Curso de Engenharia Civil. Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil CAPÍTULO 6: TORÇÃO

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1 Curso de Engenharia Civil Universidade Estadual de Maringá Centro de ecnologia Departamento de Engenharia Civil CPÍULO 6: ORÇÃO Revisão de Momento orçor Convenção de Sinais: :

2 Revisão de Momento orçor a) Momento de torção t uniformemente distribuído em viga em balanço: t (kn.m/m) B S t L x Reações de apoio: t L Revisão de Momento orçor Seção S : 0 x L (pela esquerda): S t x t L t x Diagrama de Momento orçor: tl ( kn. m)

3 Revisão de Momento orçor b) Momento de torção aplicado na extremidade livre de viga em balanço: L (kn.m) B x S Reações de apoio: Revisão de Momento orçor Seção S : 0 x L (pela esquerda): S Diagrama de Momento orçor: ( kn. m)

4 Revisão de Momento orçor c) Momento de torção t uniformemente distribuído: t (kn.m/m) B S t B L x Reações de apoio: B t L Revisão de Momento orçor Seção S (pela esquerda): 0 x L S t L + t x + t x Diagrama de Momento orçor: tl ( kn. m) tl

5 Revisão de Momento orçor d) Momento de torção aplicado ao longo da viga: a (kn.m) C b B x S x S B Reações de apoio: b L e B a L Revisão de Momento orçor Seção S : 0 x a (pela esquerda): b L Seção S : a x L (pela direita): ( kn. m) S S B a L Diagrama de Momento orçor: b L a L

6 6.-Introdução No estudo de orção, além das hipóteses da Resistência dos Materiais são consideradas as seguintes condições: a) Momento orçor constante; b) Inexistência de vínculos que impeçam o empenamento das seções transversais; c) Seção transversal constante. 6.-orção em Barras Circulares Hipóteses: Barra em torção pura; Seções transversais permanecem planas e circulares; odos os raios permanecem retos; Ângulo de rotação pequeno: comprimento e raio constante.

7 6.-orção em Barras Circulares - O ângulo de torção φ varia ao longo do eixo da barra φ(x); - φ(x) varia linearmente entre 0 e φ; φ(x) φ φ 6.-orção em Barras Circulares - Isolando-se duas seções transversais distantes dx tem-se:

8 6.-orção em Barras Circulares deformação angular ima (γ ) ocorre na superfície da barra e pode ser equacionada da seguinte forma: γ bb b b r dφ a b a b dx r dφ γ dx Para um ponto da seção distante ρ do centro, a deformação angular (γ) pode ser definida como: γ ρ dφ dx 6.-orção em Barras Circulares Para uma barra sujeita à torção pura, a relação dφ/dx é constante e representa o ângulo de torção por unidade de comprimento designado por θ. dφ φ θ dx L Razão de torção Logo: γ r θ γ r φ L

9 6.-orção em Barras Circulares Deformação de cisalhamento no interior da barra: γ γ γ ρ θ ρ φ L ou γ θ γ r ρ r γ 6.-orção em Barras Circulares γ é ima para ρ r na superfície. γ 0 para ρ 0 no centro. γ é medido em radianos. θ em radianos por unidade de comprimento.

10 6.3- Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares ensão de Cisalhamento Lei de Hooke τ Gγ G Módulo de Elasticidade ransversal γ Deformação de Cisalhamento Sendo: E G ( +ν ) E Módulo de Elasticidade Longitudinal ν Coeficiente de Poisson 6.3- Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares nalisando as tensões na superfície da barra:

11 6.3- Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares γ r θ τ Gr θ ρ τ G ρ θ τ r τ tensão de cisalhamento na superfície da barra. τ tensão de cisalhamento em um ponto interior Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares Para manter o equilíbrio das tensões de cisalhamento, as tensões agindo na seção transversal são acompanhadas por tensões de cisalhamento iguais agindo em planos longitudinais.

12 6.3.-ensões e Deformações de Cisalhamento Relacionadas com Momento orçor df τ d Força agindo no elemento d; dm df ρ Momento devido à força df em relação ao centro. Lembrando que: θ φ L τ G γ γ rθ ρ τ Gρ θ τ r γ ρ θ τ Grθ 6.3.-ensões e Deformações de Cisalhamento Relacionadas com Momento orçor dm τ ρd ρ dm τ r sendo τ dm r τ ρd r ρ d ρ d ρ d O somatório dos momentos dm em relação ao centro da seção é igual ao momento torçor agindo na seção: Momentode InérciaPolar

