Disciplina: Camada Limite Fluidodinâmica

Transcrição

1 Prof. Fernando Porto Disciplina: Camada Limite Fluidodinâmica Camada Limite Incompressível Laminar 3ª Parte

2 Camada Limite Laminar sobre Placa Plana com Gradiente de Pressão Nulo Na maioria dos casos de interesse prático, a parte laminar da camada limite é tão curta que pode ser desprezada. Como somente nos escoamentos de baixo número de Reynolds o estudo da camada limite laminar tem importância, considerou-se que para o curso de engenharia aeronáutica este tópico não seria de grande relevância. Entretanto, para os que desejarem se aprofundar no assunto, recomenda-se a leitura do tópico 8.5, de mesmo nome do título acima disposto, no livro Mecânica dos Fluidos, de R.S., obra esta citada nas referências bibliográficas apresentadas ao final deste conjunto de slides.

3 Camada Limite Turbulenta sobre Placa Plana com Gradiente de Pressão Nulo O estudo das camadas limites turbulentas tem grande importância, pois a grande maioria das camadas limite de interesse prático são turbulentas em quase toda sua extensão. A análise do escoamento nas camadas turbulentas recai grandemente sobre o conhecimento de dados experimentais, mas infelizmente nem sempre é possível fazer medições confiáveis em camadas limite. Assim, Prandtl sugeriu utilizar dados experimentais de escoamento turbulento em tubos para o estudo de camada limite turbulenta em placas planas.

4 Em um tubo, a espessura da camada limite, em um escoamento totalmente desenvolvido, é igual ao raio. u m R Neste raciocínio, a velocidade máxima do fluido corresponde à velocidade u m da corrente de fluido sobre uma placa plana.

5 Para valores moderados de Reynolds, uma expressão para a tensão de corte sobre a superfície é dada pela fórmula de Blasius para tubos hidraulicamente lisos (o desenvolvimento não foi discutido aqui, ver ref. capítulo 7): τ = 1 2 ρu 0,079 u2r = cte ρu u R Como R é considerado como a espessura da camada limite : τ = cte ρu u δ (8.21)

6 Para um gradiente de pressão nulo, então a densidade e a velocidade máxima permanecem constantes, então /x = 0 e u m /x = 0: τ = cte ρu u δ (8.21) τ ρ = x u u udy + u x u u dy (8.9) Assim, 0 cte ρu u δ = ρ x u u udy + ρ u x u u dy

7 cte ρu u δ = ρ x u u udy A equação é então rearranjada usando = y/: cte ρu u δ = ρu x δ 1 u u u u dη A integral envolve somente grandezas adimensionais, e é portanto somente um número. Deste modo, ρu u δ = cte ρu x δ u = cte δ dδ dx A derivada é total, porque varia somente em função de x.

8 u = cte δ dδ dx u dx = cte δ dδ Obtendo assim uma equação diferencial para. Integrando-a, tem-se: u dx = cte δ dδ cte u x + C = 4 5 δ Determinação de C: A camada limite turbulenta tem início após a camada laminar, mas se esta última for considerada nula (desprezível) para fins de simplificação, então C = 0. cte u x = 4 5 δ

9 cte u x = 4 5 δ cte u x = δ (8.24) Sabe-se que a força F de arrasto sobre a face da placa de comprimento l, por unidade de largura, é F = τ dx Assim, substituindo (da 8.24 acima) na 8.21: τ = cte ρu u δ (8.21) τ = cte ρu u u x

10 F = cte ρu u u x dx Desenvolvendo para integrar mais facilmente: F = cte ρu u u x dx F = cte ρu u x dx F = cte ρu u l

11 F = cte ρu u l O coeficiente de atrito C F é definido como Então C = C = 2 cte ρu F l ρu 2 = 2F lρu u l = cte lρu lu Lembrando que o número de Reynolds é definido como Re l = u m l/ com base no comprimento da placa. Assim C = cte Re

12 Efetivamente, medições da força de arrasto chegaram a = 0,074 (8.25) Por exemplo: para Rel = 2 x 106, CF = 0,00406, o que concorda com a curva para fluxo turbulento.

13 Turbulento Ambos Laminar (Blasius) Re l Coeficientes de atrito para placa plana lisa.

14 Entretanto, como a relação de Blasius para tubos só é válida para números de Reynolds inferiores a 10 5, as relações obtidas são válidas somente para uma faixa de valores de números de Reynolds. Além disso, a relação entre u/u m e altera-se em função do número de Reynolds. Deste modo, as expressões obtidas para camada limite turbulenta sobre placa plana são aplicáveis apenas para a números de Reynolds entre 5 x 10 5 e 10 7, pois para Re < 5 x 10 5 a camada limite é laminar normalmente.

15 Para valores maiores de número de Reynolds, H. Schlichting chegou à expressão semiempírica abaixo: Equação válida para Re entre 10 7 e C = 3,913 ln Re, (8.26) Prandtl H.Schlichting Atenção: equações válidas somente para tubos lisos!

16 Transição de Escoamento Laminar para Turbulento na Camada Limite Dependendo do comprimento da placa, a camada limite muda de laminar para turbulenta, e ambas as porções tem uma contribuição significativa para a força de arrasto total. A transição de escoamento laminar para turbulento, na camada limite, depende principalmente do número de Reynolds (atuam outros fatores), ocorrendo esta transição entre 3 x 10 5 e 5 x Para gradiente de pressão nulo, o valor da quantidade de movimento no ponto de transição é dado por Blasius para camada limite laminar: θ = 0,664x u. x (8.27) Obs.: O índice t indica que se trata do ponto de transição.

17 A região de transição é extremamente curta, de modo que para efeito de cálculo esta pode ser considerada de comprimento nulo (por isto chamada aqui de ponto de transição). Outra consideração é a de que a forma do contorno da camada turbulenta é tal que poderia ter começado de um hipotético bordo de contato, situado em x = x 0. Laminar Turbulento x 0 x x t Ponto de transição

18 τ ρu = dθ dx (8.11) Seja a equação 8.11 acima, válida para u m constante e qualquer tipo de camada limite. A força de arrasto total F, por unidade de largura, em um dado ponto x, medido a partir do bordo de ataque, pode ser expressa por: F = τ dx = ρu dθ = ρu dθ F = ρu θ x 0 = ρu θ 0 = ρu θ Como por definição F = 1 2 ρu C x θ x = C 2

19 Assim, para a camada limite turbulenta que começa em x = x 0 e Re x < 10 7, empregando a equação 8.25: θ x = C 2 θ x x = 0,074 Re 2 (8.25) C = 0,074 Re No ponto de transição, x = x t e = t e lembrando que Re l = u m l/ θ x x = 0,037 x x u θ x x = 0,037 x x u

20 θ x x = 0,037 x x u Empregando a equação 8.37 e desenvolvendo: θ = 0,664x u. x (8.27) x x = 36,9 u x x (8.29) Lembrando que Re l = u m l/ x x = 36,9 1 Re x

21 Bibliografia Robert W. Fox, Alan T. McDonald Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada. ISBN-10: ISBN-13:

22 Bibliografia, B.S. Mecânica dos Fluidos. Lisboa, Portugal, 6ª.Ed.; Editora Fundação Calouste Fulbenkian. ISBN: X