As lajes de concreto são consideradas unidirecionais quando apenas um ou dois lados são considerados apoiados.

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1 LAJES DE CONCRETO ARMADO 1. Unidirecionais As lajes de concreto são consideradas unidirecionais quando apenas um ou dois lados são considerados apoiados. 1.1 Lajes em balanço Lajes em balanço são unidirecionais ou apoiadas numa só direção. L 0 b) seção viga a) perspectiva c) esquema engaste L Figura 1 Laje em balanço de uma marquise A figura 1 mostra um exemplo de uma marquise que possui uma laje apoiada em uma viga. Nesse caso, o apoio tem que ser um engaste, configurando o esquema mostrado no item c da figura 1. O vão livre L 0, é mostrado em c na Figura 1 e o vão de cálculo, no caso de balanços é no mínimo o vão livre acrescido da metade da altura L = L 0 + h/2 92

2 1.2 Unidirecionais com dois bordos considerados apoiados As lajes de concreto são consideradas unidirecionais quando o lado maior tem dimensão superior a duas vezes o lado menor. Isso se deve ao fato da parcela correspondente a reação de apoio no lado menor ser muito pequena e conseqüentemente o momento fletor na direção do maior vão também resultar muito menor que o momento na menor direção. Lx Ly >2.Lx Ly λ = >2 Lx Figura 2 Laje unidirecional com quatro bordos apoiados O menor lado é chamado de direção x e o maior lado de y, λ é a relação entre o lado maior Ly pelo lado menor Lx. Assim se λ é maior que 2 a laje é considerada como unidirecional e o cálculo da reação e do momento fletor é feito como uma viga de largura unitária ( 1 m), como mostra a Tabela 1. O vão de cálculo para as lajes é tomado como o menor valor entre a distância entre os eixos das vigas de apoio ou o vão livre somado a 0,6 da altura da laje: Lx = Lx 0 + (a 1 +a 2 )/2 ou Lx = Lx 0 + 0,6.h Tabela 1 Reações e esforços em lajes biapoadas com carga uniforme Vinculação Reação no apoio Reação no Momento Fletor engaste apoio apoio Rx = 0,5.p.Lx M=p.Lx 2 /8 apoio engaste Rx apoio = 0,4.p.Lx Rx engaste = 0,6.p.Lx M=p.Lx 2 /14,22 engaste engaste Rx = 0,5.p.Lx M = p. Lx 2 /24 93

3 1.3 Lajes unidirecionais continuas e apoiadas numa só direção Lx 4 Lx 3 Lx 2 Lx 1 Lx 1 Lx 2 Lx 3 Lx 4 Figura 3 Laje unidirecional contínua No caso de haver continuidade, como na Figura 3, o cálculo de reações e esforços deve ser feito como viga contínua. Há também o caso das lajes maciças que só tem apoios em uma direção e das lajes pré-moldadas, ou de vigotas pré-moldadas, ou de treliças que pelo processo construtivo só podem ter apoio em uma única direção. capa bloco vigota Figura 4 Seção transversal de laje pré-moldada unidirecional 94

4 LAJES DE CONCRETO ARMADO 2. Lajes retangulares bidimensionais ou apoiadas nas duas direções 2.1 Quatro bordos de apoio simples x Rx Lx Ry Ry Rx Lx/2 y Ly Figura 5 Laje retangular bidirecional de quatro apoios simples Obtenção das reações da laje nas vigas O valor da reação é obtido pela distribuição da carga correspondente, a área do triângulo ou trapézio, ao longo da viga, ou seja é a razão entre o produto da carga pela área correspondente dividida pelo comprimento da viga de apoio. Reação = Carga X Área / Extensão da viga = p. A / L No caso mostrado na Figura 5, para quatro apoios simples, tem-se: Rx = p.a/ly = p. [(Ly+(Ly-Lx)/2).(Lx/2)]/Ly Ry = p.a/lx = p. (Lx.Lx/4)/Lx = p.lx/4 95

5 2.2 Laje bidirecional com um bordo engastado 60 º 30 º 60 º x Lx 30 º 60 º 60 º 30 º y Ly Figura 6 Laje retangular bidirecional de três apoios simples e um engaste Se o trecho de engaste for menor que 1/3 da extensão do bordo deve-se considerar apoio simples. Se houver engastamento parcial no bordo a laje só poderá ser considerada engastada se 2/3 ou mais estiverem engastados. Para situações intermediárias deve-se considerar os dois casos e armar para a situação de maior solicitação. Esse critério deve ser usado para todos os tipos de engaste mostrados a seguir. 96

