X - Variedades Estáveis e Crises. Referência Principal: Chaos K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke Springer (1997)

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1 X - Variedades Estáveis e Crises Referência Principal: Chaos K. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke Springer (1997)

2 1- Introdução Variedade estável (instável): conjunto de pontos iniciais que convergem para o ponto de sela para t (t - ). Poincaré: cruzamento de variedades causam dinâmica complexa. Vamos examinar crises causadas pelo cruzamento entre as variedades estável e instável de um ponto de sela. (Não há cruzamentos de uma mesma variedade!) Em geral, variedades não são determinadas analixcamente. Determinação das variedades requer mapas inversíveis.

3 2 Teorema da Variedade Estável As variedades de um ponto de sela no plano são curvas unidimensionais.

4 Exemplo de Variedades e Cruzamentos de um Ponto de Sela Ponto fixo! P = (-0.99, ) x = -π x = π Auto - valores e auto - vetores! λs = Vs = (1, 0.88)! λ = V = (1, ) u u Conjectura: variedade estável se aproxima de cada ponto do mapa Chaos Alligood et al.

5 Exemplo Mapa f (x, y) = ( 0.5 x + g(x, y), 3y + h(x, y) ) g, h potencias com ordem maior ou igual a 2 Ponto fixo em (0, 0) Df(0, 0) = λ λ = 0 auto valor λ = 0.5 auto-vetor u! = ê x! λ = 3 u = ê y Variedade estável na direção de ê x Variedade instável na direção de ê y

6 Variedades de um Ponto de Sela no Plano Local Global Chaos Alligood et al.

7 Teorema: f: difeomorfismo em R 2, com um ponto de sela! P Matriz Jacobiana D f (! P) auto-valores s ( s < 1) e u ( u > 1)! V s e! V u auto-vetores desses auto-valores As variedades estável, S, e instável, U, de P! são unidimensionais e contem P.! Em P,!! V s e V! u são tangentes a S e U, respectivamente.

8 Ilustração do Teorema da Variedade Estável Chaos Alligood et al.

9 Exemplo de Variedades 4 arctg x y f(x, y) = (, ) π 2 Pontos fixos atratores : Ponto de sela: (0, 0) ( 1, 0), (1, 0) Chaos Alligood et al.

10 Exemplo de Variedades f (x, y) = (r 2, θ - sen θ) Ponto fixoatrator : (0, 0) Ponto fixo de repulsão: (-1,0) Ponto de sela: (1, 0)!! Auto vetores s = ê e u = ê y x Chaos Alligood et al.

11 Chaos Alligood et al. y x s y x u ê ê V ê ê V vetores: Auto x 1 0 0) (0, Df 0) sela:(0, de Ponto x x y y x 0 x x x = + = λ = ± = = = +!! Variedades da Equação de Duffing

12 Variedades do Mapa de Hénon Ponto de sela : (0.94, 0.94)! λs = 0.18 Vs = êx 5.71 ê! λ = 1.71 V = ê 0.58 ê u u x y y Chaos Alligood et al.

13 3 - Pontos Homoclínicos e Heteroclínicos Emaranhado homoclínico Sela caótica: conjunto caótico não atrativo

14 Definição : n f : mapa inversível de R! P : ponto de sela com variedades estável (S)!!! r S, r U r é ponto homoclínico k!! -k!! lim f (r) f (P) lim f (r) f (P) k k e instável (U) Órbita homoclínica : órbita de um ponto homoclínico Se S e U forem variedades de pontos de selas diferentes,! r é um ponto heteroclínico Órbita heteroclínica : órbita de um ponto heteroclínico Pontos homoclínicos são mapeados, por f e f -1, em pontos homoclínicos.

15 Cruzamento de Variedades P: ponto de sela S: variedade estável U: variedade instável Ponto no cruzamento vai para P, quando t vai para P, quando t - Chaos Alligood et al.

16 Emaranhado Homoclínico Chaos Alligood et al.

17 S. Smale : mapa da ferradura, 1967 Pontos homoclínicos mapa da ferradura Conjunto de Cantor : formado pelos pontos mapa, para t > 0 e t < 0. hiperbólica que permanecem nesse

18 Construção de um Mapa da Ferradura Área R em torno do ponto de sela P Iterar f k (R) até encontrar um ponto homoclínico r Iterar f l (R) até encontrar esse ponto homoclínico r Mapa f k + l ( r) = r Domínio : f l (R) Im agem : f k (R) Determinar R suficientemente pequena, k, l não grande demais. Procurar esticamento e contração uniformes. Chaos Alligood et al.

