Efeito da temperatura em escoamentos de Fluidos não Newtonianos

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1 Efeito da temperatura em escoamentos de Fluidos não Newtonianos Profa. Mônica F. Naccache

2 Resumo Efeito das temperaturas nas funções materiais Solução das equações de conservação em escoamentos não isotérmicos Problema típico de transferência de calor

3 Influência da temperatura nas funções materiais As funções materiais dependem da constituição química do fluido, da temperatura e da pressão Exemplo: viscosidade

4 Método das variáveis reduzidas: curva mestre Observa-se que o comportamento qualitativo da viscosidade independe da temperatura Plota-se: η r γ r a T = η 0(T)T 0 ρ 0 η 0 (T 0 )Tρ η r = η γ,t γ r = a T γ ( ) η 0( T 0 ) η 0 ( T) = η ( γ,t )T 0 a T T

5 Outros exemplos: τ r ( ) = τ( γ,t) T 0ρ 0 γ,t 0 η r = τ r γ r N 1,r γ,t 0 Tρ ( ) = N 1 ( γ,t) T 0ρ 0 Tρ

6 Exemplos variação de propriedades reológicas com temperatura Mel: µ = exp 22108/ RT ( )

7 Exemplos variação de propriedades reológicas com temperatura (cont.) Suco de laranja concentrado:

8 variação de K

9 % η = 4, exp 5668,3 ( ' * & T ) γ 0.226

10 Propriedades de polímeros fundidos

11 Solução das equações de conservação em escoamentos não isotérmicos As equações de conservação devem ser resolvidas de forma acoplada, a menos que as propriedades possam sem consideradas ctes v = 0 ρ Dv Dt taxa var. QML DT ρc p Dt taxa var. en. interna por un. vol. = p + η γ Força pressão por un. vol. ( ) Força viscosa por un. vol. ( ) = k T fluxo energia por condução por un. vol. + + ρg Força gravitacional 1 2 η ( γ : γ ) taxa conversão en. mecânica para térmica (diss. viscosa) por un. vol.

12 Escoamentos Internos - Escoamento confinado - CL se desenvolve com restrição - Regiões de entrada e desenvolvida - Escoamento em dutos circulares: - Efeito viscoso é sentido ao longo de todo o escoamento - Escoamento desenvolvido: u=u(r) - Comprimento de entrada: L ent

13 τ(2πrdx) {τ(2πrdx) + d [ dr τ(2πrdx) ]dr} + p(2πrdr) { p(2πrdr) + d [ dx p(2πrdr) ]dx} = 0 1 r d( rτ) dr - Perfil de velocidades num tubo circular: - Hip.: Escoamento laminar, regime permanente, propriedades constantes, esc. desenvolvido v = 0 = r dp dx Fluido Newtoniano: τ = µ du dr µ d " r dr r du % $ ' = dp # dr & dx u(r) = 1 dp µ dx r C 1ln r + C 2 du CC : u(r 0 ) = 0 = 0 dr r= 0 u(r) = 1 * dp " 4µ dx r r %, $, ' + # r 0 & u x = / /.

14 Análise térmica CL térmica - T(r,x) no escoamento desenvolvido depende da CC - Desenvolvimento térmico no esc. laminar: Lent,t/D 0.05RePr - Pr > 1: Lent/D < Lent,t/D - Pr < 1: Lent/D > Lent,t/D - Pr >100: Lent/D << Lent,t/D

15 - Temperatura de mistura (ou de bulk): T b = T m = 1 m c v - Lei de Newton de resfriamento: q s " = h (T s -T m ) A ρuc v TdA - Desenvolvimento térmico do escoamento: θ x = 0 θ = T s(x) T(r, x) T s (x) T m (x) Temperatura adimensional para 2 CC, (T s =cte ou q s =cte. Obs.: se q s =cte, T s =T s (x)) - Como θ independe de x, então: θ r r= R = T / r r= R T s T m f (x) q s "= k T r r= R = h(t s T m ) h k f (x) h independe de x, se as propriedades são ctes

