LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

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1 CAPÍTULOS 1 A 4 Volume LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO 1 1- Tipos usuais de lajes dos edifícios Laje h Laje maciça apoiada em vigas Vigas h Lajes nervuradas nervuras aparentes material inerte

2 Laje Laje cogumelo Laje lisa capitel pilar Com capitel Sem capitel Laje cogumelo e laje lisa Outros tipos: várias configurações de lajes pré-moldadas. 3 - Vãos teóricos Vão teórico ou vão de cálculo: é a distância entre os centros dos apoios. l > l l A s l As l l < A s e A s são calculadas A l s A s l > l A s : calculada A s : armadura de distribuição Lajes armadas em cruz (ou em duas direções) Lajes armadas em uma direção 4

3 3- Procedimento tradicional de cálculo A L1 L L3 L4 L5 A L6 L7 L8 L9 L4 Convenção para as condições de contorno: Engaste perfeito Apoio simples Corte A-A vigas Bordo livre SIMPLIFICAÇÃO: Isolamos as lajes do pavimento, considerando um engaste perfeito onde há continuidade com a laje vizinha. 5 L1 L L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 Em vez de analisar um pavimento contínuo, fazemos a análise de nove lajes isoladas. Isto é equivalente a separar os vãos de uma viga contínua e dizer que cada vão é uma viga isolada. Evidentemente, esse método é aproimado, mas funciona bem para o cálculo de lajes contínuas apoiadas em paredes ou em vigas rígidas. Nunca fazer isso para as vigas! 6

4 Momento negativo na ligação: X ( X X ) 1 + = 0,8 ma( X 1, X ) 7 4- Cálculo das lajes armadas em uma direção Caso 1 Caso Caso 3 Caso 4 l p + M M e - M M e M M e M e - Calculamos os momentos fletores como para uma viga de largura unitária, segundo a direção do vão menor. 8

5 Caso M (knm/m) M e (knm/m) k M = pl 8 M = pl 14, pl M = 4 Me Me Me pl = 8 = = pl 1 pl 1 48 Flecha: ν = 0, k W = 384 pl 4 D Rigidez à fleão da laje: (coeficiente de Poisson do concreto) E 3 = cs h D 1 1 ν 9 A flecha final, incluindo os efeitos da fluência, pode ser avaliada como: W + ( 1 ) Wo = ϕ W o onde é a flecha inicial, calculada como anteriormente, e ϕ é o coeficiente final de fluência Unidades: carga p (kn/m ), vão l (m) pl M = 8 O momento fletor estará em knm/m, indicando que é o momento resultante em uma faia de largura igual a 1 m. R = l p A reação de apoio estará em kn/m, indicando que é a reação resultante em uma faia de largura igual a 1 m. 10

6 Cálculo das reações de apoio A) Cálculo como viga de largura unitária Tabela 1.5. Reações de apoio nos lados maiores das lajes Caso 1 Caso Caso 3 Caso 4 pl 3 pl R = pl R = R = R e = 8 5 pl R e = 8 e pl 11 Com esse cálculo, as reações de apoio podem ser consideradas uniformemente distribuídas (garante o equilíbrio). Para as vigas situadas nos lados menores, é usual considerar uma reação mínima sobre as mesmas, dada por: pl R = 4 1

7 B) Cálculo de reações pela teoria das linhas de ruptura No momento da ruptura, a laje fica dividida em dois trapézios e dois triângulos. Esses quatro pedaços da laje ficam pendurados nas vigas de borda. 45 o 45 o R u Para garantir o equilíbrio do momento total, segundo a direção, deve-se considerar a carga trapezoidal sobre as vigas. Se considerar a reação uniforme Ru, o projeto do pavimento fica contrário à segurança. R u Reações R Reações R R = u pl 4 pl l Ru = 4 l 13 CONCLUSÕES: Nas lajes armadas em uma direção, os momentos fletores e a flecha são calculados como para uma viga de largura unitária segundo a direção do vão de cálculo (o menor vão). A armadura principal é dimensionada para esses momentos. Na direção do vão maior, emprega-se a armadura de distribuição. As reações de apoio podem ser calculadas como para uma viga de largura unitária na direção do menor vão. Neste caso, essas reações podem ser consideradas uniformemente distribuídas sobre as vigas principais. Para as vigas secundárias, considera-se uma reação mínima. As reações de apoio também podem ser calculadas pela teoria das linhas de ruptura, mas deve-se considerar a distribuição trapezoidal para as vigas principais. Para as vigas secundárias, podem-se considerar reações uniformes (Ru). Em um pavimento de edifício, há outras cargas (peso próprio das vigas, peso de paredes) que compensam parte do erro que se comete ao considerar reações uniformes. 14