13 6.3.-ensões e Deformações de Cisalhamento Relacionadas com Momento orçor Então: τ 4 π r π d e r 3 4 Logo: τ r Fórmula da orção 6.3.-ensões e Deformações de Cisalhamento Relacionadas com Momento orçor Substituindo: τ d r 6 π 3 d e d π 3 Barras circulares sólidas 4 Para um ponto distante ρ do centro: ρ τ τ r ρ

14 6.3.-ensões e Deformações de Cisalhamento Relacionadas com Momento orçor Ângulo de orção: Sabendo-se que: τ Grθ Podemos dizer que: θ G e τ r onde G. é a rigidez de torção Como: φ θ L φ L G Ângulo de orção (em radianos) 6.3.-ensões e Deformações de Cisalhamento Relacionadas com Momento orçor Ensaio de orção para determinar G: L G φ

15 6.3.-ubos Circulares ( Seção Circular Vazada) análise é quase idêntica à feita para uma barra sólida. s equações deduzidas para barras sólidas são aplicáveis para as de seção vazada, uma vez que as hipóteses são as mesmas. Sendo que: τ r π ρ r 4 4 π 4 4 ( r r ) ( d d ) 3 Exemplo Considere um eixo com variação de seção, engastado no ponto E conforme a figura. Determine a rotação da extremidade, quando os dois momentos torçores em B e D são aplicados. Considere G 80x0 9 N/m. E 50cm Seção B Seção D C B 30cm 0cm 5cm 50N m 000 N m Seção B,5cm Seção 5cm,5cm

16 Exemplo a) Diagrama de Momento orçor: 50N.m + 50N.m E D C B + b) Cálculo da rotação em : φ φ + φ + φ + φ B BC CD DE 4 π d 4 B BC 3,83 cm 3 π CD DE ( 5,5 ) 57,5 cm Exemplo φ φ φ φ B BC CD DE L G L B B ,83 BC 9 G BC G G L L CD CD DE DE , ,5 5 0,00 0,03 0,00 φ 0,033 rad ou, 33

17 Exemplo Calcular a tensão de cisalhamento ima e a rotação na extremidade livre, sabendo-se que a rotação no ponto é 0,0rad, G 80MPa e d 4cm. D M B M C 3M Seção 30cm 50cm 30cm 4cm a) Diagrama de Momento orçor: 4M + D M + B 3M + C Exemplo b) Rotação no ponto : recho D : 4M π d 3 4 π 4 ( 0,04) L φ 0,0 G 4M 0,3 φ ,3 0 5,3 0 8 m M 0,335 N m

18 Exemplo c) ensão de Cisalhamento Máxima na barra: τ r 4 M 4 0,335,340 N m r cm 0,0 m τ,34 0,0 5,3 0 06,67 kpa 8 Exemplo d) Rotação da Extremidade livre: φ φ + φ + φ C D B BC φ C 0,335 0, , ,335 0, ,3 0 0, φ C 0,0+ 0,07+ 0,05 φ C 0,05 rad ou, 96

19 Exemplo 3 Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular. O eixo deve transmitir um torque de 00N.m sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 40MPa nem uma razão de torção de 0,75 /m. Determine o diâmetro necessário d 0 do eixo sabendo que G 78GPa. d 0 Exemplo 3 a) Seção sólida: ensão admissível: τ d 6 π d π τ adm τ adm π 400 d 0,0535 m 53, 5mm 0

20 Exemplo 3 Razão de torção: θ 0,75 / m G G 0, ,75 / m ( π rad /80, π d 9 4 3,75 0 d0 3 π d 0,0588m 58, 8mm m ) 3,75 π Logo, o diâmetro da barra será o maior: d 0 58,8mm ou 60mm Barras sob orção Estaticamente Indeterminadas São estruturas em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se determinar as reações nos vínculos. Para analisar estas estruturas adiciona-se as equações de equilíbrio, equações de compatibilidade pertencentes aos deslocamentos rotacionais. Para exemplificar, considere uma barra B composta de duas partes: uma barra sólida e um tubo, ambos unidos a uma placa rígida na extremidade B. Barra ubo Barra ubo Placa Rígida

21 a) Equações de Equilíbrio. + (Estaticamente Indeterminada) G G G L G L φ φ 6.4 Barras sob orção Estaticamente Indeterminadas b) Equação de Compatibilidade. Barra ubo G G + + G G + + G G G + G G G e 6.4 Barras sob orção Estaticamente Indeterminadas

