Convecção Térmica. Subdivisões: Convecção forçada no exterior de corpos Convecção forçada no interior de corpos. Convecção natural ou livre

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1 Convecção Térmica Subdivisões: Convecção forçada no exterior de corpos Convecção forçada no interior de corpos Convecção natural ou livre

2 O coeficiente de Transmissão de Calor (h) O coeficiente de transmissão de calor representa a intensidade de troca em um determinado ponto: q,, =h T s T Numa superfície a taxa de transferência total q é: q= A q,, da= A h T s T da este mesmo q poderia ser calculado na forma: q=h A T s T h onde e assim: é o coeficiente médio de transferência de calor. h= 1 A A h da

3 Termo Transiente da Convecção c p T t = x k T x y k T y z k T z q (2.13) Para o caso da convecção: c p D T D t = x k T x y k T y z k T z q onde: Ψ representa os termos de dissipação viscosa D representa a Derivada Total, que leva em conta a movimentação do fluido.

4 Derivada Total No caso da convecção, a posição da partícula é dependente do tempo (t): D T D t = T t x t T x y t T y z t T z ou em termos de velocidades: D T D t = T t u T x v T y w T z A equação geral com k constante e q=ψ=0, resulta: 1 T t u T x v T y w T z = 2 T x 2 T 2 y 2 T 2 z 2

5 Solução geral do problema de Convecção Além da Eq. Energia (anterior) a solução geral depende do conhecimento do campo de velocidades (Eqs. de Navier-Stokes Fluido Incompressível): u t u u x v u y w u z = 2 u x 2 u 2 y 2 2 u z P B x 2 x [ g ] x v t u v x v v y w v z = 2 v x 2 2 v v y 2 2 z P B y 2 y [ g] y w t u w x v w y w w z = 2 w w x 2 2 y 2 w 2 z 2 u x v y w z =0 P B z z [ g ] z Somente a solução combinada destas cinco equações, com suas respectivas condições de contorno e simplificações, resolve o problema de Convecção

6 Adimensionalização das Equações Eq. Energia 1 T t u T x v T y w T z = 2 Temperatura: T x 2 2 T y 2 2 T z 2 = T T T i T x = 1 T T i T x 2 x = 1 2 T 2 T i T x T i T t u x v y w z =T i T 1 t u x v y w z = análogo t, x, y, z x 2 2 y 2 2 z 2 z 2 x 2 2 y 2 2

7 1 t u x v y w Espaço: x= x L d x= 1 L d x o mesmo vale para y= y L e z= z L 1 L L t u x v y w z = 1 L 2 Velocidade: z = 2 u= u L o mesmo vale para v= v L 1 L 2 L2 t u x v y w z = 1 L 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 x 2 2 y 2 2 z 2 e w= w L 2 x 2 2 y 2 2 z 2

8 L 2 t u x v y w z = 2 Tempo: x 2 2 y 2 2 z 2 Fo== t L d Fo=d = L2 dt dt= 2 2 L d u x v y w z = 2 x 2 2 y 2 2 z 2

9 Adimensionalização das Equações Eq. Qtde Movimento u t u u x v u y w u Espaço: z = 2 x= x L d x= 1 L d x o mesmo vale para y= y L e z= z L L L u t u u x v u y w u z = L 2 Velocidade: u= u L o mesmo vale para v= v L 2 L L2 3 u x 2 2 u u y 2 2 z P 2 x [ g ] x 2 u x 2 2 u y 2 u 2 z 1 2 L e w= w L u t u u x v u y w u z = L 3 2 u x 2 u 2 y 2 2 u z 2 1 L P x [ g ] x P x [ g ] x

10 L 2 u t u u x v u y w u z = 2 u x 2 2 u y 2 2 u z 2 Tempo: L 2 2 Fo== t L d Fo=d = L2 2 2 dt dt= L d u u u x v u y w u z = 2 u x 2 2 u y 2 2 u z 2 L 2 2 P x L3 2[ g ] x P x L3 2[ g ] x

11 Convecção Forçada O termo de campo pode ser desprezado(compare Natural): u u u x v u y w u z = 2 u x 2 u 2 y 2 2 u z 2 Número de Prandtl: Pr= = = c p k u u u x v u y w u z =Pr 2 L 2 2 P x L3 2[ g ] x u x 2 u 2 y 2 u 2 z L2 2 2 P x

12 Condição de Corrente Livre Considerando um ponto na corrente livre u 0 a sua velocidade é dada por: u 0 = u 0 L Embora a adimensionalização tenha dado bons resultados é possível melhora-la ainda definido para este caso uma nova velocidade adimensional: u= u u 0 de maneira que a condição fique u 0 = u 0 u 0 =1

