A Figura 1a) ilustra uma ponte rolante com um v~ao central L =25m, a qual deve suportar

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1 1 A Figura 1a) ilustra uma ponte rolante com um v~ao central L =5m, a qual deve suportar uma forca concentrada maxima P = 300kN. Deseja-se dimensionar a viga cobrindo este v~ao segundo as maximas tens~oes normal e de cisalhamento. A sec~ao transversal da viga esta ilustrada na Figura 1b), sendo constituda de chapas de aco de espessuras t 1 = 5mm e t = 8mm, sendo a altura H 1 80cm. Adota-se um coeciente de seguranca igual a,0. Deseja-se ainda dimensionar a solda das chapas de aco da sec~ao. Dados do material: modulo de elasticidade E = 10kN=mm ; peso especco =78kN=mm 3 ; tens~ao de escoamento e = 00N=mm ; tens~ao de cisalhamento = 150N=mm. Figura 1: a) ponte rolante; b) sec~ao transversal da viga central. Dimensionamento a ex~ao pura (tens~ao normal) : inicialmente, deve-se vericar em que ponto da viga, a carga P causa o maior momento etor. A Figura ilustra alguns pontos de aplicac~ao de P e os respectivos diagramas da forca cortante e momento etor. A partir da, tem-se que o maior momento etor ocorre quando a forca estiver aplicada no centro do v~ao, sendo dado por, Figura : Aplicac~ao do carregamento em varios pontos e respectivos esforcos. M xmax (P )= PL 4 = (300)(5) = 1875kNm 4 A partir da,a maxima tens~ao de ex~ao na viga e calculada como, xxmax = M y max = M I zz W zmin ) W zmin = M xxmax

2 onde W zmin representaomodulo de resist^encia a ex~ao mnimo para que a viga permaneca na fase elastica. Tomando-se os valores da tens~ao de escoamento e do coeciente de seguranca dados, a maxima tens~ao normal na viga e dada por, max = e = 100N=mm Logo, o modulo de resist^encia mnimo W zmin sera, W zmin = 1875kNm 100N=mm ) W zmin = mm 3 Na sec~ao transversal da viga, tem-se como incognita o valor de b 1, o qual pode ser calculado a partir de W zmin. Para isso, deve-se calcular o momento de inercia da sec~ao. Como estimativa inicial, despreza-se as almas da sec~ao e calcula-se o momento de inercia em func~ao apenas das mesas, como ilustrado na Figura 3a). Tal procedimento e justicavel pois em geral para este tipo de perl, os momentos de inercia das mesas correspondem a cerca de 80% a 90% do valor total. Portanto, n o I zz = I 0 zz +y A onde, a area da sec~ao e A = b 1 t 1= ; 5b 1 cm ey =38;75 = 150cm. Assim, I zz = b 1t b 1t 1 y!! Izz = 7500b 1 cm 4 Figura 3: Sec~oes transversais: a) estimativa inicial; b) perl completo; c) perl reforcado. Omodulo de resist^encia a ex~ao em func~ao de b 1 e dado por, Mas, W zz = I zz = 7500b 1 = 187; 5b 1 cm 3 y max 40 W zmin = 18750cm 3 = 187; 5b 1 ) b 1 = 100cm Caso se adote este valor de b 1, a largura da viga sera maior que a sua altura. Para evitar este incoveniente, considera-se duas vigas como soluc~ao construtiva e portanto b 1 =50cm.

3 3 Uma vez xado o valor de b 1, pode-se calcular o momento de inercia real I zzr completa, incluindo as almas, conforme mostrado na Figura 3b). Logo, da sec~ao I zzr = b 1H (b 1 t )(H 1 t ) 3 1 = 431; cm 4 Por sua vez,omodulo de resist^encia a ex~ao real W zr e o seguinte, W zr = I zz R 431; = y max 40 = 10794cm 3 Deve-se ent~ao vericar se este modulo de resist^encia para as duas vigas e superior ao valor mnimo determinado anteriormente, W zr (vigas) = (10794)() = 1588cm 3 W zmin = 18750cm 3 concluindo-se que a sec~ao dimensionada permanece na fase elastica. Deve-se no entanto vericar o peso proprio. Dimensionamento incluindo o peso proprio : considera-se o peso proprio como uma carga uniformente distribuda de intensidade q pp aplicada sobre cada viga como mostrado na Figura 4. Como cada viga esta bi-apoiada, o momento etor maximo devido ao peso proprio ocorre em x = L= com valor igual a q pp L =8. Como o problema e linear e para os dois carregamentos (carga P e peso proprio q pp ) os momentos maximos est~ao na mesma sec~ao, basta somar os respectivos valores para se obter o momento maximo. Logo, M pp = 1 PL 4 + q ppl 8 Figura 4: Carregamento original e efeito do peso proprio da viga. Dado o peso especco do material, para calcular o peso proprio P p basta multiplicar pelo volume V da viga. Neste caso, o volume e igual a area da sec~ao A = 370cm vezes o comprimento L. Dividindo-se por L, tem-se a intensidade da carga distribuda devido ao peso proprio, q pp = P p L = V L = AL L! q pp = 886N=m