16 - Para o caso em que q s " = cte, na região desenvolvida: dt s dx = dt m dx T mas x = dt s dx T s T dt s T s T m dx + T s T dt m T s T m dx T x = dt m dx (independe de r) - Para o caso em que T s = cte, na região desenvolvida: dt s dx = 0 T x = T s T T s T m dt m dx = f (r)

17 Balanço de Energia # dq conv + m (c v T m + pv) m (c v T m + pv) + m d(c T + pv) v m $ % dx dq conv = m d(c v T m + pv) taxa de troca de calor por convecção fluxo de energia térmica devida ao fluxo massa + trabalho líquido realizado pelo fluido ao se movimentar através do VC & dx ' ( = 0 Para gases ideais: pv=rt m, c p =c v +R dq conv = m c p dt m Para líquidos incompressíveis, c v =c p e v é muito pequeno (d(pv)<<d(c v T m )) dq conv = m c p dt m

18 Integrando a equação acima ao longo de todo o tubo: q conv calor total transferido ao tubo = m c p(t m,s T m,e ) Num elemento diferencial de fluido: dq conv = q" s Pdx P - perímetro da superfície (tubo circular : P = πd) dt m dx = q" P s = P h(t s T m ) m c p m c p Se T s >T m, calor é transferido ao fluido e T m cresce com x Se T s <T m, calor é transferido pelo fluido e T m cai com x

19 Solução para fluxo de calor na superfície constante q conv = m c p (T m,s T m,e ) = q" s (PL) Além disso: dt m dx = q" P s = cte m c p T m (x) = T m,e + q" s P m c p x Na entrada T s -T m cresce com x, porque h=h(x) cai com x (q s " = h (T s -T m )=cte) Na região desenvolvida, h=cte e T s -T m também

20 Solução para temperatura na superfície constante ΔT T s T m dt m dx = d(δt) dx ΔT sai ΔT e d(δt) ΔT = P hδt m c p = P m c p ' ln ΔT * sai ) ( ΔT, e + = PL 1 m c p L 0 L hdx 0 L hdx ' ln ΔT * sai ) ( ΔT, e + = PL h L ΔT sai m c p ΔT e T ou s T ' m,x = exp Px * h x, T s T ) m,e ( m c p + = T s T m,sai T s T m,e ' = exp PL * h L ) ( m c, p +, (Ts-Tm) cai exponencialmente com x

21 Fluxo de calor $ ' q conv = m c & p (T s T m,e ) (T T ) ) s m,sai & ) % ( =ΔT e q conv = h A s ΔT lm =ΔT sai onde ΔT lm ΔT ΔT sai e ln(δt sai / ΔT e ) diferença média logaritmica de temperatura no tubo - Se ao invés de conhecermos T s, conhecemos a temperatura do fluido externo em contato com a superfície (T ) ou a temperatura da superfície externa (T se ), a expressão acima continua válida, substituindo h por U (coeficiente global de troca de calor) e T s por T ou T se

22 Escoamento laminar em tubos circulares Fluido Newtoniano - Equação da energia na camada limite hipóteses: reg. permanente, propriedades constantes, dissipação viscosa desprezível u T x + v T r = α $ r r r T ' & ) % r ( - escoamento totalmente desenvolvido: v=0, u/ x=0 e q s "=cte 1 # r r r T & % ( = 2u # m dt m & + % ( 1 r 2 # &. - % ( 0 $ r ' α $ dx ', $ R' / T(r,x) = 2u m α # % $ = cte dt m dx CC : r = 0, T é finito C 1 = 0 & + ( r2 ' 4. - r4, 16R C 1 lnr + C 2 / r = R, T(R) = T s (x) C 2 = Ts(x) 2u m α T(r,x) = Ts( x) 2u m R2 # dt m & + % ( 3 α $ dx ' # r & - % (, 16$ R' # % $ 4 dt m dx & ( 3R2 ' 16 1 # r & % ( 4 $ R' 2. 0 /

23 - Utilizando este resultado podemos determinar: T m (x) = T s (x) T m (x) T s (x) = h = $ u m R 2 ' & ) dt m % α ( dx q" s D k k D Nu D hd k = 4.36 (q" s = cte) Nusselt = constante!