19 f. de iterações para hiperbólico ferradura da mapa um Há transversalmente cruzam se instável e Variedades estável sela de fixo P : ponto plano no : difeomorfismo f Teorema : cruzam) se não elas homoclínico, ponto no tangenciam se apenas elas (Se elas. entre positivo ângulo um com seinterceptam elas se transversalmente cruzam se instável e estável Variedades Definições:!

20 Cruzamentos transverso e não transverso Chaos Alligood et al.

21 Chaos Alligood et al.

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23 4 - Crises Parâmetros críticos Pequena alteração do parâmetro próxima ao valor crítico mudança abrupta no atrator Discussão das alterações dinâmicas envolvidas

24 Três Tipos de Crise com Atratores Caóticos Tamanho do atrator caótico aumenta por colidir com órbita periódica no interior da sua bacia. Crise interior. Destruição do atrator caótico que colide com órbita periódica na fronteira da sua bacia. Crise de fronteira. Dois ou mais atratores se fundem ao colidirem simultaneamente com órbita na fronteira das suas bacias. Crise de fusão de atratores.

25 Evolução Pós Crise Tempo Característico Para Cada Tipo de Crise Crise interior Tempo de visita intermitente (bursts) à região que o atrator ocupava antes do seu crescimento. Crise de fronteira Duração do transiente caótico após a destruição do atrator caótico. Crise de fusão de atratores Tempo de permanência intermitente na região dos atratores originais.

26 Atrator Caótico do Mapa de Ikeda R + C2 ( x cos τ - y sen F (x, y) = C2 ( x sen τ + y cos τ ) - C3 τ = C x + y C 1,C 2,C 3,R parâmetros reais τ ) Chaos Alliggod et al.

27 Crise Interior do Atrator de Ikeda Chaos Alligood et al.

28 Teorema (lema lambda) f : difeomorfi smo no plano! P : ponto de sela Curva L cruza variedade estável cada ponto da variedade limite de f n n > 0 (L). instável transversalmente! de P é um ponto Demonstração em Palis, de Melo, Springer, 1982 Chaos Alligood et al.

29 Crise Interior: colisão do atrator caótico com a variedade estável da órbita periódica (p=5) Variedade estável da órbita periódica instavel entra na bacia do atrator Caótico. Chaos Alligood et al.

30 Antes da crise interior : cada ramo da variedade instável vai para um ramo do atrator. Depois da crise: as duas partes preenchem o atrator. Chaos Alligood et al.

31 Alteração Dinâmica Crise interior do mapa de Hénon Chaos Alligood et al.

32 Transiente Caótico Crise de Fronteira Variedade estável não está na bacia do atrator caótico. Chaos Alligood et al.

33 Crise de Fusão de Atratores Circuito de Chua Atrator penetra na bacia de atração do ponto fixo Chaos Alligood et al.

34 4 Variedades para Mapas Dimensão Maior que 2

35 Definição : n n f : mapa inversível de R! P : ponto de sela com variedades estável (S)!!! r S, r U r é ponto homoclínico n!! -n!! lim f (r) f (P) lim f (r) f (P) n n e instável (U) Órbita homoclínica : órbita de um ponto homoclínico Se S e U forem variedades de pontos de selas diferentes,! r é um ponto heteroclínico Órbita heteroclínica : órbita de um ponto heteroclínico

37 Bacias de Wada

40 Crises Laboratório de Fenômenos Não Lineares Principais autores dos trabalhos iniciais: J. C. Sartorelli R. D. Pinto W. M. Gonçalves M. S. BapXsta Pesquisas posteriores, desses e vários outros pesquisadores.

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42 Esquema do Equipamento Chaos Alligood et al.

43 Rota para o Caos Mapa de Retorno do intervalo de tempo entre duas gotas Chaos Alligood et al.

44 Diagrama de Bifurcação (Intervalos de tempo entre duas gotas) Chaos Alligood et al.

45 Mudança de Atrator (Crise interior indicada por I no diagrama de bifurcação) Chaos Alligood et al.

46 Crise de Fronteira (indicada por B no diagrama de bifurcação) Atrator caótico Atrator com periodo 5 Chaos Alligood et al.