8 5- Cargas nas lajes maciças Peso próprio = 5h kn/m, com h em metros Eemplo: laje com 8cm de espessura: peso próprio = 5 0,08 =, 0kN/m. Revestimentos: usual 0,8 kn/m a 1,0 kn/m Enchimentos: usual com h r em metros 1 hr kn/m, h r enchimento Essa carga de enchimento só eistirá em lajes rebaiadas. Antigamente, essa era a solução adotada nos banheiros dos apartamentos. 15 Alvenarias Peso específico da alvenaria de tijolos cerâmicos: tijolos furados: 13 kn/m 3 tijolos maciços: 18 kn/m 3 Distribuir o peso da alvenaria pela área da laje e transformar em uma carga uniforme. (Nas lajes armadas em cruz) Cargas acidentais Local (NBR-610) Carga (kn/m ) dormitórios, sala, copa, cozinha, banheiro 1,50 despensa, área de serviço, lavanderia,00 escadas (sem acesso ao público),50 forros (sem acesso a pessoas) 0,50 terraços (sem acesso ao público),00 16

9 Peso de pessoas por m q=0,75 kn/m q=1,5 kn/m q=,5 kn/m q=3,0 kn/m Cálculo de uma marquise A A 10 7 viga de borda 500 cm corte A-A

10 peso próprio = 5(0,10+0,07)/ =,13 kn/m revestimento =... = 1,00 kn/m carga acidental =... = 0,50 kn/m Carga uniformemente distribuída = 3,63 kn/m Carga linear no etremo livre = 1,00 kn/m 3,63 kn/m 1,0 kn/m 1,6 m Cargas ( 1,6 ) = 3,63 1,0 1,6 = 6,5 X knm/m V = 3,631,6 + 1,0 = 6,81kN/m X knm/m - V kn/m + Diagrama de momentos fletores Diagrama de esforços cortantes h=10cm A s (cm /m) b=100 cm d=7 cm 19 De acordo com a NBR-6118, para lajes em balanço com espessura h < 19 cm, deve-se considerar o coeficiente adicional γ = 1,95 0,05h 1 (1.8.1) onde h 10 é a espessura da laje em cm. n h = 10 cm γ = 1,95 0,0510 = 1, 45. n Esforços de cálculo: X d = γ nγ f X k = 1,451,4 6,5 = 1,69 knm/m V d = γ γ V = 1,451,4 6,81 = 13,8 kn/m n f k Concreto: fck = 5 MPa ; aço CA-50 As = 4, 6 cm /m. Com V d = 3, 8 kn/m verificar se wd τ wu 1 τ (cap. 6 do Volume 1). 0

11 7- Cálculo de lajes armadas em cruz Teoria das grelhas (método simplificado) Método de Marcus (método simplificado) Teoria das linhas de ruptura (método simplificado) Teoria de fleão de placas (teoria elástica eata) Analogia da grelha equivalente (método numérico) Método das diferenças finitas (método numérico) Método dos elementos finitos (método numérico) 1 8- Teoria de fleão de placas O problema consiste na solução da equação diferencial da placa 4 w 4 w 4 w p, + + = 4 4 D ( ) A função w (, ) deve atender a equação diferencial e as condições de contorno. A solução pode ser obtida por meio de séries de Fourier: solução de Navier e solução de Lév. Encontrado w (, ), obtém-se os esforços solicitantes: - momentos fletores: M e M ; - momento torçor: M - esforços cortantes: V e V ; reações de apoio: R, R, etc.

