Fenômenos de Transferência FEN/MECAN/UERJ Prof Gustavo Rabello 2 período 2014 lista de exercícios 06/11/2014. Análise Vetorial

Transcrição

1 Fenômenos de Transferência FEN/MECAN/UERJ Prof Gustao Rabello período 014 lista de eercícios 06/11/014 Análise Vetorial 1. Demonstrar as seguintes identidades etoriais, onde A, B e C são etores: A B = B A A + B) C = A C + B C A B + C) = A B + A C A B C) = B A C) C A B) A B C) = A B) C = B C A) A B) C D) = A C) B D) A D) B C). Demonstrar as seguintes identidades etoriais, onde A, B e são etores, φ, f, g e ρ são funções escalares e S, um tensor de segunda ordem: rot grad φ) = 0 di rot ) = 0 di f grad g g grad f) = f g g f rot rot ) = grad di ) di ρ) = grad ρ + ρ di di A B) = B rot A A rot B rot A B) = A di B B di A + B grad A A grad B rot fa) = f rot A + grad f A 3. Mostrar que o produto T ij S ij = 0 se T ij for o elemento geral de um tensor simétrico e S ij, o de um tensor anti-simétrico. 4. O operador / i j é simétrico ou anti-simétrico? 5. Seja o etor w = n n), onde é um etor arbitrário e n, um etor unitário. Em que direção w aponta e qual é sua magnitude? 6. Seja os etores u = 3; ; 7), = 4; 1; ) e w = 6; 4; 5). Os etores u e são perpendiculares ente si? Qual é a magnitude de e w? Qual o ângulo entre esses dois etores? Qual é a projeção de u na direção de w? Deriada Material 1. Mostrar que:

2 a) b) D Df f + g) = Dt Dt + Dg Dt D αf) = αdf Dt Dt onde f = ft,, y, z), g = gt,, y, z) e α é um número.. Mostrar que: D Dt = D Dt onde = t,, y, z) e = 3. A temperatura dentro de um túnel aria na forma: T = T 0 αe /L sen πt τ onde T 0, α, L e τ são constantes e é medido a partir da entrada do túnel. Uma partícula moe-se com elocidade = U 0 cosπt/τ) dentro do túnel. Determinar a taa de aria cao de temperatura da partícula. 4. A temperatura T do ar em uma região da atmosfera é dada por: T = θ 0 d + 3y ) d + t t 0 A elocidade do ento é dada por = U1 + /d), y = U1 y/d) e z = 0. Os parâmetros θ 0, U, d e t 0 são constantes. Determine a taa de aria cao da temperatura de uma partĩcula de fluido localizada em = d, y = 3d, quando t = t 0. Conseração de Massa 1. Água entra em um canal bi-dimensional de largura constante h = 100 mm, com elocidade uniforme U. O canal faz uma cura de 90, que distorce o escoamento, de tal modo que o perfil de elocidades na saída tem a forma linear mostrada na figura ao lado, com ma =, 5 min. Determinar ma, sabendo que U = 5 m/s. U ma min 0,15 m. Uma cura redutora de um conduto com seção transersal retangular opera conforme o esquema ao lado. O perfil de elocidades aria ao longo da entrada se cao 1) de forma linear e é uniforme nas seções e 3. Determinar a magnitude e sentido da elocidade na seção 3. 1ma =1,0 m/s 1 0, m =1,0 m/s 3 0,085 0,1 m

3 3. Água escoa em regime permanente atraés de um tubo de seção transersal circular e raio R = 3 m. Calcular a elocidade uniforme U na entrada do tubo, sabendo que a distribuição de elocidades na saída é dada por: = V ma 1 r R V ma = 3 m/s ) 4. Uma aproimação para a componente da elocidade em uma camada-limite bi-dimensional, permanente e incompressíel que se forma sobre uma placa plana é dada pela forma: y ) U U = y δ δ δ com = 0 na superfície da placa y = 0) e = U em y = δ, onde δ = c 1/ e c é uma constante. Obter uma epressão para y. 5. O campo de elocidades de um fluido é apresentado por = A+B) i+cy j+dt k, onde A = s 1, B = 4 ms 1 e D= 5 ms e as coordenadas são medidas em metros. Pede-se: Sendo o escoamento incompressíel, determinar o alor de C; Calcular a aceleração de uma partícula que passe pelo ponto, y) = 3, ). 6. Verificar se os campos de elocidade abaio correspondem a fluidos compressíeis ou não: = y ln + 3y z ) i y /) + y 3 )j + z 3 /3 k = sen y i + y cos j r 7. Água ρ = 995 kg/m 3 ) escoa em um tubo ertical de raio R 1 = 5 mm, com elocidade de 6 m/s. O tubo é conectado ao espaço compreendido entre duas placas paralelas, espaçadas de 5 mm entre si. Nesta região, a água escoa radialmente. Calcular a elocidade do escoamento em um raio R = 60 mm. 8. Água ρ = 995 kg/m 3 ) escoa em um tubo de diâmetro d = 80 mm, com perfil de elocidades conforme mostrado na figura ao lado. Calcular a azão em massa e o fluo de quantidade de moimento atraés de uma seção transersal do tubo. 9. A componente tangencial de um escoamento incompressíel com simetria aial é dada por: θ = ) sen θ r 3 m/s cm cm

