Convecção Natural. Profa. Mônica F. Naccache PUC- Rio. Professora Mônica F. Naccache Rio

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1 Convecção Natural Profa. Mônica F. Naccache PUC- Rio Professora Mônica F. Naccache Rio PUC- 1

2 Escoamento ocorre devido ao empuxo Eqs. de conservação são acopladas Equações da CL: parede verfcal ( ρu) x + ( ρv ) y = 0 $ ρ u u x + v u ' & ) = p y ( x + µ $ 2 u x + 2 u' & ) 2 y 2 ( $ ρ u v x + v v ' & ) = p y ( y + µ $ 2 v x + 2 v ' & ) ρg 2 y 2 ( u T x + v T y = α $ 2 T x + 2 T ' & ) 2 y 2 (

3 Considerando as aproximações de CL x δ T,y H,δ T << H 2 / y 2 << 2 / x 2, p/ x = 0 dp/ dy = dp / dy As equações ficam: $ ρ u v x + v v ' & ) = dp $ + µ 2 v ' & y ( dy x 2 ) ρg ( = ρ g $ ρ u v x + v v ' $ & ) = µ 2 v ' & ) + ( ρ y ( x 2 ρ)g ( u T x + v T y = α 2 T x 2 gera o mov. As eqs. de momentum e energia são acopladas por uma eq. estado.

4 Se p=ρrt: ρ = p / R T ρ = p / R T & ρ ρ = ρ 1 T ) ( + ' T * Coeficiente de expansão térmica : β - 1 ρ( p,t) ρ T dρ = ρ T ρ ρ dt + dp = ρβdt + p p dp 0 em muitas situações Nestes casos, β cte dρ ρ = βdt e ln ρ = β( T T ρ ) mas ρ ρ =1+ ρ ρ ρ Em geral ρ ρ ρ & <<1 ln 1+ ρ ρ ) ( + ρ ρ ' * ( ) ρ ρ = ρ β T T ρ ρ

5 Hipótese de Boussinesq: considera a variação de densidade com a temperatura apenas no termo de empuxo. As equações resultantes são dadas por: u x + v y = 0 u v x + v v y = ν $ 2 v & x 2 u T x + v T y = α 2 T x 2 ' ) + gβ T T ( ( ) CC : x = 0 u = v = 0 T = T 0 x v = 0 T = T

6 Análise da ordem de grandeza x δ T y H Continuidade : u v δ T H Energia : u ΔT δ T v T/ y vδt / H u T/ x α ΔT δ T 2 Momentum : u v,v v ν v 2 gβδt δ T H δ T empuxo inércia atrito v H u δ T α δ T 2 Queremos analisar em que condições a CL é governada por um balanço entre inércia e empuxo ou atrito e empuxo. Dividindo os termos da eq. momentum pelo termo de empuxo:

7 v 2 HgβΔT ν v δ 2 T gβδt 1 mas v α H 2 δ T α 2 H 2 δ T 4 HgβΔT ν αh δ T 4 gβδt 1 Def.: Número de Rayleigh Ra H gβδth 3 Então: ν α ( H/δ T ) 4 Ra H Pr inércia/empuxo ( H/δ T) 4 Ra H atrito/empuxo A comparação da influência entre inércia e atrito depende de Pr: Pr>>1: CL é dominada pelo balanço entre atrito e empuxo Pr<<1: CL é dominada pelo balanço entre inércia e empuxo 1

8 Caso 1: Pr>1 equilíbrio entre forças viscosas e empuxo: H/δ T Ra H 1/4 v α H δ T 2 v α H Ra H 1/2 q w hδt k ΔT Nu = hh δ T k H 1/4 Ra δ H T v v H ν u δ v ν H 2 δ 2 α H Ra 1/2 H ν H δ δ H Pr1/2 2 1/4 Ra H e δ δ T Pr 1/2 O Movimento do fluido não fica restrito à zona aquecida: δ > δ T

