DETERMINAÇÃO DE PONTOS FIXOS E ÓRBITAS PERIÓDICAS EM SISTEMAS CAÓTICOS

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1 INPE-9618 TDI/843 DETERMINAÇÃO DE PONTOS FIXOS E ÓRBITAS PERIÓDICAS EM SISTEMAS CAÓTICOS Bruno Aloís Forlin Roth Dissertação de Mestrado em Computação Aplicada, orientada pelos Drs. Elbert Einstein Nehrer Macau e Dra. Maisa de Oliveira Terra, aprovada em 18 de Junho de 22. INPE São José dos Campos 23

2 ROTH, B. A. F. Determinação de pontos fixos e Órbitas Periódicas em Sistemas Caóticos / B. A. F. Roth São José dos Campos: INPE, p. (INPE 9618 TDI/843). 1.Sistemas dinâmicos. 2. Caos. 3. Pontos Fixos. 4. Órbitas Periódicas. I. Título.

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5 Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de consciência que o criou. É preciso ir mais longe. Eu penso 99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho num grande silêncio e a verdade me é revelada. ALBERT EIN ST EIN

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7 A meus pais, REN AT O ROT H e AURORA FORLIN ROT H.

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9 AGRADECIMENTOS Agradeço a todas pessoas que me ajudaram a vencer mais esta etapa da vida. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq, pelo auxilio financeiro de dois anos de bolsa de mestrado. Também gostaria de agradecer à Fundação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES, pelo auxilio financeiro pelas viagens a congressos nacionais. À colega de curso Nanci Naomi Arai, pela aquisição do estilo do L A TEX desenvolvido inicialmente por Marcelo Banik de Padua segundo as normas de publicação do INPE. Ao Laboratório de Integração e Testes-LIT pela oportunidade de estudos e utilização de suas instalações. Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE pela oportunidade de estudos e utilização de suas instalações. Aos professores do INPE pelo conhecimento compartilhado. Aos amigos do laboratório de Aquisição-LIT, Jeferson Cintra, Michele Guimarães e Ubiratan de Freitas pela amizade e companheirismo demontrados. Ao orientador Prof. Dr. Elbert E.N. Macau pelo conhecimento passado, e pela orientação e apoio na realização deste trabalho. À orientadora Prof. Dr. Maisa O. Terra pela orientação, apoio na realização deste trabalho e principalmente pela pessoa especial que demonstrou ser. Também não poderia deixar de agradecer as horas de conversa que tivemos. Aos meus amigos e simpatizantes da República Herois da Resistência, Gilberto Ribeiro Queiroz (Mano Gilbert), Marcelo Chaves (MHP), Claudio Correa (skrotinhos), Alessandra Soares (Alê) e corintiano Glauco Antonio Santos da Silva (Palmeirense de Coração). À Angela Poleto pelo amor e compreensão, mesmo nos tempos de difícil compreensão. A meus pais por sempre acreditarem na importância do estudo.

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11 RESUMO Este trabalho tem por objetivo a construção de um ambiente de estudo e de uma biblioteca para determinação de pontos fixos e periódicos em sistemas dinâmicos em evolução caótica. Para tanto, inicialmente são apresentados alguns conceitos básicos sobre sistemas dinâmicos caóticos, dando ênfase à importância da determinação de pontos fixos e órbitas periódicas nestes sistemas. Alguns métodos para determinação de pontos fixos e órbitas periódicas em sistemas dinâmicos caóticos representados por mapas, séries temporais e equações diferenciais são descritos. Foi introduzido um novo método como também adaptações e aprimoramentos em alguns dos métodos conhecidos. A fim de determinar a eficiência e a aplicabilidade de cada método estudado, análises e testes são apresentados. Por fim, no capítulo de conclusão, há análises comparativas entre os métodos de determinação de órbitas fixas e periódicas em sistemas caóticos, como também a descrição de possíveis trabalhos futuros a partir dos resultados obtidos.

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13 DETERMINATION OF FIXED POINTS AND PERIODIC ORBITS IN CHAOTIC SYSTEMS ABSTRACT The goal of this work is the construction of a computacional environment of study and a library for determination of fixed and periodic points in chaotic dynamical systems. To this end, initially some basic concepts chaotic dynamical systems are presented, giving emphasis to the importance of the determination of fixed and periodic orbits in such systems. Some methods for determination of fixed and periodic orbits in chaotic maps, time series and differencial equations are described. In order to determine the efficiency and applicability of each method, analyses and tests are presented. Finally, in the conclusion, there are comparative analyses among the methods and some suggestions for further research.

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15 SUMÁRIO Pág. LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Esboço Geral CAPÍTULO 2 SISTEMAS CAÓTICOS Sistemas Dinâmicos Sistema Dinâmico Discreto no Tempo: Mapa Sistema Dinâmico Contínuo no Tempo: Equações Diferenciais Mapa de Poincaré Pontos Fixos e Órbitas Periódicas Conjuntos Invariantes e Limites Derivada e Jacobiano de um Mapa Propriedades de Pontos Fixos Teorema do Ponto Fixo Conceitos Gerais Caos Atrator Caótico Expoentes de Lyapunov Entropias Órbita Caótica Imersão O Papel das Órbitas Periódicas Instáveis nos Sistemas Caóticos CAPÍTULO 3 MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO DE PONTOS FI- XOS E ÓRBITAS PERIÓDICAS Métodos de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas para Séries Temporais Método Apresentado por Auerbach, Cvitanović, Eckmann, Gunaratne e Procaccia

16 3.1.2 Método apresentado por Aguirre e Souza Método Apresentado por So, Ott, Schiff, Kaplan, Sauer e Grebogi Métodos de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas para Mapas e Seções de Poincaré Obtidas por Fluxos Método de Newton-Raphson Método do Módulo de G Seguido pelo Método de Newton-Raphson Método Apresentado por Schmelcher e Diakonos Método Apresentado por Davidchack e Lai CAPÍTULO 4 RESULTADOS Sistemas Dinâmicos Caóticos Utilizados nas Análises Sistema de Equações Diferenciais de Lorenz Mapa de Ikeda Detecção de Pontos Fixos em Séries Temporais Geração de séries temporais para os testes de detecção de pontos fixos Análise do método Aguirre e Souza, utilizando-se a série temporal do sistema de equações diferenciais de Lorenz Análise do método de Aguirre e Souza, utilizando-se a série temporal do mapa de Ikeda Análise do método Auerbach et al, utilizando-se a série temporal do sistema de equações diferenciais de Lorenz Análise do método de Auerbach et al, utilizando-se a série temporal do mapa de Ikeda Análise do método So et al, utilizando-se a série temporal do sistema de equações diferenciais de Lorenz Análise do método de So et al, utilizando-se a série temporal do mapa de Ikeda Detecção de Pontos Fixos e Periódicos em Mapas Análise do método de Módulo de G com Newton-Raphson aplicado ao Mapa de Ikeda Análise dos Método de Schmelcher e Diakonos e Davidchack e Lai aplicados ao Mapa de Ikeda Otimização do Método de Schmelcher e Diakonos com a inclusão do Método de Newton-Raphson aplicado ao Mapa de Ikeda Detecção de Pontos Fixos e Periódicos em Equações Diferenciais Detecção de pontos periódicos nas Equações diferenciais de Lorenz CAPÍTULO 5 CONCLUSÃO

17 5.1 Trabalhos Futuros REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A AMBIENTE DE INTEGRAÇÃO DAS ROTINAS QUE COMPÕEM A BIBLIOTECA DE DETERMI- NAÇÃO DE PONTOS FIXOS E ÓRBITAS PERIÓ- DICAS A.1 Utilização do Ambiente de Integração das Rotinas que Compõem a Biblioteca de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas - UPOS LABORA- TORY v

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19 LISTA DE FIGURAS Pág. 1.1 Dinâmicas no mundo real são modeladas por sistemas dinâmicos no espaço de fase das variáveis físicas Mapa de Poincaré. P : Mapa de primeiro retorno Deformação de uma região sobre um mapa Teorema do Valor Médio: Seja F : a, b R contínua e Y contido entre F (a) e F (b), então há um X contido no intervalo a, b tal que a função F (X ) = Y Ilustração do teorema do ponto fixo para duas dimensões Evolução do conjunto de condições iniciais de um sistemas após n iterações de um mapa de duas dimensões Evolução do conjunto de condições iniciais de um sistemas após n iterações de um mapa de três dimensões Método de Auerbach et al. Ilustração da precisão r 1 para um caso de período p = Método de Auerbach et al. Ilustração da precisão r 2 para uma caso com 2 órbitas diferentes, mas de mesmo período (Q n i,p, onde n é o índice na lista de órbitas, i é o índice do ponto na órbita e p é o período da órbita) Exemplo de um agrupamento espúrio (em verde): Resposta obtida na determinação dos pontos fixos do Atrator de Lorenz Interpretação geométrica da transformação do método de So et al Determinação dos pontos fixos da função f(x) calculando raízes da função f(x) x = Determinação da raiz da função f(x 1 ) = com 3 passos do método de Newton. 65

20 3.7 Método de Newton-Raphson encontra um máximo local e converge para longe da solução Método de Newton-Raphson entra num ciclo não convergente Solução de duas equações não-lineares Exemplo ilustrativo da grade de condições iniciais (em verde) do método do g superposta ao atrator invariante (em vermelho) Exemplo ilustrativo de grupo de pontos selecionados dentro da tolerância t 1 do Método do g Atrator de Lorenz 3D com os pontos fixos exatos P F 1 ( 72; 72; 27), P F 2 (; ; ) e P F 3 ( 72; 72; 27) Atrator do mapa de Ikeda com os pontos fixos aproximados P F 1 (, 53;, 24) e P F 2 (1, 11; 2, 28) Método de Aguirre e Souza explorando a série temporal da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz. Resultado obtidos variando-se o tamanho da janela de dados (L) e o tamanho do deslocamento da janela de dados e utilizando-se 8 séries temporais diferentes. Erro = P real P Aguirre Souza Método de Aguirre e Souza explorando a série temporal da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz. Resultado obtido variandose o tamanho da janela de dados (L), fixando tamanho do deslocamento da janela de dados em (D = 45) e utilizando-se 8 séries temporais diferentes Método de Aguirre e Souza explorando a série temporal da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz. Resultados obtidos variandose o tamanho da série temporal com janela de dados em (L = 5), tamanho do deslocamento da janela de dados em (D = 45) e utilizando-se 8 séries temporais diferentes. Note que escalas logarítmicas foram utilizadas nos eixos das ordenadas

21 4.6 Método de Aguirre e Souza explorando a série temporal da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz. Resultados obtidos fixando-se o tamanho da série temporal em N = 81, variando a janela de dados de (L = 2) a (L = 28), fixando-se o tamanho do deslocamento da janela de dados em (D = 45) e utilizando-se 8 séries temporais diferentes Erros, X real X AguirreSouza, obtidos através do método de Aguirre e Souza com a série temporal do mapa de Ikeda variando-se o tamanho da janela de dados e o deslocamento da janela de dados. Foram utilizadas 8 séries temporais de N = 3 elementos Erros, X real X AguirreSouza, obtidos através do método de Aguirre e Souza com a série temporal do mapa de Ikeda fixando-se o tamanho da janela de dados e o deslocamento da janela de dados respectivamente, L = 5 e D = 45. Foram utilizadas 8 séries temporais para cada variação de elementos Erros, X real X AguirreSouza, obtidos através do método de Aguirre e Souza com a série temporal do mapa de Ikeda. Foram utilizadas 8 séries temporais para cada variação de elementos para N = 81 e D = Resultados obtidos para o PF P 1 a partir do Método de Auerbach et al, variando-se a tolerância de T 1 =, 1 a T 1 =, 1 para séries de tamanho N = 1 3, N = 5 1 3, N = , N = e N = Utilizou-se 8 séries temporais da coordenada x do Mapa de Ikeda Resultados obtidos para o PF P 2 a partir do Método de Auerbach et al, variando-se a tolerância de T 1 =, 1 a T 1 =, 1 para séries de tamanho N = 1 3, N = 5 1 3, N = , N = e N = Foram utilizadas 8 séries temporais da coordenada X(p 2 ) do Mapa de Ikeda Ilustração da aproximação ou afastamento da média obtida quando uma nova solução (satisfazendo a restrição da tolerância T 1 ) é acrescentada ao conjunto de dados a medida que o algoritmo do método de Auerbach et al é executado Resultado do método de So et al com N = 5 elementos Resultado do método de So et al com N = 32 elementos Resultado do método de So et al com N = 5 elementos e limite dos canais do histograma entre (, 45;, 65)

22 4.16 Resultado do método de So et al com N = 5 elementos e limite dos canais do histograma entre (, 5;, 55) Resultado de g(r i ) na grade de condições aleatórias para o atrator de Ikeda Resultado de g(r i ) na grade de condições aleatórias com as condições iniciais determinadas pela tolerância t 1 =, 2 para o método de Newton-Raphson. As regiões em azul correspondem às sementes a serem iteradas pelo algoritmo de Newton-Raphson. 3D (acima) - 2D (abaixo) Condições iniciais determinadas pela tolerância t 1 =, 2 e os pontos fixos determinados pelo método de Newton-Raphson Todos os pontos de período 1 a 1 do mapa de Ikeda obtidos com o método Módulo de G com Newton-Raphson Trajetórias obtidas pela busca de pontos fixos de período 3 com a iteração dos dois métodos utilizando as 8 matrizes C k e partindo de condições iniciais de período 1 e Plano de Poincaré X = 15 no sistema de Equações Diferenciais de Lorenz Ponto de período 1 da Seção de Poincaré X = 15 e respectiva órbita periódica, obtidos com o sistema de Equações Diferenciais de Lorenz: PF A ( 15, ; 18, 468; 32, 15) Ponto de período 1 da Seção de Poincaré X = 15 e respectiva órbita periódica, obtidos com o sistema de Equações Diferenciais de Lorenz: PF B ( 15, ; 21, 277; 28, 727) Ponto de período 1 da Seção de Poincaré X = 15 e respectiva órbita periódica, obtidos com o sistema de Equações Diferenciais de Lorenz: PF C ( 15, ; 16, 81; 34, 15) A.1 Diagrama do Funcionamento do Ambiente de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas em Sistemas Caóticos - UPOS LABORATORY A.2 Diagrama do Funcionamento do Diagrama do Funcionamento do Ambiente de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas em Sistemas Caóticos - UPOS LABORATORY com a determinação de uma máquina para apenas executar as funções da biblioteca

23 A.3 Utilização do ambiente UPOS LABORATORY v1.. Primeiro passo: Escolha do sistema dinâmico caótico a ser analisado A.4 Utilização do ambiente UPOS LABORATORY v1.. Segundo passo: Escolha do método de determinação de pontos fixos e órbitas periódicas A.5 Utilização do ambiente UPOS LABORATORY v1.. Terceiro passo: Escolha do endereço eletrônico do recebimento do resultado A.6 Utilização do ambiente UPOS LABORATORY v1.. Quarto passo: Iniciar o processo

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25 LISTA DE TABELAS Pág. 3.1 Matrizes C k para uma e duas dimensões Representação esquemática comparativa das prescrições dos métodos SD, NR, DL Pontos fixos de período 1(p1a, p1b) e 2(p2a, p2b) utilizando-se C 1 a C 8 e N = 1 condições iniciais aleatórias sobre o atrator, onde: ID é o identificador do ponto, Matriz é a matriz que utilizada para obter a resposta e It. Total é o total de iterações dos métodos Soluções finais obtidas pelas iterações dos métodos de Schmelcher e Diakonos e Davidchack e Lai utilizando-se todas matrizes C k e partindo de pontos fixos de período 1 e 2 como condições iniciais Pontos fixos de período 1 e 2 utilizado C 1 a C 8 e N = 1 condições iniciais aleatórias sobre o atrator

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27 LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS CA Autômato Celular DE Equações a Diferença ou Mapas DL Método apresentado por Davidchack e Lai NR Método de Newton-Raphson ODE Equações Diferenciais Ordinárias OPI Órbita Periódica Instável OPIs Órbitas Periódicas Instáveis PDE Equações Diferenciais Parciais PF Ponto Fixo SD Método apresentado por Schmelcher e Diakonos

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29 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO O comportamento caótico de sistemas dinâmicos não-lineares é observado em experimentos e modelos computacionais nos mais diversos campos da ciência. Muitos dados experimentais irregulares, que antes foram atribuídos a erros ou ruídos, são agora reavaliados para uma explicação em termos de novos conceitos (teoria de sistemas dinâmicos) (Alligood et al., 1996). A maior parte dos processos naturais (vento, mar e sol) e não-naturais, ou seja, os realizados pelo homem, são sistemas considerados complexos, muito difíceis de se prever detalhadamente devido a seu comportamento típico. Dinâmicas no Mundo Real podem ser analisadas através de modelos, Figura (1.1), processos que contêm a introspecção física a fim de tentar descrever fenômenos reais. Os modelos resultam em sistemas dinâmicos no espaço de fase das variáveis físicas (Jackson, 1989). FIGURA 1.1 Dinâmicas no mundo real são modeladas por sistemas dinâmicos no espaço de fase das variáveis físicas. FONTE: adaptada de Jackson (1989, p. 6). Os tipos de modelos dinâmicos mais comuns são: Equações Diferenciais Ordinárias (ODE); Equações Diferenciais Parciais (PDE); 27

30 Equações a Diferença ou Mapas (DE); Autômato Celular (CA): discreto no tempo, espaço e variáveis funcionais. Em muitos destes sistemas, o que ocorre é a manifestação do caos. A determinação de órbitas periódicas 1 em sistemas caóticos é de extrema importância para o entendimento da dinâmica do sistema. As órbitas periódicas instáveis revelam o esqueleto do invariante caótico, e algum dos parâmetros característicos de comportamento dinâmico dos sistemas, tais como as dimensões, expoentes de Lyapunov e entropia topológica, podem ser avaliados com base no conjunto de órbitas periódicas instáveis que é densamente presente neste invariante (Auerbach et al., 1987) (Cvitanovic, 1988). Este trabalho se ocupa da implementação e análise comparativa dos métodos mais conhecidos, (Auerbach et al., 1987), (Aguirre e Souza, 1998), (So et al., 1996), (Press e Teukolsky, 1992), (Schmelcher e Diakonos, 1998) e (Davidchack e Lai, 1999), de determinação das órbitas periódicas instáveis que se encontram imersas num invariante caótico. Alguns destes métodos exigem o conhecimento do modelo matemático do sistema, enquanto outros usam como dados de entrada um conjunto de séries temporais. Como resultado, chegou-se a uma classificação destes métodos segundo suas condições particulares em que oferecem o melhor desempenho. Pragmaticamente, este trabalho teve por resultados: uma biblioteca para determinação de órbitas fixas e periódicas; possibilitando a ligação de programas externos à biblioteca do ambiente e um protótipo de um Ambiente para Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas - UPOS-LABORATORY v1. (ver apêndice A). 1.1 Esboço Geral Este trabalho foi dividido em mais cinco capítulos, descritos a seguir: CAPÍTULO 2 - SISTEMAS CAÓTICOS: Neste capítulo são abordados os fundamentos dos sistemas dinâmicos caóticos e também será visto a importância da determinação de pontos fixos e periódicos para a compreensão de sistemas caóticos; 1 Ponto fixo é um ponto no espaço de fase que é idêntico a sua imagem. O ponto x é um ponto fixo do mapa f se e somente se f(x) = x. A órbita periódica ou ciclo repete de maneira exata seu comportamento após um intervalo fixo de tempo (Lorenz, 1994). 28

