Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias. Resistência dos Materiais I Estruturas II. Capítulo 5 Torção

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1 Capítulo 5 Torção

2 5.1 Deformação por torção de um eixo circular Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.

3 O conjunto das tensões de cisalhamento internas resulta em um torque interno, igual e oposto ao torque aplicado, T df Embora o torque devido às tensões de cisalhamento seja conhecido, a distribuição das tensões não é. da Ao contrário da tensão normal devido a cargas axiais, a distribuição das tensões de cisalhamento devido a cargas de torção não pode ser assumida uniforme.

4 A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada, considerando um eixo formado por tiras axiais separadas. As tiras deslizam umas em relação as outras quando torques iguais e opostos são aplicados às extremidades do eixo.

5 A experiência mostra que o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra. T Quando submetido à torção, cada seção transversal de um eixo circular permanece plana e indeformada. Seções transversais para barras circulares cheias ou vazadas permanecem planas e indeformadas, porque a barra circular é axissimétrica. Seções transversais de barras não circulares são distorcidos quando submetidas à torção. L

6 Destacando da barra um cilindro de raio. Como uma carga de torção é aplicada, um elemento no interior do cilindro deforma em um losango. Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planares, a deformação de cisalhamento é igual ao ângulo entre as linhas BA e BA. Quando γ é pequeno, AA é igual a: L ou (1) L Deformação de cisalhamento é proporcional ao ângulo de torção e ao raio. r max e max L r

7 5.2 Tensões no Regime Elástico Multiplicando a equação anterior pelo módulo de elasticidade transversal, Da Lei de Hooke G G, então G r max r A tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição radial na seção. Lembre-se que a soma dos momentos da distribuição de tensões internas é igual ao torque na seção da barra, max max 2 max T da da I p Ip: momento polar de inércia da seção. Os resultados são conhecidos como fórmulas de torção no regime elástico, Tr T max e (2) I I p p r r

8 Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo. Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces formadas por dois planos contendo o eixo da barra.

9 Convenção de sinais

10 Exemplo 1 - O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a a do eixo.

11 Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo, M x 0; T 0 T knmm O momento polar de inércia para o eixo é Ip 75mm 4,9710 mm Visto que A se encontra em ρ = 75 mm, Nmm75mm T 1,89 MPa A 7 4 Ip 4,9710 mm Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos T 0,377 MPa B 7 Ip 4,9710

12 Exercício de fixação 1)O eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito aos carregamentos de torção mostrados. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e faça um rascunho da tensão de cisalhamento nesses pontos. Respostas: τ A =7,42MPa e τ B =6,79MPa

13 2)O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligadas por uma redução em B. O tubo menor tem diâmetro externo de 0,75in e interno de 0,68in, enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 1in e diâmetro interno de 0,86in. Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quanto o conjugado mostrado na figura for aplicado ao cabo chave. Resposta: τ AB =7,82 ksi τ BC =2,36 ksi

14 3)O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50mm. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Considere T 1 =20Nm. Resposta: 5,38MPa

15 Exemplo 2 - O eixo de seção circular BC é vazado com diâmetros interno e externo de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os eixos de seção circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d. Para o carregamento mostrado na figura, determine: (a) as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa.

16 Cortar seções ao longo das barras AB e BC e realizar análise de equilíbrio estático para encontrar cargas de torque. T M AB x 0 6kN mt M 0 6kN m 14kN m 6kN m T CD AB T BC x 20kN m T BC

17 (a)aplicar fórmulas de torção elástica para encontrar tensões mínima e máxima na barra BC. (b)dada a tensão de cisalhamento admissível e torque aplicado, invertese a fórmula de torção elástica e encontra-se o diâmetro necessário. I p r r m TBC r2 20 kn m0.060m max MPa I m p TBC r1 I 20 kn m0.045m min p m min 64655k Pa=64.7MPa max min max 4 3 I p 2r 2r r 86.2MPa 64.7MPa Tr Tr 6kN m 65MPa m d 2r 77.8mm

18 Das equações (1), (2) e da Lei de Hooke temos o ângulo de torção: TL I G p L (1) Tρ τ= (2) I G : módulo de elasticidade ao cisalhamento L: comprimento do eixo ϕ: ângulo de torção (rad) p

19 Convenção de sinais Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento, o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento. TL i i I G i pi i

20 Convenção de sinais

21 Exercício de fixação 4)O eixo horizontal AD está engastado a uma base rígida em D e submetido aos torques mostrados na figura. Foi feito um furo de 44mm de diâmetro na parte CD do eixo. Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual G=77GPa, determine o ângulo de torção na extremidade A. Resposta: 2,31 A

22 5)O eixo de aço A-36 de 20mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B. G=75GPa Resposta: 5,74 B

23 Transmissão de potência Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. Para um eixo rotativo com torque, a potência é: P T (Watts) onde a velocidade angular do eixo é isto que (rpm, rad/s) 1 ciclo 2 rad Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é: adm Tr I p I p r T adm

24 Exemplo 3- Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir W do motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τ adm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm.

25 O torque no eixo é 1min 2 rad 175 rpm 18,33 rad / s 60seg 1rot P T 3750 T 18,33 T 204,6 Nm Assim, 4 I p r T r 2 r adm 1/3 1/3 Nmm N / mm 2T 2 204, r 10,92 mm adm Visto que 2r = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.

26 Exercício de fixação- 6) O motor de engrenagens pode desenvolver 100W quando gira a 80 rpm. Se a tensão de cisalhamento admissível pra o eixo τ adm = 28MPa, determine, com aproximação de múltiplos de 5mm, o menor diâmetro do eixo que pode ser usado. Resposta: d=15mm

27 Exercício de fixação- 7) O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25mm e está apoiado em mancais lisos em D e E. O eixo está acoplado a um motor em C, que transmite 3kW de potência ao eixo quando está girando a 50rev/s. Se as engrenagens A e B absorverem 1kW e 2kW, respectivamente, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no interior das regiões AB e BC. O eixo é livre pra girar em seus mancais de apoio D e E. Respostas: τ AB =1,04MPa τ BC =3,11MPa

28 Exercício de fixação- 8) Um eixo é feito de uma liga de aço com tensões de cisalhamento admissível τ adm =12ksi. Se o diâmetro do eixo for 1,5in, determine o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T se fosse feito um furo de 1in de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso. Respostas: T=7,95kip in e T =6,38kip in