47 Transição caos periódico Chaos Alligood et al.

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49 Diagrama de Bifurcações Ponto fixo ciclo limite caos Mudanças no atrator caótico

50 Transiente Caótico Ponto de Sela Variedades

51 Ponto vermelho: sela Linha azul: variedade instável Linha verde: variedade estável Transição Fig. e Fig. f atrator cruza variedade estável e sofre expansão

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53 Duas Crises Interiores a) antes da primeira crise b) c) entre primeira e segunda crise d) após segunda crise

54 Sucessão de Regimes Crises Interiores

55 (Página1284)

56 Transiente Caótico do Mapa de Ikeda Ponto inicial na bacia do atrator caótico. A partir da iteração 86435, a órbita deixa o atrator caótico. p > p :parâmetro de controle p c p c :parâmetro crítico

57 Grebogi et al. PRA 36 (1987)

58 Esquema da Tangência Heteroclínica Crise de fronteira Atrator atinge a fronteira da bacia. p = p c tangencia Variedade instável de A variedade estável de B p < dessas variedades p > p p c c dessas variedades Não há cruzamento Há cruzamento

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60 Variação do Transiente X Parâmetro Crítico Distribuição de τ (duraçãodo transiente para um ponto inicial) -τ T e P ( τ) T T :duração média para um conjunto de pontos iniciais Duração média do T ( p - p γ :expoente crítico c ) γ transiente

61 (Página 1507)

62 Crise de Fronteira Mapa Quadrático x n + 1 = C - x 2 n ( Mapa logístico 1 < r < 4 ) ; -1/4 < C < 2 x n + 1 = r x n (1- x n )

63 Esquema da Crise de Fronteira Bandas caóticas separadas do ponto fixo instável de periodo 3. Bandas caóticas superpostas ao ponto fixo instável de periodo 3.

64 Variação do intervalo de tempo entre bursts sucessivos X Parâmetro Crítico Distribuição de τ (duraçãodo intervalopara um ponto inicial) -T τ e P ( τ) τ τ :duração média para um conjunto de pontos iniciais Duração média do intervalo de tempo τ ( p - p c γ :expoente crítico ) γ

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66 Crise de Fronteira Mapa Quadrático x n + 1 = C - x 2 n ; -1/4 < C < 2 Colisão entre órbita Instável e atrator caótico ( Mapa logístico 1 < r < 4 ) x n + 1 = r x n (1- x n )

67 2 x + 1 = p - x n x0 n = 0

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70 A = 0.85 B = -0.9 κ = 0.4 p variando em torno de p-crítico p c =

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73 Duração Média dos Intervalos entre Bursts Crise heteroclínica

74 A Convecção de Rayleigh-Bénard

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77 Equação de Navier-Stokes! dv!!! ρ = F p + µ 2 v dt dt dt = κ 2 T Equação de Condução do Calor Equação da continuidade!! ( ) 0 ρ + ρv = t

78 Equações de Lorenz dx dt dy dt = σ ( X Y) = rx Y XZ dz dt = XY bz

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80 Variação de Parâmetro de Controle Várias rotas para o caos. Uma rota: caos precedido de órbita homoclínica. Outra rota: atrator caótico precedido de intermitência. Intermitência = pré-turbulência Estudo da origem da turbulência

81 Sistema de Lorenz x = - σ y z = = - x y x y x - + σ y + r x - b z y Variáveis : x, y, z espaço de Parâmetros de controle : σ, r, b fase tridimensional

82 X é proporcional à intensidade da convecção. X=0 implica que não há movimento convectivo, ou seja, o calor é transportado apenas por condução. X>0 implica circulação horária e X<0 circulação anti-horária. Y é proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendente e descendente. Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, relativamente a um perfil linear. Para Z=0, a temperatura decresce linearmente.

83 Atratores do Sistema de Lorenz Chaos Alligood et al.

84 Pontos fixos: O (x, C ( Cʹ ( - y, z) b (r -1), = b (r -1), (0, 0, - 0) b (r -1), b (r -1), r -1) r -1) b = 8/3 σ = 10 r > 0 Estabilidade do ponto O é determinada pelos auto - valores λ da matriz jacobiana - σ λ r 0 σ -1 λ b λ = 0 Ponto O estável no intervalo 0< r < 1, pois λ i < 0 r > 1 r s > r > 1 Ponto O instável Pontos C e Cʹ λ1 > 0 λ 2, 3 < 0 estáveis, λ 1, 2, 3 variedade variedade reais instável estável uni dim ensional bi dim ensional

85 ʹ > ʹ > < = > = = ʹ < λ λ > > ʹ > > persiste) caótico (atrator sela de pontos C e C r C C e com atratores (coexiste caótico atrator r caótico transiente r caos e transiente caos r r homoclínicas Órbitas r r atratores C e C 0 Re complexos, r r r O ponto do estável bidimensional variedade pela separadas atração Bacias atratores C e C 1 r r 0 o 2 1, 2 1, s 0 s

86 Origem do Atrator Caótico de Lorenz a) O ponto fixo estável b) O instável; C, C` estáveis c) O instável, C, C` estáveis d) Idem e) Órbita homoclínica f) Atrator caótico Chaos Ott

87 Rota Para Caos Via Intermitência

88 Atrator de Lorenz z σ = 10 b = 8/3 r = 28