31 CAPÍTULO 3 - MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO ANALISADOS: Este capítulo contém a descrição de alguns métodos conhecidos para determinação de pontos fixos e periódicos. CAPÍTULO 4 - RESULTADOS: Resultados das análises dos métodos estudados são apresentados neste capítulo. CAPÍTULO 5 - AMBIENTE DE INTEGRAÇÃO DAS ROTINAS QUE COMPÕEM A BIBLIOTECA DE DETERMINAÇÃO DE PONTOS FI- XOS E ÓRBITAS PERIÓDICAS: Neste capítulo são apresentadas formas de instalação e utilização do AMBIENTE PARA DETERMINA- ÇÃO DE PONTOS FIXOS E ÓRBITAS PERIÓDICAS - UPOS- LABORATORY v1.. CAPÍTULO 6 - CONCLUSÕES: Conclusões e perspectivas de trabalhos futuros sobre os métodos estudados e analisados. 29

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33 CAPÍTULO 2 SISTEMAS CAÓTICOS Em 1889, Henri Poincaré submeteu um brilhante trabalho ao concurso de pesquisa em mecânica celeste com, relevantes contribuições à questão da estabilidade do sistema solar e da solução do problema dos n-corpos, promovido pelo Rei Oscar II da Suécia (Poincaré, 1897). Em seu trabalho, Poincaré introduziu três hipóteses simplificadoras: apenas três corpos se deslocam num plano; dois corpos com massa finita e um com massa desprezível e condição inicial favorável para os corpos de massa não desprezível se deslocarem em um movimento circular uniforme em torno do centro de massa do sistema. O método inovador de análise, introduzido e aplicado por Poincaré (mapa de Poincaré), baseia-se em um mapa de duas dimensões que relaciona o cruzamento da trajetória num plano adequadamente definido com o cruzamento subseqüente no mesmo sentido relativo. Poincaré analisou o problema através de métodos qualitativos, verificando a existência de possíveis movimentos e estabilidades associadas. Além disso, Poincaré introduziu o conceito de variedades instável e estável, isto é, curvas especiais cujo entendimento permite caracterizar movimentos associados a diferentes trajetórias. Poincaré determinou que variedades de diferentes tipos (estável e instável) podem cruzar entre si, gerando os pontos homoclínicos que implicam a existência de movimentos estáveis altamente complexos, movimentos estes hoje conhecidos como caóticos. A conclusão final de Poincaré foi a existência de movimentos possíveis, tão complexos, que seriam impraticáveis e mesmo impossíveis de serem analisados com os instrumentos disponíveis naquela época. Uma compreensão destas formas dinâmicas de evolução só foi possível amadurecer nos dias de hoje com o advento do computador. Métodos numéricos implementados em computadores permitiram explorar as técnicas introduzidas por Poincaré relacionadas ao problema planar restrito dos três corpos. Em 1963, o meteorologista Edward Lorenz defrontou-se com o mesmo movimento caótico descrito anteriormente por Poincaré quase cem anos antes, e vislumbrou a existência de uma importante propriedade associada a evolução caótica, que é a extrema sensibilidade a variações das condições iniciais. A manifestação deste efeito, denominado por Lorenz de Efeito Borboleta, num modelo para sistemas atmosféricos permitiu a Lorenz compreender as profundas implicações em relação ao objetivo perseguido pelos meteorologistas de se conseguir com o uso de computadores fazer previsões meteorológicas de longa duração (Lorenz, 1963). 31

34 No final dos anos 6, o matemático americano Stephen Smale explicou matematicamente o movimento caótico através de seu modelo de ferradura aplicado às intersecções homoclínicas; o movimento caótico foi constatado experimentalmente em laboratório (Moon e Holmes, 1979); em 1976 o físico americano Mitchell Feigenbaum identificou teoricamente a primeira rota que conduz do movimento regular ao movimento caótico (Feigenbaum, 1978) (Feigenbaum, 1979), que foi constatado experimentalmente em laboratório pelo físico francês Albert Libchaber (Libchaber, 1982). Nos dias de hoje é fato que o comportamento caótico é observado na natureza, sendo o responsável por importantes fenômenos que ocorrem nas mais diversas áreas. A presença de não-linearidade pode levar o sistema ao caos. O movimento caótico é tão comum na natureza que inúmeros experimentos até então considerados como irregulares devido à presença de ruídos estão sendo reavaliados para verificar a presença de caos. Sistemas caóticos são identificados em inúmeros campos da ciência, incluindo engenharia elétrica, química e engenharia mecânica (Kandel e Langholz, 1994). Inúmeras aplicações surgem a cada dia, envolvendo sistemas baseados em evolução caótica, tais como, redes neurais, sistemas de comunicação, controles de caos, entre outros (Macau, 1. sem. de 1999). Nas seções a seguir serão apresentados conceitos sobre sistemas dinâmicos caóticos, conceitos estes que serão necessários para o entendimento dos capítulos posteriores. 2.1 Sistemas Dinâmicos Um sistema dinâmico consiste de um conjunto de possíveis estados (informações que caracterizam completamente o sistema num dado instante de tempo) e de uma regra determinística. O estado presente deve ser univocamente determinado a partir do estado passado através da aplicação desta regra determinística (Devaney, 1993) (Grebogi et al., 1987a). Denomina-se espaço de fase o espaço de estados possíveis para o sistema. A evolução de tal sistema pode ser descrita por um conjunto de equações discretas ou contínuas (diferenciais), que representam o conjunto de regras que determinam o comportamento futuro a partir do estado inicial (Moreira, 1992). Os sistemas dinâmicos podem ser classificados segundo o parâmetro de evolução, em: Discretos no tempo: Seja x 1 = f(x ), o estado x 1 é o resultado obtido a partir do estado inicial x. A função que descreve este relacionamento mate- 32

35 mático é chamada de mapa e o processo de cálculo de um sistema discreto chama-se iteração; Contínuos no tempo: O fluxo gerado pelo campo vetorial ẋ(t) = f(x, t), que determina o estado seguinte no instante t caracteriza o caso contínuo. Um conjunto de equações diferenciais descreve este relacionamento matemático Sistema Dinâmico Discreto no Tempo: Mapa Os sistemas dinâmicos caracterizados pela iteração de uma função são chamados de mapas (Devaney, 1993). Salvo quando apareça no texto menção em contrário, consideremos neste trabalho o mapa suave f : X D X D (2.1) sobre um espaço métrico completo e D é a dimensão de X D. A iteração do mapa da Equação (2.1) pode ser definida como onde k é a k-ésima iteração de x usando a função f. Define-se como órbita direta de um ponto x o conjunto f k (x ) = f(f(... f(x )...)), (2.2) }{{} k vezes O + (x ) = { f k (x ) : k k Z }, (2.3) enquanto a órbita inversa de um ponto X é o conjunto O (x ) = { f k (x ) : k < k Z }. (2.4) A órbita do ponto x é o conjunto das órbitas direta e inversa, O(x ) = { f k (x ) : < k < + k Z }. (2.5) Sistema Dinâmico Contínuo no Tempo: Equações Diferenciais Equações diferenciais são exemplos de sistemas dinâmicos que variam continuamente no tempo ao invés de intervalos discretos (Devaney, 1993). 33

36 As equações diferenciais também podem ser analisadas via discretização de suas variáveis contínuas. Destacamos duas dessas situações: Podemos discretizar no tempo (t =, 1, 2,...) e assim representar as equações diferenciais como um processo iterativo e Mapa de Poincaré: Em alguns casos, um sistema dinâmico contínuo no tempo k-dimensional pode ser reduzido em um mapa (k 1)-dimensional (Grebogi et al., 1987a), através da introdução do chamado Mapa de Poincaré Mapa de Poincaré O mapa de Poincaré (Figura (2.1)) possibilita um meio simplificado de se observar trajetórias contínuas. Muitas informações importantes são codificadas nos pontos definidos pela intersecção entre uma trajetória da dinâmica e um plano, de tal forma que um homeomorfismo seja estabelecido entre a dinâmica e este mapeamento. Seja o sistema dinâmico contínuo, descrito pelo sistema de equações diferenciais ẋ = f(x); x X D. (2.6) O campo vetorial f(x) sobre X D gera o fluxo Φ t sobre X D. X x F(x ) F(F(x )) Y Z FIGURA 2.1 Mapa de Poincaré. F : Mapa de primeiro retorno. FONTE: adaptada de Devaney (1993, p. 16). Considerando o conjunto de hiper-superfícies = { k, k Z}, cada uma com dimensão D 1 e um fluxo que as intercepta (seção-transversal). Seja γ uma trajetória do 34

37 fluxo Φ t com sucessivos cruzamentos com o conjunto de hiper-superfícies, o que gera o conjunto de pontos S γ = {..., x i 1, x i, x i+1,...}, (2.7) correspondentes às sucessivas intersecções. Chamamos de mapa de Poincaré o mapa F :, tal que P (x i ) = x i+1. Quando apenas uma hiper-superfície é usada no sistema, o mapa de Poincaré é chamado de mapa de primeiro retorno e associa o ponto x i que pertencente a hipersuperfície com o ponto x i+1, que é o resultado da próxima intersecção da trajetória com a hiper-superfície (Macau e Grebogi, 21). O mapa de Poincaré também é usado em osciladores não autônomos periodicamente forçados. Seja o sistema ẋ = f(x, t); (x, t) X D X, (2.8) onde f(., t) = f(., t + T ) é periódico com período T no tempo t. A Equação (2.8) pode ser reescrita como um sistema autônomo se a variável t for incluída como uma variável de estado explícita ẋ = f(x, θ) θ = 1 ; (x, θ) X D S 1, (2.9) onde a componente circular S 1 = X(mod T ) reflete a periodicidade do campo vetorial f em θ. Podemos, então, introduzir uma seção-transversal global = { (x, θ) X D S 1 : θ = θ }, (2.1) tal que todas as soluções do cruzamento são interceptadas por causa da componente θ = 1 da Equação (2.9). O mapa de Poincaré definido globalmente é dado por P (x ) = x(x, T + θ ), (2.11) onde x(x, T + θ ) é a solução da Equação (2.9) baseado em x(x, θ ) = x (Macau e Grebogi, 21). 35

38 2.2 Pontos Fixos e Órbitas Periódicas O ponto fixo é um ponto no espaço de fase que é idêntico a sua imagem (Lorenz, 1994). O ponto x é um ponto fixo do mapa f se e somente se f(x) = x. A órbita periódica ou ciclo repete de maneira exata seu comportamento após um intervalo fixo de tempo (Lorenz, 1994). O ponto x é um ponto periódico de período n do mapa f se f n (x) = x. O menor inteiro positivo n tal que f n (x) = x é chamado de menor período de x. Podemos representar o conjunto dos pontos periódicos por: P er n (f) o conjunto de pontos periódicos de período n; P er(f) o conjunto de todos os pontos periódicos de f e F ix(f) o conjunto dos pontos fixos de f. O conjunto de todas as iterações de um ponto periódico formam uma órbita periódica. 2.3 Conjuntos Invariantes e Limites Um conjunto S é um conjunto invariante de um mapa f se x S e f n (x ) S, (2.12) n Z. O conjunto S é definido como conjunto positivamente invariante quando é restrito a n. Os conjuntos invariantes são importantes porque provêm um meio para decompor o espaço de fase, isto é, se for possível determinar uma coleção de conjuntos invariantes, então pode-se restringir o problema para a dinâmica sobre cada conjunto invariante. Assim, pode-se tentar determinar a solução global das partes invariantes. Conjuntos invariantes também atuam nas extremidades do espaço de fase, restringindo as trajetórias em subconjuntos do espaço de fase (Tufillaro et al., 1992). Um ponto y pertence a um ponto w-limite de x desde que exista uma seqüência n i tal que onde d é a distância euclidiana. lim d(f n (x), y) =, (2.13) n 36

39 O conjunto de todos os pontos w-limite de x mapa o para f são chamados de conjuntos w-limites e representados por w(x). O ponto z pertence ao ponto α-limite de x se existir uma seqüência n i tal que onde d é a distância euclidiana. lim d(f n (x), z) =, (2.14) n O conjunto de todos os pontos α-limite de x para o mapa f são chamados de conjuntos α-limites e representados por α(x). A união de todos os conjuntos w-limites determinam o conjunto limite direto L + (f) e a união de todos os conjuntos α-limites determinam o conjunto limite reverso L (f). 2.4 Derivada e Jacobiano de um Mapa A derivada de um mapa contém informações sobre a dinâmica local (Macau e Grebogi, 21) (Tufillaro et al., 1992). Seja o mapa f : X D X m, (2.15) um mapa com m funções f = (f 1,..., f m ). A matriz jacobiana do mapa f é determinada pela derivada da matriz m x n, chamada de matriz de derivadas parciais de f e representada por Df(x ) = f 1 (x ) f 1 (x ) x 1... x n f m(x ) x 1... f m(x ) x n. (2.16) Na Figura (2.2) observa-se como uma região retangular pequena do plano R é transformada em f(r) após uma iteração do mapa f(u, v) : R 2 R 2 (2.17) onde f 1 (u, v) = x(u, v) e f 2 (u, v) = y(u, v). O determinante da matriz Jacobiana do mapa de x determina quanto a área sobre x expande ou contrai. Assim: det(df(x )) < 1: o mapa f é uma contração em x, det(df(x )) > 1: o mapa f é uma expansão em x, 37

40 det(df(x )) = 1: o mapa f é conservativo em x. v=y n y n+1 f(r) R u=x n x n+1 FIGURA 2.2 Deformação de uma região sobre um mapa. FONTE: Adaptada de Tufillaro et al. (1992, p. 2). 2.5 Propriedades de Pontos Fixos Considerando o mapa f : X D X D, (2.18) o ponto fixo p é chamado de hiperbólico se Df(p) não possuir autovalores no círculo unitário. Caso o ponto p seja periódico de primeiro período n, então p é hiperbólico se Df n (p) não possuir autovalores no círculo unitário. Seja o mapa da Equação (2.18) e o ponto p tal que f n (p) = p é hiperbólico. Podemos classificar o ponto p segundo sua estabilidade em: a) sorvedor ou ponto periódico atrativo: Se todos os autovalores de Df n (p) forem menores que 1 em valor absoluto; b) fonte ou ponto periódico repulsivo: Se todos os autovalores de Df n (p) forem maiores que 1 em valor absoluto e c) sela: Se alguns dos autovalores de Df n (p) forem menores e alguns forem maiores que 1 em valor absoluto. 38

41 Supondo que o mapa da Equação (2.18) tenha um ponto fixo atrativo p, então há um conjunto aberto U em torno de p em que todos os pontos tendem para p com a iteração para frente do mapa f. Tal conjunto de pontos é denominado bacia de atração do ponto p. Entretanto, se o mapa da Equação (2.18) possuir um ponto fixo repulsor p, haverá um conjunto aberto U em torno de p em que todos os pontos tendem para p com a iteração inversa do mapa f. 2.6 Teorema do Ponto Fixo O teorema do ponto fixo para mapas de uma dimensão é definido a partir do teorema do valor intermediário (Devaney, 1993), Figura (2.3). Este teorema afirma que a função contínua assume todos os valores entre F (a) e F (b) no intervalo [a, b]. Como conseqüência, temos o teorema do ponto fixo (Devaney, 1993): Seja F : [a, b] [a, b] contínua. Então há um ponto fixo da função F no intervalo [a, b]. O teorema do ponto fixo afirma a existência de pelo menos um ponto fixo no intervalo, entretanto podem existir outros. Na função F (x) = x, todos os pontos no intervalo [a, b] são fixos. É importante que o intervalo [a, b] seja fechado. Por exemplo, a função F (x) = x 2 leva o intervalo (, 1) em si mesmo e é contínua, mas não tem ponto fixo no intervalo aberto, pois o ponto fixo esta fora do intervalo (, 1). y F(b) F(x )=y F(a) a x b x FIGURA 2.3 Teorema do Valor Médio: Seja F : a, b R contínua e Y contido entre F (a) e F (b), então há um X contido no intervalo a, b tal que a função F (X ) = Y. FONTE: adaptada de Devaney (1993, p. 43). 39

42 (A) (B) A B L K J I I J K L B A C D E F H G H G F E D C (C) (D) A B C D H G F E A H B G C D F E FIGURA 2.4 Ilustração do teorema do ponto fixo para duas dimensões. (A) As direções V (x) fazem uma volta completa nos limites do retângulo f(s). (B) As direções V (x) são normalizadas e movidas para um círculo unitário. (C) Retângulo gerado sobre o mapa que não possui ponto fixo. (D) As direções V (x) formam um rotação total de zero voltas. FONTE: adaptada de Devaney (1993, p. 43). O teorema do ponto fixo garante a existência de pelo menos um ponto fixo, mas ele não mostra nenhum método para achá-lo. Entretanto, muitas vezes, o conhecimento de que ele existe num certo intervalo é suficiente. A prova do teorema do ponto fixo segue do teorema do valor intermediário aplicado a H(X) = F (X) X. (2.19) Está é uma função contínua que satisfaz H(a) = F (a) a (2.2) H(b) = F (b) b (2.21) Portanto, existe c no intervalo [a, b] com H(c) =, se c satisfizer F (c) c = então ele 4

43 é ponto fixo da função. Para mapas de duas dimensões, o teorema é definido a seguir: Seja f um mapa contínuo em R 2, S uma região retangular tal que à medida que se percorre os limites de S, a rotação total dos vetores V(x) = f(x) x não seja zero (Veja construção da Figura (2.4)). Então o mapa f possui um ponto fixo em S (Alligood et al., 1996). A rotação total deve ser um inteiro e retornar ao vetor V(x) onde iniciou. A Figura (2.4-A) mostra a rotação total de uma volta sobre o limite do retângulo f(s), enquanto a Figura (2.4-C) mostra a rotação total de zero voltas. O teorema do ponto fixo para duas dimensões garante que Figura (2.4-A) implica a existência de um ponto fixo, já para Figura (2.4-C) o teorema garante que não há ponto fixo. 2.7 Conceitos Gerais Sejam f, g : X D X D, (2.22) dois difeomorfismos. Podemos dizer que f e g são topologicamente equivalentes se existir um homeomorfismo h : X D X D, (2.23) tal que o mapa h mapeie as órbitas de f em órbitas de g, preservando o sentido de direção. Considerando o mapa f : X D X D (2.24) como difeomorfismo e D como um subconjunto compacto de X D. O mapa f é estruturalmente estável em D se existir ɛ >, tal que para qualquer perturbação ɛ de f em D sejam topologicamente equivalentes a f. Portanto se um sistema for estruturalmente estável, então qualquer sistema suficientemente próximo tem o mesmo comportamento qualitativo. Isto implica dizer que o sistema retém propriedades qualitativas sobre pequenas perturbações ou adição de ruído (Macau e Grebogi, 21). Seja o mapa da Equação (2.24). A função f é topologicamente transitiva sobre um 41

