Atualizado em 29/09/2018. Cinemática

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1 Atualizado em 9/9/18 Cinemática

2 Na cinemática estuda-se o moimento de uma partícula independentemente das causas que proocam esses moimento. Trajetória: É o lugar geométrico dos pontos sucessiamente ocupados por uma partícula durante o seu moimento. Velocidade: É um etor, tangente à trajetória em cada ponto, orientado no sentido do moimento, cujo modulo é a ariação do espaço percorrido por unidade de tempo nesse ponto. (er slide nº 11) 1. Moimento retilíneo No caso do moimento retilíneo a direção do etor é constante e coincide com a trajetória (reta). Neste moimento, por ser constante a direção do etor, os problemas podem ser resolidos atraés de grandezas escalares, atribuindo um sinal positio ou negatio ao módulo do etor conforme a distância da partícula ao ponto de referência aumenta ou diminui com o tempo. Passaremos a utilizar o termo VELOCIDADE ESCALAR.

3 A trajetória tem a direção do eixo Ox. O sinal positio é atribuído ao deslocamento quando este se faz no o sentido positio do eixo e negatio no caso contrário (considera-se que o carro é uma partícula que ocupa as posições P 1, P, etc..). V m Velocidade média (V m ): É o espaço que em média o carro (partícula) percorre por unidade de tempo. Calcula-se diidindo o espaço percorrido Dx pelo tempo de duração do percurso (Dt). Dx Dt ( x ( t x1 ) t ) 1 Neste exemplo a elocidade média é positia porque, como o moimento se faz no sentido positio do eixo, x >x 1. 1

4 Velocidade instantânea é a elocidade que o carro (partícula) tem em cada instante. Dx dx lim D t Dt dt É fácil perceber que no percurso de uma iatura num circuito urbano a elocidade aria muito ao longo do tempo, dado que há períodos de paragem em que a elocidade é nula, seguindo-se períodos em que o carro ai aumentando gradualmente de elocidade e depois perdendo elocidade até parar de noo. Nos ários pontos do percurso o carro terá diferentes elocidades instantâneas e no final do percurso se diidir o espaço percorrido pelo tempo que demorou o percurso, obtém-se a elocidade média.

5 No gráfico de ariáeis t e x (tempo s. espaço) representa-se o moimento retilíneo de uma partícula em que a elocidade aria ao longo do tempo Aceleração média de uma partícula que se moe de P 1 para P em moimento retilíneo é um etor que tem a seguinte componente segundo o eixo Ox a m Δ Δt 1 t t 1 A aceleração instantânea será então: Δ a lim Δ t Δt d dt

6 Quando se carrega no acelerador de um carro a elocidade ai aumentando com o tempo, a aceleração é positia(δ > ), O MOVIMENTO É ACELERADO Quando se carrega no traão, a elocidade ai diminuindo com o tempo, a aceleração é negatia (Δ < ), pelo que O MOVIMENTO É RETARDADO. A afirmação anterior é álida quando o moimento se faz no sentido em que o alor de x aumenta. Quando se faz em sentido contrário, isto é, quando o carro está a andar de marcha atrás, com moimento acelerado, as elocidades são negatias porque o alor de x diminui com o tempo, e a ariação da elocidade é negatia porque a elocidade diminui com o tempo. Se por exemplo a elocidade fosse, em alor absoluta, m/s em P e 5 m/s em P 1 (está a acelerar), como as elocidades são negatias ficaa: Δ 5 3 < e portanto a< De uma forma geral pode-se afirmar que o MOVIMENTO É ACELERADO quando a elocidade e a aceleração têm o mesmo sinal e é RETARDADO quando a elocidade e a aceleração têm sinais contrários. Quando se mantém a mesma aceleração, diz-se que o moimento é UNIFORMEMENTE ACELERADO ou UNIFORMEMENTE RETARDADO ou, mais genericamente, UNIFORMEMENTE VARIADO.

