Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis

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1 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Ricardo M. S. Rosa Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ) I EBED Escola Brasileira de Equações Diferenciais 9 a 13 de junho de 2003 IMECC - Unicamp 1 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Tópicos: 1. As equações de Navier-Stokes, equações correlatas e algumas questões fundamentais 2. Aspectos matemáticos das equações de Navier-Stokes 3. Teoria estatística convencional de turbulência 4. Soluções estatísticas das equações de Navier-Stokes 5. Aplicações das soluções estatísticas em turbulência 2

2 Equações de Navier-Stokes (escoamento compressível) ρ u 3 i t + u i u j = σ ij + f i, i = 1, 2, 3, x j x j ρ 3 t + j=1 j=1 (ρu j ) x j = 0, (u 1, u 2, u 3 ) = vetor velocidade do fluido, (x 1, x 2, x 3 ) = posição, (f 1, f 2, f 3 ) = força de volume, ρ = densidade, σ ij = tensor de stress. 3 Tensor de stress e pressão d dt (momento) = fç volume {}}{ V (t) f + fç superfície {}}{ V (t) σ n = V (t) (f + div σ). PSfrag replacements V (t 0 ) V (t 1 ) σ ij = pδ ij + d ij, p def = σ kk def δ ij = delta de Kronecker, 3 ( d ij = 2µ e ij e ) kk 3 δ ij (escoamento Newtoniano), def e ij = 1 ( ui + u ) j = tensor rate-of-strain. 2 x j x i (p = pressão hidrostática, σ ij = pδ ij, caso fluido estático). 4

3 Escoamentos Newtonianos Newton (1687): d = µ u 1 x 2, caso laminar u 1 (x 2 ) 0 d 0 u = 0 = d ij = d 0 0, d = d 12 = d Euler (1755): d ij = 0 (fluido ideal ) eqs. de Euler; Navier (1822), Cauchy (1828), Poisson (1829), Saint-Venant (1843) e Stokes (1845): ( d ij = 2µ e ij e ) kk 3 δ ij equações de Navier-Stokes. 5 Equações de Navier-Stokes Navier (1822): µ = função do espaçamento molecular, sem significado físico; Cauchy (1828), Poisson (1829): idem; Saint-Venant (1843): derivação das equações com mais fundamento físico, valendo para escoamentos não necessariamente laminares; Stokes (1845): idem, da forma feita atualmente, com µ = viscosidade molecular (atrito). 6

4 A ponte suspensa de Navier (Pont des Invalides) Navier: Blow-up and Collapse, AMS Notices, Janeiro Navier: professor École des Ponts et Chaussées, Paris. Pontes Suspensas: Finley, pioneiro, nos EUA ( 1800), depois engenheiros da Grã-Bretanha, finalmente Navier na França, sob incentivo de seus superiores e do governo... Navier: Após estudar pontes da Grã-Bretanha, entre 1821 e 1823, escreve tratado sobre pontes usando métodos matemáticos modernos (equações diferenciais simples e séries de Fourier, uma de suas especialidades). 7 Navier: Em 1823, apresenta projeto com cálculos precisos, sem necessidade de exagerar na estrutura para compensar aproximações e erros típicos da engenharia. A ponte: Em 1826, 5 semanas antes da conclusão, um suporte dos cabos da ponte racha, devido a um vazamento de água próximo. A ponte foi eventualmente desmontada. Oscilações induzidas pelo vento (turbulento, em certos casos) são difíceis de serem calculadas; provavelmente o modelo usado não tinha a precisão necessária. 8

5 Equações de Navier-Stokes (compressível - vetorial) ( u ρ t ρ t ) + (u )u + p = µ u + µ ( u) + f, 3 + (ρu) = 0. u = (u 1, u 2, u 3 ), x = (x 1, x 2, x 3 ) f = (f 1, f 2, f 3 ), σ = p + µ u + µ ( u), 3 σ = (σ ij ) ij, σ ij = pδ ij + 2µ(e ij ( u)δ ij), 9 Escoamentos incompressíveis e homogêneos Variação de volume: d dv = dt V (t) V (t) u n ds = V (t) u dv. Escoamentos incompressíveis (densidade independente de variações na pressão): u = 0 e 0 = ρ t + (ρu) = ρ t + (u )ρ + ρ u = Dρ Dt. Escoamentos incompressíveis e homogêneos: u = 0 e ρ ρ 0 (constante). 10

