6 Ajuste de mínimos quadrados
|
|
- Lídia Fragoso Bastos
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 6 Ajuste de mínimos quadrados polinomial No capítulo anterior estudamos como encontrar um polinômio de grau m que interpola um conjunto de n pontos {{x i, f i }} n Tipicamente quando m < n esse polinômio não existe No entanto, ainda assim podemos encontrar uma aproximação p(x) para a função desconhecida que define os n pontos Se p(x) fosse uma interpolação, seria necessário que p(x i ) = f i A técnica de ajuste de funções substitui essa exigência pela minimização de uma função Q({r i }) definida a partir dos resíduos r i = p(xi ) f i A escolha mais comum para Q é a soma quadrática dos resíduos, ou seja Q({r i }) = ri 2 (6) Existem outras escolhas possíveis para Q, por exemplo, Q = max i r i ou Q = i r i, a importância de (6) deve-se ao teorema de Gauss-Markov para modelos lineares em estatística Inicialmente vamos tratar o caso em que a função ajuste é um polinômio de grau m Como veremos a seguir, a condição de que (6) seja mínimo fornecerá as equações para determinarmos os coeficientes do polinômio O procedimento de determinar os coeficientes que minimizam (6) é denominado ajuste de mínimos quadrados Seja então p(x) um polinômio p(x) = a 0 + a x + + a m x m então, a partir do conjunto de dados {{x i, f i }} n, a função Q pode ser escrita em termos dos coeficientes a j como Q(a,, a m ) = f i m a j x j i j=0 2 (62) Se lembrarmos que os valores x i e f i são números conhecidos, a dependência de Q nos coeficientes a j é quadrática, ou seja, Q é um parabolóide em termos dos a j Além disso, como podemos verificar na expressão (62), Q 0 Isto garante que a função Q sempre possui um único mínimo global O ponto (a, a 2,, a m) em que Q for mínimo determina o ajuste No ponto em que Q é mínimo É claro que existem casos em que a interpolação é possível, por exemplo, poderíamos ter um conjunto de três pontos alinhados (n = 3) Nesse caso, há a interpolação dos mesmos por uma reta (m = 2), mas se fossem três pontos distintos não alinhados, a interpolação por uma reta não mais seria possível 07
2 para k = 0,,, m Isto implica as equações 2 Q a k (a,, a m) = 0 f i m a jx j i x k i = 0, (63) j=0 ( m ) para cada k = 0,,, m, pois j=0 a a jx j i k A equação (63) pode ser reescrita como x k i = a k ( a0 + a x i + + a k x k i + + a mx m i ) = m j=0 ( m j=0 a jx j+k i = x j+k i ) a j = f i x k i f i x k i (64) para cada k = 0,,, m Ou seja, um sistema de m + equações lineares cujas incógnitas são os m + coeficientes a i do polinômio p(x) O sistema de equações (64) pode ser convenientemente descrito em notação matricial como X T Xa = X T f, (65) onde X = x x 2 x m x 2 x 2 2 x m 2, (66) X T é sua transposta, a = a 0 a a m x n x 2 n x m n f e f = As equações dadas pelo sistema (65) são f n denominadas equações normais Essa nomenclatura deve-se ao seguinte fato: o sistema (65) pode ser escrito como X T (Xa f) = 0 o vetor entre parênteses, Xa f é o vetor cujas componentes são dadas pelos resíduos da aproximação e, segundo a equação anterior esse vetor é normal (ortogonal) aos vetores formados pelos elementos das linhas da matriz X T que são da forma x l x l 2 x l n para l = 0,, 2,, m Exemplo: Seja o conjunto de pontos {{x i, f i }} 5 : {{ 2, 0}, {, }, {0, 2}, {, }, {2, 0}} 08
3 polinomial vamos determinar o ajuste de mínimos quadrados para um polinômio de segundo grau p(x) = a 0 + a x + a 2 x 2 Os coeficientes do polinômio são a solução do seguinte sistema na representação matricial X T Xa = X T f, onde a matriz X é dada por X = x x 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 3 x 4 x 2 4 x 5 x 2 5 = , portanto O vetor de constantes f = f f 2 f 3 f 4 X T X = e o vetor de incógnitas a = a o a a 2 compõe o sistema que possui matriz completa f e solução a = 58/35 0 3/7 Assim, o polinômio que ajusta os dados é p(x) = x2 09
4 2 f x 2 2 x Figura 6: Ajuste de mínimos quadrados ajuste polinomial Caso particular: regressão linear Quando o ajuste de mínimos quadrados é realizado para um polinômio de º grau as expressões são mais simples, em particular, é possível determinar o valor dos coeficientes a 0 e a exclusivamente em termos de médias Para um conjunto de n pontos {{x i, f i }} n, a soma quadrática dos desvios, Q, é dada por Q = (f i a 0 a x) 2 Da mesma forma que no caso mais geral, condições necessárias para que Q seja mínimo são dadas pelas derivadas de Q com relação a a 0 e a que devem se anular: e A partir da equação (67) temos Q a 0 = 2 Q a = 2 (f i a 0 a x i )( ) = 0 (67) (f i a 0 a x i )( x i ) = 0 (68) na 0 + a x i = f i a 0 + a n x i = n f i Da mesma forma, a equação (68) implica a 0 x i + a x 2 i = f i x i a 0 n x i + a n x 2 i = n f i x i Através da notação x = n n x i, x 2 = n n x2 i, f = n n f i e fx = n n f ix i 0