6 2.3 Laje com apoio engaste nas duas direções 60 º 30 º 30 º 60 º x 60 º Apoio simples 30 º Lx 60 º 30 º y Ly engaste Figura 7 Laje retangular bidirecional de apoios e engaste nas duas direções A figura 8 mostra os seis casos que podem ocorrer e as três variações em relação a direção principal Para a obtenção das reações, em lajes retangulares bidirecionais, pode-se usar a tabela elaborada pelo Prof. Libânio (EESC-USP), Considerando esses critérios. Onde a reação é obtida pela expressão: R = ν.p.lx/10 com p = carga unitária; e Lx sempre o menor vão da laje. Onde ν é fornecido pela tabela de acordo com o tipo de vinculação da laje e a respectiva relação entre o maior e o menor vão da laje. λ = Ly/Lx. 97

7 2.4 LAJES RETANGULARES DE QUATRO APOIOS - TIPOS DE VÍNCULOS 1 maior vão Ly 2 A 3 Lx menor vão engaste Lx menor vão Ly 4A 5A 6 Lx Lx 4B Ly 5B 2B Lx Lx Figura 8 Laje retangular bidirecional de apoios e engaste nas duas direções 98

8 Exemplo de cálculo e detalhamento de lajes maciças de concreto 1. PLANTA DE FORMAS 727 P 1 V 1 A P 2 17 x 49 V 1 B 12 x V 7 C 17 x 44 V 7 B 17 x L 3 L 1 escada V 3 12 x 44 L 2 P 3 P 4 P 5 V 2 A 12 x 44 V 2 B 12 x 44 V 8 B 12 x 44 V 9 12 x 39 V x V E 12 x 40 P 6 75 P 7 P 8 V 4 12 x 34 L V 10 B 17 x 44 V 5 12 x 39 P 9 V 7 A 17 x P 10 L V 6 A 17 x 44 V 8 A 12 x 44 P 11 L V 6 B 17 x V 10 A 17 x 44 P

9 2. DETERMINAÇÃO DAS REACÕES NOS APOIOS 2.1 Cargas na laje: Permanentes: Peso próprio: g p = h. δ c = 0,09m. 25 kn/m 3 = 2,25 kn/m 2 Revestimento: g rev = h rev.δ arg = 0,05.19 kn/m 2 = 0,95 kn/m 2 Acabamento: g acb = h acb.δ mármore = 0,02.28 kn/m 2 = 0,56 kn/m 2 g = g p + g rev + g acb = 3,76 kn/m 2 Acidentais: Uso residencial: q = 1,50 kn/m 2 Total: p = g + q = 5,26 kn/m 2 L 1 L y = 5,75 m Lx = 2,95 m L y /L x = 1,95 R x,apo = ν x.p.l x /10 = 3,72.5,26.2,95/10 = 5,77 kn/m R y,apo = ν y.p.l x /10 = 2,5.5,26.2,95/10 = 3,88 kn/m L x = 1,35 m R x,eng = 6,25.p.L x = 6,25.5,26.1,35/10 = 4,44 kn/m R x,apo = 4,38.p.L x = 4,38.5,26.1,35/10 = 3,11 kn/m L 3 h = 10 Ly = 3,75 m L y /L x = 1,47 R x,eng = ν x.p.l x /10 = 3,62.5,26.2,55/10 = 4,86 kn/m R x,apo = ν x.p.l x /10 = 2,47.5,26.2,55/10 = 3,31 kn/m L x = 2,55 m CASO 5A R y,eng = ν y.p.l x /10 = 3,17.5,26.2,55/10 = 4,25 kn/m L 4 L y = 3,8 m Lx = 2,55 m CASO 3 L y /L x = 1,49 R x,apo = ν x.p.l x /10 = 2,88.5,26.2,55/10 = 3,86 kn/m R x,eng = ν x.p.l x /10 = 4,22.5,26.2,55/10 = 5,66 kn/m R y,apo = ν y.p.l x /10 = 2,17.5,26.2,55/10 = 2,91 kn/m R y,eng = ν y.p.l x /10 = 3,17.5,26.2,55/10 = 4,25 kn/m R x,apo = ν x.p.l x /10 = 2,97.5,26.2,55/10 = 3,98 kn/m L 5 Ly = 4,05 m L y /L x = 1,59 R x,eng = ν x.p.l x /10 = 4,35.5,26.2,55/10 = 5,83 kn/m R y,apo = ν y.p.l x /10 = 2,17.5,26.2,55/10 = 2,91 kn/m L x = 2,55 m CASO 3 R y,eng = ν y.p.l x /10 = 3,17.5,26.2,55/10 = 4,25 kn/m 100