6 Equações de Navier-Stokes (incompressível e homogêneo) ( ) u ρ 0 + (u )u + p = µ u + f, t u = 0. Dividindo por ρ 0 e substituindo p/ρ 0 por p e f/ρ 0 por f: u + (u )u + p = ν u + f, t u = 0. u = (u 1, u 2, u 3 ) = campo de velocidades, p = pressão cinemática, f = (f 1, f 2, f 3 ) = densidade das forças de volume, ν = viscosidade cinemática. 11 Algumas questões fundamentais Existência e unicidade de soluções globais (o prêmio de US$ 1, da Fundação Clay); Limite de Euler (Re ); Derivação das equações via mecânica estatística; Estabilidade, instabilidade e transição para turbulência; Turbulência completamente desenvolvida; α model ou equações de Camassa-Holm; Estruturas coerentes (vórtices - linhas, folhas, etc.); Variedade inercial (lenta), aprox numérica, inicialização; Escoamentos geostróficos, no. Rossby e fça de Coriolis. 12

7 Prêmio: US$1, da Clay Foundation Problema A: (Solução global) Dado u 0 suave, com u 0 = 0 e k x i u 0 (x) c km (1 + x ) m, k, m N, x R 3, achar soluções suaves u = u(t, x), p = p(t, x) das ENS em R 3, com u, p C ([0, ) R 3 ), Ω u(t, x) 2 dx C, t 0, e u(0, x) = u 0 (x). Problema B: (explosão em tempo finito) Mostrar existência de u 0 e f suaves, com u 0 = 0 e k x i u 0 (x) c km (1 + x ) m, r t k x i u 0 (x) c rkm (1 + t + x ) m, r, k, m N, t 0, x R 3, tais que que não existam soluções das ENS em R 3 como acima. Problemas A, B : com condições de contorno periódicas. 13 Resultados conhecidos Existência global (no tempo) de soluções fracas (não necessariamente suaves ou únicas) Existência local (no tempo) de soluções suaves Um pouco de regularidade (L s (0, T ; L r (Ω) 3 ), r > 3, 2/s + 3/r 1, Serrin (1962)) implica em soluções locais suaves e únicas Existência e unicidade global de soluções suaves em duas dimensões Estimativas fractais do conjunto de singularidades ( u = ) no tempo, d H (S t ) 1/2 (dimensão de Hausdorff), e no espaço-tempo, P 1 (S e:t ) = 0 (medida de Hausdorff parabólica, tempo conta dobrado ) 14

8 Escoamentos geostróficos u + (u )u + 2Ω u + p = ν u + Φ + f, t u = 0. Ω PSfrag replacements Φ = φ + φ c = potenciais gravitacional + fç centrífuga 2Ω u = força de Coriolis Ω = velocidade angular (direção e magnitude) 15 Escoamentos com rápida rotação 2Ω u 1 ɛ e Ω u, e Ω = Ω Ω, Ω = Ω ε = U = número de Rossby 2ΩL U θ ε θ = = número de Rossby local (latitude θ) 2ΩL θ sin θ Escoamentos geostróficos longe do equador: ε 0.1 Grande interesse em escoamentos com rápida rotação pela comunidade de meteorologia e climatologia. Escoamentos com rápida rotação são quase 2D ( 2 1/2 ): existência e unicidade global de soluções suaves (Babin, Malahov, Nicolaenko) 16

9 Equações primitivas da atmosfera Densidade varia com a altura; Aproximação de Boussinesq; Altura relativamente pequena em relação ao globo; Falta existência e unicidade global mesmo em duas dimensões (escoamento latitudinal ou longitudinal), no caso sem viscosidade vertical. Outros componentes: temperatura, salinidade (no oceano), substâncias químicas, calotas polares, etc. 17 α-model ou equações de Camassa-Holm (viscosas) v t + (u )v + ( ut ) v + p = ν v + f, u = 0, v = (I α 2 )u. Existência e unicidade global em 3D conhecidas; Utilizado como modelo para fechamento turbulento; Semelhanças com a regularização de Leray: v = (I + α( ) 1/2 )u e sem o termo ( u t ) v. α Euler = Camassa-Holm sem visc., 3D em aberto Marsden, Foias, etc. 18