9 Caso 2: Pr<1 só existe movimento dentro da CL térmica: H/δ T (Ra H Pr) 1/4 Em II : H δ T ( Ra H Pr) v α H δ α 2 ( T H Ra H Pr) 1/ 2 Nu = hh k H δ T ( ' Ra H Pr* ' * & ) Bo H Def.: Número de Boussinesq Bo H Ra H Pr = gβδth 3 α 2 Na região I :ν v δ gβδt 2 ν α ( δ 2 H Ra H Pr) 1/ 2 gβδt 0 ν δ 2 1 gβδt α H Ra H Pr ( ) 1/ 2 Def.: Número de Grashof Gr H gβδth 3 = Ra H ν 2 Pr δ δ HGr H e Pr 1/ 2 δ T v α ( H Ra H Pr) 1/ / ν 2 α = 2 gβδth 3 ν H 2 Ra H Pr 2 1 ( <1) =Pr/ Ra =1/ Gr =1/ Pr ( ) 1/ / 2

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11 d dy d dy Solução integral 0 0 X X v 2 dx = µ v ( ' * ρ & x ) x =0 v(t T )dx = α T ( ' * & x ) X + gβ (T T )dx x =0 Solução para altos Pr: 0 X: posição longe da placa, na região isotérmica u v x + v v y = µ $ 2 v ' & ρ x 2 ) + gβ T T ( u T x + v T y = α 2 T x 2 CC : x = 0 u = v = 0 T = T 0 x v = 0 T = T ( ) T T = ΔTe x /δ T v = Ve x /δ (1 e x /δ T ) d dy d dy ' V 2 δq 2 * ), = νvq ( 2(2 + q)(1+ q) + δ ' Vδ * ), = α ((1+ 2q)(1+ q) + δ + gβδt δ q q(pr) = δ δ T Professora Mônica F. Naccache Rio PUC- 11

12 Temos 2 eqs e 3 incógnitas (V(y), δ(y) e q(pr)). d dy d dy # V 2 δq 2 & ( = νvq $ 2(2 + q)(1+ q) ' δ + gβδt δ q # Vδ & ( = α $ (1+ 2q)(1+ q) ' δ q(pr) = δ δ T Vamos usar uma equação de balanço de força na região de não deslizamento: 0<x<0+, onde os termos de inércia são nulos: 0 =ν 2 v x + gβ(t T ) 2 0 Usando as 3 eqs acima, e observando que δ y 1/4, e V y 1/2 Pr = 5 6 q2 q +1/ 2 q + 2 # Nu = 3 $ 8 q = δ /δ T q 3 (q +1)(q +1/ 2)(q + 2) + Pr : q = - 6, 5 Pr. 0 / Nu = 0,783Ra y 1/ 2 & ( ' Ra y Professora Mônica F. Naccache Rio PUC- 12

13 Solução para Pr baixos: T T = ΔTe x /δ T v = V 1 e x /δ T (1 e x /δv ) Usando as mesmas eqs, e observando que δ y 1/4,δ v y 1/4 e V 1 y 1/2 Pr = 5 " q 1 $ ' 3# q 1 +1& " Nu = $ 3 # 8& ' 2 ) q 1, +. * 2(q 1 +1) - " Pr 0 : q 1 = $ 3 # 5 Pr ' & Nu = 0,689Ra y q 1 = δ v /δ T 1/ 2 1/ 2 Ra y Professora Mônica F. Naccache Rio PUC- 13

14 Soluções similares Equações de conservação u x + v y = 0 u u x + v u y = ν $ 2 v & x 2 u T x + v T y = α 2 T x 2 ' ) + gβ T T ( ( ) CC : x = 0 u = v = 0 T = T 0 x v = 0 T = T

15 u = ϕ / y v = ϕ / dx eq. massa satisfeita θ * = T T T 0 T Eq. momentum : - ϕ 2 ϕ y x + ϕ 2 ϕ 2 x y x = ν 3 ϕ x + gβ ( T T 3 0 )θ * Eq. energia : ϕ θ * y x ϕ x ( ) (x,y) η,y η x y Ra y θ * Ra y = gβδty 3 αν y = α 2 θ * x η = x,δ δ T 2 T da análise de ordem de grandeza para Pr > 1: H 4 Ra 6 H 5 v = α y Ra 1/ 2 G(η,Pr) y (x,y) η,y perfil adim. 1 ( ) : x y = y η y = y y x y η y x 1/ ϕ = αra 2 y F(η,Pr) =1 x y =0 G = F / η + η y η + η y η = Ra y x y y θ = T T T 0 T y x = y + xra y y 5 / 4 η Professora Mônica F. Naccache Rio η 2 1 x = Ra y y PUC η 2 15

