), (2) representam infinitésimos de ordem superior a µ + 2. Disto, obtém-se o resultado: É possível determinar-se a seção transversal do anel de tal modo que a expressão V + M ρ2 + z n2 ρ 2, que deveria ter um valor imutável na superfície do anel, difera, em toda a parte, de uma constante, e somente por uma quantidade pequena de ordem maior que µ + 2. A espessura 2α do anel é suposta ser um infinitésimo de primeira ordem. Dado que µ + 2 pode ser tomado arbitrariamente grande, é permitido concluir que realmente existe uma forma do anel para a qual a expressão mencionada acima é constante. Eu desenvolvi completamente estes cálculos, muito extensos, para o caso µ =, principalmente para testar em que medida o resultado de Laplace é aproximado corretamente, e também para obter o desvio da seção transversal do anel da forma elíptica, pelo menos nos seus aspectos mais relevantes. Além da dificuldade dos cálculos, os resultados da investigação de Maxwell ( On The Stability Of The Motion Of Saturn s Rings, Cambridge 859), que tornaram duvidosa a viabilidade da visão de Laplace da constituição dos anéis de saturno, fizeram com que eu me abstivesse da determinação mais precisa da seção transversal do anel. Fazendo-se a massa do corpo central igual a zero, a superfície do anel fica idêntica à que teria se a massa deste anel consistisse de um líquido homogêneo. Agora coloca-se a questão de significativo interesse teórico de se, no caso de uma rotação uniforme, um anel da forma considerada pode persistir em equilíbrio; para poder dar uma resposta afirmativa, além da determinação exata da forma da superfície do anel definido pela equação, ainda um estudo concernente a estabilidade do equilíbrio seria necessária, sendo que, no presente, me faltam meios para esse fim. Apresento agora as fórmulas que podem servir para a determinação da seção transversal do anel com uma precisão de até a ordem três (inclusive). No cálculo da mesma poderiam, nas expressões de W 2, W log B, W log(), M ρ2 + z 2, ser desprezados os termos de ordem superior a três.

8 8 SOPHIE KOWALEWSKY Assim, vem V = πα 2 (ν + ν cos t + ν 2 cos 2t + ν 3 cos 3t ) ( 256 ) ν = β log α 2 ( + β) 2 2 ( + 9β β 2 + 3β ) ν = αβ + log 4( + β) α 2 ( + β) 2 + 2α + β β2 ( + β) 2 γ ν 2 = β β + β ( β)( + 3β) ν 3 = αβ 6( + β) 2 + αγ 2 + 6β + 6β2 + 6β 3 3( + β) 3. Além disso Finalmente M = m ρ 2 + z 2 + m cos t + m 2 cos 2t + m 3 cos 3t m = M m = αm[ + α 2 ( β2 2 βγ)] m 2 = α 2 M 4 (2 + β2 ) m 3 = α 3 M[ 8 (2 + 3β2 ) + 2 βγ]. 2 n2 ρ 2 = 2 n2 ( + 2 α2 ) n 2 α cos t + 4 n2 α 2 cos 2t. A segunda, terceira e quarta das condições dadas acima se tornam Da última equação segue (3) γ = 4 πα 2 ν + m αn 2 = πα 2 ν 2 + m 2 4 α2 n 2 = πα 2 ν 3 + m 3 =. 3M(2 + 3β 2 )( + β) 2 4πβ( β)( + 3β) 4 2β 2β 2 2β 3 3Mβ( + β) 3 ( + β). A primeira equação conduz à relação (4) n 2 = M + α 2 N onde: ( + 9β β 2 + 3β 3 N = πβ 4( + β) + M( β2) + + log 256 ) α( + β) 2 + (2π + β β2 ( + β) 2 2 Mβ ) γ. Finalmente, a segunda equação permite determinar β: (5) M(3 + β 2 ) 4β( β) + β π + α 2 N =, onde a grandeza γ que aparece em N deve ser substituída por seu valor dado em (3).

9 SOBRE A FORMA DOS ANÉIS DE SATURNO 9 Ao desprezar, nesta equação, o termo em α 2, obtém-se a expressão dada por Laplace para o cálculo de β: M(3 + β 2 4β( β) ) π =. + β A grandeza β é positiva e não pode ser maior do que, dado que M é positivo. Daí segue, como notou Laplace, que M 4π não pode superar uma certa grandeza (.543). Nesta hipótese a equação de Laplace tem duas raízes positivas. Sendo β uma destas, de (5) obtém-se, até uma grandeza de quarta ordem α 2 N β = β 8 2Mβ 4 + ( + β ) 2 onde N significa o valor de N para β = β. Por substituição deste valor de β na expressão (3) de γ, obtém-se esta última grandeza com a mesma ordem de aproximação; ainda obtém-se de (4) n 2 = M + α 2 N. Eu noto também que, para valores suficientemente pequenos de M, ao se tomar o menor dos β, vale que a curvatura da seção transversal no ponto mais próximo do centro do anel é mais forte do que aquela no ponto oposto. Se for tomado o maior dos β, acontece o contrário.