12 9- Tabelas para cálculo de placas Tabelas do Apêndice (de A.1 a A.6): l é sempre o vão segundo a direção que corta o maior número de engastes (como aparece nos desenhos das tabelas); se o número de engastes for o mesmo nas duas direções, pode-se chamar qualquer um dos vãos de l. Tabela A.1: nenhum engaste; liberdade para escolha de l Tabela A.: l sempre cortando um engaste e um apoio Tabela A.3: l sempre cortando dois engastes Tabela A.4: liberdade para escolher l Tabela A.5: l sempre cortando dois engastes Tabela A.6: liberdade para escolher l Se l<l, usar a parte de cima da tabela. Entra-se com a relação l/l Se l<l, usar a parte inferior da tabela. Entra-se com a relação l/l. 3 Caso l<l: parte de cima da tabela Momentos fletores: M=0,001 m pl ; Me=0,001 me pl ; M=0,001 m pl ; Me=0,001 me pl Momento torçor nos cantos simplesmente apoiados: M=0,001 m pl Reações de apoio: R=0,001 r pl ; Re=0,001 re pl R=0,001 r pl ; Re=0,001 re pl Flecha no centro da laje: Wo=0,001 wc pl4/d Convenção: O índice do momento fletor indica a direção da armadura. Momento M é o momento fletor positivo no centro da laje, segundo a direção de l (direção da armadura) O índice da reação indica o lado onde ela atua. Reação R atua no lado l. 4

13 Caso l<l: parte de baio da tabela Momentos fletores: M=0,001 m pl ; Me=0,001 me pl ; M=0,001 m pl ; Me=0,001 me pl Momento torçor nos cantos simplesmente apoiados: M=0,001 m pl Reações de apoio: R=0,001 r pl ; Re=0,001 re pl R=0,001 r pl ; Re=0,001 re pl Flecha no centro da laje: Wo=0,001 wc pl4/d Unidades: carga p (kn/m); vãos l e l (m); momentos (knm/m), reações de apoio (kn/m), flecha (m) 5 Eemplo 1: Laje retangular simplesmente apoiada em todo o contorno com carga uniformemente distribuída V3 V1 h=10 cm V 4m V4 3m Cargas: - peso próprio: 5h = 50,10 =,5 kn/m - revestimento = 1,0 kn/m - carga acidental = 1,5 kn/m Carga total: p = 5,0 kn/m (Dormitório) Tabela A.1: l = 4m ; = 3 l m; l l = 3 4 = 0, 75 (usar a parte inferior da tabela A.1). Coeficientes: w c = 6,6 ; m = 44, ; m = 68, 3; m = 46, 3 ; r = 303; r = 63. 6

14 Momentos fletores: M M = 0,001m pl = 0,00144,5,03 = 0,001m pl = 0,00168,3 5,0 3 = 1,99 knm/m = 3,07 knm/m Momento torçor nos cantos: M = 0,001m pl = 0,00146,35,03 =,08 knm/m Reações de apoio: R = 0,001r pl = 0, ,0 3 = 4,55 kn/m R = 0,001r pl = 0,001635,0 3 = 3,95 kn/m Flecha: f = 30MPa; E E = 8518 MPa; ck ν = 0, ; = 0, 10 W o = 0,001w = cs 3 E = kn/m h m; D = Eh 1( 1 ν ) = 475 c pl D 4 3 5,03 = 0,0016, knm = 0,001m (0,1 cm) 7,08 4,55 3,07 1,99 l=3m 3,95 3,95 l =4m momentos (knm/m) 4,55 reações uniformes (kn/m) Resultados do eemplo 1 8

15 Observações: O cálculo da flecha não leva em conta os efeitos da fluência do concreto, nem das deformações das vigas de apoio, já que as tabelas do Apêndice foram elaboradas admitindo-se que w = 0 nos apoios. É necessário colocar as armaduras de canto, as quais podem ser dimensionadas para o momento torçor M =, 08 knm/m. Se as armaduras de canto não forem empregadas, surgirão fissuras nos cantos, o que também provocará um aumento da flecha da laje (e dos momentos fletores positivos). Considerando reações uniformes sobre as vigas, pode-se obter um projeto contrário à segurança (não equilíbrio dos momentos totais). 9 Consideração de reações parcialmente distribuídas Os coeficientes β e β são fornecidos apenas para o caso de laje simplesmente apoiada nos quatro lados (Tabela A.1 do Apêndice ). Esses coeficientes foram determinados de modo a garantir o equilíbrio do pavimento nas duas direções. 30

16 Eemplo : Laje retangular engastada em um lado, submetida a uma carga uniformemente distribuída Tabela A.: Entrar com a relação l = 0, 75 l. l =3m W M M M M R R R 4 4 pl o = 0,001wc Wo e e D 5,03 = 0,0013, e 0,001m pl = 0,00149,1 5,0 3 = 0,001m pl = 0,0015,95,0 3 = = 0,001m pl = 0,001( 105,0)5,0 3 = = = 0,001m pl = 0,00134, 5,03 = 0,06 l =4m cm = 4,73kNm/m,1 knm/ m 1,17 knm/ m = 0,001r pl = 0, ,03 =,49 kn/m = 1,54 knm/m = 0,001r pl = 0,001485,03 = 7,3 kn/m e = 0,001r pl = 0,001705,0 3 = 4,05 kn/m 31-4,73 7,3 l=3m 1,17,1 l =4m 1,54,49 4,05,49 momentos (knm/m) Resultados do eemplo reações (kn/m) Observação: Nas tabelas da Teoria de Placas, admitem-se que os apoios são indeformáveis (W=0 no contorno) e que não surgem fissuras nos cantos, devidas ao momento torçor. Para essas condições serem satisfeitas, as vigas de apoio devem ser rígidas e devem ser empregadas armaduras de canto. 3

17 Restrições ao emprego da teoria de placas As soluções obtidas com a teoria de placas, empregando-se tabelas para cálculo imediato, são válidas desde que sejam verificadas as seguintes condições, dentre outras: apoios rígidos; emprego das armaduras de canto; consideração de cargas triangulares e trapezoidais, ou cargas parcialmente distribuídas, para o cálculo das vigas de apoio. Apoios rígidos: lajes apoiadas em paredes (em edifícios de alvenaria estrutural) ou em vigas de grande rigidez (com relação vão/altura menor do que 7, aproimadamente). Em geral, as vigas dos edifícios são bastante deformáveis, não sendo capazes de garantir a condição de contorno w = 0 para as lajes. Logo, as flechas e os momentos positivos das lajes serão maiores. 33 Armaduras de canto: se não forem usadas, para facilitar a eecução, poderão surgir fissuras nos cantos (se os apoios forem rígidos); ocorrerá um aumento das flechas e dos momentos positivos. Reações de apoio: se considerar reações uniformes (como nas tabelas), não haverá equilíbrio dos momentos totais. Em um pavimento com muitas lajes, há a tendência de se encontrar o equilíbrio, pois as lajes são armadas para os momentos máimos (e não para os momentos médios). Além disso, há outras cargas sobre as vigas (paredes). 34

18 Sugestões para o cálculo das lajes dos edifícios, empregando-se as Tabelas da Teoria de Placas Situações usuais de lajes apoiadas em vigas deformáveis: Considerar todas as lajes simplesmente apoiadas (tabela A.1). Em uma borda comum adotar um momento negativo de valor absoluto igual ao do maior momento positivo das duas lajes vizinhas, na direção considerada. Em geral, pode-se dispensar o uso das armaduras de canto. Se as vigas de borda forem muito rígidas, coloca-se uma armadura negativa para controle da fissuração (em geral, não é o caso). As reações de apoio podem ser consideradas uniformes (o eventual erro é aceitável). 35 0,5A s1 s1 0,5A s 0,67A s,min s s,min 0,67A s,min 1 3 s1 s Fig. XX Sugestão para detalhamento das armaduras 36