5 62 Ajuste de mínimos quadrados por uma combinação linear de funções podemos reescrever as equações (67) e (68) como o sistema { a 0 + x a = f x a 0 + x 2 a = fx cuja solução determina os coeficientes a 0 e a : a 0 = f x2 x fx x 2 (x) 2, a = fx f x x 2 (x) 2 62 Ajuste de mínimos quadrados por uma combinação linear de funções A maneira através da qual determinamos o ajuste de mínimos quadrados por um polinômio pode ser imediatamente generalizada para o caso da combinação linear de um conjunto de funções conhecidas {ϕ i (x)} i Podemos verificar prontamente que o polinômio p(x) = a 0 + a x + + a m x m é um caso particular da combinação linear de m distintas funções ϕ j (x) no caso em que ϕ j (x) = x j ϕ(x) = m a j ϕ j (x), j= A soma quadrática dos resíduos Q(f, ϕ) é dada por Q(f, ϕ) = (f i ϕ(x i )) 2 = f i m a j ϕ j (x i ) De maneira totalmente análoga ao caso do ajuste para polinômios, o conjunto de coeficientes que minimizam Q(f, ϕ) é determinado pela solução do sistema de equações lineares Q a 0 = 0 Q a = 0 Q a m = 0 que é equivalente ao sistema de equações normais j= Φ T Φa = Φ T f, (69) 2
6 onde a = a a 2 e f = Φ = f f 2 ϕ (x ) ϕ 2 (x ) ϕ m (x ) ϕ (x 2 ) ϕ 2 (x 2 ) ϕ m (x 2 ) ϕ (x n ) ϕ 2 (x n ) ϕ m (x n ), n m a m f n Exemplo: Seja o mesmo conjunto de pontos utilizados no exemplo de ajuste polinomial {{x i, f i }} 5 : {{ 2, 0}, {, }, {0, 2}, {, }, {2, 0}} vamos determinar o ajuste de mínimos quadrados para a seguinte combinação linear, ϕ(x) = a +a 2 e x +a 3 e x, onde ϕ (x) =, ϕ 2 (x) = e x e ϕ 3 (x) = e x Os coeficientes do ajuste são solução do seguinte sistema na representação matricial Φ T Φa = Φ T f, onde a matriz Φ é dada por Φ = ϕ (x ) ϕ 2 (x ) ϕ 3 (x ) ϕ (x 2 ) ϕ 2 (x 2 ) ϕ 3 (x 2 ) ϕ (x 3 ) ϕ 2 (x 3 ) ϕ 3 (x 3 ) ϕ (x 4 ) ϕ 2 (x 4 ) ϕ 3 (x 4 ) ϕ (x 5 ) ϕ 2 (x 5 ) ϕ 3 (x 5 ) = e 2 e 2 e e e e e 2 e 2, portanto Φ T Φ = O vetor de constantes Φ T f = 5, 00000, 606, 606, , 409 5, 00000, 606 5, , 409 4, , , 0866 sistema que possui matriz completa 5, 00000, 606, 606, , 409 5, 00000, 606 5, , 409 e o vetor de incógnitas a = 4, , , 0866 a a 2 a 3 compõe o e solução a = 2, , , Assim, o ajuste toma a forma ϕ(x) = 2, , (e x + e x ) = 2, , cosh(x) 2
7 63 Ajuste de mínimos quadrados por uma combinação linear de funções ortogonais φ x x Figura 62: Ajuste de mínimos quadrados combinação linear Problemas de condicionamento no método de ajuste de funções pelo método dos mínimos quadrados De modo geral, ao aplicarmos o método de ajuste de mínimos quadrados com um polinômio de grau maior ou igual a 8, a tarefa de resolver o sistema de equações normais (65) é muito dificultada por erros de arredondamento A dificuldade está relacionada ao fato de que as matrizes da forma X T X presentes no sistema (65) são mal condicionadas Essa propriedade independe dos valores f i no conjunto de n pontos {{x i, f i }} n para ajuste Note que a matriz (m + ) (m + ) XT X depende apenas dos valores x i e do grau m do polinômio ajustado Como exemplo, no caso em que os n valores x i são igualmente espaçados entre 0 e é possível demonstrar 2 que X T X é aproximadamente igual a matriz nh, onde H é a matriz de Hilbert 3 de ordem m +, uma matriz mal condicionada Uma maneira de contornar as dificuldades introduzidas pelo condicionamento da matriz X T X e, ainda assim, realizar o ajuste de mínimos quadrados para um polinômio de ordem grande, consiste em utilizar um conjunto de polinômios ϕ i (x) construído de maneira que a matriz Φ T Φ presente no sistema de equações normais (69) não possua problemas de condicionamento Como veremos adiante, esse objetivo é alcançado se o conjunto de funções {ϕ i (x)} i for um conjunto de funções ortogonais 63 Ajuste de mínimos quadrados por uma combinação linear de funções ortogonais Definição (produto interno discreto) Seja o conjunto finito de pontos X = {x i } n e duas funções f e g definidas sobre X O produto interno discreto entre f e g, simbolizado pela expressão (f, g) X 2 Veja a demonstração na referência: Yakowitz, S; Szidarovszky, F An Introduction to Numerical Computation Macmillan Pub Company (986) 3 A matriz de Hilbert H possui coeficientes a ij = O condicionamento dessa matriz cresce exponencialmente i + j com a ordem 3