24 - Com a CCT de temperatura da superfície constante (T s =cte), a equação de energia fica: 1 r # r r T & % ( = 2u m $ r ' α # % $ dt m dx & + ' ( 1 # r & - % $ R (,- ' 2. 0 T s T / 0 T s T m Da solução da equação acima (por método iterativo): Nu D =3.66

25 Região de entrada - Solução do problema térmico na região de entrada, considerando perfil de velocidade desenvolvido (p.ex., altos Pr como é o caso óleos - Problema combinado: desenvolvimento hidrodinâmico e térmico simultâneo Nu em x=0 Nu x Gz independe de Pr no problema de desenvolvimento térmico Nu depende de Pr no problema de desenvolvimento simultâneo (Nu cai com Pr e tende ao resultado do problema de desenvolvimento térmico quando Pr )

26 Escoamento de fluido Power-Law no interior de tubos com temperatura da parede constante região entrada T0 r x T1 R / T = T 0 1 x = 0 : 0 ) # v x = v max 1 % r & 1 + ( 2 * $ R' r = R, x > 0 : T = T 1 # v max = τ & R % ( $ k ' 1/ n R 1/ n +1 Obter a distribuição de temperatura para baixos x (troca de calor restrita a regiões perto da parede) Hipóteses: Escoamento hidrodinamicamente desenvolvido Regime permanente Propriedades independentes da temperatura Fluido Power-law 1/ n +1,. -

27 Eq. energia para baixas velocidades (desprezando o termo de dissipação) * $ ρc p v max 1 r 1/ n +1 ' -, & ) / T + % R(. x convecção CC : r = 0 T é finito * = k 1 $ r r r T ' & ) + 2 T-, + % r ( x 2 /. condução r = R T = T 1 x T T 0 x + T T 1

28 Adimensionalizando e usando o método de combinação de variáveis: φ( ξ) dθ dς = 1 ξ ' ξ ξ θ * ), + ( ξ + 1 d 2 θ Pe 2 dς 2 desprezível qdo κ baixo (polimeros) θ( ς = 0) =1 θ( ξ =1) = 0 θ( ξ = 0) finito θ = T T 1 ξ = r ( T 0 T 1 R ς = κ / ρc p)x v x R 2 φ = v ' x = 1/ n + 3 * ), 1 ξ v x ( 1/ n +1+ d 2 θ dχ + 3χ dθ 2 2 dχ = 0 χ = 3 θ = 1 ξ ( ) 9ς / 1/ n Γ 4 / 3 ( ) χ 0 1/ n +1 ( ) e χ 3 dχ Pe = ρc pv x R κ θ( χ = 0) = 0 θ( χ ) =1 = RePr

29 Fluxo de calor e número de Nusselt q w = h( T b T 1 ) T b = T(r,x)v x da v x da Nu = 2hR κ = 2 Γ 4 / 3 ( ) 3 ( 1/ n + 3)v x R 2 9( κ / ρc p )x

30 Observações O desenvolvimento anterior pode ser utilizado para outras situações (outras CC, outras geometrias, outras aproximações) Exemplo: solução considerando o efeito do aquecimento por dissipação * 1/ n +1 viscosa: $ ' - * $ ' - $ ρc p v max 1 + η du ', & r ) / T = k 1 & + % R(. x r r r T ) + 2 T, % r ( x 2 / +. convecção condução 2 & ) % dr ( geração energia por dissipação viscosa

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32 Escoamento de Couette - entre 2 placas paralelas infinitas Hipóteses: Propriedades ctes Escoamento desenvolvido Esc. no plano xy: w=0, Regime permanente Fluido Newtoniano T / x = 0, T=T(y) ( / x = 0) / z = 0

