ANÁLISE DO VALOR DO PASSO DA RECONSTRUÇÃO PARA O CÁLCULO DA DIMENSÃO DE CORRELAÇÃO EM SISTEMAS CAÓTICOS

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1 6 ANÁLISE DO VALOR DO PASSO DA RECONSTRUÇÃO PARA O CÁLCULO DA DIMENSÃO DE CORRELAÇÃO EM SISTEMAS CAÓTICOS Natália Diniz (Uni-FACEF) Antonio Carlos da Silva Filho (Uni-FACEF) INTRODUÇÃO Seja a seguinte situação: alguém está tentando resolver um problema em uma variável, x, no qual a solução será usada para se resolver o mesmo problema novamente, e assim por diante. Vários fenômenos na natureza podem ser assim descritos. O crescimento de populações em ecologia é um exemplo, onde a quantidade de indivíduos em um determinado instante depende da quantidade de indivíduos em um instante anterior. Matematicamente, tais situações podem ser colocadas através da seguinte expressão geral: 6 ( ) x N + = f x N () Onde, partindo de um valor inicial x = x, calcula-se, sucessivamente, x, x, x, etc. linear: A função f(x) poderá se apresentar de várias formas. Um exemplo é a função f ( x ) = λ x Este tipo de função pode servir muito bem para uma determinada classe de problemas, mas não é a representação adequada de muitos outros. Considere-se o exemplo em ecologia, onde x representa o tamanho de uma determinada população de animais. Neste caso, λ deve ser positivo e deduz-se que: x N N = λ x A função linear diz que esta população vai tender à extinção (se λ for um número entre e ) ou que vai crescer indefinidamente ( se λ for um número maior do que ). O primeiro caso pode perfeitamente acontecer, mas o segundo não. Assim, precisa-se de outra categoria de funções para trabalhar com tais situações. São necessárias as funções não-lineares.

2 6 Uma população de animais não pode crescer indefinidamente. Há que se introduzir uma correção na função linear. Assim, por exemplo, faz-se com que o parâmetro λ não seja mais constante, mas varie com o tamanho da população. A maneira mais simples de conseguir isto é fazer a transformação: λ λ ( b x ) onde b é uma constante positiva. Mudando a escala em que se mede o tamanho da população, chega-se à seguinte expressão para f(x): f ( x ) = λ x ( x ) () Agora, o tamanho máximo da população é x =. Esta equação é chamada, às vezes, de equação logística, devido a uma equação diferencial estudada pelo matemático belga P. F. Verhulst cerca de 5 anos atrás (BOYER, 996). Sua versão discreta é conhecida como Mapeamento Logístico. O Mapeamento Logístico é um sistema extremamente simples (formado por uma função do segundo grau), mas exibe (inesperadamente, até a década de 7) os principais elementos de uma dinâmica caótica. MATERIAIS E MÉTODOS Pode-se definir Caos como um sinal aparentemente aleatório e irregular, gerado por um processo determinista, com as seguintes propriedades adicionais (de GRAUWE, 99): (i) Exibe sensibilidade às condições iniciais; (ii) Ë aperiódico; (iii) É associado a um atrator estranho; (iv) Tem um espectro de potências de Fourier contínuo e de banda larga; (v) Tem pelo menos um expoente de Liapunov positivo. O estudo moderno deste tipo de sistema começou com Lorenz na década de sessenta e é relativamente novo, caso se pense na História da Ciência como um todo. Uma das maneira de analisar os sistemas caóticos é através dos dados experimentais ou observacionais do sistema. Analisam-se parâmetros de dinâmica caótica normalmente usados na análise de séries temporais, dentre os quais 6