10 2.2 Reações das lajes nas vigas R = 5,77 kn/m R = 3,88 kn/m R = 3,88 kn/m R = 3,78 kn/m L 1 L 2 R = 2,65kN/m R = 5,77 kn/m R = 4,25 kn/m R = 3,31 kn/m L 3 R = 4,86 kn/m R = 13,08 kn/m R = 3,86 kn/m R = 13,08 kn/m R = 4,25 kn/m R = 4,25 kn/m R = 4,25 kn/m L 4 R = 5,66 kn/m R = 2,91 kn/m R = 5,81 kn/m R = 3,98 kn/m L 5 R = 5,83 kn/m R = 5,81 kn/m L 6 R = 3,96 kn/m R = 2,91kN/m R = 3,08 kn/m Cargas na escada (uso residencial q = 2,5 kn/m 2 ): 101

11 3. DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS NAS LAJES 3.1 Cargas na laje: Permanentes: Peso próprio: g p = h. δ c = 0,09m. 25 kn/m 3 = 2,25 kn/m 2 Revestimento: g rev = h rev.δ arg = 0,05.19 kn/m 2 = 0,95 kn/m 2 Acabamento: g acb = h acb.δ mármore = 0,02.28 kn/m 2 = 0,56 kn/m 2 g = g p + g rev + g acb = 3,76 kn/m 2 Acidentais: Uso residencial: q = 1,5 cm 2 Total: p = g + q = 5,26 kn/m 2 L 1 L y = 5,75 m Lx = 2,95 m L y /L x = 1,95 M x = µ x.p.l x 2 /100 = 9,73.5,26.2,95 2 /100 = 4,45 kn.m M y = µ y.p.l x 2 /100 = 3,23.5,26.2,95 2 /100 = 1,48 kn.m L x = 1,15 m M x =µ x.p.l x 2 /100 = 7,03.5,26.1,35 2 /100 = 0,67 kn.m X x = µ x p.l x 2 /100 = 12,5.5,26.1,35 2 /100 = 1,19 kn.m M x = µ x.p.l x 2 /100 = 4,15.5,26.2,55 2 /100 = 1,42 kn.m L 3 h = 10 Ly = 3,75 m L y /L x = 1,47 M y = µ y.p.l x /10 = 2,45.5,26.2,55 2 /100 = 0,84 kn.m X x = µ x.p.l x 2 /100 = 9,32.5,26.2,55 2 /100 = 3,19 kn.m L x = 2,55 m CASO 5A X y = µ y.p.l x 2 /100 = 7,9.5,26.2,55 2 /100 = 2,70 kn.m L 4 L y = 3,8 m Lx = 2,55 m CASO 3 L y /L x = 1,49 M x = µ x.p.l 2 x /100 = 4,72.5,26.2,55 2 /100 = 1,61 kn.m M y = µ y.p.l 2 x /100 = 2,26.5,26.2,55 2 /100 = 0,77 kn.m X x = µ y.p.l 2 x /100 = 10,4.5,26.2,55 2 /100 = 3,56 kn.m X y = µ y.p.l 2 x /100 = 8,05.5,26.2,55 2 /100 = 2,75 kn.m M x = µ x.p.l 2 x /100 = 4,98.5,26.2,55 2 /100 = 1,70 kn.m L 5 Ly = 4,05 m L y /L x = 1,59 M y = µ y.p.l x 2 /100 = 2,06.5,26.2,55 2 /100 = 0,71 kn.m X x = µ y.p.l x 2 /100 = 10,8.5,26.2,55 2 /100 = 3,69 kn.m L x = 2,55 m CASO 3 X y = µ y.p.l x 2 /100 = 8,11.5,26.2,55 2 /100 = 2,77 kn.m 102

12 Correção dos momentos negativos No eixo dos apoios entre duas lajes, simplificadamente pode-se adotar o maior valor entre a média e 0,80 (80%) do maior momento negativo, ou seja: M - = X = [ (X 1 +X 2 ) / 2 ; 0,8.X maior ] Onde X é o momento negativo adotado; X 1, X 2 são os momentos negativos das lajes calculadas como isoladas; X maior é o maior valor absoluto entre X 1 e X 2. Correção dos momentos positivos Como o momento negativo foi modificado, o momento positivo pode necessitar também de um acréscimo. O momento corrigido é obtido pela soma do momento obtido da tabela com as diferenças consideradas na compatibilização dos momentos negativos nos apoios. X* X 2 X 3 X* X 1 X 4 M 1 M 2 M 1 < M 1 M 2 = M 2 +[(X 2 -X 1 )+(X 3 -X 4 )]/2 103