22 Exemplo 4 Determinar as reações nos apoios do eixo B de comprimento total de 600mm, engastado nas duas extremidades com momento torçor de 00N.mm aplicado no ponto C do eixo. O eixo é de aço, com diâmetro externo de 4mm, sendo de seção vazada no trecho C, com diâmetro interno de 6mm. Seção C Seção CB C B 00N.mm 6mm 300mm 300mm 4mm 4mm Exemplo 4 a) Equações de Equilíbrio: 00N.mm C + B 00N mm (Estaticamente Indeterminada) b) Equação de Compatibilidade de Deslocamento: 00N.mm C + C φ B φ B B CB B C C φ +φ π π 4 4 ( d d ) ( 4 6 ) ext int ,05 mm π d 3 4 π ,03 mm 4

23 Exemplo 4 0 C LC CB LCB , 96 φ + G G G 6.38,05 G C B L φ G C C B 300 φ G 0,0 B φ G CB B L G CB CB 6.38, ,03 Exemplo 4 φ +φ 0,96 0,0 G G B 0 B 0,98 N.mm + B 00 89, 0 N.mm

24 6.5 Barras de Seção ransversal Não- Circular Em seção não-circular as tensões de cisalhamento apresentam uma distribuição complexa. Essas seções podem apresentar empenamentos quando o eixo for torcido. análise torcional de eixos não-circulares é complexa, envolvendo teoria de analogia de membrana para auxiliar na compreensão e solução do problema. 6.5 Barras de Seção ransversal Não- Circular distribuição da tensão de cisalhamento em um eixo de seção quadrada pode ser visualizada assim: τ τ

25 6.5 Barras de Seção ransversal Não- Circular Os vértices da seção transversal estão sujeitos a uma tensão de cisalhamento nula. s maiores tensões e deformações de cisalhamento ocorrem no ponto da superfície do eixo que esteja mais próximo da linha de centro do eixo. 6.5 Barras de Seção ransversal Não- Circular tensão de cisalhamento ima e o ângulo de torção para barras de seção nãocirculares, de eixo reto e seção retangular constante podem ser dados por: τ C ab φ L ab 3 C G onde: a lado maior b lado menor C e C coeficientes tabelados em função da relação a/b.

26 6.5 Barras de Seção ransversal Não- Circular Coeficientes C e C : a/b C C 0,08 0,406, 0,9 0,66,5 0,3 0,958 0,46 0,9,5 0,58 0,49 3 0,67 0,63 4 0,8 0,8 5 0,9 0,9 0 0,3 0,3 0,333 0,333 Barras de paredes finas e espessura constante. Seção berta. Independente da forma. Exemplo 5 Calcular a tensão ima na barra de seção retangular de 0x5cm, submetida ao momento de torção de 6500KN.cm; e o ângulo de torção, sabendo que a barra tem,5 m de comprimento e é constituída de um aço com G 9000KN/cm.,5m 6500kN.cm B 5cm τ 0cm

27 φ Exemplo 5 τ a 5cm b 0cm C ab a b φ 5,5 0 L ab 3 C B τ 00, 8kPa 0,58 0,5 0, ,49 0,5 0,0 3, G C C 0,58 0, ,074 rad π ubos de Paredes Finas Considere uma barra cilíndrica de seção delgada, de forma qualquer e com parede de espessura variável em todo o contorno. nalisando o elemento abcd, vemos que:

28 6.6 ubos de Paredes Finas s forças F, F, F 3 e F 4 nas faces do elemento, são as resultantes das tensões de cisalhamento que agem nas respectivas faces. F F 4 F 3 F 6.6 ubos de Paredes Finas nalisando o equilíbrio das forças horizontais: F F 4 F 3 F F F F x 0 F F τ τ t t b c dx dx τ t dx τ t b τ tb τ tc c dx f Fluxo de Cisalhamento

29 6.6 ubos de Paredes Finas O produto da tensão de cisalhamento pela espessura é constante em qualquer um dos pontos da seção transversal. Essa constante é denominada FLUXO DE CISLHMENO (f). Como o Fluxo de Cisalhamento é constante, a maior tensão de cisalhamento ocorre onde a espessura do tubo é menor, e vice-versa Fórmula da orção d t ds df τ d τ t ds df f ds Linha mediana Força de Cisalhamento agindo no elemento. Momento da forca DF em relação a O. d df r f dsr

30 6.6. Fórmula da orção orque total é: 0 L f dsr f 0 L m dsr L m Comprimento da linha mediana. integral 0 L m r ds é considerada de forma simplificada como o dobro da área de um triangulo de base ds e altura r Fórmula da orção r ds r ds L m r ds 0 m área m representa a área delimitada pelo contorno médio das paredes da seção transversal.