16 As equações resultantes ficam: Momentum : 1 Pr # 1 2 F'2 3 $ 4 FF'' & ( = F'''+θ ' Energia : 3 4 Fθ'= θ'' CC : x = 0 η = 0 u = v = 0 F = F'= 0 T = T 0 θ =1 x η v = 0 F'= 0 u = ϕ y = αra y 4y T = T θ = 0 ( ηf' 3F) v = ϕ x = α y Ra 1/ 2 y F' Número de Nusselt q w = k T x y =0 ( )( η / x) = θ / η = h( T w T ) Nu y = hy k = θ'(0)ra y

17 As equações de conservação são resolvidas numericamente. A solução obfda é função de Pr. Pr θ (0) 0 0,6Pr 1/4 0,01 0, , , , ,49 0,503 Professora Mônica F. Naccache Rio PUC- 17

18 Convecção natural em canais verfcais Caso 1: D>>δ T (não há interferência) Professora Mônica F. Naccache Rio Caso 2: D<<δ T PUC- 18

19 Caso 2, região totalmente desenvolvida (H/D>>1) Eqs. momentum: u = 0 v y = 0 p x = 0 e p y = ρ g 2 v x = gβ ( 2 ν T T ) Esta eq. deve ser resolvida junto com a eq. energia. Solução aproximada T 0 T Então : v = gβd2 8ν ou v α / D = 1 8Ra D v α / D = 2 3 ( ) << ( T 0 T ) : ( T T ) ( T 0 T ) = cte 0 * x - ( T 0 T ) 21, / 1 + D/ 2. 0 * x - 21, / 1 + D/ 2. v max α / D = 1 12Ra D 2 Professora Mônica F. Naccache Rio Ra D = gβd3 4 αν PUC- ( T 0 T ) 19

20 Fluxo de massa e fluxo de calor: m = ρv DW Supondo que o fluido sai do canal a T 0, o calor total transferido ao fluido é : Q = m c p ( T 0 T ) = ρv DWc p T 0 T Fluxo de calor médio : Q 2HW = ρv D 2H c p( T 0 T ) = q w ( ) Número de Nusselt médio: NuD = h D k = q w D ( T 0 T )k = ρv 2 NuD = 1 24 D H c p D k D H Ra D ou Nu H = 1 24 Ra D Ra D = gβd3 αν ( T 0 T ) Professora Mônica F. Naccache Rio PUC- 20

21 Verificando a validade de esc. desenvolvido (Le<<H) : δ T D/2 quando y é da ordem de Le. Então: 1/ Le / Ra 4 Le D/ 2 Pr >1 ou 1/ Le / Bo 4 Le D/ 2 Pr <1 (Bo = RaPr) A região de entrada deve ser pequena quando comparada ao comprimento do canal, i.e., Le << H D 2 Ra Le << H Pr >1 D 2 Bo Le << H Pr <1 A condição para esc. desenvolvido é então : H / D >> Ra Le H / D >> Bo Le Pr >1 Pr <1

22 Convecção Mixta: Natural + Forçada mecanismo predominante é determinado pela menor CL - δ T(CN) ou δ T(CF ) : δ T(CN) < δ T(CF) : CN predomina δ T(CN) > δ T(CF) : CF predomina 1/4 CN : δ T (CN ) yra y Pr >1 CF : δ T (CF ) yre 1/2 y Pr 1/3 Pr >1 Logo, para Pr>1: # <<1 CF 1/4 Ra y $ 1 Convecção mixta Re 1/2 y Pr 1/3 & >>1 CN # 1/4 CN : δ T (CN ) ybo y Pr <1 $ 1/2 & CF : δ T (CF ) yp e y Pr <1 Logo, para Pr<1: 1/4 Bo y 1/2 Pe y # <<1 CF $ 1 Convecção mixta & >>1 CN Professora Mônica F. Naccache Rio PUC- 22