44 conjunto invariante Y X D desde que a órbita para frente de algum ponto p seja densa em Y. O mapa f da Equação(2.24) tem dependência sensível à condição inicial se existir um r >, independente do ponto, tal que para cada ponto p X D e para cada ɛ > exista um ponto q X D com d[p, q] < ɛ e k tal que, d [ f k (p), f k (q) ] r. (2.25) 2.8 Caos Segundo (Devaney, 1993) podemos dizer que o sistema dinâmico f : X D X D (2.26) é caótico sobre o conjunto invariante Y X D se: a) f for transitivo em Y ; b) f possuir um conjunto denso de órbitas periódicas em Y e c) f possuir dependência sensível às condições iniciais em Y Atrator Caótico Seja o mapa f : X D X D, (2.27) e D um subconjunto compacto de X D. Então D é chamado de região aprisionadora ou conjunto aprisionador do mapa f se f(d) estiver contido no interior de D. Um conjunto Λ é denominado conjunto atrativo para o mapa f desde que exista uma região aprisionadora D para f, tal que Λ = k f k (D). Tal conjunto será chamado de atrator caótico do mapa f se: Λ for o atrator do mapa f; f tiver um conjunto denso de órbitas periódicas contida em Λ, e f tiver dependência sensível às condições iniciais contidas em Λ Expoentes de Lyapunov Os expoentes de Lyapunov e os números de Lyapunov são utilizados para calcular a taxa de divergência de trajetórias, quantificando a dependência sensível às condições 42

45 iniciais (Alligood et al., 1996) (Fiedler-Ferrara e Prado, 1994). Seja f um mapa suave em R. O número de Lyapunov L(x 1 ) da órbita {x 1, x 2, x 3,...} é definida como L(x 1 ) = lim n ( f (x 1 )... f (x n ) ) 1 n, (2.28) se o limite existir. O logaritmo natural do número de Lyapunov, expoente de Lyapunov, é definido como se o limite existir. h(x 1 ) = lim n ( 1 n )[ln f (x 1 ) ln f (x n ) ], (2.29) Para algumas órbitas, o expoente de Lyapunov é indefinido, pois não se pode determinar o expoente em órbitas que contenham o ponto x i, tal que sua derivada seja igual a zero, f (x i ) =. O número de Lyapunov de um ponto fixo x 1 do mapa unidimensional f é f (x 1 ) e o respectivo expoente de Lyapunov será h = ln f (x 1 ). Caso o ponto x 1 for um ponto de período k, então o expoente de Lyapunov será h(x 1 ) = ln f (x 1 ) ln f (x k ). (2.3) k O número de Lyapunov calculado por e h(x 1) descreve expansão local média calculada ao longo da trajetória. Para um mapa em R m, cada órbita tem m números de Lyapunov, que medem as taxas da separação do ponto atual da órbita ao longo das m direções ortogonais, direções estas determinadas pela dinâmica do mapa, Figura (2.5) e Figura (2.6). Seja f um mapa suave em R m, J n = DF n (v ) e k = 1,..., m seja rk n o k-ésimo eixo ortogonal ao longo da elipsóide J n U para a órbita com o ponto inicial v. Então rk n mede a taxa de contração ou expansão perto da órbita de v durante as primeiras n iterações. O k-ésimo número de Lyapunov é definido por L k = lim n (r n k ) 1 n, (2.31) se o limite existir. O k-ésimo expoente de Lyapunov de v é definido por h k = ln L k. 43

46 f n r 1 n v f n (v ) r 2 n FIGURA 2.5 Evolução do conjunto de condições iniciais de um sistemas após n iterações de um mapa de duas dimensões. FONTE: adaptada de Alligood et al. (1996, p. 194). f n r 2 n v r 1 n r 3 n FIGURA 2.6 Evolução do conjunto de condições iniciais de um sistemas após n iterações de um mapa de três dimensões. FONTE: adaptada de Alligood et al. (1996, p. 195). 44

47 2.8.3 Entropias Além do expoente de Lyapunov, também usam-se para quantificar o caos outras quantidades: a entropia métrica e a entropia topológica. As entropias métrica e topológica são positivas para sistemas caóticos e são iguais a zero para sistemas não caóticos. Ambas entropias tem um papel fundamental na teoria matemática do caos, entretanto, são mais difíceis de serem calculadas (processamento árduo) do que o expoente de Lyapunov, sendo então menos utilizadas (Ott, 1993). A entropia métrica (Kolgomorov, 1958) (Sinai, 1959) (Sinai, 1976), introduzida por Kolmogorov em 1958, é a mais importante medida na qual movimento caótico pode ser caracterizado no espaço de fase (Schuster, 1995). Podemos definir a entropia métrica como um número que mede a taxa temporal tempo de criação de informação enquanto uma órbita caótica evolui, pois devido à sensibilidade às condições iniciais as órbitas próximas divergem (Ott, 1993). Esta definição é baseada na formulação de Shannon (Shannon, 1948), a qual define o grau de incerteza em poder predizer o resultado de um evento probabilístico. Seja r o número de possíveis eventos e p 1, p 2,..., p r a probabilidade de cada evento. A entropia de Shannon é definida pela quantidade H s = r i=1 ( ) 1 p i ln. (2.32) p i Este número caracteriza a quantidade de incerteza a respeito do resultado de um evento. Por exemplo, se p 1 = 1 e p 2 = p 3 =... = p r = não há incerteza, pois o evento 1 ocorre sempre. Assim, podemos predizer o resultado do evento. Neste caso da Equação (2.32) resulta em H s =. O caso de maior incerteza corresponde a aquele no qual todos os eventos de r são igualmente prováveis, p i = 1 r para i = 1, 2,..., r, isto é H s = ln(r). De um modo geral, a função H s, definido na Equação (2.32), encontra-se entre e ln(r), ou seja, quanto maior H s, maior é a incerteza. Tem-se então a medida invariante da probabilidade µ para um sistema dinâmico. A entropia métrica h(µ) para essa medida é definida a seguir. Seja W uma região limitada que contém a medida da probabilidade que é invariante sob um mapa M. Seja W dividido em r conjuntos disjuntos, W = W 1 W 2... W r. 45

48 Podemos, então, determinar entropia para a partição {W i }, H({W 1 }) = r µ(w i ) ln[µ(w i )] 1. (2.33) i= Agora deve-se construir uma sucessão de partições {W n i }, de tamanhos cada vez menores, fazendo uma análise da partição original e formando os conjuntos M 1 (W k ). Então, para cada par dos inteiros j e k, formam-se as intersecções r 2 W j M 1 (W k ). (2.34) Com a coleção de todas as intersecções não vazias obtém-se a partição {W 2 i }. A partição {W 3 i } é obtida a partir das intersecções r 3 (j, k, l = 1, 2,..., r) W j M 1 (W k ) M 2 (W l ), (2.35) e assim por diante, de modo que a partição W n i é formada pelas intersecções W i1 M 1 (W i2 ) M 2 (W i3 )... M (n 1) (W in ), i 1, i 2,..., i n = 1, 2,..., r. (2.36) A quantidade h(µ, {W i }), 1 h(µ, {W i }) = lim n n H({W i n }), (2.37) depende da partição original {W 1 }. Para determinar a entropia métrica deve-se maximizar sobre todas as possíveis partições iniciais {W 1 }, h(µ) = sup h(µ, {W i }). (2.38) {W i } Nos sistemas regulares (pontos inicialmente próximos continuam próximos ao longo da trajetória gerada pela dinâmica) a entropia associada é nula. Em sistemas aleatórios (pontos inicialmente próximos são distribuídos aleatoriamente para qualquer nova posição consistente com o vínculo do sistema) a entropia tende ao infinito. No caso dos sistemas caóticos (pontos inicialmente adjacentes separam-se exponencialmente com evolução temporal) há geração de informação e a entropia é finita e positiva (Fiedler-Ferrara e Prado, 1994). A definição de entropia topológica, introduzida por (Adler et al., 1965), para o mapa M é baseada na mesma construção de sucessivas partições cada vez menores, como usado 46

49 na definição de h(µ). Para obter a entropia topológica do mapa M, h T (M) = sup h(m, {W i }), (2.39) {W i } devemos maximizar todas as possíveis partições iniciais, obtidas utilizando: a partição {W i }, a construção de sucessivas partições {W n i }; N n ({W i }) o número de componentes não vazios da partição {W n i } derivada de {W i } e [ ] 1 h T (M, {W i }) = lim n n ln N n ({W i })). (2.4) Órbita Caótica Seja F um mapa em R m, m 1 e {v, v 1, v 2,... } uma órbita limitada de F. Segundo (Alligood et al., 1996) a órbita é caótica se: Não for assintoticamente periódica; Nenhum número de Lyapunov for exatamente 1; Pelo menos um expoente de Lyapunov for maior que zero Imersão Em algumas experiências não há como medir todos os componentes que definem o estado de um sistema. Supondo que se possa medir um componente, ou, uma função escalar do vetor de estados, g(t) = G(x(t)), (2.41) pode-se então obter informações sobre o espaço de fase na geometria do atrator. Para tanto, deve-se definir um vetor de cooedenadas de atraso, y = (y 1, y 2,..., y M ), y 1 (t) = g(t), y 2 (t) = g(t τ), y 3 (t) = g(t 2τ),... y M (t) = g[t (M 1)τ], (2.42) 47

50 onde τ é um intervalo fixo de tempo, que deve ser escolhido a ordem do tempo caracteristico sobre o qual g(t) varia. Dado um x em um tempo específico t, obtem-se x(t mτ) integrando, dx dt = F[x(t)] (2.43) para trás no tempo por uma quantidade mτ. Assim, x(t mτ) são determinados univocamente por x(t ) e podem consequentemente ser representados em função de x(t ), x(t mτ) = L m (x(t)). (2.44) Consequentemente, g(t mτ) = G(L m (x(t))), assim pode-se considerar o vetor y(t) como uma função de x(t). y = H(x). (2.45) Agora imaginando uma superfície da seção no espaço-y. Pode-se mostar que, se o numero de atrasos M for suficientemente grande, então tem-se uma estrutura qualitativamente similar a superficie da seção no espaço de fase original x. Dessa forma está sendo criado um espaço de imersão para as trajetórias diferente do espaço de estados original, mas que é topologicamente equivalente e capaz de preservar características do sistema original como autovalores de pontos fixos, desde que a dimensão do espaço de reconstrução seja grande o bastante. Se o sistema original tem dimensão n, um espaço de reconstrução de dimensões 2n + 1 é suficiente para uma reconstrução bem sucedida (Gibson et al., 1992). 2.9 O Papel das Órbitas Periódicas Instáveis nos Sistemas Caóticos Henri Poincaré (Poincaré, 1897), no final do século XIX, destacou o papel de relevância que as Órbitas Periódicas Instáveis (OPI) desempenham para a compreensão do movimento irregular associado a problema dos três corpos. De fato, hoje sabe-se que as OPIs não só se constituem como o esqueleto dos sistemas caóticos (Auerbach et al., 1987) (Gunaratne e Procaccia, 1987), como também estão diretamente associadas ao cômputo das grandezas fundamentais que permitem a caracterização da dinâmica caótica, tais como expoentes de Lyapunov, dimensão fractal, entropias e medidas naturais (Grebogi et al., 1987b) (Grebogi et al., 1988). Um conjunto invariante caótico é um conjunto que apresenta a propriedade da depen- 48

51 dência sensível a condições iniciais e resulta do fechamento das variedades instáveis associadas ao conjunto denso das OPIs que estão nele imersos (Devaney, 1993). Seja, por exemplo, o caso de um difeomorfismo que depende de um parâmetro α, cuja variação resulta no aparecimento de um atrator caótico a partir de uma seqüência de bifurcações de duplicação de períodos (Moresco e Dawson, 1997). Para α = α 1 o atrator é apenas um ponto fixo estável x cujas variedades estáveis associadas a x, geram sua bacia de atração B 1. Em α = α 1, o ponto fixo passa por uma bifurcação de duplicação de período e se torna instável, surgindo uma órbita periódica estável de período dois. O novo atrator resultante tem sua bacia de atração B 2 ou parte dela como o resultado de uma deformação suave de B 1. Num outro valor subseqüente α = α 2 esta órbita periódica estável (atrator) também se torna instável, surgindo em seu lugar um outro atrator, que é uma órbita periódica estável de período quatro, cuja bacia de atração B 3 ou parte dela resulta de uma deformação suave de B 2. Este quadro se repete sucessivamente até que num valor de acumulação α = α c tem-se o atrator caótico A c. Este atrator caótico contém imersas todas as órbitas periódicas, agora instáveis, que estiveram envolvidas na seqüência de duplicação de períodos, é o fechamento das variedades instáveis associadas a estas órbitas e tem sua bacia de atração ou parte dela como resultado de deformações suaves de sucessivas B i. Note que o movimento de uma órbita caótica no atrator caótico pode ser visto como sendo um caminho aleatório por sobre este conjunto denso e enumerável de OPIs de todos os períodos que estão imersas no atrator. Assim, uma trajetória se aproxima de uma OPI seguindo sua variedade estável, para se afastar logo a seguir, seguindo a variedade instável desta OPI. E assim, a trajetória prossegue vagando pelo verdadeiro mar de OPIs que estão imersas no atrator. A propriedade da transitividade, característica de um atrator caótico, implica que uma órbita a partir de um ponto genérico P pertencente ao atrator, volta a passar arbitrariamente próximo a este mesmo ponto após determinado número n de iterações. Como este é o caso, em geral é possível encontrar na vizinhança de P um ponto Q de tal forma que a trajetória iniciada no ponto Q retorne a ele após n interações, isto é, tem-se um órbita periódica nas vizinhanças de P. Como conseqüência, quando se conhece a localização e a estabilidade de uma OPI, tem-se também a estrutura do atrator caótico em sua vizinhança (Cvitanovic et al., 1988) (Auerbach e Procaccia, 199). Devido também a esta propriedade, percebe-se que as OPI permitem a introdução de um sistema de hierarquias de escalas que possibilitam a descrição do atrator segundo resoluções de escala cada vez maiores. Considere que se itere sucessivamente os pontos pertencentes à bacia de atração do atrator. À proporção em que cresce o número de iterações, vai-se progressivamente tendo uma melhor resolução de determinação do atrator. Por outro lado, depois de n iterações, o atrator toma a forma que contém todas as OPI de período n, 49

52 enquanto sua escala local pode ser caracterizada pelos autovalores das OPI de período n vizinhas. Assim, acompanhando-se a formação progressiva de um atrator, o que se obtém é justamente uma hierarquia de escalas, onde as escalas de melhor resolução se associam a OPI de períodos longos (Auerbach e Procaccia, 199). Observe também que devido a este processo de formação do atrator, as OPIs que nele se encontram imersas podem ser hierarquicamente ordenadas de acordo com o tamanho de seus ciclos ou períodos (Gunaratne e Procaccia, 1987). Esta forma de aproximação do atrator caótico por suas OPIs é análoga à representação de números reais em termos dos números racionais. Assim, as OPIs correspondem ao números reais, enquanto as órbitas caóticas, aos números irracionais. Com esta representação, pode-se aproximar uma órbita caótica com qualquer aproximação desejada, servindo-se para tanto das OPIs de períodos crescentes. Esta constatação reforça mais ainda o fato da importância destas órbitas periódicas para o entendimento e representação do atrator caótico, apesar delas serem de medida zero. Outra importantíssima característica das OPIs está no fato de serem invariantes, isto é, são independentes de representação de coordenadas. Como conseqüência, quantidades relevantes e fundamentais que caracterizam o invariante caótico podem ser extraídas a partir delas. Assim, no caso da entropia topológica K, existe a seguinte relação (Cvitanovic et al., 1988) ( ) 1 K = lim n n ln N n, (2.46) onde N n é o número de órbitas periódicas de período n. Conseqüentemente, o número de OPIs de período n cresce exponencialmente com o valor de n. Além disso, esta relação permite a obtenção de estimativas de crescente precisão do valor de K referente a um sistema dinâmico, desde que se conheça N n para valores crescentes de n. As OPIs também podem ser usadas para calcular a medida natural associada a um sistema dinâmico caótico (Grebogi et al., 1988). A densidade de probabilidade ou medida natural µ C associada a um trajetória típica de um sistema dinâmico caótico é, em geral, altamente singular. Além disso, esta trajetória típica visita diferentes partes do invariante caótico com probabilidades acentuadamente diferentes. As regiões onde a probabilidade de visita é alta são denominadas pontos quentes, enquanto as de baixa probabilidade de visita são os pontos frios. Estes pontos quentes e frios podem estar misturados frente a várias escalas de amplitude, formando uma estrutura multifractal (Grebogi et al., 1988). Operacionalmente, pode-se obter a medida natural associada a um atrator caótico 5

53 cobrindo-se o atrator com uma grade de hipercubos e examinando-se a freqüência com que uma trajetória típica visita os hipercubos numa situação limite onde a dimensão dos hipercubos tenda a zero, enquanto o comprimento da trajetória, ao infinito. Procedimento operacional semelhante pode ser definido para o caso de conjuntos invariantes não atrativos. Devido à propriedade de transitividade de um sistema dinâmico caótico, à exceção de condições iniciais que pertencem a um conjunto de Lebesgue de medida nula, a medida natural assim obtida independe de condição inicial. Para uma situação de um sistema caótico hiperbólico, µ C se relaciona aos autovalores de expansão (maiores do que 1) de todas as OPIs imersas no invariante caótico. Assim, seja um mapa d-dimensional M(x) e x ip o i-ésimo ponto fixo do mapa iterado p-vezes, isto é, M p (x ip ) = x ip. Observe que isto significa que x ip pertence a uma órbita periódica de período p ou múltiplo de p. De acordo com (Grebogi et al., 1988), a medida natural de um atrator caótico hiperbólico C pode ser calculada através de 1 µ C = lim p L(x ip ), (2.47) x ip C onde L(x ip ) é o produto dos autovalores instáveis (maiores do que 1) associados ao ponto fixo x ip de M p. Este resultado também foi verificado numericamente para o caso de sistemas não hiperbólicos (Lai et al., 1997) (Lai, 1997) e pode ser estendido a sistemas caóticos não atrativos (Dhamala e Lai, 1999). A combinação deste resultado com a conjectura de Kaplan-Yorke permite que se chegue a uma relação para o cálculo dos números de Lyapunov a partir dos autovalores das OPIs (Grebogi et al., 1988): ln λ pi ln λ i = lim p L(x ip ), (2.48) x ip C onde λ i é o i-ésimo número de Lyapunov e λ pi é o i-ésimo maior autovalor associado ao ponto fixo x ip de M p. Resultados similares podem ser derivados para o cálculo das dimensões fractais D q associadas ao atrator (Grebogi et al., 1988). Além de permitir a cálculo das grandezas fundamentais que caracterizam o atrator, as OPIs se fazem importantes no cálculo das ressonâncias e das propriedades semiclássicas de sistemas caóticos Hamiltonianos (Gutzwiller, 199), na estabilização de sistemas caóticos via aplicação do metodologia de controle de caos OGY (Ott et al., 199), (Ma- 51

54 cau e Grebogi, 21) e (Macau e Caldas, 22), na especificação da partição de geração para a atribuição de uma dinâmica simbólica em sistemas de dimensão maior do que 1 (Davidchack et al., 2) e no cálculo das variedades estáveis e instáveis associadas ao invariante caótico (Davidchack et al., 21). Todos estes argumentos mais do que justificam a busca por uma metodologia eficiente, confiável e geral para a detecção das órbitas periódicas instáveis imersas num conjunto invariante caótico. 52

55 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO DE PONTOS FIXOS E ÓRBITAS PERIÓDICAS Este capítulo apresenta a descrição e aplicação de alguns métodos de determinação de pontos fixos e órbitas periódicas em sistemas caóticos para: Séries Temporais e Mapas e Seções de Poincaré obtidas de Equações Diferenciais. 3.1 Métodos de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas para Séries Temporais Os métodos de determinação de pontos fixos e órbitas periódicas para Séries Temporais descritos neste capítulo são os que se seguem: Método proposto por Auerbach, Cvitanović, Eckmann, Gunaratne e Procaccia (Auerbach et al., 1987); Método proposto por Aguirre e Souza (Aguirre e Souza, 1998); Método proposto por So, Ott, Schiff, Kaplan, Sauer e Grebogi (So et al., 1996) Método Apresentado por Auerbach, Cvitanović, Eckmann, Gunaratne e Procaccia Este método (Auerbach et al., 1987) detecta as órbitas periódicas de uma série temporal caótica e calcula suas estabilidades. As hipóteses básicas relacionadas a este são listadas a seguir: Pode-se extrair todas as órbitas periódicas de período n, para n muito grande, e calcular suas estabilidades (Expoentes de Lyapunov). Esta informação pode ser usada para descrever propriedades importantes dos conjuntos caóticos gerais. 53

56 O método de determinar as órbitas periódicas de uma série temporal caótica experimental segue: Dada a série temporal {X j } N j=, onde X é o ponto inicial em R dim. Se N for suficientemente grande, a série temporal visitará os vizinhos de um ponto arbitrário do ciclo de período n no momento i. No momento i + 1, a série temporal irá para a vizinhança de outro ponto do ciclo n. Após n iterações, a série temporal visitará os arredores do ponto inicial do ciclo n, com a suposição de que o passo de tempo n tem uma seqüência previamente fechada. Determina-se todas as órbitas periódicas, Figura (3.1), analisando os pares de pontos da série temporal separados pelo passo de tempo n que estiverem a uma distância, usualmente euclidiana, espacial r 1. Neste passo todos os pontos da série temporal que retornarem após p passos foram localizados e agrupados em ciclos periódicos. Série Temporal x 1 x 2 x 3 x x 4 Tolerância: x 4 x < r 1 FIGURA 3.1 Método de Auerbach et al. Ilustração da precisão r 1 para um caso de período p = 4. Ao longo do tempo, uma vizinhança em particular pode ter sido visitada inúmeras vezes. Se todos os pares correspondentes de pontos de duas órbitas forem menores que uma distância r 2, Figura (3.2), então eles são agrupados no mesmo ciclo periódico instável, representando órbitas periódicas instáveis. A posição de um ponto ao longo do verdadeiro ciclo de período n é calculado pelo centro de massa de todos os pontos da série temporal em que possui correspondência. 54

57 Lista de Órbitas Periódicas Instáveis Q Q Q Q,p 1,p 2,p } n,p 1 Q Q 1 1 Q Q,p 1,p 2,p n,p Distâncias > r 2 FIGURA 3.2 Método de Auerbach et al. Ilustração da precisão r 2 para uma caso com 2 órbitas diferentes, mas de mesmo período (Q n i,p, onde n é o índice na lista de órbitas, i é o índice do ponto na órbita e p é o período da órbita). Os parâmetros r 1 e r 2, usados respectivamente para encontrar seqüências periódicas e para definir agrupamentos dos ciclos, são determinados pelos critérios a seguir: r 1 deve ser suficientemente grande a fim de incluir seqüências correspondentes a uma órbita particular; A distância entre os ciclos, r 2, deve ser pequena o suficiente de tal forma a distinguir órbitas periódicas distintas sobre a condição r 2 > r 1 ; O número de agrupamentos, lista de órbitas periódicas já determinadas, não devem crescer com o aumento da série temporal. Como vimos, este método se aplica a determinar pontos fixos em séries temporais de sistemas caóticos. A série temporal deve possuir as seguintes características: Ser suficientemente longas, de tal forma que suas órbitas passem próximas aos pontos fixos reais; Conter pontos de todos os graus de liberdade, isto é, a série temporal deve conter os valores de x, y, z de um sistema caótico de 3 dimensões, por exemplo Método apresentado por Aguirre e Souza Este método (Aguirre e Souza, 1998) detecta pontos fixos de sistemas dinâmicos em séries temporais. Em alguns casos o algoritmo proposto encontra com precisão os pontos fixos mesmo quando a quantidade de dados é pequena. 55

58 Seja um modelo dinâmico não-linear de um sistema. No caso de sistemas contínuos no tempo, em que ẋ = f(x), o ponto fixo é determinado por f(x) =. Para sistemas discretos no tempo, onde x k = g(x k 1 ), o ponto fixo é determinado quando x k = x k 1. Há uma grande dificuldade em se determinar os pontos fixos nos dados medidos (séries temporais), pois muitas vezes os pontos fixos são pouco visitados pelos dados. Um outro algoritmo para determinar os pontos fixos a partir de dados medidos foi proposto por Glover e Mess. Tal algoritmo é baseados em estimação de parâmetros de modelos lineares e trabalha muito bem se os dados permanecem perto de todos os pontos fixos no espaço por um tempo suficientemente longo. No caso do atrator dupla volta de Chua por exemplo, o método de Glover determina adequadamente os pontos fixos não-triviais, entretanto o ponto fixo trivial é dificilmente detectado (Glover e Mess, 1992). A principal diferença entre o método proposto por Aguirre e Souza (1998) o de Glover e Mess (1992), é que o primeiro trabalha com a estrutura matemática não-linear ao invés da linear. Neste método existem duas importantes características: O usuário pode empregar algum conhecimento disponível a priori sobre o sistema, tal como simetria e existência de pontos fixos triviais; O algoritmo pode estimar pontos fixos para os quais há pouca informação no conjunto de dados. O procedimento para determinar os pontos fixos por este método divide-se em dois passos: Estima-se os parâmetros de uma estrutura de dados; Determina-se os pontos fixos a partir dessa estrutura. Este método detecta pontos fixos em dados estruturais matemáticos não-lineares agrupados (equações algébricas). Tais estruturas têm normalmente muitos poucos termos. O algoritmo sugerido é um procedimento de dois passos, com a diferença de que ao invés de estimar um modelo global não-linear complexo, estima-se uma estrutura matemática de poucos parâmetros. Neste algoritmo a necessidade de uma estrutura de seleção é completamente eliminada. A estrutura matemática agrupada tem um número reduzido 56

59 de termos, e em alguns casos, 1 ou 2 agrupamentos de termos são omitidos. Para efetuar a estimação dos parâmetros, requer-se apenas uma inversão de matriz de dimensão reduzida (normalmente 4 ou menos). Comparando-se este algoritmo com o modelo de estimação original de Glover, verifica-se que a dinâmica posterior é bastante sensível a polarização dos parâmetros. Para evitar a polarização, termos de ruído (a parte média móvel do modelo) são normalmente incluídos, resultando: um número maior de possíveis estruturas, e na necessidade de algoritmos iterativos de estimação. Este método é surpreendentemente robusto em relação a ruído. A parte determinística do modelo polinomial NARMAX (Billings e Chen, 1989) pode ser expandida como o somatório dos termos com grau de não-linearidade no intervalo 1 m l. Cada termo de m-ésima ordem pode conter um fator de p-ésima ordem em y(k n i ) e um fator de (m p)-ésima ordem e é multiplicado pelo coeficiente c p,m p (n 1,, n m ). onde: y(k) = l m m= p= n y,n u n 1,n m c p,m p (n 1,..., n m ) n y,n u n 1,n m c p,m p p y (k n i ) i=1 n y n 1 =1... n u n m=1 m i=p+1 u (k n i ), (3.1). (3.2) e o limite superior é n y se o somatório se referir aos fatores em y(k n i ) ou n u para os fatores em u(k n i ). Apenas para efeito de apresentação, suponha que o tempo de amostragem T s é pequeno, tal que y(k 1) y(k 2) y(k n y ) (3.3) e u(k 1) u(k 2) u(k n u ) (3.4) 57

60 podemos então escrever a Equação (3.1) como y(k) n y,n u n 1,n m c p,m p (n 1,, n m ) x l m y(k 1) p u(k 1) m p, (3.5) m= p= onde segundo Aguirre e Billings (1995) n y,n u n 1,n m c p,m p (n 1,, n m ) são coeficientes dos agrupamentos de termos Ω y pu m p, os quais contém termos na forma y(k 1) p u(k 1) m p para m =,, l e p =,, m. Tais coeficientes são chamados de coeficientes de agrupamento e são representados como y p u m p. Na prática, análises de agrupamento podem ser executadas sem se supor sobreamostragem. Então, considerando um modelo localmente assintoticamente estável em estado fixo, as relações Equação (3.3) e Equação (3.4) são verificadas exatamente independentemente do tempo de amostragem T s. Um agrupamento de termos é um conjunto de termos de mesmo tipo e o respectivo coeficiente de agrupamento é obtido do somatório de todos os coeficientes de todos os termos do agrupamento respectivo contidos no modelo. Os termos do mesmo agrupamento explicam o mesmo tipo de não-linearidade. Todos os agrupamentos possíveis de um polinômio autônomo com grau de não-linearidade l são Ω = constantes, Ω y, Ω 2 y,, Ω l y. Assim, os pontos fixos do mapa com graus de nãolinearidade (Equação (3.1) e Equação (3.2)) são determinados pelas raízes do polinômio agrupado y(k) = c, n y +y(k) c 1, (n 1 ) n y,n y +y(k) 2 n y,n y +y(k) l n 1 =1 n 1,n 2 c 2, (n 1, n 2 ) n 1,n l c l, (n 1,..., n l ). (3.6) Usando a definição de coeficientes de agrupamento e cortando o argumento k, pode-se 58

61 reescrever a Equação (3.6) como y = y l yl y 2 y2 + y y +, (3.7) onde = c,. Na Equação (3.6) o polinômio autônomo com grau de não-linearidade l terá l pontos fixos se y l. Em muitas situações práticas = c, = e neste caso pode-se reescrever a Equação (3.7) como [ y l yl y 2 y2 + ( y 1 )] y =. (3.8) Fica evidente que o modelo dinâmico respectivo tem l 1 pontos fixos, sendo um deles trivial. O método proposto divide-se basicamente em dois passos que são executados várias vezes em cima de uma janela de dados que é movida ao longo dos dados. No primeiro passo apenas um número limitado de parâmetros são estimados a partir dos dados. No segundo passo os agrupamentos e a localização dos pontos fixos são calculados a partir dos parâmetros. Pode-se descrever o método nos passos a seguir: a) Dada a série temporal {y(k)} N 1. Normalizar, tal que, {y(k)} N 1 = {y(k)}n 1 max{y(k)} ; b) Escolher a dimensão da janela de dados L; c) Seja i = ; d) Para cada janela de dados {y(k)} L+i 1+i gerar a matriz ψ R L x n Θ 1 y(k 1) y(k n 1 ) y(k 1) 2 1 y(k + 1 1) y(k + 1 n ψ = 1 ) y(k + 1 1) y(k + L 1 1) y(k + L 1 n 1 ) y(k + L 1 1) 2 y(k n 2 ) 2 y(k 1) l y(k n l ) l y(k + 1 n 2 ) 2 y(k + 1 1) l y(k + 1 n l ) l (3.9) y(k + L 1 n 2 ) 2 y(k + L 1 1) l y(k + L 1 n l ) l 59

62 e o vetor y T = [y(k) y(k + 1) y(k + L 1)] (3.1) e) Estimar os parâmetros pelos mínimos quadrados, isto é, calcular Θ = [ ψ T ψ ] 1 ψ T y; f) Determinar os coeficientes, y, y, 2 y pela Equação (3.6); 3 g) Determinar o modelo de ponto fixo, isto é, calcular as raízes do polinômio pela Equação (3.7) h) Deslocar a janela de dados na série temporal fazendo i = i + δ e voltar ao passo d; i) Baseado nos gráficos de coeficiente de agrupamentos, decidir se há qualquer agrupamento espúrio. Se nenhum agrupamento parecer espúrio (Exemplo Figura (3.3), possui um agrupamento espúrio.), então pode-se determinar os pontos fixos calculando-se a média dos mesmos. Multiplicar o valor encontrado pelo máximo(y(k)), para eliminar a normalização executada no passo (a). Se o agrupamento parecer espúrio, remova-o da matriz ψ e retorne ao passo (a). 6

63 1 9 8 agrupamento espúrio Agrupamentos janelas FIGURA 3.3 Exemplo de um agrupamento espúrio (em verde): Resposta obtida na determinação dos pontos fixos do Atrator de Lorenz. A implementação deste algoritmo (código fonte para Matlab c 1 ) encontra-se disponível na página Web do grupo de Modelagem, Análise e Controle de SIstemas Nãolineares - MACSIN (MACSIN, 22) do Departamento de Engenharia Eletrônica da Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG Método Apresentado por So, Ott, Schiff, Kaplan, Sauer e Grebogi O método de So et al. (1996) introduz técnicas para determinar órbitas periódicas em dados experimentais. Em dados experimentais, a determinação de órbitas periódicas é um teste para a presença de determinismo. Uma aplicação importante está no controle de sistemas caóticos (Ott et al., 199), onde a primeira etapa é a determinação das órbitas periódicas. Este método utiliza uma transformação nos dados, ou seja, da série temporal, a fim de concentrá-la nas órbitas periódicas, esta transformação será detalha a seguir. Verificando os histogramas dos dados transformados podemos observar que nas posições das órbitas periódicas existem picos bem estreitos. 1 The Language of Technical Computing MATLAB

64 Segundo os autores, a confiabilidade deste método pode ser avaliada testando o significado estatístico destes picos em relação aos dados subjacentes que são aleatórios, mas com propriedades estatísticas preservadas em relação aos dados originais. Descrevemos o método a seguir: dado uma série temporal finita de um mapa f(x) de uma dimensão, o objetivo é determinar a localização dos pontos fixos x = f(x ). Então aplica-se a transformação onde ˆx n = [x n+1 s n (k)x n ], (3.11) [1 s n (k)] s n (k) = (x n+2 x n+1 ) (x n+1 x n ) + k(x n+1 x n ) (3.12) na série temporal. f(x) Triângulo A x n+2 x n+1 Triângulo B 45 x n+1 x n x x^ n x * FIGURA 3.4 Interpretação geométrica da transformação do método de So et al. Dado uma seqüência de pontos {x n+2, x n+1, x n }, k = gera a inclinação da hipotenusa do triângulo maior A, em vermelho, enquanto ˆx n = [x n+1 s n(k)x n] [1 s n(k)] é a construção do ponto fixo estimado ˆx n usando o triângulo menor B, em verde. FONTE: adaptada de So et al. (1996, p. 475). Pode-se observar na Figura (3.4) a interpretação geométrica da Equação (3.11) e Equação 62

65 (3.12). Neste caso em que k = e f(x) é uma função linear f(x) = x +α(x x ), tem-se duas equivalências s n () α e ˆx n x independente de n. Portanto, todos os dados são transformados em pontos fixos. No caso de um sistema não-linear f(x) e k, todos os pontos que se encontram na região linear do ponto fixo x serão transformados em pontos na vizinhança de x. A densidade da função ˆx, denotado por ˆp(ˆx), tem na vizinhança do ponto um tipo singular de raiz quadrada inversa do tipo nos pontos fixos ˆp(ˆx) ˆx x 1 2. Assim, traçando uma aproximação do histograma ˆp(ˆx) usando uma quantidade finita de dados, haverá um pico estreito em ˆx = ˆx. A transformação da Equação (3.11) e Equação (3.12) utiliza todos os pontos apropriados na região linear de um ponto fixo para dar uma forma singular. Na prática, o grau de aglomeração em torno do ponto fixo, neste método, depende do tamanho da região linear e da freqüência com que uma trajetória típica visita a região linear (Sommerer et al., 1991). No caso de sistemas de mais de uma dimensão, utiliza-se um vetor de atraso z para dimensão d, onde z n = (zn, 1 zn, 2..., zn) d equivale ao atraso dos dados na série temporal (x n, n n 1,..., x n d+1 ). Portanto a transformação de z para ẑ é dada por ẑ n = (1 S n ) 1 (z n+1 S n z n ), (3.13) onde S n = ( a 1 n a 2 n... a (d 1) n a d n 1 ) + kr z n + 1 z n, (3.14) a 1 n. a d n = (z n z n + 1) t. (z n (d 1) z n d ) t 1 z 1 n+1 z 1 n. z 1 n (d 2) z1 n (d 1), (3.15) k é a magnitude da aleatoriedade e R é uma matriz aleatória d x d com distribuição uniforme entre [ 1, 1]. Após a transformação nos dados da série temporal, deve-se olhar os picos nos conjuntos resultantes, eliminando os pontos espúrios. 63

66 3.2 Métodos de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas para Mapas e Seções de Poincaré Obtidas por Fluxos Os métodos descritos para determinação de pontos fixos e órbitas periódicas para mapas e seções de Poincaré obtidas por fluxos descritos são os que se seguem: Método de Newton-Raphson (Press e Teukolsky, 1992); Método do Módulo de G seguido por Newton-Raphson; Método apresentado por Schmelcher e Diakonos (Schmelcher e Diakonos, 1998); Método apresentado por Davidchack e Lai (Davidchack e Lai, 1999) Método de Newton-Raphson O método Newton-Raphson (Press e Teukolsky, 1992) (NR), é um método clássico para determinar raízes de funções de uma ou mais dimensões. 1,5 1 f(x) f(x)=x 2 f(x)=x f(x)=x 2 - x,5 x -,5-1 Ponto Fixo P 1 x = Ponto Fixo P 2 x = 1-1,5-1,5-1 -,5,5 1 1,5 FIGURA 3.5 Determinação dos pontos fixos da função f(x) calculando raízes da função f(x) x =. Pode-se observar na Figura (3.5) que para determinar os pontos fixos da função f(x) = x 2 (3.16) 64

67 calcula-se as raízes da função f(x) = x 2 x. (3.17) Portanto pode-se utilizar o método de Newton-Raphson (Press e Teukolsky, 1992) para determinar os pontos fixos da Equação (3.16) Método de Newton-Raphson para uma Dimensão Este método requer o cálculo das funções f(x) e a derivada f (x) no ponto x. Consiste geometricamente em estender a linha tangente de um ponto x i atual até cruzar o eixo da abscissa, então o próximo ponto x i+1 passa a ser a abscissa do cruzamento como podemos observar na Figura (3.6). f(x) f(x n ) f(x 2 n+1 ) f(x n+2 ) 3 x n+2 x n+1 x n 1 x FIGURA 3.6 Determinação da raiz da função f(x 1 ) = com 3 passos do método de Newton. FONTE: adaptada de Press e Teukolsky (1992, p. 363). Algebricamente, o método é derivado através da expansão em série de Taylor de uma função na vizinhança do ponto, f(x + δ) f(x) + f (x)δ + f (x) δ 2 +. (3.18) 2 Para valores pequenos de δ, e para funções bem-comportadas, os termos além do linear 65

68 podem ser desprezados. Conseqüentemente f(x + δ) =, temos que a assim δ = f(x) f (x), (3.19) x n+1 = x n + δ. (3.2) Longe da raiz, onde os termos de maior ordem da série são importantes, o método pode fornecer correções inexatas ou sem sentido. Por exemplo, no caso ilustrado pela Figura (3.7), o método encontra o máximo local gerando uma correção para longe da solução. f(x) 3 f(x f(x n ) ) n x n+1 x n x FIGURA 3.7 Método de Newton-Raphson encontra um máximo local e converge para longe da solução. FONTE: adaptada de Press e Teukolsky (1992, p. 363). Outro problema ocorre quando o método entra num ciclo não convergente, como ilustrado na Figura (3.8). Este comportamento é verificado quando a função f é obtida, em toda ou em parte, por interpolação. 66

69 f(x) f(x n ) 1 x n+1 x n x 2 f(x n+1 ) FIGURA 3.8 Método de Newton-Raphson entra num ciclo não convergente. FONTE: adaptada de Press e Teukolsky (1992, p. 364). O que torna este método poderoso é a sua taxa de convergência. Dentro de uma distância pequena ɛ de x a função e suas derivadas são aproximadamente: f(x + ɛ) = f(x) + ɛf (x) + ɛ 2 f (x) 2 +, (3.21) f (x + ɛ) = f (x) + ɛf (x) + (3.22) Como a fórmula de Newton-Raphson é, então x i+1 = x i f(x i) f (x i ), (3.23) ɛ i+1 = ɛ i f(x i) f (x i ). (3.24) Quando a solução x i difere da verdadeira raiz por ɛ i, podemos usar Equação (3.21) e Equação (3.22) para expressar f(x i ) e f (x i ) em Equação (3.24) em termos de ɛ i e derivadas da própria raiz, isto é, seja x o ponto de interesse f(x i ) = f(x ) + ɛ i f (x ) + ɛ2 i 2 f (x ) (3.25) 67

70 f (x i ) = f (x ) + ɛ i f (x ). (3.26) Tomando até derivadas de segunda ordem em f(x i ) e até termos de primeira ordem em f (x i ) f(x i ) f (x i ) = f(x ) + ɛ i f (x ) + ɛ2 i f (x ) 2 f (x ) = f(x ) f (x ) + ɛ i + ɛ2 i f (x ) 2 f (x ). (3.27) O primeiro termo do lado direito da expressão acima se anula em x, dado que este é o termo de correção do método. Assim a Equação (3.24) torna-se ɛ i+1 = ɛ i ɛ i ɛ2 i f (x ) 2 f (x ) = ɛ2 i f (x ) 2 f (x ). (3.28) O resultado é a relação de recorrência das derivações das soluções iniciais ɛ i+1 = ɛ 2 i f (x i ) 2f (x). (3.29) Podemos concluir que pela Equação (3.29), o método Newton-Raphson converge quadraticamente. Perto da raiz, a cada passo o número de dígitos significativos aproximadamente dobra. Esta propriedade torna este método a melhor escolha quando podemos determinar a derivada da função eficientemente, e esta seja contínua, não zero perto da vizinhança da raiz e quando já se tenha uma estimativa do ponto fixo Método de Newton-Raphson para duas ou mais Dimensões Como no caso de uma dimensão, também podemos utilizar Newton-Raphson (Press e Teukolsky, 1992) para determinar os pontos fixos para duas ou mais dimensões. Seja f(x, y) = (3.3) e g(x, y) =, (3.31) podemos determinar os pontos fixos calculando as raízes de f(x, y) x = (3.32) 68

71 e g(x, y) y =. (3.33) Não há um bom método para determinar raízes de funções com mais de uma equação não-linear. Não é difícil verificar porque nunca haverá um método geral muito eficiente. Considerando o caso de duas dimensões, onde devemos resolver simultaneamente Equação (3.3) e Equação (3.31). As funções f e g são funções arbitrárias, cada qual possui curva de nível zero que divide o plano (x, y) em regiões onde sua respectiva função é positiva ou negativa. As soluções são dadas pelos pontos que são comuns aos contornos zero de f e g, como podemos observar na Figura (3.9). Para determinar todos os pontos comuns onde são soluções das equações não-lineares, deve-se mapear todos os contornos zero de ambas as funções. Os contornos zero consistem em um número desconhecido de curvas disjuntas fechadas. y f neg f pos f = g pos f pos g neg g= g neg g= f = f pos g pos g= FIGURA 3.9 Solução de duas equações não-lineares. FONTE: adaptada de Press e Teukolsky (1992, p. 38). x Para problemas com mais de duas dimensões, precisa-se encontrar pontos mutuamente comuns para N hiper-superfícies sem conexão nas curvas de nível zero, cada uma com dimensão N 1. Encontrar as raízes se torna impossível sem empregar informações adicionais específicas para um problema particular. 69

72 Este método multi-dimensional de encontrar raízes proposto por Newton e Raphson (Press e Teukolsky, 1992) é muito eficiente se forem utilizadas condições iniciais suficientemente boas. Seja: F i (x 1, x 2,, x N ) = (3.34) onde, i = 1, 2,, N, x é o vetor de valores de x i e F é o vetor de funções de F i. Na vizinhança de x, cada função F i pode ser expandida em série de Taylor F i (x + δx) = F i (x) + N j=1 F i x j δx j + O(δx 2 ). (3.35) A matriz de derivadas parciais na Equação (3.35) é a matriz Jacobiana J, definida por Então a Equação (3.35) pode ser escrita como J ij F i x j. (3.36) F (x + δx) = F i (x) + Jδx + O(δx 2 ). (3.37) Excluindo-se os termos de ordem δx 2 ou superiores e supondo-se F (x+δx), obtém-se um conjunto de equações lineares para corrigir δx que movem cada função para zero das funções, Jδx = F. (3.38) As correções são adicionadas ao vetor de soluções x n+1 = x n + δx (3.39) até convergir, dentro de uma precisão previamente definida. 7

73 3.2.2 Método do Módulo de G Seguido pelo Método de Newton-Raphson Este método consiste primeiramente em encontrar regiões em torno dos pontos fixos e aplicando o método Newton-Raphson (Press e Teukolsky, 1992) determinar os verdadeiros pontos fixos. Podemos descrever o método nos passos abaixo: a) Definir uma grade de condições iniciais sobre o atrator do mapa do qual se deseja determinar pontos fixos, Figura (3.1). Obviamente, há uma relação de compromisso entre a definição de grade e o tempo de processamento, isto é, quanto mais fina a grade maior o tempo de processamento; b) Selecionar o conjunto de pontos da grade, tal que g(r i ) (f p k (r i) r k ) 2 (3.4) onde p é o período e k a dimensão, seja inferior a uma tolerância t 1 previamente definida, como vemo na Figura (3.11). c) Aplicar o método de Newton-Raphson aos pontos selecionados; d) Calcular a média aritmética k m = N i=1 x i N, (3.41) ou escolher a solução tal que g(r i ) seja menor, para cada grupo de soluções que convergiram proximamente. 71

74 1,2,8,4 Y -,4 -,8-1,2-1,6-2 -2,4 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 X FIGURA 3.1 Exemplo ilustrativo da grade de condições iniciais (em verde) do método do g superposta ao atrator invariante (em vermelho). 1,2,8,4 Y -,4 -,8-1,2-1,6-2 -2,4 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 X FIGURA 3.11 Exemplo ilustrativo de grupo de pontos selecionados dentro da tolerância t 1 do Método do g. 72

75 3.2.3 Método Apresentado por Schmelcher e Diakonos A idéia básica deste método (Schmelcher e Diakonos, 1997), (Schmelcher e Diakonos, 1998), (Pingel et al., 2), apresentado por Schmelcher e Diakonos (SD), consiste em partir do sistema dinâmico discreto N-dimensional em regime caótico e através de transformações lineares apropriadas, obter um sistema dinâmico transformado, tal que todos pontos fixos deste novo sistema sejam os mesmos do sistema original e com as mesmas localizações no espaço de fase. Entretanto as transformações lineares, apropriadamente escolhidas, mudam a estabilidade dos pontos fixos e órbitas periódicas, de tal forma que ao invés de instáveis, como no sistema original, passam a ser estáveis na nova dinâmica, sendo diferentes transformações lineares responsáveis pela estabilização de diferentes conjuntos de pontos. Considerando um sistema dinâmico discreto caótico N-dimensional dado por U : r i+1 = f(r i ). (3.42) Por U ser completamente caótico, ele apresenta pontos fixos e órbitas periódicas instáveis. Note que órbitas periódicas de período p correspondem a termos f p ( r i ) em lugar de f( r i ) na Equação (3.42) acima. O objetivo proposto é o de construir a partir da Equação (3.42) um sistema dinâmico S k diferente, contendo os mesmos pontos fixos (PF) de U. Utilizando a transformação L k : U S k, (3.43) os PF que eram instáveis passam a estáveis. Devido à estabilidade dos pontos fixos no sistema dissipativo S k, toda trajetória de S k, depois de algumas iterações, dirige-se para um ponto fixo r F, ou sai dos limites do invariante caótico do sistema original U. Por construção, r F também é um ponto fixo do sistema U. Para cumprir a correspondência um a um entre os pontos fixos de U e S k, a transformação L k deve, em geral, ser linear. Seja S k : r i+1 = r i + Λ k (f(r i ) r i ), (3.44) onde Λ k é uma matriz NxN constante e inversível. Reescrevendo Λ k = λc k, tal que λ seja um parâmetro real e 1 λ >, e C k matrizes ortogonais cujos elementos são apenas { 1,, 1}. O número destas matrizes é dado por 2 n n! e são listadas para n = 1 e n = 2 na Tabela (3.1). A definição na Equação (3.44) satisfaz a correspondência um a 73

76 um entre os pontos fixos de U e S k : Se r i = r F é um ponto fixo de U, o termo à direita da Equação (3.44) desaparece e portanto r F também é ponto fixo de S k ; por sua vez, se r F é ponto fixo de S k, e Λ k não é singular, o termo à direita da Equação (3.44) deve ser igual a para r i = r F, então r F é também ponto fixo de U. Assim, as leis dinâmicas U e S k possuem pontos fixos em posições idênticas no espaço de fases. TABELA 3.1 Matrizes C k para uma e duas dimensões. Dimensão Matrizes C k 1D C 1 = 1 C 2 = 1 2D [ ] 1 C 1 = 1 C 5 = [ 1 1 ] C 2 = C 6 = [ -1 1 [ -1-1 ] C 3 = ] C 7 = [ 1-1 [ 1-1 ] C 4 = ] C 8 = [ -1-1 [ -1 1 ] ] O método acima de determinação de pontos periódicos instáveis para um sistema dinâmico caótico envolve o parâmetro λ que deve ser suficientemente pequeno a fim de transformar pontos fixos instáveis, do sistema caótico original, para estáveis através da transformações L k. Quanto maior for o período a ser encontrado, menor deverá ser o parâmetro λ. Entretanto, o parâmetro não pode ser muito pequeno, pois a convergência na iteração das leis dinâmicas transformadas será muito lenta. Há uma maneira simples de evitar o ajuste do parâmetro λ, tomando-se o limite λ, o que leva a (r i+1 r i ) lim λ λ = ṙ = C k (f(r i ) r i ). (3.45) Esta equação representa a formulação contínua da transformação do sistema dinâmico discreto Equação (3.44). As soluções da Equação (3.45) não dependem do parâmetro λ, podendo ser facilmente resolvido usando um integrador de equações diferenciais ordinárias (ex: Runge-Kutta (Press e Teukolsky, 1992)). Na proposição de (SD) as sementes (condições iniciais) para a Equação (3.45) devem ser obtidas ou pela determinação de uma grade sobre o atrator caótico ou por pontos 74

77 aleatórios pertencentes a um certo limite do espaço de fase contendo o invariante caótico de interesse. A evolução temporal destas sementes para cada uma das matrizes C k pode tanto levar às proximidades da solução do ponto fixo quanto divergir, saindo da região do espaço de fase que contém o atrator caótico Método Apresentado por Davidchack e Lai Este método (Davidchack e Lai, 1999), apresentado por Davidchack e Lai (DL), usa um esquema iterativo baseado no método semi-implícito de Euler (Press e Teukolsky, 1992), e tem as seguintes propriedades favoráveis: Perto de um ponto da órbita periódica exibe uma convergência rápida e similar a do método tradicional de Newton-Raphson NR (Press e Teukolsky, 1992); Quando afastado dos pontos da órbita é similar ao método do SD (Schmelcher e Diakonos, 1998) e, conseqüentemente, apresenta convergência. Este método DL (Davidchack e Lai, 1999) combina os métodos SD (Schmelcher e Diakonos, 1998) e NR (Press e Teukolsky, 1992) como pode-se observar na Tabela (3.2): Nas proximidades do ponto fixo, g(r i ) = k (f p k (r i) r k ) 2, e a convergência quadrática do NR (Press e Teukolsky, 1992) é preservada pelo método; Quando afastado do ponto fixo e valores grandes de β, o método preserva quase que totalmente a propriedade de convergência global característica do SD. Resolvendo-se o sistema de equações lineares obtém-se δ(r) e itera-se por r n+1 = r n + δ(r n ). (3.46) Para encontrar pontos fixos ou pontos de período 2, tanto uma grade fina de pontos definida sobre o atrator ou uma grade de pontos aleatórios contidos na região do atrator caótico podem ser utilizadas como sementes para a iteração do algoritmo de DL. Para períodos p > 2, os autores deste método afirmam que os pontos periódicos de períodos inferiores a p são suficientes para iniciar a busca de pontos de órbitas de período 75

78 p, o que é muito mais simples do que usar pontos aleatórios selecionados no espaço da fase ou no atrator. Na maioria dos casos é suficiente usar apenas pontos das órbita de período p 1 a fim de detectar todas as órbitas periódicas instáveis de período p. TABELA 3.2 Representação esquemática comparativa das prescrições dos métodos SD, NR, DL. Na primeira linha estão as prescrições originais dos métodos SD e NR. Na segunda linha, com o propósito de expressar os distintos métodos em termos de variáveis equivalentes, são apresentadas definições utilizados por DL. Nas linhas finais estão as prescrições dos três métodos, com os termos equivalentes expressos de forma a facilitar análises comparativas. SD NR Original: r i+1 = r i + Λ k (f(r i ) r i ) f(r i ) r i = J(r i )δ(r i ) Equivalências: g(r i ) f(r i ) r i δ(r i ) r i+1 r i Λ k λc k 1 β g(r λ i) (Definição de DL) g(r i ) f(r i ) r i SD & NR: β g(r i ) δ(r i ) = C k g(r i ) C k J(r i )δ(r i ) = C k g(r i ) DL: [ 1β g(r i ) C k J(r i )]δ(r i ) = C k g(r i ) 76

79 CAPÍTULO 4 RESULTADOS Neste capítulo serão apresentados análises de utilização e desempenho dos métodos de determinação de órbitas fixas e periódicas estudados. Os sistemas dinâmicos caóticos explorados foram: Séries Temporais com os métodos: Auerbach, Cvitanović, Eckmann, Gunaratne e Procaccia (Auerbach et al., 1987); Aguirre e Souza (Aguirre e Souza, 1998); So, Ott, Schiff, Kaplan, Sauer e Grebogi (So et al., 1996); Mapas com os métodos: Módulo de G seguido por Newton-Raphson (Press e Teukolsky, 1992); Schmelcher e Diakonos (Schmelcher e Diakonos, 1998); Schmelcher e Diakonos (Schmelcher e Diakonos, 1998) seguido por Newton-Raphson (Press e Teukolsky, 1992); Davidchack e Lai (Davidchack e Lai, 1999) ; Seções de Poincaré obtidas por Equações Diferenciais com o método: Schmelcher e Diakonos (Schmelcher e Diakonos, 1998). As análises foram realizadas utilizando: o hardware: micro computador com processador INTEL CELERON com 3MHz (6 mips) de velocidade e 64M de memória RAM; os softwares: Sistema operacional CONECTIVA LINUX v7. 1 ; Compilador gnu C/C++ v ; Plotador GRACE v para geração de gráficos 2D e GNU- PLOT v para geração de gráficos 3D. 4.1 Sistemas Dinâmicos Caóticos Utilizados nas Análises Para geração dos testes foram utilizados dois sistemas dinâmicos caóticos:

80 4.1.1 Sistema de Equações Diferenciais de Lorenz Foi introduzido em 1963 como um modelo simples do movimento convectivo nas camadas superiores da atmosfera (Lorenz, 1963). Lorenz percebeu que para certos valores de parâmetros, o sistema nunca tende para um comportamento previsível a longo prazo, apresentando sensibilidade a condições iniciais, e por isso, não sendo possível que previsões de longo prazo sejam feitas a partir de dados obtidos através de medidas com sensores reais. As equações que modelam este sistema são: ẋ = σ(y x) ẏ = ρx y xz ż = xy β. (4.1) No que segue foram usados σ = 1, β = 8 e ρ = 28, que geram o atrator da Figura 3 (4.1). Uma característica interessante do sistema de equações diferenciais de Lorenz é que seus pontos fixos estão fora do invariante caótico. Por essa razão, este foi um dos sistemas dinâmicos escolhidos para testes dos métodos em estudo Mapa de Ikeda O mapa de Ikeda (Ikeda, 198) descreve a dinâmica de uma cavidade óptica em forma de anel que contém um meio não linear e que é excitada por uma fonte externa de radiação coerente intensa, um laser. Esta lei dinâmica, usada em Óptica Não-Linear, é definida por: f(x, y) = ((A + B(x cos(ω) y sin(ω)), B(x sin(ω) + y cos(ω))), (4.2) onde ω = K E, (x, y). Para A = 1,, B =, 9, K =, 4 e E = 6, forma-se 1+x 2 +y 2 o atrator da Figura (4.2). O mapa de Ikeda foi escolhido por sua complexidade e por possuir um ponto fixo imerso no invariante caótico e outro localizado nos limites do atrator. 78

81 Z Legenda: Atrator de Lorenz PF 1 PF 2 PF X Y FIGURA 4.1 Atrator de Lorenz 3D com os pontos fixos exatos P F 1 ( 72; 72; 27), P F 2 (; ; ) e P F 3 ( 72; 72; 27).,9,6 Atrator de Ikeda p 1 p 2,3 -,3 y -,6 -,9-1,2-1,5-1,8-2,1-2,4 -,3,3,6 x,9 1,2 1,5 1,8 FIGURA 4.2 Atrator do mapa de Ikeda com os pontos fixos aproximados P F 1 (, 53;, 24) e P F 2 (1, 11; 2, 28). 79

82 4.2 Detecção de Pontos Fixos em Séries Temporais Os resultados de análises de séries temporais foram obtidos com os métodos de detecção de pontos fixos de Auerbach, Cvitanović, Eckmann, Gunaratne e Procaccia (Auerbach et al., 1987), Aguirre e Souza (Aguirre e Souza, 1998) e So, Ott, Schiff, Kaplan, Sauer e Grebogi (So et al., 1996). A principal diferença dos métodos é que no de Auerbach et al. e So et al. os pontos fixos, para serem detectados, devem estar contidos no atrator, já no de Aguirre e Souza isso pode não ser necessário. Outra particularidade do método de Auerbach et al. é a necessidade de séries temporais de todas as variáveis do sistema dinâmico que se deseja encontrar os pontos fixos. No caso do método de Aguirre e Souza e So et al. deve-se utilizar apenas a série temporal de uma variável do sistema Geração de séries temporais para os testes de detecção de pontos fixos Para gerar as séries temporais a serem analisadas, foram utilizados apenas dois sistemas dinâmicos: a) Sistema de equações diferenciais de Lorenz Equação (4.1) com os parâmetros σ = 1, β = 8 3 Figura (4.1), e e ρ = 28 que resultam o invariante caótico da b) Mapa de Ikeda Equação (4.2) com os parâmetros A = 1,, B =, 9, K =, 4 e E = 6, que resultam o invariante caótico da Figura (4.2). Para ambos sistemas dinâmicos, Lorenz e Ikeda, apenas as séries temporais da coordenada X foram utilizadas para testar os métodos de Aguirre e Souza e So et al.. No caso do método de Auerbach et al. foram utilizados os conjuntos completos de dados Análise do método Aguirre e Souza, utilizando-se a série temporal do sistema de equações diferenciais de Lorenz Como apresentado no gráfico da Figura (4.1), os pontos fixos exatos do sistema de equações diferenciais de Lorenz são: F P 1 = ( 72, 72, 27); F P 2 = (,, ) e F P 3 = ( 72, 72, 27). 8

83 Portanto aplicando o método de Aguirre e Souza (Aguirre e Souza, 1998) à série temporal da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz deve-se encontrar como resposta os três pontos: P 1 = 72 ; P 2 = e P 3 = 72. Como visto no capítulo anterior, onde os métodos analisados sã descritos, o método de Aguirre e Souza possui três parâmetros principais de configuração, que são: Tamanho da série temporal (N); Tamanho da janela de dados (L) e Deslocamento da janela de dados (D). Os testes foram iniciados utilizando 8 séries temporais diferentes, com N = 3 elementos da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz. Variando-se o tamanho da janela de dados de L = 2 a L = 28 elementos e o deslocamento da janela de dados de D = 5 a D = 45 elementos com um intervalo de 1 elementos, obteve-se os resultados apresentados na Figura (4.3). Observando os gráficos da Figura (4.3) fica evidente, para os três pontos (P 1, P 2 e P 3 ), que a partir da janela de dados de L = 5 elementos, o tamanho do deslocamento D não interfere significativamente no erro, podendo então ser fixado. Para os demais testes o deslocamento da janela de dados foi fixado em D = 45, o que acelera o processo, pois quanto maior o deslocamento, menor o número de cálculos que serão realizados. Refazendo o teste anterior, onde havia-se variado o tamanho da janela de dados (L) e o deslocamento da janela de dados (D), mas desta vez o parâmetro de deslocamento da janela de dados foi fixado em (D = 45). Também foram utilizadas 8 série temporais, como pode-se observar no resultado do gráfico da Figura (4.4). 81

84 Erro,16,14,12,1,8,6 P 1 TS & D[5..45] TS 1 & D[5..45] TS 2 & D[5..45] TS 3 & D[5..45] TS 4 & D[5..45] TS 5 & d[5..45] TS 6 & D[5..45] TS 7 & D[5..45],4,2 P 2,8,6 Erro,4,2 P 3,16,14,12,1 Erro,8,6,4, Janela de Dados (L) FIGURA 4.3 Método de Aguirre e Souza explorando a série temporal da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz. Resultado obtidos variando-se o tamanho da janela de dados (L) e o tamanho do deslocamento da janela de dados e utilizando-se 8 séries temporais diferentes. Erro = P real P Aguirre Souza. 82

85 P 1 TS,16,14,12 TS 1 TS 2 TS 3 TS 4,1 TS 5 Erro,8,6 TS 6 TS 7,4,2 P 2,8,6 Erro,4,2 P 3,16,14,12,1 Erro,8,6,4, Janela de Dados (L) FIGURA 4.4 Método de Aguirre e Souza explorando a série temporal da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz. Resultado obtido variando-se o tamanho da janela de dados (L), fixando tamanho do deslocamento da janela de dados em (D = 45) e utilizando-se 8 séries temporais diferentes. 83

86 Pode-se agora verificar nos gráficos da Figura (4.4) que: Os resultados mais satisfatórios, erro ( P real P Aguirre Souza <, 14), ocorreram com janelas de dados superiores a 4 elementos; A partir da janela de dados de (L = 4), o erro variou em apenas uma casa decimal para o ponto P 1 e P 3. Para testes com séries de diferentes tamanhos, optou-se por fixar o deslocamento da janela de dados (D) e o tamanho da janela de dados (L). Como o erro oscilou em apenas uma casa decimal, optou-se por utilizar uma janela de dados pequena (L = 5), pois quanto maior a janela de dados, maior será a dimensão das matrizes envolvidas no cálculo, resultando em aumento do tempo computacional. Nos gráficos da Figura (4.5) pode-se verificar os resultados obtidos quando fixou-se o tamanho da janela de dados em L = 5, o tamanho do deslocamento em D = 45 e variou-se o tamanho da série temporal de 1 a 32. Foram utilizadas 8 séries temporais para cada tamanho de série temporal analisado. Verificou-se nos gráficos da Figura (4.5) que: Mesmo com um grande aumento das séries temporais, os erros estabilizam dentro de uma casa decimal (valores menores para P 2 que para P 1 e P 3 ) e Quanto maior a série temporal, menor será o desvio padrão. Para analisarmos a influência da tamanho da janela de dados (L) em séries temporais, gerou-se os gráficos da Figura (4.6), onde variou-se tamanho da janela de dados de L = 2 a L = 28 para 8 séries temporais diferentes de N = 81 elementos. Pode-se verificar no gráfico da Figura (4.6) que para as séries temporais longas e janela de dados de valores elevados, o erro praticamente estabiliza e o desvio padrão diminui muito pouco. 84

87 1 P 1 TS TS 1 TS 2 TS 3,1 TS 4 TS 5 Erro,1,1 TS 6 TS 7 Média P 2 1,1 Erro,1, P 3 1,1 Erro,1, Tamanho da série Temporal (N) FIGURA 4.5 Método de Aguirre e Souza explorando a série temporal da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz. Resultados obtidos variando-se o tamanho da série temporal com janela de dados em (L = 5), tamanho do deslocamento da janela de dados em (D = 45) e utilizando-se 8 séries temporais diferentes. Note que escalas logarítmicas foram utilizadas nos eixos das ordenadas. 85

88 ,1,8 P 1 TS TS 1 TS 2 TS 3 TS 4 Erro,6,4 TS 5 TS 6 TS 7,2,2 P 2 Erro,1,1 P 3,8 Erro,6,4, Janela de Dados (L) FIGURA 4.6 Método de Aguirre e Souza explorando a série temporal da coordenada X do sistema de equações diferenciais de Lorenz. Resultados obtidos fixando-se o tamanho da série temporal em N = 81, variando a janela de dados de (L = 2) a (L = 28), fixando-se o tamanho do deslocamento da janela de dados em (D = 45) e utilizando-se 8 séries temporais diferentes. 86

89 4.2.3 Análise do método de Aguirre e Souza, utilizando-se a série temporal do mapa de Ikeda Como verificado no gráfico da Figura (4.2) os pontos fixos do mapa de Ikeda são aproximadamente: PF 1 (, ,, ) e PF 2 (1, , 2, ). Aplicando o método de Aguirre e Souza (Aguirre e Souza, 1998) às séries temporais da coordenada x do mapa de Ikeda, deve-se encontrar os seguintes valores: P 1, e P 2 1, Como visto, os três parâmetros principais de configuração do método de Aguirre e Souza são N, o tamanho da série temporal, L, o tamanho da janela de dados e D o deslocamento da janela de dados. Partindo de 8 séries temporais diferentes de N = 3 elementos da coordenada X do mapa de Ikeda. Variou-se o tamanho da janela de dados de L = 2 a L = 28 elementos e o deslocamento da janela de dados de D = 5 a D = 45 elementos com um intervalo de 1 elementos, obteve-se assim os resultados apresentados na Figura (4.7). Pode-se verificar nos gráficos da Figura (4.7) que: Para qualquer deslocamento da janela de dados (L), o erro X real X AguirreSouza não sofre alteração significativa; Com a alteração do tamanho da janela de dados o erro também não sofreu alteração significativa; Os erros associados ao ponto P 2 foram substancialmente maiores que do ponto P 1, o que se deve ao fato deste ponto estar localizado na extremidade do invariante caótico. 87

90 Erro,5,4,3,2 P 1 TS & D[5..45] TS 1 & D[5..45] TS 2 & D[5..45] TS 3 & D[5..45] TS 4 & D[5..45] TS 5 & D[5..45] TS 6 & D[5..45] TS 7 & D[5..45],1 P 2 2,5 2 Erro 1,5 1, Janela de Dados (L) FIGURA 4.7 Erros, X real X AguirreSouza, obtidos através do método de Aguirre e Souza com a série temporal do mapa de Ikeda variando-se o tamanho da janela de dados e o deslocamento da janela de dados. Foram utilizadas 8 séries temporais de N = 3 elementos. Para séries temporais de diferentes tamanhos, assim como, e pelos mesmos motivos ocorridos na análise da série temporal do sistema de Lorenz, optou-se por fixar o tamanho da janela de dados L e o deslocamento da janela de dados D. No gráfico da Figura (4.8) encontram-se os resultados obtidos para valores fixos da janela de dados L = 5 e o deslocamento da janela de dados D = 45. Foram utilizadas 8 séries temporais para cada tamanho analisado de série temporal. Verificou-se no gráfico da Figura (4.8) que: Com o aumento da série temporal, o erro de cada ponto convergiu para distintos valores fixos; 88

91 O desvio padrão, associado às 8 séries temporais, diminui com séries temporais maiores. P 1 TS,8 TS 1,7,6 TS 2 TS 3 TS 4,5 TS 5 Erro,4,3,2 TS 6 TS 7 Média,1 P 2 2,4 2 1,6 Erro 1,2,8, Tamanho da Série Temporal (N) FIGURA 4.8 Erros, X real X AguirreSouza, obtidos através do método de Aguirre e Souza com a série temporal do mapa de Ikeda fixando-se o tamanho da janela de dados e o deslocamento da janela de dados respectivamente, L = 5 e D = 45. Foram utilizadas 8 séries temporais para cada variação de elementos. Para verificar a influência do tamanho da janela de dados L em série temporais maiores, variou-se o tamanho da janela de dados de L = 2 a L = 28 para 8 séries temporais diferentes de N = 81 elementos. Então pode-se observar nos gráficos da Figura (4.9) que, a partir da janela de dados de 4 elementos o erro não sofre alterações significativas. 89

92 ,5,4 P 1 TS TS 1 TS 2 TS 3 TS 4 Erro,3,2 TS 5 TS 6 TS 7,1 3 P 2 2,5 Erro 2 1, Janela de Dados (L) FIGURA 4.9 Erros, X real X AguirreSouza, obtidos através do método de Aguirre e Souza com a série temporal do mapa de Ikeda. Foram utilizadas 8 séries temporais para cada variação de elementos para N = 81 e D = Análise do método Auerbach et al, utilizando-se a série temporal do sistema de equações diferenciais de Lorenz Os resultados obtidos com a utilização do método de Auerbach et al. a séries temporais do sistema de equações diferenciais de Lorenz não foram satisfatórios. Este fato evidencia como poderia-se supor, que este particular método não é adequado a determinação de pontos fixos não contidos no invariante caótico em análise, como ocorre com os 3 pontos fixos do sistema de Lorenz apresentados na Figura (4.1). 9

93 4.2.5 Análise do método de Auerbach et al, utilizando-se a série temporal do mapa de Ikeda O método de Auerbach et al é adequado a busca de pontos fixos no Mapa de Ikeda, uma vez que os pontos PF 1 (, ,, ) e PF 2 (1, , 2, ) encontram-se embutidos no invariante caótico, como pode-se observar no gráfico da Figura (4.2). O ponto fixo P 2 encontra-se no limite do invariante caótico. Utilizando o método de Auerbach et al às séries temporais da coordenada x da série temporal do mapa de Ikeda, deve-se encontrar aproximadamente os valores: P 1, e P 2 1, Como verificado no capítulo anterior, o método Auerbach at al possui três parâmetros principais de configuração, que são: Tamanho da série temporal N; Tolerância T 1 que determina a existência do ponto fixo ou órbita periódica de período procurado e Tolerância T 2 que determina um novo ponto fixo. Inicialmente variou-se a tolerância T 1 =, 1 a T 1 =, 1 e também variou-se o tamanho da série temporal em N = 1 3, N = 5 1 3, N = , N = e N = , assim obteve-se os gráficos da Figura (4.1) e Figura (4.11). Novamente, foram utilizadas 8 séries temporais para cada tamanho de série temporal analisada. 91

94 ,3 N=1 3 P 1,2 N=5x1 3,25,18,16 Erro,2,15,1,5,14,12,1,8,6,4,2,12 N=25x1 3,12 N=125x1 3,1,1,8,8 Erro,6,6,4,4,2,2,12 N=32x1 4,6,2,4,6 Tolerância T 1,8,1,1,8 TS Erro,6,4 TS 1 TS 2 TS 3,2 TS 4 TS 5,6,2,4,6,8,1 TS 6 Tolerância T 1 TS 7 FIGURA 4.1 Resultados obtidos para o PF P 1 a partir do Método de Auerbach et al, variando-se a tolerância de T 1 =, 1 a T 1 =, 1 para séries de tamanho N = 1 3, N = 5 1 3, N = , N = e N = Utilizou-se 8 séries temporais da coordenada x do Mapa de Ikeda. 92

95 P 2,35 N=5x1 3,6 N=25x1 3,3 Erro,25,2,15,1,2,4,5,6 N=125x1 3,6 N=32x1 4,5,5,4,4 Erro,3,2,3,2,1,1,81,85,9,95,1,81,85,9,95,1 Tolerância T 1 Tolerância T 1 TS TS 1 TS 2 TS 3 TS 4 TS 5 TS 6 TS 7 FIGURA 4.11 Resultados obtidos para o PF P 2 a partir do Método de Auerbach et al, variando-se a tolerância de T 1 =, 1 a T 1 =, 1 para séries de tamanho N = 1 3, N = 5 1 3, N = , N = e N = Foram utilizadas 8 séries temporais da coordenada X(p 2 ) do Mapa de Ikeda. 93

96 Observando o gráfico da Figura (4.1) e Figura (4.11) pode-se concluir que utilizando o método de Auerbach et al à série temporal do Mapa de Ikeda: Com o aumento da série temporal, o erro tende a se estabilizar, diminuindo o desvio padrão; Para séries temporais menores, a tolerância T 1 deve ser maior, para que a determinação de pontos fixos ocorra (veja que para N = 5 e T 1 <, 95, nenhuma solução foi determinada pata o PF P 2 ); Em séries temporais menores, os resultados dependem sensivelmente e especificamente de qual série temporal esta sendo utilizada para análise; Já para séries temporais maiores esta dependência é cada vez menos acentuada. A) B) Ponto Fixo Real Tolerância T 1 Tolerância T 1 n+1 X n+1 X n+1 X média n+1 X média X n = n X média X n = n X média Tolerância T 1 Tolerância T 1 Ponto Fixo Real FIGURA 4.12 Ilustração da aproximação ou afastamento da média obtida quando uma nova solução (satisfazendo a restrição da tolerância T 1 ) é acrescentada ao conjunto de dados a medida que o algoritmo do método de Auerbach et al é executado. Neste método, o erro é determinado pela média do conjunto de pontos detectados. Este procedimento pode tanto afastar ou aproximar a média da solução em relação ao ponto fixo real, de acordo com a qualidade dos pontos que passam a ser aceitos como solução (dentro da tolerância T 1 ). Na Figura (4.12-A) observa-se uma situação onde a inclusão de uma nova solução ao conjunto de soluções leva à aproximação da média X media em 94

97 relação ao ponto fixo real. Já na Figura (4.12-B), observou-se a situação oposta, onde o valor médio afasta-se mais da solução real com a inclusão de um novo dado Análise do método So et al, utilizando-se a série temporal do sistema de equações diferenciais de Lorenz Como no método de Auerbach et al., os resultados obtidos com a utilização do método de So et al. a séries temporais do sistema de equações diferenciais de Lorenz não foram satisfatórios. Este fato evidencia como poderia-se supor, que este particular método não é adequado a determinação de pontos fixos não contidos no invariante caótico em análise, como ocorre com os 3 pontos fixos do sistema de Lorenz apresentados na Figura (4.1) Análise do método de So et al, utilizando-se a série temporal do mapa de Ikeda Como já mencionado o Mapa de Ikeda, Figura (4.2), possui dois pontos fixos: PF 1 (, ,, ) e PF 2 (1, , 2, ). Utilizando os métodos de So, Ott, Schiff, Kaplan, Sauer e Grebogi (So et al., 1996) para determinação destes pontos fixos, a partir de séries temporais da coordenada x, deve-se encontrar aproximadamente os valores: P 1, e P 2 1, Para análise deste método em sistemas de mais de uma dimensão deve-se configurar cinco parâmetros, como visto no capítulo anterior. São eles: Tamanho da série temporal (N); Número de canais no histograma (N canais); Coeficiente de magnificação aleatória (k); Número de matrizes aleatórias (M rand); 95

98 Limites dos canais do histograma (lim). Inicialmente o método foi configurado para uma série temporal de N = 5 elementos obtendo o gráfico da Figura (4.13). Foram utilizados N canais = 1 canais; o coeficiente k = 5; Mrand = 5 matrizes aleatórias e o limite lim entre o maior e o menor valor da série temporal histograma histograma 1.5e+5 1e+5 5e X X n+1 FIGURA 4.13 Resultado do método de So et al com N = 5 elementos. Pode-se observar que com essa configuração dos dois pontos fixos apenas a região de um ponto, PF 1, foi detectada. Aumentando a série temporal para N = 32 e mantendo a configuração anterior, a fim dos pontos da séries temporal passarem mais vezes próximo ao outro ponto fixo PF 2, localizado na extremidade do atrator. O obteve-se o gráfico da Figura (4.14). O ponto fixo PF 2 continuou não sendo detectado. Isto se deve ao fato do método apenas determinar pontos fixos que possuem vizinhança muito visitada. Para determinar a resposta com mais exatidão referente ao ponto fixo PF 1 repetimos a análise restringindo o limite para lim = (, 45;, 65). Usando uma série temporal de N = 5 elementos e com as mesmas configurações, obteve-se o gráfico da Figura (4.15). 96

99 Aumentando o número de canais para ncanais = 4 e restringindo mais o limite para lim = (, 5;, 55), através do gráfico da Figura (4.16), pode-se constatar que o ponto fixo é aproximadamente PF, histograma histograma 1.5e+5 1e+5 5e+4 X X n+1 FIGURA 4.14 Resultado do método de So et al com N = 32 elementos. 97

100 12 histograma histograma 1e+4 8e+3 6e+3 4e+3 2e X X n FIGURA 4.15 Resultado do método de So et al com N = 5 elementos e limite dos canais do histograma entre (, 45;, 65). histograma 6 histograma X X n FIGURA 4.16 Resultado do método de So et al com N = 5 elementos e limite dos canais do histograma entre (, 5;, 55). 98

101 A partir das análise verificadas nesta seção, onde testamos individualmente os métodos específicos para séries temporais, observou-se que: Para utilizar o método de Aguirre e Souza e So et al é necessário usar uma série temporal com os valores de uma das variáveis do sistema. Já no caso do método de Auerbach et al deve-se ter as séries de todos os graus de liberdade. O método de Aguirre e Souza detecta, com menor precisão, os pontos não pertencentes ao invariante caótico, isto é, pontos com pouca ou nenhuma taxa de visitação de sua vizinhança. Já o método de Auerbach ae al localiza pontos pertencentes ao invariante caótico cuja a vizinhança seja bem visitada. Quando ao tamanho da série temporal em ambos métodos quanto maior, menor será o desvio padrão, tornando o método independente da serie temporal, pois o erro não sofrerá uma alteração significativa. O método de So et al segundo os autores é mais adequado a séries temporais experimentais e só detecta pontos com vizinhanças bem visitadas por séries temporais. Os métodos não determinaram com muito eficácia o ponto fixo localizado no limite do invariante caótico do Mapa de Ikeda, apenas o método de Auerbach et al localizou este ponto utilizando uma tolerância alta. 99

102 4.3 Detecção de Pontos Fixos e Periódicos em Mapas Nesta seção são apresentados os resultados da análise dos métodos de detecção de pontos fixos e periódicos em mapas usando os métodos que foram descritos no capítulo anterior. São eles: a) Módulo de G com Newton-Raphson (Press e Teukolsky, 1992), b) Schmelcher e Diakonos (Schmelcher e Diakonos, 1998) (original e aprimorado), c) Davidchack e Lai (Davidchack e Lai, 1999). Todos os métodos foram aplicados na busca de pontos fixos e soluções periódicas no Mapa de Ikeda, que possui duas variáveis, x e y e é definido pela Equação (4.2) e valores de parâmetros mencionados na Seção (4.1.2), ou seja, A = 1,, B =, 9, K =, 4 e E = 6,, que correspondem ao atrator caótico apresentado na Figura (4.2); Análise do método de Módulo de G com Newton-Raphson aplicado ao Mapa de Ikeda Este método é uma alternativa para buscar regiões de condições iniciais adequadas ao início de execução do método de Newton-Raphson, resolvendo assim, sua conhecida deficiência de não convergência global e aproveitando sua ótima taxa de convergência em regiões suficientemente próximas a solução do sistema. Consiste em identificar e agrupar pontos de uma grade que pertencem as proximidades lineares de pontos fixos, e que portanto são condições iniciais adequadas ao método de Newton-Raphson. Para utilizar este método é necessário definir os seguintes parâmetros: Os limites do espaço de fase para a criação de uma grade de condições iniciais (L); A quantidade de condições iniciais contidas na grade (N); Tolerância que determina as condições iniciais para o método de Newton- Raphson (t 1 ); Tolerância de parada do método de Newton-Raphson (t 2 ) e Tolerância que determina o ponto fixo (t 3 ). 1

103 Os testes foram iniciados pela determinação dos pontos periódicos de período p = 1 (pontos fixos), do Mapa de Ikeda, que são apresentados no gráfico da Figura (4.2). Definimos os limites L como {x min, x max } = { 1, 2} e {y min, y max } = { 3, 1}, de modo a conter o atrator da Figura (4.2), e a grade aleatória com N = 2 condições iniciais (C.I.). Após o cálculo de g(r i ) 2 (f p k (r i) r k ) 2, (4.3) onde r 1 = x e r 2 = y, para cada ponto da grade, obteve-se a Figura (4.17). k=1 g C.I X Y FIGURA 4.17 Resultado de g(r i ) na grade de condições aleatórias para o atrator de Ikeda. A tolerância t 1 =, 2 determina quais pontos serão condições iniciais para o método de Newton-Raphson, como pode-se observar no gráfico da Figura (4.18). 11

104 g C.I. C.I. p/ NR X Y 1,8,6,4,2 C.I. C.I. p/ NR Y 2, - -,4 -,6 -, ,2-1,4-1,6-1,8-2 -2,2-2,4-2,6-1 -,8 -,6 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 X FIGURA 4.18 Resultado de g(ri ) na grade de condic o es aleato rias com as condic o es iniciais determinadas pela tolera ncia t1 =, 2 para o me todo de Newton-Raphson. As regio es em azul correspondem a s sementes a serem iteradas pelo algoritmo de Newton-Raphson. 3D (acima) - 2D (abaixo). 12

105 Usando a tolerância de parada do método de Newton-Raphson (t 2 = 1 12 ) e a tolerância que determina o ponto fixo (t 3 = 1 12 ), após aplicação do método de Newton- Raphson ao conjunto de pontos referenciados na Figura (4.18), os pontos fixos: PF 1 (1, , 2, ) e PF 2 (, ,, ) foram detectados, como pode-se ver na Figura (4.19). Este método é bastante eficiente mesmo para períodos superiores, pois determinou todos os pontos de período p = 1 a p = 1 do Mapa de Ikeda, como pode-se verificar na Figura (4.2). 13

106 ,5 C.I. p/ NR PF 1,4,3 Y,2,1,3,4,5,6,7,8-1,8-1,9 C.I. p/ NR PF ,1 Y -2,2-2,3-2,4-2,5-2,6,3,4,5,6,7,8,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 X FIGURA 4.19 Condições iniciais determinadas pela tolerância t 1 =, 2 e os pontos fixos determinados pelo método de Newton-Raphson. 14

107 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8-2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 Y P=1*2 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8-2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 P=2*1 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8-2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 Y P=3*2 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8-2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 P=4*3 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8-2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 Y P=5*4 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8-2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 P=6*7 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8-2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 Y P=7*1 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8-2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 P=8*14 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 X -2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 Y P=9*26 -,4 -,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 X -2,5-2 -1,5-1 -,5,5 1 P=1*46 FIGURA 4.2 Todos os pontos de período 1 a 1 do mapa de Ikeda obtidos com o método Módulo de G com Newton-Raphson. 15

108 4.3.2 Análise dos Método de Schmelcher e Diakonos e Davidchack e Lai aplicados ao Mapa de Ikeda Nesta seção serão apresentados resultados de nossa análise comparativa entre estes dois métodos, já descritos. Procura-se nesta análise verificar a eficácia do método em localizar todos os pontos periódicos existentes para cada período, a precisão das respostas fornecidas e a eficiência para buscas de órbitas de períodos longos. Os testes foram realizados a partir da integração numérica da descrição contínua de Schmelcher e Diakonos dada por ṙ = C k (f(r i ) r i ) (4.4) e pela iteração do algoritmo de Davidchack e Lai que se baseia na solução do sistema linear dado por [1β g(r i ) C k J(r i )]δ(r i ) = C k g(r i ), (4.5) onde as variáveis e parâmetros já foram descritos anteriormente. Os parâmetros numéricos do método de Schmelcher e Diakonos são o passo inicial do algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem de passo variável, o número máximo de iterações por condição inicial, tolerância exigida para parada e tolerância que diferencia soluções distintas. Todos fixados conforme prescrição dos autores. Já para o segundo método, foram utilizados dois valores para o parâmetro β, valores estes definidos de acordo com o período das soluções procuradas. Por sua vez, o número máximo de iterações permitidas foi definido como função linear 5. Para períodos 1 e 2, são utilizadas 1 condições iniciais sobre os limites do espaço de fase definidos por {, 5; 1, 8; 2, 5; 1, }, que contém o atrator caótico como pode ser verificado pela Figura (4.2). Obteve-se como resposta os pontos fixos da Tabela (4.1). Como se pode observar, com ambos os métodos encontrou-se os mesmos pontos fixos, porém com precisões bem distintas. Para facilitar a inspeção visual, na Tabela (4.1) representa-se em negrito os algarismos decimais iguais entre soluções dos dois métodos. Y. C. 5 de β dada por 1 + 2β. Fornecido por comunicação privada de um dos autores do algoritmo, Lai, 16

109 TABELA 4.1 Pontos fixos de período 1(p1a, p1b) e 2(p2a, p2b) utilizando-se C 1 a C 8 e N = 1 condições iniciais aleatórias sobre o atrator, onde: ID é o identificador do ponto, Matriz é a matriz que utilizada para obter a resposta e It. Total é o total de iterações dos métodos. Schmelcher e Diakonos Davidchack e Lai ID Ponto Fixo Erro Matriz It. Total Ponto Fixo Erro Matriz Iteração p1a (5, e-1, 1,3e (5, e-1,,e , e-1) 2, e-1) p1b (1, e+, 9,8e (1, e+,,e , e+) -2, e+) p2a (5, e-1, 9,2e (5, e-1, 1,4e , e-1) -6, e-1) p2b (6, e-1, 1,e (6, e-1, 2,4e , e-1) 6, e-1) Pode-se observar através de Tabela (4.1) que: As respostas do método de Davidchack e Lai são muito mais precisas que as obtidas pelo método de Schmelcher e Diakonos. Isto ocorre porque o método de Davidchack e Lai inclui o uso do método de Newton-Raphson para refinar as respostas; Com o método de Davidchack e Lai obtém-se respostas precisas com menor número de iterações, pois este utiliza formas de quebrar laços dispendiosos existentes na dinâmica. (Veja exemplo no gráfico da Figura (4.21)). Nem todas as matrizes C k foram utilizadas. Inicialmente para os métodos de Schmelcher e Diakonos e Davidchack e Lai uma grade de condições iniciais ou um conjunto de condições iniciais aleatórias contidas na região do atrator foi utilizado levando a resultados satisfatórios. Posteriormente somente pontos de período 3 foram utilizados como semente, o que levou a todas as soluções esperadas. Este método foi introduzido por Davidchack e Lai (Davidchack e Lai, 1999). A Tabela (4.2) apresenta um sumário das soluções finais obtidas a partir de cada um dos dois pontos fixos de período 1(p1a e p1b) e dos dois pontos de período 2(p2a e p2b) mediante a aplicação dos métodos usando cada uma das oito matrizes C k. Os estados finais atingidos foram: alguma solução de período 1 ou 3, divergência para fora da região do atrator caótico do mapa de Ikeda e mesmo ponto inicial (estacionaridade observada para alguns casos de ponto fixo de período 1). Já na Figura (4.21), apresenta-se as trajetórias obtidas no espaço de fase (x, y). A primeira e terceira coluna referem-se ao método de Schmelcher e Diakonos, enquanto a segunda e quarta ao método de Davidchack e Lai. Diferentes matrizes C k correspondem aos diferentes gráficos. Em cada 17

110 um deles, apresenta-se as trajetórias iteradas para cada uma das quatro condições inicias utilizando-se uma das matrizes C k conforme indicado. TABELA 4.2 Soluções finais obtidas pelas iterações dos métodos de Schmelcher e Diakonos e Davidchack e Lai utilizando-se todas matrizes C k e partindo de pontos fixos de período 1 e 2 como condições iniciais. As linhas da tabela representão respectivamente os dois pontos de período 1(p1a e p2a) e a órbita de período 2 (p2a; p2b). Cada coluna, matriz C k contém a identificação para onde a dinâmica convergiu. Ponto Fixo SD DL Matrizes C k d = divergência para fora do invariante caótico e = comportamentos estáticos l = laços (ciclos limites) símbolos restantes referem-se aos rótulos adotados para cada ponto fixo (vide Figura (4.21)) C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 p1a e d d l e d e e e e e e e e e e p1b d e d d e e d e e e e e e e e e p2a 1a 3ba d 3bc d d l 3ac 1a 3ba d 3bc d d 1a 3ac p2b 3aa d d l 3ba d l 3aa 3aa d d 3bb 3ba d 1a 3aa Pode-se verificar nos gráficos da Figura (4.21) que: Laços de longo tempo de processamento observados no método de Schmelcher e Diakonos, como no gráfico correspondente a matriz C 4 e C 7, não levaram ao ponto fixo, apesar de atingir proximidade destes; Diferentes matrizes C k estabilizaram diferentes pontos; Algumas matrizes não levaram a nenhuma solução de período 3, como é o caso de C 3 e C 6. (C 7 não levou a solução para Schmelcher e Diakonos pela existência do laço mencionado acima). 18

111 FIGURA 4.21 Trajetórias obtidas pela busca de pontos fixos de período 3 com a iteração dos dois métodos utilizando as 8 matrizes C k e partindo de condições iniciais de período 1 e 2. A primeira e a terceira coluna correspondem ao método de Schmelcher e Diakonos para C k de k = 1 até k = 8, enquanto que a segunda e a quarta colunas correspondem ao método de Davidchack e Lai para cada uma das matrizes C k em seqüência de cima para baixo. 19

112 4.3.3 Otimização do Método de Schmelcher e Diakonos com a inclusão do Método de Newton-Raphson aplicado ao Mapa de Ikeda Verificou-se na seção anterior a superioridade do método de Davidchack e Lai sobre a versão implementada do método de Schmelcher e Diakonos. Sabe-se que em alguns casos (Figura (4.21)) o método de Schmelcher e Diakonos tende à resposta lentamente, pode-se então melhorar a qualidade e a velocidade do método, incluindo algumas propriedades e características presentes no método de Davidchack e Lai, tais como: Se após N iterações do método de Schmelcher e Diakonos, a desigualdade f p (r i r i ) < tolerância, (4.6) for verdadeira, a iteração do método deve parar e o Método Newton- Raphson deve ser ativado para refinar a resposta, assim o problema de convergência de Schmelcher e Diakonos mais lenta que Newton-Raphson nas proximidades da solução é contornada; Também deve-se parar a iteração do Método de Schmelcher e Diakonos e continuar com o Método de Newton-Raphson se, após N iterações, f p (r i r i ) (4.7) aumentar, ao invés de diminuir. Assim os laços dispendiosos que não convergem para soluções serão quebrados. Aplicação do Mapa de Ikeda às respostas refinadas pelo Método de Newton-Raphson, a fim de determinar os outros pontos da órbita periódica. Elimina-se assim a necessidade de que todos pontos periódicos sejam obtidos a partir de sementes de Schmelcher e Diakonos com Newton-Raphson e Davidchack e Lai; Utilizar como condições de busca de pontos de período k, apenas os pontos periódicos obtidos para o período (k 1). Pode-se verificar na Tabela (4.3) que as respostas de ambos os métodos se aproximam, o que torna o Método de Schmelcher e Diakonos tão adequado e eficiente quanto Davidchack e Lai, inclusive para órbitas longas. 11

113 TABELA 4.3 Pontos fixos de período 1 e 2 utilizado C 1 a C 8 e N = 1 condições iniciais aleatórias sobre o atrator. Schmelcher e Diakonos OTIMIZADO Davidchack e Lai ID Ponto Fixo Erro Matriz Iteração Ponto Fixo Erro Matriz Iteração p1a (5, e-1,,e- 449(SD)+ (5, e-1,,e , e-1) 4(NR) 2, e-1) p1b (1, e+,,e (SD)+ (1, e+,,e , e+) 4(NR) -2, e+) p2a (5, e-1, 1,1e (SD)+ (5, e-1, 1,4e , e-1) 4(NR) -6, e-1) p2b (6, e-1, 1,1e (SD)+ (6, e-1, 2,4e , e-1) 1(NR) 6, e-1) A partir das análise verificadas nesta seção, onde testamos individualmente os métodos específicos paro Mapa de Ikeda, observou-se que: o método do Módulo de G seguido por Newton-Raphson é bastante eficiente, pois determinou todos os pontos de período p = 1 a p = 1 do mapa em questão; o método de Davidchack e Lai determina com mais precisão os PF que o método original de Schmelcher e Diakonos, isto ocorre porque o método de Davidchack e Lai inclui o uso do método de Newton-Raphson para refinar as respostas. com o método de Schmelcher e Diakonos aprimorado, obteve-se respostas tão precisas quanto as do Davidchack e Lai. 111