31 6.6. Fórmula da orção Logo: f m f τ t m τ Fórmula de orção p/ t tubos de paredes finas. m 6.6. Fórmula da orção O valor da tensão de cisalhamento varia nos n pontos da seção transversal de espessura diferente. O ângulo de torção por unidade de comprimento pode ser obtido aplicando o princípio de conservação da energia na estrutura, e vale: θ 4 m G 0 L m ds t

32 6.6. Fórmula da orção Fazendo: θ G m 4 L m ds 0 t C Constante de orção. φ L GC Ângulo de orção. Exemplo 6 Um tubo de alumínio de seção retangular 5x0cm é submetido a um momento torçor de 3kN.m. Determine a tensão de cisalhamento em cada parede do tubo e o ângulo de torção, sendo L 50cm, G 9000kN/cm. B 3mm 4mm 3mm 5cm 4mm C 0cm D

33 Exemplo 6 m 4,65 9,65 44,87 cm τ t m τ nas paredes B e BC t 3mm 0,3cm τ 43,3 N/cm 0,3 44,87 τ 43, N/m,43MPa Exemplo 6 τ nas paredes C e CD t 4mm 0,4cm. τ ,48 N/cm 83,57 MPa 0,4 44,87

34 sendo: Exemplo 6 Ângulo de orção 4 m C L ds m 0 t 9,65 φ L GC ( 44,87 ) 4 83,47 4,65 96,54 9, L m ds t 0 ds t 0 ds t 0 ds t 4,65 0 ds t Exemplo 6 Lm 0 ds t 9,65 4,65 9,65 4, ,47 0,3 0,3 0,4 0, φ 0,05 rad ,54,97 0

35 plicação O sistema da figura é constituído por um eixo cheio de aço B com diâmetro d 38mm e tensão de cisalhamento admissível de 8MPa, e por um tubo CD feito de latão com uma tensão de cisalhamento admissível de 48MPa. Determine o maior torque que pode ser aplicado em. plicação Sabendo que cada um dos eixos B, BC e CD consistem em barras circulares cheias, determine (a) o eixo no qual ocorre a tensão de cisalhamento ima, (b) a intensidade daquela tensão.

36 plicação 3 O eixo cheio mostrado na figura é feito de latão para o qual a tensão de cisalhamento admissível é de 55MPa. Desprezando o efeito das concentrações de tensão, determine os menores diâmetros d B e d BC para os quais a tensão de cisalhamento admissível não é excedida. plicação 4 Dois eixos cheios de aço são conectados por engrenagens conforme mostra a figura. É aplicado um torque de intensidade 900N.m no eixo B. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é de 5MPa e considerando somente tensões devido à torção, determine o diâmetro necessário para (a) o eixo B, (b) o eixo CD.

37 plicação 5 Determine o maior diâmetro possível para uma barra de aço com 3,0m de comprimento (G77,GPa), se a barra deve ser girada em 30 sem exceder a tensão de cisalhamento de 8MPa. plicação 6 Os torques mostrados são aplicados nas polias, B e C. Sabendo que ambos os eixos são cheios e feitos de latão (G 39GPa), determine o ângulo de torção entre (a) e B; e (b) e C.

38 plicação 7 Dois eixos cheios estão acoplados por engrenagens, conforme mostra a figura. Sabendo-se que G 77,GPa para cada eixo, determine o ângulo de rotação da extremidade quando 00 N.m. plicação 8 Dois eixos cheios de aço (G77,GPa) são conectados a um disco de acoplamento B e engastados a suportes rígidos em e C. Para o carregamento mostrado, determine (a) a reação em cada suporte, (b) a tensão de cisalhamento ima no eixo B, (c) a tensão de cisalhamento ima no eixo BC.

39 plicação 9 Sabendo que a intensidade do torque é de 00N.m e que G7GPa, determine para cada uma das barras de alumínio mostradas na figura a tensão de cisalhamento ima e o ângulo de torção na extremidade B. plicação 0 Uma cantoneira de abas desiguais de aço de,5m de comprimento tem seção transversal L7x76x6,4. espessura da seção é de 6,4mm e que sua área é de 5mm. Sabendo que τ adm 60MPa e que G77,GPa, e ignorando o efeito de concentração de tensões, determine (a) o maior torque que pode ser aplicado, (b) o ângulo de torção correspondente.

40 plicação Um torque de 5,6kN.m é aplicado a um eixo vazado com a seção transversal mostrada na figura. Desprezando o efeito das concentrações de tensão, determine a tensão de cisalhamento nos pontos a e b. plicação Uma barra vazada tendo a seção transversal mostrada na figura é formada a partir de chapa metálica de mm de espessura. Sabendo que a tensão de cisalhamento não deve exceder 3MPa, determine o maior torque que pode ser aplicado à barra.