8 é definido como (f, g) X = f(x i )g(x i ) Definição (funções ortogonais) Dadas duas funções f e g, definidas em conjunto discreto finito X, dizemos que as mesmas são ortogonais se (f, g) X = 0 Em particular, um conjunto de funções {ϕ i (x)} m definidas nos pontos do conjunto X é um sistema ortogonal se e somente se, para quaisquer i, j m, (ϕ i, ϕ j ) X = 0, se i j, (ϕ i, ϕ j ) X 0, se i = j Se o ajuste de mínimos quadrados dos dados {{x i, f i }} n é realizado para uma combinação linear m a i ϕ i (x), (60) onde as funções ϕ i (x) são elementos de um sistema ortogonal, então a matriz Φ T Φ é uma matriz diagonal o que torna o problema de resolver o sistema (69) uma tarefa simples Seja s ij um coeficiente da matriz S = Φ T Φ onde {ϕ i (x)} m é um sistema ortogonal A partir da definição da matriz Φ, temos que s ij = ϕ i (x k )ϕ j (x k ) k= = (ϕ i, ϕ j ) X, como as funções ϕ i fazem parte de um sistema ortogonal, então s ij = { 0, se i j (ϕ i, ϕ i ) X, se i = j, ou seja, S = Φ T Φ é uma matriz diagonal Nesse caso, a solução do sistema de equações normais pode ser obtida a um baixo custo computacional e com erros de arredondamento controláveis através da inversão de S: a = ( Φ T Φ ) Φ T f como ( Φ T Φ ) = (ϕ,ϕ ) X (ϕ 2,ϕ 2, ) X (ϕ m,ϕ m) X, 4
9 64 Ajustes não lineares redutíveis ao caso linear temos então que os coeficientes do ajuste 4 (60) são dados por a j = (f, ϕ j) X (ϕ j, ϕ j ) X Portanto, já que x i e f i (ou f(x i )) são dados de entrada para o ajuste, a determinação dos coeficientes a i depende apenas da tarefa de encontrar um conjunto de funções ϕ i que seja um sistema ortogonal Se ϕ i forem um polinômios de grau i, então é possível 5 construir um sistema ortogonal A construção é realizada a partir da relação de recorrência que os polinômios ϕ i devem satisfazer: onde ϕ i (x) = (x b i )ϕ i (x) c i ϕ i 2 (x), b i = (xϕ i (x), ϕ i (x)) X (ϕ i (x), ϕ i (x)) X, i =, 2, c i = (xϕ i (x), ϕ i 2 (x)) X (ϕ i 2 (x), ϕ i 2 (x)) X, i = 2, 3, e c = 0 Assim, construímos recursivamente os polinômios a partir da escolha ϕ 0 (x) e ϕ (x) 0 64 Ajustes não lineares redutíveis ao caso linear Quando o ajuste de mínimos quadrados é realizado para função que não pode ser escrita como uma combinação linear de funções conhecidas, por exemplo, φ(x) = a x + cos(a 2 x) + e a3x, o método de mínimos quadrados envolve a solução de um conjunto de equações não lineares Não vamos estudar este tópico aqui, porém existem casos de ajuste de mínimos quadrados não linear que, mediante uma transformação, podem ser escritos como um problema de ajuste linear Devido à sua importância vamos estudar o método de ajuste para as funções: φ(x) = a e a2x, (6) θ(x) = a x a 2 (62) e ψ(x) = a x a 2 e a 3x (63) Qualquer um desses casos pode ser reescrito como um problema de ajuste por combinação linear de funções conhecidas por meio de uma transformação (não linear) 4 Lembre que os dados para ajuste são {{x i, f i}} n, onde o conjunto X = {x i} n é utilizado para definir o produto interno (, ) X Como temos estudado até aqui, f i f(x i) se f for conhecida, caso contrário f i é um dado de entrada no problema de ajuste 5 Veja os detalhes em: Ralston, A; Rabinowitz, P A First Course in Numerical Analysis McGraw-Hill(978) 5
10 A transformação consiste em tomar o logarítmo das funções e o logarítmo da segunda coordenada dos pontos de ajuste Então o problema original de determinar o ajuste de mínimos quadrados não linear para o conjunto de valores {{x i, f i }} n passa a ser o preoblema de determinar o ajuste de mínimos quadrados por uma combinação de funções lineares No primeiro caso, temos ln(φ) = ln a + a x e a combinação linear é formada pelas funções ϕ (x) = e ϕ 2 (x) = x No segundo caso, ln(θ) = ln a + a 2 ln x e a combinação linear é formada pelas funções ϕ (x) = e ϕ 2 (x) = ln x No terceiro caso, ln(ψ) = ln a + a 2 ln x + a 3 x e a combinação linear é formada pelas funções ϕ (x) =, ϕ 2 (x) = ln x e ϕ 3 (x) = x Exemplo: Vamos realizar o ajuste dos pontos {{0, ; 0, 0}, {0, 2; 0, 063}, {0, 5; 0, 59}, {0, 7;, 5}, {, 0; 3, 6}} à função θ(x) = a x a 2 Vamos tomar o logarítmo das duas coordenadas dos pontos, o resultado é o novo conjunto de pontos {{x i, ln θ i }} = {{x i, f i }}: {{0, ; 4, 6057}, {0, 2; 2, 76462}, {0, 5; 0, }, {0, 7; 0, }, {, 0;, 28093}} Como ln θ = ln a + a 2 x = ã + a 2 x, ou seja, ϕ (x) = e ϕ 2 (x) = ln x Devemos resolver o sistema Φ T Φa = Φ T f, onde, de acordo com a notação de produto interno, e Φ T Φ = ( A solução é dada por (ϕ, ϕ ) (ϕ, ϕ 2 ) (ϕ 2, ϕ ) (ϕ 2, ϕ 2 ) Φ T f = ( (f, ϕ ) (f, ϕ 2 ) a = ) ( 5 = ) 5 ln x i 5 ln x 5 i (ln x i) 2, ) ( = ã a 2 ( 5 ) f i 5 f i ln x i ) ã =, 2869 e a 2 = 2,
11 64 Ajustes não lineares redutíveis ao caso linear Como a = eã, obtemos o ajuste θ(x) = 3, 6897 x 2,54784 Θ x x Figura 63: Ajuste de mínimos quadrados ajuste não linear 7
