Disciplina: Camada Limite Fluidodinâmica

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1 Disciplina: Camada Limite Fluidodinâmica Escoamento em Canais 2ª Parte Prof. Fernando Porto

2 Condições Críticas e de Estagnação de Referência para Escoamento Isentrópico Já que o escoamento em estudo é considerado como isentrópico, podemos utilizar as equações relativas às condições de referência (críticas e de estagnação) para analisar as propriedades do fluxo. Para tanto, são necessários dois estados de referência, porque o estado de referência de estagnação não fornece informação de área (matematicamente a área de estagnação é infinita).

3 Relembrando: estas são as equações para determinação das propriedades locais de estagnação isentrópica. P 0, T 0, r 0 são propriedades de estagnação Estas equações são adequadas para o escoamento supersônico ou subsônico (M 1).

4 Para um fluxo transônico (M = 1), usamos as equações relativas às condições críticas para escoamentos isentrópicos. Os asteriscos denotam condições em que M = 1

5 Relacionam as condições críticas (asterisco) com as propriedades de estagnação (índice 0) Relacionam as propriedades locais com as propriedades de estagnação (índice 0) por meio do número de Mach Entretanto, este conjunto de equações não leva em consideração a área do escoamento. Para tanto, usa-se a equação da continuidade:. V. A =.. = constante

6 Esta equação agora relaciona a área do escoamento em condição crítica (asterisco) com a área do escoamento em que V = M.

7 Tabela E.1: Funções de Escoamento Isentrópico (escoamento unidimensional, gás ideal, k = 1,4)

8 Exemplo Ar escoa isentropicamente em um canal. Na seção 1, o número Mach é 0,3, a área é de 0,001m 2 e a pressão absoluta e a temperatura são respectivamente 650kPa e 62 o C. Na seção 2, o número Mach é de 0,8. (a) Esboce a forma do canal, (b) trace um diagrama Ts para o processo e (c) determine as propriedades na seção 2. (d) Verifique se os resultados concordam com as equações básicas 13.1 (reapresentadas no próximo slide). Dados: Seção 1: M 1 = 0,3; T 1 = 62 o C; p 1 = 650kPa; A 1 = 0,001m 2 Seção 2: M 2 = 0,8

9 constante = 0 SC s 2 s 1 = 0 Obs.: somente para gás ideal. =

10 (a) Sabe-se que o fluxo é subsônico e acelerado (M 1 = 0,3 e M 2 = 0,8). Observando o quadro a seguir, a opção correspondente a um fluxo subsônico, em conjunto com dv > 0, é a de um bocal subsônico convergente:

11 (b) Sabe-se que o gráfico Ts deve ser montado considerando s = constante (fluxo isentrópico), e que as condições de estagnação permanecem fixas para este tipo de escoamento. Será usado este conjunto de equações, pois estas relacionam as propriedades locais com as propriedades de estagnação (índice 0) por meio do número de Mach T 0 T 0 Temperatura de estagnação

12 (b) Com a temperatura de estagnação, encontra-se a temperatura na seção 2. T 0 Temperatura na seção 2.

13 (b) Com as temperaturas obtidas já seria possível desenhar o gráfico Ts, uma vez que, embora o autor do livro texto tenha apresentado no gráfico as curvas de pressão, estas não são estritamente imprescindíveis para a montagem do gráfico solicitado. 341 K 302 K

14 (c) Determinar as propriedades na seção 2 significa estimar a temperatura (já calculada), pressão, massa específica, fluxo de massa e área relativas à seção mencionada. Seguindo a mesma metodologia empregada nos itens a e b, estimase agora a pressão de estagnação e depois, a pressão na seção 2: p 0 p 0 p 0 p 2 = 454 kpa

15 (c) A massa específica na seção 2 pode ser calculada do mesmo modo, ou empregando a equação de estado do gás ideal, uma opção mais simples: A área da seção 2, por sua vez, é estimada através da equação 13.7d: Com A* é constante,

16 Observe que A 2 é menor que A 1 tal como esperado inicialmente (bocal subsônico convergente). Para finalizar, estima-se o fluxo de massa... =.. = constante

17 (d) Verifique se os resultados concordam com as equações básicas c 13.1f Uma equação envolvendo somente temperatura e velocidade, sem entalpia. Usando-se os valores calculados nos itens a, b e c, verifica-se que estes atendem às equações básicas 13.1 c e 13.1f.

18 (d) Verifique se os resultados concordam com as equações básicas g Usando-se novamente os valores calculados nos itens a, b e c, verifica-se que estes atendem à equação 13.1g.