13 8. ARMADURA NEGATIVA Detalhamento das armaduras 1. Lajes em balanço L bal /2 L bal /2 L bal L bal 8 L 15 N6-12φ 6,3 c N7-12φ 6,3 c L Armadura negativa entre as lajes L m é o maior entre os menores vãos das lajes contiguas L m = L x7 > L x8 = 273 > 253 O comprimento da armadura deve ter 0,25 do valor de L m para cada laje. Podendo ser alternado, como mostra a figura, com 0,25.L m para um lado e 0,125.L m para o outro. N6 15 φ 6,3 c L 7 L

14 4. Dimensionamento para as armaduras positivas h d A s s b w = 100 cm s φ c b w = 100 cm d = h (c + φ/2) M d = γ f.m k Posição da linha neutra: x =,25. d. 1 M d 1 0,425. b. d 1 2 w Armadura: A s = f yd M d ( d x). 0,4.. f cd Armadura mínima (AÇO CA-50): A s,mín = 0,15%.b w.h = 0,15.b w (Laje armada numa só direção) [ 0,9 cm 2 /m] A s,mín = 0,10%.b w.h = 0,10.b w (Laje armada nas duas direções) [ 0,9 cm 2 /m] Espaçamentos máximos: s máx = 2.h 20 cm para a armadura principal, e s máx 30 cm para a armadura secundária Cálculo do espaçamento: s = a s / A s [em m] Bitolas para lajes (preferência pelo CA-60): 4,2 φ h / 8 Aço CA - 60 Aço CA - 50 φ a s Peso/m φ a s Peso/m 4,2 0,14 0,109 6,3 0,315 0,245 4,6 0,17 0, ,50 0,395 5,0 0,20 0, ,80 0,617 6,0 0,28 0,222 12,5 1,25 0,

15 4.1 Momento correspondente à armadura mínima M k = M d /γ c e M d =A s.f yd.(d-0,4.x) Nas lajes armadas em uma só direção: [Exemplo: cm] A s,mín = 0,15%.b w.h = 0,15.h (Laje armada numa só direção) [ 0,9 cm 2 /m] A s,mín = 0,15%.b w.h = 0,15.9 = 1,35 cm 2 /m Espaçamento máximo: s 2.h ou 20 cm s 2.9 = 18 cm Como A s = 100.a s / s s = 100.a s /A s Neste caso, para um concreto C-20, são possíveis as seguintes opções: CA-60 CA-50 φ [mm] s [cm] A s [cm 2 /m] M k [kn.cm] φ [cm] s [cm] A s [cm 2 /m] M k [kn.cm] 4,2 10 1, ,3 18 1, ,6 12 1, , ,0 14 1, , ,0 18 1, , Nas lajes armadas nas duas direções: A s,mín = 0,10%.b w.h = 0,10.b w (Laje armada nas duas direções) [ 0,9 cm 2 /m] A s,mín = 0,10%.b w.h = 0,10.9 = 0,90 cm 2 /m Neste caso, para um concreto C-20, são possíveis as seguintes opções: CA-60 CA-50 φ [mm] s [cm] A s [cm 2 /m] M k [kn.cm] φ [mm] s [cm] A s [cm 2 /m] M k [kn.cm] 4,2 15 0, ,3 18 1, ,6 18 0, , ,0 18 1, , ,0 18 1, , Elementos para o detalhamento das barras da armadura Armadura postiva Vinculação Apoio-apoio Apoio-engaste Engaste-engaste Comprimento das barras C = 0,85.L C = 0,80.L C = 0,75.L Armadura negativa: Sendo L m o maior entre os menores vãos das lajes Armadura negativa alternada C = 0,375.L m Sendo de um lado (0,125.L m ) e 0,25.L m do outro lado, alternadamente. 106

16 6. ARMADURA POSITIVA N2 10 φ 5,0 - c L 1 L 2 N 1 14 φ 4,6 c N 3 14 φ 4,6 c N2 10 φ 4,6 c N 4 14 φ 4,6 c N5 10 φ c L 3 L 5 N 8 14 φ 4,6 c N9 10 φ 4,6c N 6 14 φ 4,6 c L 4 N11 10 φ 4,6 c N φ 4,6 c L 6 N7 10 φ c