12 65 Exercícios ) Encontre as aproximações de mínimo quadrado linear e quadrática para os seguintes pontos: {{x i, f i }} i = {{ 2, 6}, {, 4}, {0, 3}, {, 3}} 2) Realize o ajuste de mínimos quadrados a ϕ (x) + a 2 ϕ 2 (x) com respeito aos coeficientes a e a 2 para as funções ϕ (x), ϕ 2 (x) e o conjunto de dados {{x i, f i }} i abaixo: ϕ (x) =, ϕ 2 (x) = x Dados {{0, }, {, 2}, {2, 4}} 2 ϕ (x) = sen(x), ϕ 2 (x) = cos(x) Dados {{0, 0}, {π/4, }, {π/2, 0}} 3 ϕ (x) =, ϕ 2 (x) = e x Dados {{0, }, {, 2}, {2, 2}} 4 ϕ (x) = e x, ϕ 2 (x) = e x Dados {{0, 0}, {, }, {2, }, {3, 0}} 3) A partir da transformação pela ação do logarítmo, determine a forma linear para o ajuste não linear da função φ(x) = a x a 2 e a 3x ao conjunto de pontos {{, 000;, 854}, {, 600; 0, 945}, {2, 200; 0, 7528}, {2, 800; 0, 7890}, {3, 400; 0, 9230}, {4, 000;, 237}} 4) Considere os pontos {{x i, f i }} n da forma x i = (i )h e f i = sen(x i ), onde h = π/(n ) e n é uma constante positiva Encontre os ajustes de mínimos quadrados linear, quadrático e de quinta ordem nos casos n = 7, 0 e 5 Calcule a exatidão nos pontos x j = j π 00, j =, 2,, 00 Observação: não sofra desnecessariamente, construa e utilize um sistema de polinômios ortogonais Seria interessante utilizar um computador no cálculo da exatidão 5) Estudamos em classe o método do mínimos quadrados no caso em que o conjunto de dados é discreto, no entanto é possível ajustar uma função f(x) pela combinação linear f(x) = i c iϕ i (x) para x em um intervalo contínuo [a, b] A técnica é semelhante a que estudamos no caso linear geral com a seguinte diferença, ao invés de utilizar um produto interno discreto, neste caso, o produto interno de duas funções g(x) e h(x) é definido como (g, h) w = b a dx w(x) g(x) h(x) onde w(x) é uma função peso A medida de ajuste, Q(f, f) é dada por Q(f, f) = (f f, f f) w Encontre o ajuste pelo método dos mínimos quadrados (assuma w(x) ) na forma f(x) = a 0 + a x para a função f(x) = e x no intervalo [0, ] 8
Ajuste de mínimos quadrados
Capítulo 5 Ajuste de mínimos quadrados 5 Ajuste de mínimos quadrados polinomial No capítulo anterior estudamos como encontrar um polinômio de grau m que interpola um conjunto de n pontos {{x i, f i }}
Leia maisAjuste de dados por mínimos quadrados
Cálculo Numérico por mínimos quadrados Prof. Daniel G. Alfaro Vigo dgalfaro@dcc.ufrj.br Departamento de Ciência da Computação IM UFRJ Motivação: População do Brasil Ano População (milhões) 1960 70, 992343
Leia maisMétodo dos Mínimos Quadrados
Método dos Mínimos Quadrados Laura Goulart UESB 4 de Abril de 2019 Laura Goulart (UESB) Método dos Mínimos Quadrados 4 de Abril de 2019 1 / 22 Objetivos O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) é uma técnica
Leia maisCCI-22 FORMALIZAÇÃO CCI-22 MODOS DE SE OBTER P N (X) Prof. Paulo André CCI - 22 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL INTERPOLAÇÃO
CCI - MATEMÁTICA COMPUTACIONAL INTERPOLAÇÃO Prof. Paulo André ttp://www.comp.ita.br/~pauloac pauloac@ita.br Sala 0 Prédio da Computação -Gregory DEFINIÇÃO Em matemática computacional, interpolar significa
Leia maisProf. MSc. David Roza José 1/26
1/26 Mínimos Quadrados Geral e Regressão Não Linear Objetivos: Implementar a regressão polinomial; Implementar regressão múltipla linear; Entender a formulação do modelo linear geral de mínimos quadrados;
Leia maisf(h) δ h p f(x + h) f(x) (x) = lim
Capítulo 6 Derivação numérica Nesta seção vamos desenvolver métodos para estimar a derivada de uma função f calculada em um ponto x, f (x, a partir de valores conecidos de f em pontos próximos ao ponto
Leia maisPROVAS Ciência da Computação. 2 a Prova: 13/02/2014 (Quinta) Reavaliação: 20/02/2014 (Quinta)
PROVAS Ciência da Computação 2 a Prova: 13/02/2014 (Quinta) Reavaliação: 20/02/2014 (Quinta) Ajuste de Curvas Objetivo Ajustar curvas pelo método dos mínimos quadrados 1 - INTRODUÇÃO Em geral, experimentos
Leia maisMétodo de Quadrados Mínimos: Caso discreto
Método de Quadrados Mínimos: Caso discreto Marina Andretta ICMC-USP 23 de maio de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0500 - cálculo numérico
Leia maisInterpolação Polinomial. Ana Paula
Interpolação Polinomial Sumário 1 Interpolação Polinomial 2 Forma de Lagrange 3 Revisão Interpolação Polinomial Interpolação Polinomial Interpolação Polinomial Interpolação Polinomial Suponha que se tenha
Leia maisPUC-GOIÁS - Departamento de Computação
PUC-GOIÁS - Departamento de Computação Fundamentos IV/Enfase Clarimar J. Coelho Goiânia, 28/05/2014 O que é interpolação polinomial? Ideia básica Permite construir um novo conjunto de dados a partir de
Leia maisCálculo Numérico A - 2 semestre de 2006 Prof. Leonardo F. Guidi. 2 a Lista de Exercícios - Gabarito. 1) Seja a equação não linear x e x = 0.