3 6 destacam-se os seguintes: a Dimensão de Correlação, a Entropia de Kolmogorov- Sinai e os Expoentes de Liapunov. A Dimensão de Correlação é, atualmente, a medida mais popular de dimensão. Foi proposta por Grassberger e Procaccia (98). É muito parecida com a dimensão de informação, porém, é mais complexa. A dimensão de correlação é procurada em um gráfico do logaritmo da integral (ou soma) de correlação versus o logaritmo de ε, enquanto que a dimensão de informação é procurada em um gráfico da informação versus logaritmo de (/ε). Mas, tanto a integral de correlação como a informação são expressas em termos de probabilidades. A diferença fundamental entre ambas está na maneira de se calcular essas probabilidades: para a dimensão de informação, constrói-se uma rede que englobe o atrator e calcula-se, basicamente, a probabilidade de ocupação de cada célula; já para a dimensão de correlação, constrói-se uma célula centrada em cada ponto da trajetória e calcula-se a probabilidade de ocupação desta célula. Para calcular a dimensão de correlação a partir de dados experimentais representando valores de alguma variável aleatória no tempo, Takens (98) demonstrou que é possível reconstruir a dinâmica do sistema, a partir de uma única coordenada, preservando certas propriedades do mesmo. O algoritmo baseia-se na construção de vetores ξ i m-dimensionais a partir da série temporal {x i }, onde x i = x(t i ); i =,,...,N; m é chamada dimensão de imersão e N é o número total de pontos. O teorema de Takens (98), garante uma representação num espaço reconstruído usando x(t i ) como primeira coordenada, x(t i+p ) como segunda coordenada, e x(t i+ (m-p) ) como última coordenada, onde p é o passo da reconstrução da série, também chamado de tempo de retardo. Para a escolha adequada de m, a reconstrução deve ser feita para valores crescentes e sucessivos (m =,,...). Demonstra-se que um atrator de dimensão topológica D deve ser imerso num espaço de dimensão m maior, ou igual, a D +; caso contrário, o atrator aparecerá dobrado sobre si mesmo como numa projeção e pontos inicialmente distantes, tornam-se próximos provocando uma distorção na estatística da medida invariante associada ao atrator reconstruído. Como não sabemos, a priori, qual a dimensão topológica do atrator associado à série de dados experimentais que estamos investigando, uma razoável dose de experimentação e bom senso torna-se necessária ao interpretarmos os resultados obtidos, segundo Ferrara e do Prado (99). Para efetuarmos o cálculo 6

4 6 da dimensão de correlação (D c ) pensemos na probabilidade de termos dois pontos do atrator num círculo de raio ε, por exemplo. Isso implica a probabilidade da distância entre esses dois pontos ser menor que ε. A medida dessa probabilidade, chamada integral (ou soma) de correlação, representada pela letra C, é função de ε e pode ser expressa pela equação abaixo: r r C( ε ) = lim nº de pares i,j, tais que x - x < N ( N ) N N N = N ( N ) Θ ε - xi - x j i= j= { i j ε} r r onde: Θ(x) é a função degrau de Heaveside definida por: Θ( x) = { se se x x < Essencialmente, C(ε) é uma medida de probabilidade que cresce exponencialmente. Então, numa escala log-log, o gráfico de C(ε) versus ε mostra uma região linear onde: log ( C ( ε ) ) Dc.log ( ε ) é satisfeita e a dimensão de correlação é dada por: logc( ε) Dc = lim ε logε Um parâmetro importante na reconstrução do atrator é o Passo (p). O estimador de p tem que ser tal que x(t i ) e x(t i+p ) sejam parcialmente não-correlacionados e independentes (para não utilizarmos um estimador viciado, do ponto de vista estatístico). Faz-se necessário, então, o estudo da função de autocorrelação definida por: 6

5 6 C( τ ) = lim ( x)( x) N i i N x x +τ C() = lim ( x)( x) N i i N x x Um estimador de p para a reconstrução do atrator é τ, de forma que: C ( τ ) = C() que indica, aproximadamente, o tempo de descorrelação da série. (TSONIS, 99). Mas nem sempre o valor assim obtido conduz à melhor reconstrução. Este trabalho vai analisar precisamente este ponto: Qual é realmente, o valor ótimo de C(τ)? A Dimensão de Correlação será calculada para vários sistemas, como o sistema de Lorenz (LORENZ, 96), o de Henon e o de Rössler. Este cálculo será feito variando-se o passo da reconstrução desde até N, onde N será determinado pela divergência com os valores já conhecidos para estes sistemas. Os valores ótimos serão, a seguir, localizados no correlograma correspondente, que é um gráfico da Função de Autocorrelação em função do atraso temporal. O conjunto de informações obtidas será, então, analisado para a especificação de um algoritmo para se percorrer o caminho inverso, ou seja: pretende-se fornecer um método para, a partir da Função de Autocorrelação, determinar-se o Passo da Reconstrução. Os principais sistemas a serem analisados serão: a) O Atrator de Lorenz: dx/dt = σ(y-x) dy/dt = -xz + rx y dz/dt = xy bz onde, usualmente: σ = ; r = 8; b = 8/ b) O Atrator de Rössler: dx/dt = -y - z 6