4 4 O peso de uma viga sera q pp L = 7150N e o momento etor maximo igual a q pp L =8= 55; Nm.Por sua vez, o momento etor maximo em cada viga e calculado como, M pp = 1 PL 4 + q ppl 8 = 11630N:cm sendo a respectiva tens~ao normal maxima para uma viga igual a, pp xx max = M pp = W zr = 107; 75N=mm > max = 100N=mm Assim, ao se incluir o peso proprio, verica-se que a tens~ao excede o valor maximo admissvel e a viga n~ao permanece mais na fase elastica. Para contornar este problema, reforca-se a sec~ao transversal como ilustrado na Figura 3c). Neste caso, o momento de inercia I zzref eomodulo de resit^encia a ex~ao W zref no perl reforcado para uma viga ser~ao dados, respectivamente, por I zzref = b 1H (b 1 t )(H 4t 1 ) 3 1 = 749; cm 4 W zref = I zz ref H = 749; = 18750cm 3 Analogamente, tem-se os seguintes valores para a intensidade da carga distribuda devido ao peso proprio q ppref eaoproprio peso P pref de uma viga, q ppref = A ref = 4774N=m P pref = q ppref L = N 10kN Da mesma maneira, obtem-se o momento etor M ref e a tens~ao ref xx max de ex~ao maximos em cada viga. Logo, M ref = 1 PL 4 + q pp L ref 8 ref = N:cm xx max = M z ref max = 6987N=cm < max = 100N=mm W zref vericando-se neste caso que a tens~ao maxima na viga e inferior ao valor admissvel fornecido. Portanto, adota-se a sec~ao transversal ilustrada na Figura 3c). Deve-se, entretanto, vericar o dimensionamento ao cisalhamento. Dimensionamento ao cisalhamento : a partir do valor da tens~ao de cisalhamento do material = 150N=mm e do coeciente de seguranca, tem-se que a tens~ao de cisalhamento maxima admissvel max sera, max = 150 =75N=mm Deve-se determinar a maxima forca cortante na viga. Como a soluc~ao construtiva e constituda de duas vigas, tem-se que a forca na ponte P = 300kN e igualmente suportada por

5 5 Figura 5: Forca cortante maxima na viga. cada uma delas. Em relac~ao ao peso proprio, aproximadamente igual a 10kN, a Figura 5 mostra que o caso mais crtico em termos da cortante, ocorre quando este peso estiver concentrado nas extremidades da viga. Assim, a forca cortante maxima V ymax em cada uma das vigas sera V ymax = V y (P )+V y (q pp )= 1 ( ) = 10kN De forma geral, o uxo de cisalhamento numa altura y da sec~ao transversal e calculado como, q c (y) = V y(x) I zz (x) Q z p (y) Figura 6: a) calculo dos momentos estaticos; b) distribuic~ao das tens~oes de cisalhamento. Como ilustrado na Figura 6a), deve-se calcular o uxo para as 3 alturas y 1 ;y ;y 3 indicadas. Os respectivos momentos estaticos est~ao dados por, Q zp (y = y 1 )=y 1 A 1 = 40 ; 5 A 1 = 4844cm 3 Q zp (y = y )=Q zp (y=y 1 )+y A = 9375cm 3 Q zp (y = y 3 )=Q zp (y=y )+A 3 y 3 =Q zp (y=y )+ H t1 (H t 1 )t = 10360cm 3

6 6 A partir da, os respectivos uxos s~ao calculados como q c (y) = Vy(x) I zz(x) Q z p (y). Logo, q c1 = 1356N=cm q c = 65N=cm q c1 = 900N=cm As respetivas tens~oes de cisalhamento s~ao obtidas como, xy (y 1 )= qc 1 b 1 =0;7N=cm xy y = qc t =16;40N=mm xy y + = qc b 1 =0;5N=mm xy (y 3 )= qc 3 t =18;1N=mm estando ilustradas na Figura 6b). Como os valores de tens~ao de cisalhamento s~ao inferiores ao valor admissvel max,verica-se que a viga dimensionada n~ao falhara por cisalhamento. Dimensionamento de solda : a Figura 7 mostra o esquema de solda adotado na sec~ao transversal de cada viga. Deseja-se determinar os valores de R 1 e R. Os respectivos uxos de cisalhamento s~ao dados por, q c1 = R1 (R 1 ) q c1 = R (R 1 ) Figura 7: Esquema da solda. Igualando as tens~oes R1 e R com a tens~ao de cisalhamento admissvel max,vem que, R 1 = qc 1 max =0;09cm =0;9mm R = qc max =0;175cm =1;75mm