19 Eercício: Calcular os momentos fletores, as flechas e as reações de apoio das lajes do pavimento, adotando o procedimento sugerido anteriormente Espessura das lajes: h= 10cm Vãos de cálculo das lajes 37 Cargas permanentes: g (peso próprio + revestimento) Carga acidental: q = 1,5 kn/m (dormitórios, banheiros, etc.) Carga total de serviço: p=g+q Carga quase permanente: po=g+0,3q Cálculo de momentos e reações de apoio: para p Cálculo das flechas: para po Coeficinente de fluência: ϕ =, 5 Concreto: fck = 30 MPa Coeficiente de Poisson: ν = 0, 38

20 Fig Momentos fletores característicos nas lajes (teoria de placas modelo alternativo) 39 Fig Reações de apoio das lajes (teoria de placas modelo alternativo) 40

21 Tabela 3.. Flechas das lajes do pavimento (em mm) (teoria de placas modelo alternativo) Laje W o W W adm L1,4 8,4 16,0 L 5,6 19,6 0,0 L3,4 8,4 16,0 L4 0,9 3, 1,0 L5 1,3 4,6 1,0 L6 0,9 3, 1,0 L7 1,6 5,6 16,0 L8 3,1 10,9 16,0 L9 1,6 5,6 16,0 W = 1 + ϕ W Flecha Final: ( ) o Flecha admissível: W adm = l 50, onde l é o menor vão da laje 41 COMENTÁRIOS FINAIS A maneira correta de se calcular um pavimento é através de métodos numéricos (analogia da grelha equivalente, método dos elementos finitos). Como essa análise é acoplada, os esforços nas lajes e nas vigas levam em conta a rigidez relativa entre esses elementos. Há no mercado diversos softwares comerciais que fazem a análise acoplada (Cpecad, Eberick, TQS, etc.). Quando não se dispõe de um software, realiza-se o cálculo manual por meio de tabelas. Os resultados são aproimados, mas satisfatórios devido à grande capacidade de redistribuição de esforços das lajes de concreto armado. O emprego das armaduras mínimas, as folgas nos carregamentos, o detalhamento das lajes com barras corridas (com espaçamento uniforme) contribuem para o aumento da segurança. 4

22 1- Detalhamento das lajes maciças A) Espessura mínima das lajes a) 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; c) 10 cm para lajes em balanço; d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kn; e) 1 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kn; f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes cogumelo. Para as lajes em balanço com espessura h < 19 cm, deve-se considerar o coeficiente adicional γ n = 1,95 0,05h 1 (4..1) onde h 10 é a espessura da laje em cm. O coeficiente γ n deve majorar os esforços de cálculo finais, quando do dimensionamento das lajes em balanço. 43 B - Cálculo de flechas em lajes Carregamento quase permanente: p = g + 0, 3q g = carga permanente; q = carga acidental Flecha inicial: W o (como laje armada em cruz ou armada em uma direção) W = 1 + ϕ W, onde ϕ = coeficiente de fluência Flecha final: ( ) o Rigidez à fleão da laje: 3 E h D = cs 1 ν ( 1 ) Coeficiente de Poisson do concreto: ν = 0, f + 8 Módulo secante: E = 0, ck cs, MPa 10 Flecha admissível: W l 50, para lajes não em balanço (l é o menor vão da laje) W l 15, para lajes em balanço (l é o comprimento teórico)

23 C - Cálculo das armaduras de fleão A s (cm /m) h A s (cm /m) b=1 m d φ c d = h φ c (Altura útil) Admitindo classe I de agressividade ambiental ( c =, 0cm) e barras de diâmetro φ = 5mm, resulta d = h, 5 cm. Dimensionamento à fleão simples: μ = M d bd σ cd = 1,4 M k bd σ cd onde b M k = 100 (knm/m) é o momento fletor característico em uma direção e cm. 45 Armadura calculada: A s (cm /m), conforme o capítulo 3 (fleão simples). Armadura mínima: As, min = ρmin100h, cm /m Tabela Taas mínimas da armadura de fleão ρ min (%) Concretos do Grupo I f (MPa) ck CA-50 0,15 0,15 0,17 0,19 0,1 0,3 0,4 CA-60 0,15 0,15 0,15 0,16 0,18 0,19 0,0 Concretos do Grupo II f (MPa) ck CA-50 0,5 0,6 0,7 0,9 0,30 CA-60 0,1 0,1 0,3 0,4 0,5 Escolha das barras: Tabela A3.1 do Aneo Apêndice 3. 3 Eemplo: A = 1, 9 cm /m Da tabela A3.1: 5,0c. 10 s φ ; 6,3c. 16 φ (etc.) 46