6 65 dy/dt = x + ay dz/dt = b + z(x c) onde, usualmente: a = b =,; c = 5,7 c) O sistema de Chen: dx/dt = a(y-x) dy/dt = (c a)x xz + cy dz/dt = xy bz onde, usualmente: a = 5; b = ; c = 8 d) O Mapa de Hénon: Xn+ = a(xn) + byn Yn+ = Xn onde, usualmente: a =,; b =, e) O Pêndulo Forçado Amortecido: dx/dt = y dy/dt = -senx - by + Asen(Ωt) onde, usualmente, b =,5; A =,6; Ω =,7 RESULTADOS Seguem alguns resultados, colocados em gráficos, já obtidos para o Sistema de Lorenz. Todos os programas foram escritos no Matlab. 65

7 Fig. log(fc) x log(ε): Lorenz com pontos e dimensão variando de a Fig. Dim x log(ε): Derivadas com pontos, para o gráfico da figura. 66

8 Fig. Dim x log(ε): Derivadas com pontos, para o gráfico da figura Fig. Dim x log(ε): Derivadas com pontos, para o gráfico da figura. 67

9 Fig. 5 Dim x log(ε): Derivadas com pontos, para o gráfico da figura Fig. 6 Dim x log(ε): Derivadas com 5 pontos, para o gráfico da figura. 68

10 Fig. 7 Dim x log(ε): Derivadas com 6 pontos, para o gráfico da figura Fig. 8 Dim x log(ε): Derivadas com 7 pontos, para o gráfico da figura. 69

11 7 LORENZ COM 5 PONTOS; DIMENSÕES DE : Fig. 9 log(fc) x log(ε): Lorenz com 5 pontos e dimensão variando de a Fig. Dim x log(ε): Derivadas com pontos, para o gráfico da figura 9. 7

12 7 ANÁLISE E CONCLUSÃO Aprendemos, como pode ser visto, a calcular a Dimensão de Correlação para um conjunto de dados. As próximas etapas do trabalho consistirão em aplicar os mesmos algoritmos aos demais mapeamentos. BIBLIOGRAFIA BOYER, Carl B. História da Matemática.São Paulo: Editora Edgar Blucher Ltda./Editora da Universidade de São Paulo, p. DE GRAUWE, P., DEWACHTER, H. e EMBRECHTS, M. Exchange Rate Theory. Oxford: Blackwell Publishers, p. FERRARA, N. F. e DO PRADO, C. P. C. Caos Uma Introdução. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 99. p. GRASSBERGER, P; PROCACCIA I. Measuring the strangeness of strange attractors, Physica, v. 9D, 98. HANSELMAN, Duane; LITTLEFIELD, Bruce. Matlab 6 Curso Completo. São Paulo: Prentice Hall,. 676 p., 96. LORENZ, E. N. Deterministic Nonperiodic Flow. J. Atmos. Sci., v., p. - MONTEIRO, Luiz Henrique Alves. Sistemas Dinâmicos. São Paulo: Editora Livraria da Física,. 57 p. 7

13 7 SCHUSTER, H. G. Deterministic Chaos: an introduction. Weinheim, VCH Verlagsgesellschaft, p. TAKENS, F. Detecting Strange Attractors in Turbulence. In: RAND D. A., YOUNG L. S. (ed.) Dynamical Systems and Turbulence, (Springer Lecture Notes in Mathematics) vol 898, Springer-Verlag, 98. TSONIS, A. A. Chaos: from theory to applications, New York, Plenum Press, p. 7