10 Transição para turbulência - bifurcações 19 O problema de Couette-Taylor Couette: ω i = 0, ω e 0 Mallock, Taylor: ω i 0, ω e = 0 ω e ω i r i r e PSfrag replacements 20

11 Couette-Taylor - Chossat-Iooss (1994): ω e = 0, ω i > 0 escoamento de Couette escoamento de Taylor A) B) ponto fixo ponto fixo C) D) PSfrag replacements escoamento "wavy vortex" órbita quasi periódica (toro T^2) ondas moduladas órbita quasi periódica (toro T^n) 21 Bifurcações Couette-Taylor - 2 parâmetros Reynolds Re i = r i(r e r i )ω i ν, Re e = r e(r e r i )ω e. ν 22

12 Escoamentos turbulentos: várias escalas presentes, se movendo de maneira imprevisível, mas bem comportadas em um sentido estatístico. 23 Estruturas coerentes e intermitência Estruturas coerentes: filamentos de vórtices com baixa dissipação de energia, diâmetro da ordem de l ɛ, comprimento (l T, l 0 ). Universalidade questionada devido a variações intermitentes na dissipação de energia. 24

13 Mais estruturas coerentes 25 PSfragAtrator replacements global órbita Exemplo 1 A Conjunto compacto A Invariante: S(t)A = A, t R Atrai todas as órbitas, uniformemente para condições PSfrag replacements iniciais limitadas A órbita Exemplo 1A órbita Exemplo 2 26

14 Dimensão do atrator global Sendo compacto, A pode ser aproximado por subespaços afins de dimensão finita Na maioria dos casos, A tem dimensão fractal finita Nesses casos, A pode ser imerso em variedades euclidianas de dimensão finita Possibilidade de se obter sistemas finitos de EDOs com o mesmo comportamento assintótico diminuição de volumes para dimensão fractal finita 27 Dimensão do atrator das ENS dim f A graus de liberdade Landau-Lifchitz ENS 2D periódico: dim f A ( l0 l η ) 2 ( 1 + ln ENS 2D com aderência na fronteira: dim f A ( )) 1/3 l0 ENS 3D, para conjuntos invariantes regulares V: dim f V ( ) 3 l0 l ɛ l η ( ) 2 l0 l ɛ onde η e ɛ similares a ɛ = ν lim sup T sup u 0 V 1 T T 0 Ω u(t, x) 2 dxdt 28

15 Variedade inercial Variedade Lipschitz de dimensão finita Positivamente invariante, i.e. S(t)M M, t 0 Atrai todas as órbitas exponencialmente e uniformemente para condições iniciais limitadas u 0 M u = u(t) ag replacements A 29 Completude assintótica de variedades inerciais Em geral, para toda solução u = u(t), existe solução v = v(t) M com o mesmo comportamento assintótico lim u(t) v(t) = 0 e ω(u) = ω(v) t Atração exponencial M captura boa parte do comportamento transiente u PSfrag replacements M v 30

16 Existência de variedades inerciais Requer forte dissipação (contração uniforme de volumes) Existência demonstrada para várias equações em uma dimensão espacial e em casos especiais em 2D Em aberto para NSE 2D e 3D Transformada de Kwak ainda incompleta Relação com variedades lentas em meteorologia dados atmosféricos variedade inercial (lenta) inicializações 31 Aproximação de variedades inerciais Métodos numéricos mais precisos baseados em aproximações de variedades inerciais Eficiência depende da regularidade das soluções e do objetivo do estudo Apropriado para estudos da dinâmica (e.g. captura de ligações heterocĺınicas) variedade inercial aproximada variedade inercial aproximação de Galerkin 32

17 Atrator exponencial Intermediário entre atrator global e variedade inercial Aproxima exponencialmente as órbitas mas não é variedade euclidiana Existência para várias equações, inclusive ENS 2D Parametrização por mapeamentos Hölder-contínuos Resultados parciais sobre existência de sistemas de dimensão finita com dinâmica equivalente parametrização do atrator exponencial atrator exponencial 33 Modos determinantes, nódulos determinantes, etc. Sejam H = espaço de fase X n = espaço de dimensão finita P : H X n (Galerkin, diferenças finitas, etc.) Questões: P u(t) P v(t) 0, t, implica em u(t) v(t) 0? P restrito ao atrator é bijetivo? Relacionado com reconstrução de atratores. 34