33 Eq. conservação de massa: u x + v y = 0 v y = 0 v = cte = 0 Eq. conservação de QML: $ ρ u u x + v u ' & ) = p % y ( x + µ $ 2 u x + 2 u' & ) + ρg % 2 y 2 x ( $ ρ u v x + v v ' & ) = p % y ( y + µ $ 2 v x + 2 v ' & ) + ρg % 2 y 2 y ( p y ρg = 0 p = f (x) ρgy P = p + ρgy P y = p y + ρg = 0 dp = µ $ 2 u' & ) % y 2 ( dx g( x ) h( y) v = u ˆ e x + v ˆ e y + w ˆ e z = u( y) ˆ e x P x = p x = dp dx = cte(= A) u = A y 2 µ 2 + C y + C 1 2

34 CC : y = a u = 0 y = a u = dp dx u m = 1 3 dp dx u = U a 2 $ 2µ 1 y 2 ' & % a 2 ( ) + U $ 2 1+ y ' & % a ) ( a 2 µ + 3U 4 τ = µ du dy = dp dx y + µ U 2a f = Casos particulares: U=0 dp/dx=0 fator de atrito: (dp/ dx)d 1/2ρu m 2 Coeficiente de atrito: C f = τ 1/ 2ρu m 2

35 Equação da Energia $ ρc p u T x + v T ' $ & ) = k 2 T % y ( x + 2 T ' & ) + µφ + q % 2 y 2 ( 13 $ µφ = µ & u y + v ' 2 ) 43 % x( $ 0 = k d 2 T ' $ & ) + µ du ' % dy 2 & ) ( % dy ( T = µ k CC : y = a + $ 1 dp' -& ),- % µ dx ( 2 2 y 4 + $ + 2 u ' -& ),- % x ( dp dx 2 $ + v ' & ) % y ( 2 Uy 3 6aµ + $ U ' & ) % 2a( T = T 0 (placa inferior) y = a T = T 1 (placa superior) θ = T T o = 1 + T 1 T o 2 1+ y., - a / 0 + µ c p k 1 µ c p 3 k U [dp/ dx a 2 /(2 µ)] c p T 1 T o ( ) $ & % c p y a y 3 a / y / 0 + C y + C 1 2 U 2 1 $ ( T 1 T o ) 8 1 y 2 ' & ) + % a 2 ( ' ) + 1 µ c p ( dp / dx a 2 /(2 µ) ) 2 ( 3 k c p T 1 T o ( ) $ 1 y 4 ' & ) % a 4 (

36 Número de Prandtl: razão entre difusividades de momentum e térmica Número de Eckert: caracteriza a energia gerada por dissipação T T o T 1 T o = 1 # y & $ % a ' ( + Pr E 1 ) 8 1 y 2, +. + * a Pr U [dp/ dx a2 /(2 µ)] c p T 1 T o ( ) ) + * y a y 3 a 3 ( ) 2, Pr dp/ dx a2 /(2 µ) c p T 1 T o ( ) ) 1 y 4 + * a 4,. -

37 Outras soluções

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39 Problema típico de transferência de calor Suponha que no processo de transporte de um fluido de perfuração, o mesmo tem que ser resfriado de 80 a 25 0 C. A vazão mássica é igual a 50 g/s. A reologia do fluido é bem representada por uma função viscosidade do modelo de Bingham, com tensão limite de escoamento igual a 5 Pa e viscosidade plástica igual a 0,05 Pa.s. As outras propriedades do fluido são: massa específica de 1052 kg/m 3, calor específico de 3150 J/ kgk, e condutividade térmica de 0,25 W/mK. Pretendese resfriar o fluido passando-o por uma serpentina imersa em um banho d água agitada a 15 0 C. Calcule o comprimento de serpentina necessário, considerando 2 diâmetros: 35 mm e 4 mm. Calcule a potência de bombeamento para as duas situações.

40 Solução Calor necessário para resfriar o fluido: Q = m c( T bi T bo ) = ( 80 25) = 8662,5 W Diferença média logaritmica de temperatura: ( ) ( T bo T w ) ( ln T bi T w ) ( ) ΔT c = T bi T w T bo T w Velocidades médias m para os 2 v 1 = diâmetros: ρ( πd 2 1 / 4) = 0, π 0,035 2 / 4 v 2 = m = ρ πd 2 2 / 4 ( 80 15) ln 65 /10 ( ) ( ) = 29,4C ( ) = 0,44m / s ( ) = 0, π( 0,004 2 / 4) = 34,04m / s

41 Estimativa do número de Reynolds (para definição do regime de esc. e cálculo de Nu) Para o cálculo de Re, deve-se determinar uma taxa de deformação característica do escoamento e então calcular a viscosidade avaliada neste valor Da literatura, obtêm-se a tensão cisalhante na parede para o esc. de um fluido de HB (com n=1, Bingham) num duto circular: τ R τ 0 = 2v µ P D = ( ) γ c 1 % 2 1 τ ( R ' * 1 & ) 3 τ 0 τ R τ 0 1 % 1 τ R ' & τ 0 ( * ) 2 1 % 4 1 τ R ' & τ 0 ( * ) 3

42 Resolvendo para as 2 situações: τ R1 =11,61 Pa ( > τ ) 0 γ c1 =132,30 s 1 τ R 2 = 3410,65 Pa ( > τ ) 0 γ c 2 = 68112,92 s 1 η c1 = τ 0 + µ P = γ c1 η c2 = τ 0 + µ P = γ c , ,92 + 0,05 = 0,09 Pa.s + 0,05 = 0,05 Pa.s

43 Re 1 = ρv 1D 1 η c1 = Re 2 = ρv 2D 2 η c 2 = ,44 0,035 0, ,04 0,004 0,05 = 186,46 laminar = 2860 turbulento No regime laminar, Nu é função da reologia. No regime turbulento, o efeito NN é reduzido, e Nu é função de Re e Pr. O número de Pr=μc/κ, relaciona as difusividades de momentum e térmica, e é adimensional.

44 Esc. laminar de fluido de Bingham no tubo, CC Tw constante, Nu pode ser estimado através de: Nu = 3,66 +1,132 τ $ 0 1,054 τ 0 & τ R % τ R ' ) ( 2 $ + 3,558 τ 0 & % τ R ' ) ( 3 Assim, Nu 1 =4,24

45 No escoamento turbulento em dutos: Nu = 0,0152Pr 1/ 3 Re (1 0,155) Pr 2 = η c 2c κ Nu 2 =108,61 = 0, ,25 = 630,92 Assim os coeficientes de troca de calor são dados por : h 1 = Nu 1 κ D 1 = 30,26 W / m 2 K h 2 = Nu 2 κ D 2 = 6788,20 W / m 2 K

46 Área de troca de calor e comprimento da serpentina: A 1 = A 2 = A = πdl Q h 1 ΔT c = Q h 2 ΔT c = L 1 = A 1 πd 1 = 88,58 m L 2 = A 2 πd 2 = 0,34 m 8662,5 30,26 29,4 = 9,74m2 8662,5 6788,20 29,4 = 0,043m2

47 Perda de carga e potência de bombeamento Δp 1 = 4L 1τ R1 D 1 = Δp 2 = 4L 2τ R 2 D 2 = 4 88,58 11,61 0, , ,65 0,004 =1, Pa =1, Pa Ρ 1 = m ρ Δp 1 = 0, , = 5,58 W = 0,0075HP Ρ 2 = m ρ Δp 2 = 0, , = 55,11W = 0,074HP

48 Conclusões Com o duto 1, o comprimento (maior custo de material) e volume ocupado são bem maiores (V1= 0,085m 3 ; V2=0,043x10-4 m 3 ), mas a potência de bombeamento é bem menor. Se a estimativa fosse feita considerando fluido Newtoniano, os erros (principalmente em esc. laminar) seriam grandes.