114 4.4 Detecção de Pontos Fixos e Periódicos em Equações Diferenciais Para a detecção de pontos fixos e periódicos em equações diferenciais foram utilizados o Método proposto por Schmelcher e Diakonos. Foi necessário adaptar o algoritmo proposto, a fim de determinar os pontos periódicos em uma Seção de Poincaré. A principal alteração no algoritmo de Schmelcher e Diakonos foi a definição de f(r i ), cujo cálculo é necessário em ṙ = C k (f(r i ) r i ) (4.8) como sendo a próxima iteração quando o fluxo cruza uma seção de Poincaré em um sentido definido. Para determinar os pontos fixos e periódicos na Seção de Poincaré, deve-se escolher a localização conveniente desta, através da visualização do invariante caótico obtido com as equações do sistema dinâmico de interesse. Foram utilizadas as equações diferencias de Lorenz Equação (4.1) como sistema dinâmico para realização da análise deste método Detecção de pontos periódicos nas Equações diferenciais de Lorenz Como mencionado, para determinar os pontos fixos e periódicos na Seção de Poincaré, deve-se escolher a localização da Seção de Poincaré visualizando o gráfico do invariante caótico obtido pelas equações diferenciais de Lorenz Figura (4.1). Os pontos fixos e periódicos do sistema de equações de Lorenz foram determinados utilizando a Seção de Poincaré em X = 15 como pode-se observar na Figura (4.22). A procura por pontos periódicos na Seção de Poincaré foi inicianda determinando uma grade de condições iniciais definida pelos limites Y [ 3; 3] e Z [; 5]. Cada condição inicial foi integrada até que cruze-se, em um sentido definido a Seção de Poincaré, definida por X = 15. Definimos os parâmetros do método de Schmelcher e Diakonos como segue: Número de condições iniciais: 5; Número máximo de iterações do método para cada condição inicial: 5; Número de Matrizes: 8 112

115 Parâmetro de parada de iteração do método Schmelcher e Diakonos: 1x1 3 ; Com as configurações acima foram detectadas alguns pontos de período 1, para esta específica Seção, isto é, o fluxo cruza apenas uma vez no mesmo sentido esta Seção de Poincaré, como podemos observar nos gráficos da Figura (4.23), Figura (4.24) e Figura (4.25). Pode-se verificar no gráfico da Figura (4.24), classificada inicialmente como uma órbita de período 1, que se elevarmos a seção a aproximadamente X = 5 teremos então uma órbita não mas de período 1 mas sim de período 5. Portanto a escolha da localização de seção de Poincaré é de fundamental importância para a determinação dos pontos fixos e periódicos em sistema dinâmico contínuo, por essa metodologia. 113

116 Legenda: Seção de Poincaré X > 15 X 15 X Z Y 2 3 FIGURA 4.22 Plano de Poincare X = 15 no sistema de Equac o es Diferenciais de Lorenz. X Legenda: Seção de Poincare Pontos > 15 Pontos Y Z FIGURA 4.23 Ponto de perı odo 1 da Sec a o de Poincare X = 15 e respectiva o rbita perio dica, obtidos com o sistema de Equac o es Diferenciais de Lorenz: PFA ' ( 15, ; 18, 468; 32, 15). 114

117 X Legenda: Seção de Poincaré Pontos > 15 X Z Y FIGURA 4.24 Ponto de período 1 da Seção de Poincaré X = 15 e respectiva órbita periódica, obtidos com o sistema de Equações Diferenciais de Lorenz: PF B ( 15, ; 21, 277; 28, 727) X Legenda: Seção de Poincaré Pontos > 15 X Y Z FIGURA 4.25 Ponto de período 1 da Seção de Poincaré X = 15 e respectiva órbita periódica, obtidos com o sistema de Equações Diferenciais de Lorenz: PF C ( 15, ; 16, 81; 34, 15). 115

118 116

119 CAPÍTULO 5 CONCLUSÃO Neste trabalho foram investigados métodos de detecção de pontos fixos e periódicos para sistemas dinâmicos caóticos e desenvolvido um protótipo de Ambiente (ver apêndice A), responsável pela interface entre o usuário e uma biblioteca de rotinas implementadas a partir de cada um dos métodos estudados. A principal característica deste Ambiente é sua portabilidade, dado que este pode ser utilizado a partir de qualquer máquina conectada à Rede Mundial de Computadores 1, onde o mesmo se conecta com a biblioteca para executar uma requisição do usuário. Foram consideradas duas situações de busca de soluções periódicas e fixas: busca a partir de séries temporais e buscas a partir das leis dinâmicas do sistema a ser investigado, quer sejam mapas ou sejam fluxos (equações diferenciais ordinárias). Dentro destes dois contextos, diversos métodos foram extensamente analisados, testados e classificados segundo suas aplicabilidades. A partir das análises realizadas dos métodos de determinação de OPI, aplicados a séries temporais geradas pelos sistemas dinâmicos. Mapa de Ikeda e Equações Diferenciais de Lorenz, concluímos que: o método de Aguirre e Souza; é mais indicado quando apenas uma série temporal de uma ou algumas variáveis do sistema dinâmico é disponível; detecta pontos não pertencentes ao invariante caótico, isto é, pontos com pouca ou nenhuma taxa de visitação de sua vizinhança. para o método de Auerbach et al.; é mais indicado para situações onde séries temporais de todas variáveis são disponíveis (mais informação sobre o sistema), pois para pontos pertencentes ao invariante caótico leva a melhores resultados que os de Aguirre e Souza e So et al.; não detecta pontos cujas vizinhanças não são visitadas pela trajetória; para o método de So et al.; segundo os autores é mais adequado a séries temporais experimentais; 1 INTERNET 117

120 só detecta pontos com vizinhanças bem visitadas por séries temporais. Após os testes com os métodos aplicados a mapas (Mapa de Ikeda), concluímos que: o método do Módulo de G com Newton-Raphson é bastante eficiente, mesmo para períodos elevados, pois determinou todos os pontos de período p = 1 a p = 1 do Mapa de Ikeda; as respostas do método de Davidchack e Lai são muito mais precisas que as obtidas pelo método original de Schmelcher e Diakonos. Isto ocorre porque o método de Davidchack e Lai inclui o uso do método de Newton-Raphson para refinar as respostas. com o método de Davidchack e Lai obtém-se respostas precisas com menor número de iterações, pois este utiliza formas de quebrar laços dispendiosos, isto é, com taxas de convergência muito baixas, existentes na dinâmica. com as modificações, verificadas no método de Davidchack e Lai: inclusão do método de Newton-Raphson para refinar as respostas obtidas pelo método; a aplicação do Mapa à resposta do método a fim de determinar os outros pontos da órbita periódica, eliminando a necessidade de que todos pontos periódicos sejam obtidos pelo método; utilização como condições iniciais de busca de pontos de período k, apenas os pontos periódicos obtidos para o período (k 1); o método de Schmelcher e Diakonos foi aprimorado, tornando suas respostas tão precisas quanto as do Davidchack e Lai. As análises iniciais do método aplicado à equações diferenciais (Equações Diferencias de Lorenz), comprovaram que o método de Schmelcher e Diakonos, adaptado para localizar pontos fixos e periódicos na Seção de Poincaré, determinou alguns pontos fixos da seção. A principal conclusão sobre este método é que a escolha da localização da seção é de fundamental importância para a determinação dos pontos fixos e periódicos em sistemas dinâmicos caóticos. 118

121 5.1 Trabalhos Futuros Podemos dividir os trabalhos futuros em: Testes dos métodos com diferentes Sistemas Dinâmicos Caóticos; Testes do método destinado a Equações Diferenciais para períodos superiores; Testes dos métodos em Sistemas Hamiltonianos; Refinamento do Ambiente de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas UPOS LABORATORY v1., com a inclusão de novos módulos; Teste com ruído aditivo acrescentado a porteriori; Teste usando aulguma s rie temporal real (Chua, laser, etc.) 119

122 12

123 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Adler, R.; Konheim, A.; McAndrew. Topological entropy. Transactions of the American Mathematical Society, v. 114, p. 39, Aguirre, L. A.; Billings, S. A. Improved structure selection for nonlinear models based on term clustering. International Journal of Control, v. 62, n. 3, p , Aguirre, L. A.; Souza, A. V. P. An algorithm for estimating fixed points of dynamical systems from time series. International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 8, n. 11, p , , 53, 55, 56, 77, 8, 81, 87 Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. Chaos: an introduction to dynamical systems. New York: Springer Verlag, p. 27, 41, 43, 44, 44, 47 Auerbach, D.; Cvitanovic, P.; Eckmann, J. P.; Gunaratne, G.; Procaccia, I. Exploiting chaotic motion through periodic orbits. Physical Review Letters, v. 58, n. 23, p , , 28, 48, 53, 53, 77, 8 Auerbach, D.; Procaccia, I. Grammatical complexity of strange sets. Physical Review A, v. 41, p , , 5 Billings, S. A.; Chen, s. Representation of non-linear systems: the NARMAX model. International Journal of Control, v. 49, n. 3, p , Cvitanovic, P. Invariant measurement of strange sets in terms of cycles. Physical Review Letters, v. 61, n. 24, p , June Cvitanovic, P.; Gunaratne, G. H.; Procaccia, I. Topological and metric properties of Hénon-type strange attractors. Physical Review A, v. 38, n. 3, p. 153, , 5 Davidchack, R. L.; Lai, Y. Efficient algoritmo for detecting unstable periodic orbits in chaotic systems. Physical Review E, v. 6, n. 5, p , Nov , 64, 75, 75, 77, 1, 17 Davidchack, R. L.; Lai, Y.; Bollt, E. M.; Dhamala, M. Estimating generating partitions of chaotic systems by unstable periodic orbits. Physical Review E, v. 61, n. 2, p , Feb O número que aparece no final de cada referência indica a página da citação no texto. 121

124 Davidchack, R. L.; Lai, Y.; Klebanoff, A.; Bollt, E. M. Towards complete detection of unstable periodic orbits in chaotic systems. Physical Review A, v. 287, n. 1 2, p. 99, Devaney, R. L. A first course in chaotic dynamical systems: theory and experiment. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, p. 32, 33, 33, 34, 39, 39, 39, 4, 42, 49 Dhamala, M.; Lai, Y. Unstable periodic orbts and the natural measure of nonhyperbolic chaotic saddles. Physical Review E, v. 6, n. 5, p. 6176, Feigenbaum, M. J. Quantitative universality for a class of non-linear transformations. Journal of Statistical Physics, v. 19, p , Onset spectrum of turbulence. Physics Letters A, v. 4, n. 6, p , Fiedler-Ferrara, N.; Prado, C. P. C. Caos: uma introdução. São Paulo: Edgard Blücher, p. 43, 46 Gibson, J. F.; Farmer, J. D.; Casdagli, M.; Eubank, S. An analytic approach to practical state space reconstruction. Physica D, v. 57, n. 1 2, p. 1 3, Glover, J.; Mess, A. Reconstructing the dynamical of Chua s circuit. Journal of Circuits, Systems and Computers, v. 3, n. 1, p , , 56 Grebogi, C.; Ott, E.; Yorke, J. A. Chaos, strange attractors, and fractal basin boundaries in nonlinear dynamics. Science, v. 238, p , Oct. 1987a. 32, 34. Unstable periodic orbits and the dimension of chaotic attractor. Physical Review A, v. 36, n. 7, p , 1987b. 48. Unstable periodic orbits and the dimensions of multifractal chaotic attractors. Physical Review A, v. 37, n. 5, p , , 5, 5, 51, 51, 51 Gunaratne, G. H.; Procaccia, I. Organization of Chaos. Physical Review Letters, v. 59, n. 13, p , Sept , 5 Gutzwiller, M. C. Chaos in classical and quantum mechanics. New York: Springer, Ikeda, K.; Daido, H. A. O. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity. Physical Review Letters, v. 45, n. 9, p ,

125 Jackson, E. A. Perspectives of nonlinear dynamics. Cambridge: Press Syndicate, p. 27, 27 Kandel, A.; Langholz, G. Fuzzy control systems. Florida: CRC Press, p. 32 Kolgomorov, A. A new metric invariante of transitiv dynamical systems and automorphisms in Lesbesgue Spaces. Doklady Physics, v. 119, p. 861, Lai, Y. Characterization of the natural measure by unstable periodic orbits in nonhyperbolic chaotic systems. Physical Review E, v. 56, n. 6, p , Lai, Y.; Nagai, Y.; Grebogi, C. Characterization of the natural measure by unstable periodic orbits in chaotic attractors. Physical Review Letters, v. 79, n. 4, p , Libchaber, A. Convection and turbulence in liquid Helium-I. Physica B, v. 11, p , Lorenz, E. Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences, v. 2, p , , 78. The essence of CHAOS. Washington: Washington Press, p. 28, 36, 36 Macau, E. Sistemas Caóticos: notas de aula dadas no Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. São José dos Campos, 1. sem. de Macau, E.; Caldas, I. L. Driving trajectories in chaotic scattering. Physical Review E, v. 65, n. 2, p. 6215, Macau, E.; Grebogi, C. Driving tragectories in chaothic system. International Journal of Bifurcation and Chaos, v. 11, n. 5, p , , 35, 37, 41, 51 MACSIN. MACSIN Research Group. Disponível em: < Acesso em 1 maio Moon, F. C.; Holmes, P. J. A megnetoelastic strange attractor. Journal of Sound and Vibration, v. 65, p , Moreira, I. d. C. Sistemas caóticos em física: uma introdução. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 15, n. 1 4, p , nov

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127 Sommerer, J. C.; Ditto, W. L.; Grebogi, C.; Ott, E.; Spano, M. L. Experimental confirmation of the theory for critical exponents of crises. Physics Letters A, v. 153, p. 15, Tufillaro, N.; Aboott, T.; Reilly, J. An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, p. 36, 37,

128

129 APÊNDICE A AMBIENTE DE INTEGRAÇÃO DAS ROTINAS QUE COMPÕEM A BIBLIOTECA DE DETERMINAÇÃO DE PONTOS FIXOS E ÓRBITAS PERIÓDICAS Foi desenvolvido um ambiente computacional, atualmente em fase de prototipação, denominado UPOS LABORATORY v1. 1, que utiliza como módulos as rotinas implementadas a partir dos métodos estudados. Estas rotinas constituem uma biblioteca que pode ser facilmente expandida, de modo a incluir rotinas de potenciais métodos futuros de interesse. O UPOS LABORATORY v1., foi desenvolvido para ser utilizado na rede mundial de computadores (INTERNET). Por utilizar protocolo de comunicação TCP/IP (cliente servidor) pode ser executado em qualquer máquina conectada a INTERNET, como podemos observar no diagrama da Figura (A.1), com um Navegador 2 e módulo FLASH 3 instalados. Máquina 1 CLIENTE Máquina 2 SERVIDOR FLASH Biblioteca de Determinação de Órbitas Periócas e Fixas Instáveis NAVEGADOR Módulo PERL do Servidor WEB Servidor WEB (HTTPD) Nível de Aplicação Nível de Aplicação Rede Interna INTERNET (TCP/IP) Rede Interna Correio Eletrônico SERVIDOR FIGURA A.1 Diagrama do Funcionamento do Ambiente de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas em Sistemas Caóticos - UPOS LABORA- TORY. Como ilustrado no diagrama da Figura (A.1) duas máquinas são necessárias para a instalação do ambiente UPOS LABORATORY v.1.: uma com um Navegador qualquer ou

130 que suporte a máquina virtual FLASH; e outra com um servidor WEB com o módulo CGI/PERL para executar as funções da biblioteca de determinação de pontos fixos e órbitas periódicas em sistemas dinâmicos caóticos. Com o objetivo de aumentar a velocidade de execução, liberando o servidor principal (Máquina 2), pode-se utilizar uma outra máquina para utilizar a biblioteca do ambiente, isto é, pode-se determinar uma máquina apenas para a execução e o envio das respostas, como ilustrado no diagrama da Figura (A.2). Máquina 1 CLIENTE Máquina 2 SERVIDOR FLASH NAVEGADOR Módulo PERL do Servidor WEB Servidor WEB (HTTPD) Nível de Aplicação Nível de Aplicação Rede Interna INTERNET (TCP/IP) Rede Interna Máquina 3 SERVIDOR/Aplicação Biblioteca de Determinação de Órbitas Periócas e Fixas Instáveis Correio Eletrônico SERVIDOR Nível de Aplicação FIGURA A.2 Diagrama do Funcionamento do Diagrama do Funcionamento do Ambiente de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas em Sistemas Caóticos - UPOS LABORATORY com a determinação de uma máquina para apenas executar as funções da biblioteca. Em ambos casos, definidos pelos diagramas das Figura (A.1) e Figura (A.2), podemos verificar que a resposta do ambiente UPOS LABORATORY v1. será enviada para o servidor de correio eletrônico do cliente. A.1 Utilização do Ambiente de Integração das Rotinas que Compõem a Biblioteca de Determinação de Pontos Fixos e Órbitas Periódicas - UPOS LABORATORY v1. O ambiente UPOS LABORATORY v1. possui uma interface muito intuitiva. Provê 4 passos distintos para configurá-la, os quais estão descritos a seguir: a) Opção Source, Figura (A.3): Primeiramente deve-se determinar e configurar o sistemas dinâmico caótico que será explorado pelo método de determinação 128

131 de órbitas fixas e periódicas escolhido no passo seguinte; b) Opção Method, Figura (A.4): Neste passo deve-se determinar e configurar o método de determinação de pontos fixos e órbitas periódicas segundo o sistema dinâmico caótico determinado no passo anterior; c) Opção Target, Figura (A.5): Após a escolha do sistema dinâmico e do método de determinação, deve-se informar o nome do usuário e um endereço eletrônico válido, para onde as respostas do ambiente deveram ser enviadas; d) Opção Start, Figura (A.6): Para iniciar o processo, após conferir a configuração escolhida, deve-se pressionar o botão START do ambiente. Logo após, o Navegador informará o início do processo e ficará esperando a conclusão do mesmo. Pode-se optar por encerrar a execução do Navegador, pois o processo já estará sendo executado na máquina onde estarão as bibliotecas. De início o protótipo desenvolvido está operando apenas com um módulo, que aceita a seguinte configuração: SOURCE: Sistema dinâmico caótico IKEDA, configurável; METHOD: Método de determinação LAI, configurável; 129

132 FIGURA A.3 Utilização do ambiente UPOS LABORATORY v1.. Primeiro passo: Escolha do sistema dinâmico caótico a ser analisado. FIGURA A.4 Utilização do ambiente UPOS LABORATORY v1.. Segundo passo: Escolha do método de determinação de pontos fixos e órbitas periódicas. 13

133 FIGURA A.5 Utilização do ambiente UPOS LABORATORY v1.. Terceiro passo: Escolha do endereço eletrônico do recebimento do resultado. FIGURA A.6 Utilização do ambiente UPOS LABORATORY v1.. Quarto passo: Iniciar o processo. 131