Cálculo Numérico A - 2 semestre de 2006 Prof. Leonardo F. Guidi 2 a Lista de Exercícios - Gabarito 1) Seja a equação não linear x e x = 0. A solução é dada em termos da função W de Lambert, x = W 1) 0,
Leia maisEXERCICIOS RESOLVIDOS - INT-POLIN - MMQ - INT-NUMERICA - EDO
Cálculo Numérico EXERCICIOS EXTRAIDOS DE PROVAS ANTERIORES o sem/08 EXERCICIOS RESOLVIDOS - INT-POLIN - MMQ - INT-NUMERICA - EDO x. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f: i 0 f(x i ).50
Leia maisCÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 4 Ajuste de Curvas AJUSTE DE CURVAS Cálculo Numérico 3/55 Introdução Em geral, experimentos geram uma gama de dados que devem
Leia maisMAP CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) Lista de Exercícios sobre o Método dos Mínimos Quadrados
MAP 2121 - CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) Lista de Exercícios sobre o Método dos Mínimos Quadrados 1: Usando o método dos mínimos quadrados de maneira conveniente, aproxime os pontos da tabela abaixo por uma
Leia maisf(x) = 1 + 2x + 3x 2.
Interpolação e ajuste não-segmentados 1 Introdução O problema geral da interpolação pode ser denido da seguinte forma: Seja F uma família de funções f : D E e {(x i, y i )} N i1 um conjunto de pares ordenados
Leia maisMatemática Computacional - Exercícios
Matemática Computacional - Exercícios 1 o semestre de 2007/2008 - Engenharia Biológica Teoria de erros e Representação de números no computador Nos exercícios deste capítulo os números são representados
Leia maisMAP Cálculo Numérico e Aplicações
MAP151 - Cálculo Numérico e Aplicações Lista 6 Correção Neste ponto, todos já sabemos que todas as questões têm o mesmo valor, totalizando 1. pontos. Questão 1 Comecei escrevendo uma função ajusta reta.sci
Leia maisExercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA
Exercícios de ANÁLISE E SIMULAÇÃO NUMÉRICA Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Química 2 o Semestre de 2005/2006 Capítulo IV Aproximação de Funções 1 Interpolação Polinomial 1. Na tabela seguinte
Leia maisSabendo que f(x) é um polinômio de grau 2, utilize a formula do trapézio e calcule exatamente
MÉTODOS NUMÉRICOS E COMPUTACIONAIS II EXERCICIOS EXTRAIDOS DE PROVAS ANTERIORES EXERCICIOS RESOLVIDOS - INTEGRACAO-NUMERICA - EDO. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f x i..5.7..5 f(x
Leia maisMétodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.
Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 20 (09/11/15) Interpolação: Introdução Características Interpolação Linear: Introdução Características Exercícios
Leia maisx exp( t 2 )dt f(x) =
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia Aproximação
Leia maisexercícios de análise numérica II
exercícios de análise numérica II lic. matemática aplicada e computação (4/5) aulas práticas - capítulo Exercício. Mostre que a soma dos polinómios base de Lagrange é a função constante. Exercício. Usando
Leia maisAndréa Maria Pedrosa Valli
Interpolação Polinomial Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil 2-32
Leia maisMétodos Numéricos Interpolação / Aproximação. Renato S. Silva, Regina C. Almeida
Métodos Numéricos Interpolação / Aproximação Renato S. Silva, Regina C. Almeida Interpolação / Aproximação situação: uma fábrica despeja dejetos no leito de um rio; objetivo: determinar a quantidade de
Leia maisFunção Afim. Definição. Gráfico
Função Afim Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função
Leia maisMAT ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 1 a Lista de Exercícios - 2 o semestre de 2006
MAT 2458 - ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 1 a Lista de Exercícios - 2 o semestre de 2006 1. Sejam u = (x 1, x 2 ) e v = (y 1, y 2 ) vetores de R 2. Para que valores de t R a funcão u, v = x 1 y 1 +
Leia maisInterpolação polinomial
Cálculo Numérico Prof. Daniel G. Alfaro Vigo dgalfaro@dcc.ufrj.br Departamento de Ciência da Computação IM UFRJ Motivação: População do Brasil Ano População (milhões) 1960 70, 992343 1970 94, 508583 1980
Leia maisLucia Catabriga e Andréa Maria Pedrosa Valli
1-35 Lucia Catabriga e Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil 2-35
Leia maisEspaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:
Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números
Leia maisSistemas de equações lineares
DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Sistema de Equações Lineares 1 Sistema de Equações Lineares 2 com pivoteamento parcial 3 Método de Jacobi Método Gauss-Seidel Sistema de Equações Lineares n equações
Leia mais1. Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: (a) 22 (b) 255 (c) 256 (d) 0.11 (e) (f)
1 a Lista de Exercícios de Cálculo Numérico Prof a. Vanessa Rolnik 1. Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: (a) 22 (b) 255 (c) 256 (d).11 (e).8125 (f) 4.69375 2. Converta os seguintes
Leia maisPUC-GOIÁS - Departamento de Computação
PUC-GOIÁS - Departamento de Computação Fundamentos IV/Enfase Clarimar J. Coelho Goiânia, 28/05/2014 Polinômio de Newton Polinômio de Newton Ideia básica Ideias sobre aproximação linear e quadrática podem
Leia maisSME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé. (α 1)z + 88 ]
SME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé 1 o sem/2016 Nome: 1 a Prova - 07/10/2016 Apresentar todos os cálculos - casas decimais 1. Considere a família de funções da forma onde
Leia maisÁlgebra Linear Semana 05
Álgebra Linear Semana 5 Diego Marcon 4 de Abril de 7 Conteúdo Interpretações de sistemas lineares e de matrizes invertíveis Caracterizações de matrizes invertíveis 4 Espaços vetoriais 5 Subespaços vetoriais
Leia mais2 Núcleos: suas propriedades e classificações
2 Núcleos: suas propriedades e classificações O objetivo desse capítulo é o de apresentar as funções núcleos (7), suas propriedades (10) e suas classificações (3). 2.1 Núcleos no espaço de Hilbert Um espaço
Leia maisCapítulo 3 - Mínimos Quadrados Lineares
Capítulo 3 - Mínimos Quadrados Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil e Electrotécnica Carlos Balsa Métodos
Leia maisCÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior
Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 4: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L Hôspital. Definir e calcular a aproximação linear
Leia maisEquações não lineares
Capítulo 2 Equações não lineares Vamos estudar métodos numéricos para resolver o seguinte problema. Dada uma função f contínua, real e de uma variável, queremos encontrar uma solução x que satisfaça a
Leia maisMAP CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) Lista de Exercícios sobre Interpolação e Integração. φ(x k ) ψ(x k ).
