Universidade Federal do Paraná

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1 Universidade Federal do Paraná Programa de pós-graduação em engenharia de recursos hídricos e ambiental TH705 Mecânica dos fluidos ambiental II Prof. Fernando Oliveira de Andrade

2 Os escoamentos turbulentos livres são aqueles que acontecem longe de paredes sólidas A turbulência é gerada por gradientes de velocidade nas camadas do escoamento, por isto este tipo de escoamento também é chamado de cisalhante livre Exemplos desse tipo de escoamento são os jatos livres no meio ambiente e escoamentos em camadas de mistura

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4 Jato turbulento livre Vamos considerar um jato turbulento axisimétrico de um fluido Newtoniano e incompressível em regime permanente O jato desemboca com velocidade uniforme U J sobre um fluido idêntico em repouso através de um bocal com diâmetro d As estatísticas do escoamento dependem das coordenadas axiais e radiais (x e r) e são independentes da direção circunferencial q

5 As componentes do vetor velocidade associadas as direções x, r, θ são U, V, W U V e W = 0 As estatísticas são independentes da direção circunferencial (i.e., = 2 = 0) θ θ 2 As derivadas preponderantes no problema são na direção r (i.e., r x, 2 r 2 2 x 2)

6 Regiões do jato Núcleo potencial: desenvolvimento da camada limite Região de transição: estabelecimento da autosimilaridade, em torno de x d = 25 Região auto-similar x região auto-similar região de transição núcleo potencial r

7 Velocidade na linha de centro A velocidade na linha de centro U x, 0,0 = U 0 x decai a medida que se afasta do bocal A meia largura do jato r 1 (x) é definida tal que 2 U x, r 1, 0 = 1 U x Após uma distância x/d > 25, observa-se que o campo de velocidade é similar, isto é, possui a mesma forma A velocidade U normalizada pela velocidade na linha de centro U 0, colapsa em uma única curva. Isto é, o perfil de velocidade média é chamado de auto-similar

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9 Variação da velocidade na linha de centro

10 Taxa de alargamento do jato A taxa de alargamento do jato S = dr 1 2 dx Colocado e outra maneira, temos r 1 2 x = S(x x 0) O número de Reynolds local Re 0 (x) = r 1 2 (x)u 0(x)/ν é independente de x é constante

11 Apesar de o número de Reynolds afetar a estrutura do jato a taxa de alargamento do jato e a taxa de variação da velocidade média na linha de centro independem do número de Reynolds Normalmente adota-se S = 0,094 e B = 5,8

12 Similaridade Considere uma quantidade Q(x, y) que depende de duas variáveis independentes (x, y) e possui escalas características Q 0 (x) e δ(x) As variáveis adimensionais podem ser escritas como ξ = y δ(x) Q(ξ, x) = Q(x, y) Q 0 (x)

13 Se Q(ξ, x) = Q(ξ) então Q(x, y) é auto-similar Observações: As escalas Q 0 (x) e δ(x) devem ser escolhidas adequadamente O comportamento auto-similar é observado em somente uma faixa de x Se Q(x, y) é governado por EDP, Q(ξ) é governando por EDO

14 Variáveis de similaridade do jato A variável de similaridade radial é definida como ξ = r r η = ou (x x 0 ) r 1 2 A variável de similaridade da velocidade média é f η = f ξ = U(x, r) U 0 (x)

15 f ξ = U(x, r) U 0 (x) Componente lateral da velocidade média f ξ = V(x, r) U 0 (x)

16 Tensor de Reynolds Após a região de desenvolvimento do jato as tensões de Reynolds também são auto-similares (as flutuações decaem na mesma proporção que a velocidade média) u i u j = u 2 uv 0 vu v w 2 As tensões auto-similares são f η = f ξ = u iu j (x, r) U 0 2 (x)

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18 As tensões de Reynolds são anisotrópicas na região auto-similar A razão da flutuação da velocidade em relação a velocidade média aumenta na direção da borda do jato A viscosidade turbulenta também é auto-similar Uma estimativa da escala de comprimento integral dos movimentos turbulentos é dada pela distância em que as flutuações de velocidade são correlacionadas

19 ν T η = ν T (x, r) U 0 (x)r 1 2(x)

20 Fluxo de quantidade de movimento O fluxo de quantidade de movimento na direção axial é constante

21 Equações médias de Navier-Stokes O escoamento do jato turbulento pode ser resolvido analiticamente mediante o uso de algumas hipóteses simplificadoras (analogamente ao escoamento laminar) Considera-se escoamento de fluido Newtoniano, incompressível em regime permanente, na direção preferencial x, com U V e W = 0 e com gradientes predominantes na direção y (i.e., y x e z = 0)

22 Equações médias da camada limite

23 Os termos entre chaves possuem ordem de grandeza inferior e são negligenciados A equação na direção y (radial) resulta em O gradiente de pressão na direção axial é

24 A equação na direção x (axial) resulta em com dp dx = 0

25 Solução analítica da equação do jato turbulento livre Fechamento da turbulência com uma viscosidade turbulenta constante De modo que

26 A solução dessa equação foi obtida por Schlichting (1933) em termos das variáveis auto-similares f η = U U 0 η = A solução é e r (x x 0 ) f η = 1 (1 + aη 2 ) 2 com a = 2 1 S 2

27 Dados experimentais de Hussein et al. (1994) Solução analítica de Schlichting (1933) f η = U U 0 η = r (x x 0 ) f η = 1 (1 + aη 2 ) 2 a = 2 1 S 2 S = 0,094

28 Energia cinética turbulenta Subtraindo-se a equação média da equação original de Navier-Stokes obtém-se uma equação para flutuação u i Multiplica-se a equação obtida da flutuação por u i e tira-se a média temporal da equação resultante. Chega-se a equação de conservação para a energia cinética turbulenta k onde P k é a produção, D k é a difusão e ε é a taxa de dissipação da energia cinética turbulenta

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30 A dissipação da energia cinética turbulenta é o termo dominante (i.e., dissipação é a conversão de energia cinética em energia térmica) O pico de produção de energia cinética turbulenta acontece em r r 1 2 0,6, onde P k ε 0,8 Nas bordas do jato a transferência de energia cinética turbulenta por difusão se equilibra com a dissipação

31 Outros escoamentos turbulentos livres, tais como camadas de mistura e esteiras, também possuem similaridade e podem ser resolvidos da mesma forma que o jato livre