24 Correção da área de aço no caso de alteração na categoria do aço Se dimensionar considerando o aço CA-60, fd=60/1,15 kn/cm. Vai encontrar a área de aço As1 (cm/m). Se resolver usar o aço CA-50, porque não foi possível empregar barras de 5 mm (deu um espaçamento muito pequeno), é necessário corrigir a área de aço, pois fd=50/1,15 kn/cm. Basta calcular a nova área de aço com a relação As=As160/50, ou seja, As=1,As1. Com As, entra-se na tabela A3.1 e determinam-se o diâmetro e o espaçamento com aço CA o n=lo/s (arredondando-se para o inteiro imediatamente inferior. Eemplo: lo=40 cm ; s=13 cm ; n=40/13=3,3 cm Adotando n=3 barras, o espaçamento real será s=40/33=1,7 cm 48

25 D - Cobrimento da armadura Cobrimentos nominais para lajes Classe de agressividade I II III IV Cobrimento nominal (cm),0,5 3,5 4,5 E - Outras prescrições da NBR-6118 Diâmetro máimo das barras da armadura = 1/8 da espessura da laje. Armadura de distribuição A s mínimo: A s A s a) A s /5 l b) 0,9 cm /m l >l c) A s,min d) 3 barras por metro 49 laje armada em cruz laje armada em uma direção s s s s < s ma s < s ma s < s ma s ma = menor valor entre 0cm e h Espaçamentos máimos das armaduras principais Para as armaduras negativas, pode-se adotar um espaçamento de até 5 cm, para facilitar as operações de concretagem. 50

26 F - Detalhamento das armaduras de fleão N1-17φ 5,0 c.0-50 N-33φ 5,0 c Armaduras positivas com barras corridas N1-17φ 5,0 c.0-50 N-33φ 5,0 c Armaduras positivas com barras alternadas 5

27 53 a=0,5l m b=0,15l m a a h-c h-c a b b a Armaduras negativas com barras corridas Armaduras negativas com barras alternadas l m = maior dos menores vãos das lajes adjacentes (Ver Fig. XX na página

28 16010 Eemplo de projeto estrutural Edifício residencial de nove pavimentos Sacada Dormitório Dormitório Sacada Sacada Sala 100 Cozinha Banheiro Á. serv Planta baia do pavimento tipo B 0 15 Duto Elevador Hall B' 56

29 V P1-050 V0-060 P- 050 P V V3-140 L01 (h=10) P4-050 P5-050 P6-050 P8-070 V P9-070 P L0 1 74,5 1 L03 (h=10) L05 L06 L07 (h=10) (h=10) (h=10) 1 5 V V V1-140 V V (h=10) V V5-160 L09 (h=10) V escada 35,5 L04 (h=10) P7-00 V L08 (h=10) V V V P V P1-070 P V V V3-140 V Planta de formas do pavimento tipo 57 Cortes locais em vigas 58

30 Empuo ao vazio em sacadas rebaiadas E=empuo ao vazio E R sd R sd Detalhamento errado E Detalhamento correto 59 Determinação dos vãos livres da estrutura 60

31 Projetar as lajes Concreto: fck= 5MPa Coeficiente de fluência=,5 Aço: CA-60 (φ=5 mm) e CA-50 (φ=6,3 e 8,0 mm) Alvenaria: tijolo furado (sem descontar as aberturas) Revestimento das lajes = 0,8 kn/m Classe de agressividade ambiental = I Método: considerando o valor absoluto do momento negativo igual ao do maior positivo das lajes vizinhas em cada direção. Tabela: Teoria de Placas (Tabela A.1) 61