MAP 22 - CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) Lista de Exercícios sobre Interpolação e Integração : Sejam x =, x =, x 2 = 2 e x 3 = 3. (a) Determine os polinômios de Lagrange L i (x) correspondentes a estes pontos
Leia maisCap. 4- Interpolação Numérica Definições. Censos de BH. Qual o número de habitantes na cidade de Belo Horizonte em 1975?
Cap. 4- Interpolação Numérica 4.1. Definições Censos de BH População em BH (Habitantes,5,,, 1,5, 1,, 5, 194 196 198 Ano Ano 195 196 197 198 1991 1996 1 No. habitantes 5.74 68.98 1.5. 1.78.855..161.91.71.8.56.75.444
Leia maisIntrodução Operações de diferença finita Aproximações de ordem superior. Derivação numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS.
DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice 1 2 3 Nesta seção vamos desenvolver métodos para estimar a derivada de uma função f calculada em um ponto x, f x ), a partir de valores conecidos de f em pontos próximos
Leia maisModelagem Computacional. Parte 2 2
Mestrado em Modelagem e Otimização - RC/UFG Modelagem Computacional Parte 2 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2016 2 [Cap. 2 e 3] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning,
Leia maisEsmeralda Sousa Dias. (a) (b) (c) Figura 1: Ajuste de curvas a um conjunto de pontos
Mínimos quadrados Esmeralda Sousa Dias É frequente ser necessário determinar uma curva bem ajustada a um conjunto de dados obtidos experimentalmente. Por exemplo, suponha que como resultado de uma certa
Leia maisTestes Formativos de Computação Numérica e Simbólica
Testes Formativos de Computação Numérica e Simbólica Os testes formativos e 2 consistem em exercícios de aplicação dos vários algoritmos que compõem a matéria da disciplina. O teste formativo 3 consiste
Leia maisPolinômios de Legendre
Seção 5: continuação do método de resolução por séries de potências Na Seção foi exposto informalmente, através de exemplos, o método de resolução de equações diferenciais ordinárias por séries de potências.
Leia maisCálculo Numérico. Resumo e Exercícios P1
Cálculo Numérico Resumo e Exercícios P1 Fórmulas e Resumo Teórico Parte 1 Aritmética de ponto flutuante Operar com o número de algarismos significativos exigido. Arredondar após cada conta. Método de escalonamento
Leia maisy (n) (x) = dn y dx n(x) y (0) (x) = y(x).
Capítulo 1 Introdução 1.1 Definições Denotaremos por I R um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos e y : I R uma função que possua todas as suas derivadas, a menos que seja indicado o contrário.
Leia maisInterpolação polinomial: Polinômio de Lagrange
Interpolação polinomial: Polinômio de Lagrange Marina Andretta ICMC-USP 09 de maio de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0500 - cálculo
Leia maisEquações não lineares
DMPA IME UFRGS Cálculo Numérico Índice Raizes de polinômios 1 Raizes de polinômios 2 raizes de polinômios As equações não lineares constituídas por polinômios de grau n N com coeficientes complexos a n,a
Leia maisMétodos Numéricos - Notas de Aula
Métodos Numéricos - Notas de Aula Prof a Olga Regina Bellon Junho 2007 Introdução A interpolação é outra técnicas bem conhecida e básica do cálculo numérico. Muitas funções são conhecidas apenas em um
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ. Cálculo Numérico. S. C. Coutinho. Provas e gabaritos
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ Cálculo Numérico S. C. Coutinho Provas e gabaritos Lembre-se: Nas provas não são aceitas respostas sem justicativa. Você
Leia maisAula 3 11/12/2013. Integração Numérica
CÁLCULO NUMÉRICO Aula 3 11/12/2013 Integração Numérica Objetivo: Calcular integrais utilizando métodos numéricos Cálculo Numérico 3/64 Integração Numérica Cálculo Numérico 4/64 Integração Numérica Em determinadas
Leia maisMatemática Computacional - 2 o ano LEMat e MEQ
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica Matemática Computacional - o ano LEMat e MEQ Exame/Teste - 5 de Fevereiro de - Parte I (h3m). Considere
Leia maisMatemática Computacional - Exercícios
Matemática Computacional - Exercícios 2 o semestre de 2005/2006 - LEE, LEGI e LERCI Programação em Mathematica 1. Calcule no Mathematica e comente os resultados: (a) 7; (b) 7.0; (c) 14406; (d) cos π 6
Leia maisA. Equações não lineares
A. Equações não lineares 1. Localização de raízes. a) Verifique se as equações seguintes têm uma e uma só solução nos intervalos dados: i) (x - 2) 2 ln(x) = 0, em [1, 2] e [e, 4]. ii) 2 x cos(x) (x 2)
Leia maisFunções ortogonais e problemas de Sturm-Liouville. Prof. Rodrigo M. S. de Oliveira UFPA / PPGEE
Funções ortogonais e problemas de Sturm-Liouville Prof. Rodrigo M. S. de Oliveira UFPA / PPGEE Série de Fourier Soma de funções ortogonais entre si Perguntas: -existem outras bases ortogonais que podem
Leia maisÁlgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07
Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō ano/ ō S 6/7 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES Sistemas de equações lineares. Quais das seguintes equações
Leia mais28/09/ Prof. Eduardo Colli Gabarito
Prova - Cálculo Numérico com Aplicações à Física 8/9/5 - Prof. Eduardo Colli Gabarito Questão.. (.5) Ajuste a sin( πx ) a y(x) = 3 x3 x por mínimos quadrados, no intervalo [, ], com peso uniforme. Esboce
Leia maisExercícios de Mínimos Quadrados
INSTITUTO DE CIÊNCIAS MATEMÁTICAS E DE COMPUTAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA E ESTATÍSTICA Exercícios de Mínimos Quadrados 1 Provar que a matriz de mínimos quadrados é denida positiva, isto é,
Leia mais1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica 2 o semestre de 2016
1 a Lista de Exercícios de MAT3458 Escola Politécnica o semestre de 16 1 Para que valores de t R a função definida por (x 1, x ), (y 1, y ) = x 1 y 1 + tx y é um produto interno em R? Para cada par de
Leia maisMatemática Computacional
Matemática Computacional MEEC 1 ạ Parte/ 1 ọ Teste 019/01/ 18h30 (+1h30) Apresente todos os cálculos e justifique convenientemente as respostas. 1. Nas duas alíneas seguintes apresente os resultados num
Leia maisLOM Teoria da Elasticidade Aplicada
Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR) Escola de Engenharia de orena (EE) Universidade de São Paulo (USP) OM3 - Teoria da Elasticidade Aplicada Parte 4 - Análise Numérica de Tensões e Deformações
Leia maisNotas de Aula de Cálculo Numérico
IM-Universidade Federal do Rio de Janeiro Departamento de Ciência da Computação Notas de Aula de Cálculo Numérico Lista de Exercícios Prof. a Angela Gonçalves 3 1. Erros 1) Converta os seguintes números
Leia maisAula 3 Volumes Finitos
Universidade Federal do ABC Aula 3 Volumes Finitos EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional Duas metodologias Leis de Conservação Integrais EDPs O Método dos Volumes Finitos (MVF) Leis de Conservação Integrais
Leia maisIntegração Numérica. Maria Luísa Bambozzi de Oliveira. 27 de Outubro, 2010 e 8 de Novembro, SME0300 Cálculo Numérico
Integração Numérica Maria Luísa Bambozzi de Oliveira SME0300 Cálculo Numérico 27 de Outubro, 2010 e 8 de Novembro, 2010 Introdução Nas últimas aulas: MMQ: aproximar função y = f (x) por uma função F(x),
Leia mais3.6 Erro de truncamento da interp. polinomial.
3 Interpolação 31 Polinômios interpoladores 32 Polinômios de Lagrange 33 Polinômios de Newton 34 Polinômios de Gregory-Newton 35 Escolha dos pontos para interpolação 36 Erro de truncamento da interp polinomial
Leia maisAjuste de dados pelo Métodos dos Mínimos Quadrados
Ajuste de dados pelo Métodos dos Mínimos Quadrados Prof. Santos Alberto Enriquez Remigio Famat-Ufu Problema Após serem efetuadas medições num gerador de corrente contínua, foram obtidos os valores indicados
Leia maisAula 4: Gráficos lineares
Aula 4: Gráficos lineares 1 Introdução Um gráfico é uma curva que mostra a relação entre duas variáveis medidas. Quando, em um fenômeno físico, duas grandezas estão relacionadas entre si o gráfico dá uma
Leia maisCapítulo 4 - Interpolação Polinomial
Capítulo 4 - Interpolação Polinomial Carlos Balsa balsa@ipbpt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng Civil e Electrotécnica Carlos Balsa Métodos Numéricos
Leia maisMÉTODOS NUMÉRICOS. ENGENHARIA ELECTRÓNICA INDUSTRIAL e de COMPUTADORES
UNIVERSIDADE DO MINHO MÉTODOS NUMÉRICOS ENGENHARIA ELECTRÓNICA INDUSTRIAL e de COMPUTADORES EXERCÍCIOS PRÁTICOS- 1 a parte Ano lectivo de 2004/2005 Exercícios práticos - CONUM Solução de uma equação não
Leia maisMétodos Numéricos C. A. Ismael F. Vaz 1. Escola de Engenharia Universidade do Minho Ano lectivo 2007/2008
Métodos Numéricos C A. Ismael F. Vaz 1 1 Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Ano lectivo 2007/2008 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN C 2007/2008
Leia maisMatemática Computacional - 2 o ano LEMat e MEQ
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica Matemática Computacional - o ano LEMat e MEQ Exame/Teste - 1 de Janeiro de 1 - Parte I (1h3m) 1. Considere
Leia maisMAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas
MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Vimos que uma função
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos
CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA OITAVA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos a primeira técnica de integração: mudança
Leia maisCÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 17: Crescimento e Decrescimento de funções. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e
Leia maisMAT 2110 : Cálculo para Química
MAT 2110 : Cálculo para Química Aula 3/ Sexta 28/02/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Resumo Aula 2 1 Informaçãoes gerais: Site: ver o link para MAT 2110 na pagina http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html
Leia maisTE 231 Capitulo 5 Ajuste de Curva. Prof. Mateus Duarte Teixeira
TE 231 Capitulo 5 Ajuste de Curva Prof. Mateus Duarte Teieira 1. Introdução No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função (polinômio) definida por uma tabela. A interpolação polinomial.
Leia mais- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;
DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA UNIDADE 3: ÁLGEBRA LINEAR. OPERADORES OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá: - identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;
Leia maisMódulo 4 Ajuste de Curvas
Módulo 4 Ajuste de Curvas 4.1 Intr odução Em matemática e estatística aplicada existem muitas situações onde conhecemos uma tabela de pontos (x; y), com y obtido experimentalmente e deseja se obter uma
Leia maisCálculo Numérico BCC760
Cálculo Numérico BCC760 Resolução de Sistemas de Equações Lineares Simultâneas Departamento de Computação Página da disciplina http://www.decom.ufop.br/bcc760/ 1 Introdução! Definição Uma equação é dita
Leia maisCM005 Álgebra Linear Lista 3
CM005 Álgebra Linear Lista 3 Alberto Ramos Seja T : V V uma transformação linear. Se temos que T v = λv, v 0, para λ K. Dizemos que λ é um autovalor de T e v autovetor de T associado a λ. Observe que λ
Leia maisTE231 Capitulo 2 Zeros de Funções; Prof. Mateus Duarte Teixeira
TE231 Capitulo 2 Zeros de Funções; Prof. Mateus Duarte Teixeira Sumário 1. Como obter raízes reais de uma equação qualquer 2. Métodos iterativos para obtenção de raízes 1. Isolamento das raízes 2. Refinamento
Leia mais12 AULA. ciáveis LIVRO. META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais.
1 LIVRO Diferen- Funções ciáveis META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Estender os conceitos de diferenciabilidade de funções de uma variável a valores reais. PRÉ-REQUISITOS
Leia maisAjuste de Curvas. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão. Disciplina: Cálculo Numérico Professor: Jonas Joacir Radtke
Ajuste de Curvas Campus Francisco Beltrão Disciplina: Professor: Jonas Joacir Radtke Uma forma de se trabalhar com uma função definida por uma tabela de valores é a interpolação. Contudo, a interpolação
Leia maisSUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS
4 SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS Em muitos problemas de probabilidade que requerem o uso de variáveis aleatórias, uma completa especificação da função de densidade de probabilidade ou não está
Leia maisAgenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação
Agenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação Sistemas Lineares Sistemas lineares são sistemas de equações com m equações e n incógnitas formados por equações lineares. Um
Leia maisCÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão;
Leia maisCÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 06: Continuidade de Funções Objetivos da Aula Definir função contínua; Reconhecer uma função contínua através do seu gráfico; Utilizar as
Leia maisAPROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS INTRODUÇÃO Frequentemente é possível estabelecer uma relação linear entre duas grandezas medidas experimentalmente. O método dos mínimos quadrados é uma maneira de se obter
Leia maisétodos uméricos INTERPOLAÇÃO, EXTRAPOLAÇÃO, APROXIMAÇÃO E AJUSTE DE FUNÇÕES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
étodos uméricos INTERPOLAÇÃO, EXTRAPOLAÇÃO, APROXIMAÇÃO E AJUSTE DE FUNÇÕES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA
Leia maisResolução de Sistemas Lineares. Ana Paula
Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Introdução 2 Alguns Conceitos de Álgebra Linear 3 Sistemas Lineares 4 Métodos Computacionais 5 Sistemas Triangulares 6 Revisão Introdução Introdução Introdução
Leia maisExercícios de programação
Exercícios de programação Estes exercícios serão propostos durante as aulas sobre o Mathematica. Caso você use outra linguagem para os exercícios e problemas do curso de estatística, resolva estes problemas,
Leia maisMatemática Computacional. Exercícios. Teoria dos erros
Matemática Computacional Exercícios 1 o Semestre 2014/15 Teoria dos erros Nos exercícios deste capítulo os números são representados em base decimal. 1. Represente x em ponto flutuante com 4 dígitos e
Leia maisÁlgebra Linear. Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07
Álgebra Linear Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente ō ano/ ō Semestre 2006/07 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES
Leia maisMatrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis
Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas
Leia maisCapítulo 5 - Interpolação Polinomial
Capítulo 5 - Interpolação Polinomial Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Química e Gestão Industrial Carlos Balsa
Leia mais1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear Prof. Vyacheslav Futorny
1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear - 213 - Prof. Vyacheslav Futorny 1 a parte: Resolução de sistemas de equações lineares, matrizes inversíveis 1. Para cada um dos seguintes sistemas de equações
Leia mais15 AULA. Máximos e Mínimos LIVRO. META Encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis a valores reais.
1 LIVRO Máximos e Mínimos 1 AULA META Encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Maximizar e/ou minimizar função de duas variáveis a valores reais.
Leia maisLimites de Funções. Bases Matemáticas. 2 o quadrimestre de o quadrimestre de / 57
2 o quadrimestre de 2017 2 o quadrimestre de 2017 1 / Visão Geral 1 Limites Finitos Limite para x ± 2 Limites infinitos Limite no ponto Limite para x ± 3 Continuidade Definição e exemplos Resultados importantes
Leia mais