13 Eq. Adimensionalizada modificada 1 u u 0 u u x v u y w u z =Pr u 0 Pressão: 2 u x 2 2 u y 2 2 u z 2 P= P L2 2 u = P L u 0 L/ = P 2 u = P= 2 2 P u u u 0 u u x v u y w u z =Pr u 0 Número de Reynolds: u 0 = u 0 L =u 0 L =Re Pr 2 u x 2 2 u y 2 2 u z 2 L2 2 u 0 2 P x P x

14 Equação da Quantidade de Movimento Adimensionalizada 1 Re Pr u u u x v u y w u z = 1 2 Re u x 2 u u 2 y 2 2 z 2 P x Condições de de contorno usuais: velocidades das paredes conhecidas (1ª espécie) u=u d u= u d L u= u d u 0 condição de escoamento desenvolvido (2ª espécie) u x =0 u x =0 u x =0

15 Equação da Energia Adimensionalizada Re Pr u x v y w z = 2 x 2 2 y 2 2 z 2 Condições de de contorno usuais: temperaturas das paredes conhecidas (1ª espécie) T =T 1 = T 1 T T i T condição de fluxo de calor dado (2ª espécie), T x = q, k x = L q,, k T i T = q e ainda...

16 Condição de 3ª espécie k T =h T x s T T = h T s T s x s k que adimensionalizada resulta em: = L h T s T = h L x s k T i T k Número de Nusselt: Nu= h L k = Nu s x s s

17 Equação da Conservação da u x v y w z =0 Espaço: Massa x= x L d x= 1 L dxo mesmo vale para y= y L e z= z L u x v y w z =0 Velocidade: u= u L o mesmo vale para v= v L u x v y w z = u x v y w z =0 e w= w L e u= u u o = u u 0

18 Parâmetros de Influência no Caso de Convecção Forçada Equações dimensionais: Depede de:, c p, k,t i,h,t, q,, u 0, Lescala e Geometria Equações adimensionais: Depede de: Re, Pr, i, Nu, q e Geometria Assim para problemas em Reg. Permanente e sem condição de fluxo de calor numa dada Geometria: Dimensional: h = f,c p, k,t,, u 0, L Adimensional: Nu= f Re,Pr

19 Considerações Importantes As mesmas conclusões apresentadas anteriormente também poderiam ser apresentadas utilizando a análise dimensional. Da mesma forma que existe o coeficiente médio de transferência de calor existe o Nu existem também outras formas de adimensionalização que normalmente resultam nos mesmos parâmetros adimensionais para o caso de escoamento puro é comum uma outra adimensionalização do tempo que torna o escoamento função apenas do Re

20 Convecção Natural O termo de pressão pode ser desprezado (compare Forçada): u u u x v u y w u z =Pr 2 Reorganizando o termo de campo: u x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 L 2 P 2 x L3 2[ g ] x L 3 g 2 = g L 3 = g L 3 e assim: u u u x v u y w u z =Pr 2 Pr u x 2 u 2 y 2 u 2 z g L 3 2 Pr

21 Número de Rayleigh Coeficiente Expansão Térmica: = 1 d d T d = dt Desta forma: T T e considerando g contrário a x g L 3 = g L3 T T = g T i T L 3 =Ra Ra u u u x v u y w u z =Pr 2 u x 2 u 2 y 2 u 2 z Ra Pr 2 x

22 Relação entre os Números de Rayleigh e Grashoff Ra= g T i T L 3 ou seja: Ra= g T i T L 3 Pr 2 Gr Assim: Gr= g T i T L 3 = g T i T L e Ra=Gr Pr

23 Parâmetros de Influência no Caso de Convecção Natural Equações dimensionais: Depende de:,, c p, k, g,t i, h,t, q,, Lescala e Geometria Equações adimensionais: Depende de: Ra, Pr, i, Nu, q e Geometria Assim para problemas em Reg. Permanente e sem condição de fluxo de calor numa dada Geometria: Dimensional: h = f,,c p, k, g,t,, L Adimensional: Nu= f Ra, Pr ou Nu= f Gr, Pr

24 Efeitos da Turbulência escoamentos turbulentos sempre variam suas condições com o tempo uma maneira de trabalhar com regime permanente é estabelecer uma velocidade média num ponto (com suas oscilações) V = V V média V oscilação

25 Visualização da Turbulência

26 Influência da Turbulência no processo de Troca de Calor As constantes mudanças de direção dos escoamentos turbulentos provocam uma uniformização maior do campo de temperaturas (intensificando o processo) Um problema turbulento nunca pode ser análogo a um laminar, pois uma série de fenômenos adicionais se manifestam neste caso.(mesmo que a geometria seja a mesma)