4 Determinar r r, θ) e rot sabendo que r, θ) = 0. O operador rotacional é dado pela epressão abaio, em coordenadas cilíndricas: 1 z rot = = r θ ) θ r e r + z z ) z 1 r θ e θ + r r r 1 ) r e z r θ 10. Um fluido incompressíel com massa específica ρ escoa em regime permanente, em um tubo de raio R. O perfil de elocidades é dado por: z r) = dp/dz 4µ R r ) onde p = pz) é a pressão na seção transersal de coordenada z, dp/dz, uma constante e µ, a iscosidade do fluido. Calcular os fluos de massa, quantidade de moimento e energia cinética atraés da seção transersal do tubo. 11. Ar ρ = 1, 0 kg/m 3 ) escoa sobre uma placa plana delgada com 1, 0 m de comprimento e 0, 30 m de largura. A elocidade do ar antes de atingir o bordo de ataque da placa é uniforme U =, 7 m/s). Ao atingir a placa, o escoamento desenole uma camada limite em que o campo de elocidades é independente de z e tal que: U=,7 m/s a d δ=8 mm U=,7 m/s b c U = y δ. Usando o olume de controle abcd mostrado na figura ao lado, determinar a azão em massa atraés da superfície ab. Conseração de Quantidade de Moimento 1. A componente de elocidade y de um escoamento bi-dimensional, estacionário e incompressíel, de um fluido newtoniano é dada por y = e y cos. Determinar a componente da elocidade e o gradiente de pressões, desprezando-se a força graitacional.. O campo de elocidades incompressíel de um escoamento de água é dado por = A + By)i Ay j, onde A = 1 s 1 e B = s 1 e as coordenadas são medidas em metros. Determinar a magnitude e o sentido da aceleração de uma partícula no ponto, y) = 1, ) e o gradiente de pressão no mesmo ponto. Massa específica da água: ρ = 993 kg/m 3. Viscosidade dinâmica da água: µ = 1, Ns/m. 3. O campo de elocidades dado por: r = r ) sen θ θ = r ) cos θ z = 0 representa um possíel escoamento incompressíel? Em caso afirmatio determine o gradiente de pressão desprezando efeitos iscosos e graitacionais.

5 4. A componente radial de um escoamento incompressíel é dada, no plano r, θ) por r = A cosθ/r ). Determinar uma solução possíel para a componente θ, o gradiente de pressões e calcular o rot. 5. Calcular a azão e os fluos de quantidade de moimento e de energia cinética por unidade de comprimento na direção z, de uma lâmina de fluido com espessura δ, que escoa sobre uma placa plana conforme figura ao lado. A massa específica do fluido é ρ. O campo de elocidades é dado por: = gsen α ν yδ y ) i y α δ=c te Calcular o perfil de elocidades se a iscosidade do fluido ariar ao longo da direção y segundo a lei µ = µ y/δ). 6. O número de Reynolds crítico para a transição laminar-turbulento em tubos é Ud/ν = 000. Qual é o alor crítico da elocidade U em tubos de diâmetro d = 6 cm e d = 60 cm para: T K) µ Ns/m ) ρ kg/m 3 ) água Ar , ,861 óleo lubrificante 350 3, ,9 Etilenoglicol 350 0, As equações da continuidade e de Naier-Stokes para o escoamento bi-dimensional de um fluido incompressíel são: di = 0 D Dt = 1 ρ grad p + ν + g onde = i + y j. Mostrar que este sistema pode ser reduzido à forma: Dω Dt = y ν ω ω = rot = ) k y Sugestão: Deriar a equação de y em relação a, a de em relação a y, subtrair uma da outra, utilizar a equação da continuidade e a definição de rot. 8. Escreer as equações de Euler sem iscosidade) e de Naier-Stokes iscosidade cinemática constante) sem a pressão, utilizando a notação tensorial cartesiana; Nos casos em que a iscosidade cinemática não é constante a Conseração de Quantidade de Moimento angular em sua forma diferencial toma a forma: t rot ) = rot rot ) + rot [ di ν grad + grad T )]. Reescreer essa equação na forma tensorial cartesiana.