17 7. MOMENTOS NEGATIVOS ENTRE AS LAJES X < (X 1 +X 2 ) /2 0,8.X maior L 1 L 2 3,1 L 1 L 3 2,8 L 3 L 4 2,8 L 4 L 5 2,9 L 3 L 5 2,55 (X y1 + X x2 )/2 = (0 + 0,87)/2 = 0,44 kn.m 0,8.X maior = 0,8.0,87 = 0,70 kn.m (X x1 + X y3 )/2 = (0 + 2,70 )/2 = 1,35 kn.m 0,8.X maior = 0,8.2,70 = 2,16 kn.m (X x3 + X y4 )/2 = (3,19 + 2,75 )/2 = 2,97 kn.m 0,8.X maior = 0,8.3,19 = 2,55 kn.m (X y4 + X x5 )/2 = (2,75 + 3,69 )/2 = 3,22 kn.m 0,8.X maior = 0,8.3,69 = 2,95 kn.m (X y3 + X y5 )/2 = (2,77 + 2,70 )/2 = 2,74 kn.m 0,8.X maior = 0,8.2,77 = 2,22 kn.m Momentos negativos para o dimensionamento L 1 0,7 kn.m L 2 2,16 kn.m L 3 2,74 kn.m 2,97 kn.m L 4? kn.m L 5 2,95 kn.m L 6 108

18 8. ARMADURA NEGATIVA L 1 L 2 N13-32φ 6,3 c N14 24 φ 6,3 c N12 24 φ 6,3 c L 3 7 N14 24 φ 6,3 c N14 20 φ 6,3 c L 5 7 N15 19 φ 6,3 c L 6 L 4 N12 29φ 6,3 c

19 Lajes Lajes maciças Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura : a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kn; d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kn; e) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, L/42 para lajes de piso biapoiadas e L/50 para lajes de piso contínuas; f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo Lajes nervuradas A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3 cm. O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5 mm. A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm. Nervuras com espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão. Para o projeto das lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes condições: a) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje; b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm; 110

20 c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura Furos e aberturas Quando forem previstos furos e aberturas em elementos estruturais seu efeito na resistência e na deformação deve ser verificado e não devem ser ultrapassados os limites previstos nesta Norma, obedecido o disposto em De maneira geral os furos têm dimensões pequenas em relação ao elemento estrutural enquanto as aberturas não. Um conjunto de furos muito próximos deve ser tratado como uma abertura Aberturas que atravessam lajes na direção de sua espessura Em lajes lisas ou lajes cogumelo a verificação de resistência e deformação previstas em deve sempre ser realizada. Outros tipos de laje podem ser dispensadas dessa verificação, devendo ser armadas em duas direções e verificadas, simultaneamente, as seguintes condições: a) as dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 1/10 do vão menor (L x ) (ver figura 13.1); b) a distância entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser igual ou menor que 1/4 do vão, na direção considerada; e c) a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menor vão. Figura Dimensões limites para aberturas de lajes com dispensa de verificação 111

21 19.4 Força cortante em lajes e elementos lineares com b w 5d Lajes sem armadura para força cortante As lajes maciças ou nervuradas, conforme b), podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a força cortante de cálculo obedecer à expressão: V Sd V Rd1 A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: V Rd1 = [τ Rd k (1,2+40 ρ 1 ) + 0,15 σ cp ].b w d onde: τ Rd = 0,25.f ctd f ctd = f ctk,inf /γ c ρ 1 = A s1 /b w d, não maior que 0,02 σ cp = N Sd / A c k é o coeficiente que tem os seguintes valores: para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio k= 1 ; para os demais casos: k = 1,6 d, não menor que 1, com d em metros; τ Rd é a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento; A s1 é a armadura de tração que se estende até não menos que d + L b,nec além da seção considerada; com L b,nec definido em e figura 19.1 b w é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d; N Sd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva). L b,nec V Sd L b,nec Seção considerada A SL A SL L b,nec V Sd Figura 19.1 Comprimento de ancoragem necessário Quando da verificação de elementos sem armadura de cisalhamento a resistência de cálculo V Rd2 é dada por: V Rd2 = 0,5.α v1 f cd b w 0,9d onde: α v1 = (0,7 f ck /200), não menor que 0,5 A distribuição dessa armadura ao longo da laje deve respeitar o prescrito em , considerando para a o valor 1,5d. 112