19 Escoamento Isentrópico em um Bocal Convergente partindo do repouso O escoamento isentrópico partindo do repouso é uma condição típica em túneis de vento supersônicos intermitentes. Para iniciar um escoamento partindo do repouso, é necessário um diferencial de pressão, o que pode ser realizado através de um conjunto composto por um reservatório de gás comprimido (ar, neste caso), um bocal e uma válvula. Como esta análise é relacionada ao bocal convergente, será este o bocal empregado. Fluxo Para bomba de vácuo válvula

20 Através do estudo da equação 13.6 (abaixo) para escoamento subsônico (parte-se do repouso), sabe-se que para da < 0 (bocal estreitando-se, ou convergente), a velocidade é crescente, pois dv > 0. Entretanto, a própria equação indica que M = 1 não será alcançado nesta situação: = O valor de M = 1 somente poderá ser alcançado quando da = 0, ou seja, quando o duto for contínuo! Desta forma, pode ser afirmado que, partindo do repouso, a velocidade máxima a ser alcançada em um bocal convergente é M = 1.

21 Se existe uma velocidade máxima, existe também uma pressão máxima: bloqueio Esta pressão é chamada de pressão de bloqueio. Observa-se que, para se obter um fluxo em M = 1, sônico, a relação p*/p 0 é de 0,528, considerando k = 1,4. Isto significa que, no caso de uma pressão final igual à atmosférica, a contrapressão necessária para um escoamento sônico é de somente 53,4 kpa. Embora isto não seja difícil de ser obtido, o consumo de energia para manter este diferencial de pressão pode ser elevado.

22 Para a vazão máxima ou de bloqueio, temos: bloqueio Usando a equação de estado de gás ideal ( p = r.r.t ), e as equações 12.21a e 12.21b, relativas às razões entre pressões e temperaturas de estagnação e críticas, e sabendo que M = 1 e Ae = A*, temos bloqueio bloqueio

23 Atenção: É importante o entendimento de que, na condição de velocidade inicial zero e bocal convergente, a velocidade máxima a ser obtida é de Mach = 1. Isto significa que o fluxo é insensível a diferenciais de pressão superiores ao necessário para obter um fluxo em Mach = 1.

24 Exemplo Um bocal convergente, com área de garganta de 0,001 m2, é operado com ar a uma contrapressão de 591kPa (abs). O bocal é alimentado a partir de uma câmara pressurizada onde a pressão absoluta de estagnação e a temperatura são respectivamente 1,0MPa e 60 o C. (a) O número de Mach na saída e (b) a vazão mássica devem ser determinados. Dados: p b = p e

25 Item (a) Verificar se foi atingida ou ultrapassada a pressão de bloqueio. Menor que 0,528, não está bloqueado! Como p 0 é constante (pressão de estagnação), pode-se usar a equação 12.21a para calcular o número Mach (M e ) na saída:

26 Assim, 1,0 10 5,91 10 = 1 + 1,4-1. 2,, -, 1,0 10 5, = = 0,90

27 Item (b) Sabe-se que Então é necessário estimar a velocidade (temos o número de Mach) e a massa específica. (12.13) (12.18) Entretanto, verifica-se que para isto primeiro deve-se determinar a temperatura na saída. (12.1)

28 Item (b) A temperatura na saída pode ser determinada através da temperatura de estagnação (equação 12.21b):

29 Exemplo Ar escoa isentropicamente através de um bocal convergente. Em uma seção em que a área do bocal é 0,0012m 2, a pressão, a temperatura e o número de Mach locais são 413,4kPa (abs), 4,5 o C e 0,52, respectivamente. A contrapressão é de 206,7kPa (abs). Determinar (a) o número de Mach na garganta, (b) a vazão mássica e (c) a área da garganta. Dados: M 1 = 0,52 T 1 = 4,5 o C p 1 = 413,4kPa A 1 = 0,0012m 2 p b = 206,7kPa

30 Item (a) Verificar quanto à condição de bloqueio. Encontrar pressão de estagnação Verifica-se a razão entre a pressão de estagnação e a de saída. Caso seja menor que 0,528, o fluxo estará bloqueado. Neste caso, a velocidade máxima estará em Mach = 1.

31 Item (b) Vazão mássica pode ser determinada a partir das condições na seção 1, usando É necessário primeiro encontrar-se a velocidade e a massa específica:

32 Item (c) Área da garganta: Neste caso, a A* é a área da garganta A t, pois M t = M* = 1.

33 Bibliografia Robert W. Fox, Alan T. McDonald Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada. ISBN-10: ISBN-13: