Figura 1: Hipóteses básicas.

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1 2 FLEXÃO NORMAL SIMPLES Nesta seção descreve-se as hipóteses básica de dimensionamento, de forma sucinta, mas atendendo a última revisão da norma ABNT NBR6118:2014, permitindo-se os concretos até 50 MPa, e de 50 à 90 MPa. 2.1 Hipóteses básicas e modelos constitutivos As hipóteses básicas do dimensionamento à FNS de seções retangulares de concreto armado são: As seções transversais permanecem planas após a deformação (Hipótese de Navier); Tração nula no concreto; Aderência perfeita entre o aço e o concreto. Estas hipóteses podem ser sumarizadas na Fig. 1, que descreve a contribuição do concreto e do aço na seção transversal. Figura 1: Hipóteses básicas. A Fig. 2 descreve o modelo constitutivo adotado para o concreto (modelo parábolaretângulo), considerando os dois grupos de concreto, até 50 MPa, e de 50 à 90 MPa. Figura 2: Modelo constitutivo do concreto. A Fig. 3 indica a variação dos parâmetros n, ε c2 e ε cu para concreto variando de 20 à 90 MPa, sendo constante de 20 à 50 MPa, e não linear de 50 à 90 MPa. Note que, para f ck = 90 MPa, ε c2 = ε cu = 2, 6, portanto o diagrama é não linear de 0 à ε cu. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC2016 3

2 3.5 3 ɛ c2 ( ) ɛ cu ( ) n f ck (MPa) Figura 3: Variação dos parâmetros n, ε c2 e ε cu. A Fig. 4 descreve o modelo constitutivo adotado para o aço (modelo elasto-plástico perfeito). Figura 4: Modelos constitutivo do aço. 2.2 Domínios de deformação A hipótese de Navier e a aderência possibilitam estabelecer uma compatibilidade de deformações entre os materiais concreto e aço, estabelecidos os seus modelos constitutivos, que permite definir as regiões possíveis para as deformações, denominada domínios de deformação, indicada na Fig. 5, a partir dos estados limites últimos para o concreto e aço. Para se garantir um comportamento dúctil da seção, o dimensionamento deverá ocorrer nos domínios 2 ou 3, D2 onde o ELU é caracterizado pelo alongamento plástico excessivo (ε su = 10 ), e o D3 onde o ELU é caracterizado pelo esmagamento do concreto na flexão (ε cu ) conforme a Fig. 2. Nas Figs. 6 e 7 mostram-se os domínios 2 e 3. É importante salientar que os limites x 23 e x 34 serão alterados, em função de ε cu para os concretos mais resistentes, 50 < f ck 90 MPa. Os clássicos valores limites da posição da linha neutra entre os domínios 2 e 3, x 23 = 0.259d, independente do tipo de aço, e x 34 = 0.628d, para o aço CA50, se mantém para ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC2016 4

3 Figura 5: Domínios de deformação na FNS. Figura 6: Domínio 2. Figura 7: Domínio 3. o concreto de resistência até 50 MPa (20 f ck 50 MPa), pois a deformação última do concreto ε cu = 3.5 também não se altera. Para os concretos de resistência mais elevada, de 50 à 90 MPa (50 < f ck 90 MPa), a deformação última do concreto se altera, conforme expressão e gráfico, indicados nas Figs. 2 e 3, e os limites entre os domínios 2, 3 e 4 (x 23 e x 34 ) estão indicados na Tab. 1, assim como os parâmetros que definem o modelo constitutivo do concreto (n, ε cu e ε cu ), e também os parâmetros que caracterizam o diagrama retangular de ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC2016 5

4 Tabela 1: Parâmetros em função da resistência do concreto. f ck (MPa) ɛ c2 ( ) ɛ cu ( ) n α c λ x 23 /d x 34 /d 20 à tensões, α c e λ, definidos na Sec. 3, cuja variação é indicada na Fig. 9. Note que, assim como a deformação última diminui com o aumento do f ck, de 3.5 para 20 f ck 50 MPa à 2.6 para 90 MPa, também os limites entre os domínios diminuem, 0.259d à 0.206d para o limite x 23, e 0.628d à d para o limite x 34. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC2016 6

5 3 DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES Apresenta-se o dimensionamento da armadura das seções retangulares de concreto armado submetida à FNS, considerando o diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, simplificação clássica que permite uma resolução analítica simples e de fácil entendimento, assim como o diagrama parábola-retângulo, sendo necessário uma integração numérica, obtida pelo método das secantes, neste trabalho. A Fig. 8 mostra os dois diagramas de tensões no concreto e o parâmetro α c, que representa a queda de resistência do concreto sob efeito de cargas de longa duração, denominado efeito Rüsch, α c = 0.85 para para f ck 50 MPa e α c = 0.85[1.0 (f ck 50)/200] para 50 < f ck 90 MPa. Na Fig. 9 indicam-se am variações dos parâmetros α c e λ, sendo constantes de 20 à 50 MPa, α c = 0, 85 e λ = 0, 8, e lineares de 50 à 90 MPa, também indicados na Tab. 1. Figura 8: Diagramas de tensões no concreto λ α c f ck (MPa) Figura 9: Parâmetros do diagrama retangular simplificado. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC2016 7

6 3.1 Diagrama retangular simplificado Para o dimensionamento da armadura, considerando o diagrama retangular simplificado (Fig. 10), estabelece-se o equilíbrio da seção resistente, conforme a Fig. 11, considerando M d, ou seja, o dimensionamento econômico para a condição de segurança M d M rd. Figura 10: Diagrama de tensão retangular simplificada. Do equilíbrio de momentos, Eq. 1, reduzido à armadura de tração, chega-se a Eq. 2 da profundidade da linha neutra (LN), cuja solução está explicitada na Eq. 3. Figura 11: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção Armadura simples. onde M d = α c f cd bλx (d λ2 ) x λ 2 = α c f cd bλdx α c bf cd 2 x2 (1) M d : Momento solicitante de cálculo; x 2 2 λ dx + 2M d α c λ 2 bf cd = 0 (2) ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC2016 8

7 x = d λ ( 1 1 2M d α c bd 2 f cd ) (3) A norma ABNT NBR6118:2014 adota os seguintes limites para armadura simples: x = 0, 45 d para f ck 50 MPa, e x = 0, 35 d para 50 < f ck 90 MPa. Portanto, para f ck 50 MPa, resulta armadura simples, cuja armadura de tração indica-se na Eq. 4, sendo f yd a resistência de escoamento do aço, pois, na armadura simples, σ sd = f yd. onde A s : Área de aço; A s = As Eqs. 3 e 4 resultam, para f ck 50 MPa, nas Eqs. 5 e 6. x = 1, 25 d ( M ( d f yd d λ x ) (4) 2 LN 1 M d 1 0, 425 bd 2 f cd ) (5) A s = M d f yd (d 0, 4 x LN ) (6) Para x > x lim, portanto, armadura dupla, impõe-se o x lim = 0, 45 d para f ck 50 MPa, e x lim = 0, 35 d para 50 < f ck 90 MPa, resultando na Eq. 7, para o momento resistido pelo concreto na armadura dupla, que também representa o momento limite para armadura simples. A Fig. 12 mostra as resultantes do equilíbrio para a armadura dupla. Figura 12: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção Armadura dupla. M cd = R cd (d λ 2 x lim ) ( = α c f cd bλx d λ ) 2 x lim = α c λk x bd 2 f cd (1 λ ) 2 k x (7) onde ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC2016 9

8 k x : é a relação x lim /d; O momento que será resistido pela armadura de compressão, M d, pode ser obtido pela diferença M d = M d M cd, resultando nas armaduras de tração, A s, e de compressão, A s, conforme as Eqs. 8 e 9. A s = M cd M ( f yd d λ x ) d + 2 lim f yd (d d ) (8) onde A s = M d σ sd (d d ) σ sd : é a tensão na armadura de compressão, verificando-se a sua deformação ɛ sd ; 3.2 Parábola-retângulo Conforme apresentado na Seção 3.1, o dimensionamento com o uso do diagrama retangular simplficado permite um equacionamento e uma solução analítica. Quando utiliza-se o diagrama parábola-retângulo como apresentado na Fig. 13 é necessário um método numérico para encontrar a profundidade da linha neutra como também para a integração do R cd como pode-se observar na Fig. 14. (9) Método das secantes Figura 13 O método das secantes é um método numérico iterativo para busca de raízes de uma função f(x) utilizando uma sequência de linhas secantes. Este método é um substituto ao método de Newton-Raphson onde não há a necessidade de encontrar a derivada f (x), mas com a desvantagem de perder a convergência quadrática. Este trabalho utilizou este método para encontrar a profundidade da linha neutra quando utiliza-se o diagrama da parábola-retângulo para o dimensionamento de seções retangulares quando submetidas a Flexão Normal Simples. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC

9 Figura 14 Uma forma de aproximar a derivada f (x) é por meio da seguinte equação: onde: f (x k ) = f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1 (10) x k e x k 1 são aproximações para a raiz da função f(x k ) e podem ser consideradas como valores iniciais para o processo iterativo. A função de iteração é portanto definida como: x k+1 = x k 1f(x k ) x k f(x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) (11) A função f(x) é definida como: f(x) = M d A σ c y da = 0 (12) A Fig. 15 mostra um exemplo de utilização do método iterativo para uma seção transversal de 30 x 60 cm, concreto com f c k = 30 MPa e M k = 250kN.m. Pode-se observar que a partir da quinta iteração a profundidade da linha neutra encontra-se com valor dentro do esperado. A Fig. 16 mostra o resultado da linha neutra utilizando o aplicativo educacional FNS. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC

10 Figura 15: Exemplo de utilização do método das secantes para encontrar a profundidade da linha neutra com resultados dentro do limite esperado a partir da quinta iteração. Figura 16: Resultado do método iterativo para encontrar a profundidade da linha neutra utilizando o aplicativo educacional FNS. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC CBC