7 Moimento retilíneo uniforme: caracteriza-se pela constância da elocidade instantânea. O corpo mantem a mesma elocidade ao longo do tempo. dx const. x x + t dt é o espaço inicial, porque quando t tem-se: Moimento retilíneo uniformemente ariado: caracteriza-se pela constância da aceleração d a const. a + at dt o É a elocidade inicial (no instante t) A equação que traduz a ariação do espaço com o tempo obtémse integrando a expressão anterior: dx + a t x x + t + dt 1 at

8 Nalguns problemas poderá interessar utilizar uma equação onde não esteja explicitamente o tempo, mas em que a posição do ponto pode ser calculada conhecendo a sua elocidade, a elocidade inicial e a aceleração. Da equação da elocidade tira-se que: + t o a at Substituindo na equação dos espaços fica:: Esta equação permite calcular o espaço percorrido, quando se conhecem duas elocidades e a aceleração

9 A última equação pode ainda escreer-se sob a forma + a x xo que permite calcular a elocidade que terá um ponto à distância dx-x o da posição inicial, conhecendo a aceleração constante do moimento Ou sob a forma a x x que permite calcular a aceleração do moimento em função da elocidade e da distância percorrida

10 QUEDA LIVRE DE UM CORPO LANÇADO NO ESPAÇO Uma moeda é largada na origem do eixo Oy. À medida que o moimento se desenole a moeda ai caminhando no sentido negatio daquele eixo. a) a ariação dos espaços tem sinal negatio > < b) a ariação da elocidade tem sinal negatio > a< c) a elocidade inicial é negatia se for dado um impulso para baixo As equações do moimento + at e y y o + t + y serão agora escritas: a g y t 1 gt gt y 1 at y t + Muitas ezes considera-se uma noa ariáel 1 + gt e h t + g t 1 h gt y Quando se faz a mudança de ariáeis a elocidade e também a elocidade inicial passam a ser positias quando são dirigidas para baixo que é o sentido em que o alor da ariáel h aumenta ( h é a altura de que o corpo cai ) y

11 Retomando a equação geral do que relaciona duas elocidades com a aceleração e considerando agora o eixo dos yy tem-se: + a y y o a y y Fazendo: a g e y o y h fica: + gh Quando a elocidade inicial é nula tem-se: gh Ou, explicitando o alor de h h g Que é a fórmula de Torricelli que fornece diretamente a elocidade com que uma partícula chega ao solo, largado, sem elocidade inicial, de uma altura h. Qua é a altura de que uma partícula foi largada sem elocidade inicial quando atinge o solo com uma elocidade. Para saber o tempo que uma partícula demora a chegar ao solo, largada sem elocidade inicial de uma altura h tem-se: t + gt com g gh g h g

12 Moimento não retilíneo 1. Vector de posição de um ponto P(x,y,z) é o ector (P-O) sendo O(,,) a origem dos eixos coordenados Ԧr P O xԧi + yԧj + zk. Velocidade Quando o ponto P se desloca no espaço, o seu ector de posição ai mudando ao longo do tempo. V m ΔԦr Δt Vetor elocidade média (ariação do etor de posição com o tempo) V lim Δt ΔԦr Δt Vetor elocidade instantânea

13 . Aceleração Ԧa m ΔV Δt Ԧa lim Δt ΔV Δt

14 MOVIMENTO PLANO Este moimento acontece num plano e pode ser estudado apenas com duas dimensões, utilizando um sistema de referência Oxy. Neste caso é fácil mostrar que o etor elocidade é tangente à trajetória em cada ponto Os etores de posição são os etores complanares r1 e r ΔԦr r r 1 tem a direção da secante à cura. V m ΔԦr Δt ΔԦr Quando se calcula a elocidade instantânea V lim Δt Δt aproximar-se e a secante tende para a tangente. os pontos tendem Nos moimentos não retilíneos é usual utilizar a ariáel s para o espaço e não as ariáeis x ou y como se fez anteriormente, dado que o moimento não se faz na direção de um eixo coordenado.

15 1. MOVIMENTO CIRCULAR a) MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Este moimento caracteriza-se por uma elocidade escalar () constante. No entanto, o etor elocidade é ariáel porque ele muda de direção, mesmo que mantenha o mesmo módulo. Seja s o percurso percorrido pela partícula sobre a circunferência. Tem-se: ds const s s + t dt Esta elocidade também se chama elocidade linear. Deriando em ordem ao tempo a equação df dt r ds dt df r dt s representa a ariação do ângulo ao centro f com o tempo e denomina-se elocidade angular e exprime-se, no SI, em rad/s. rf obtém-se: É a expressão que relaciona a elocidade angular com a elocidade linear s rf 18º rad

16 O etor aceleração ΔV Ԧa lim Δt Δt não é nulo porque agora ΔV (o ector elocidade embora tenha o mesmo módulo muda de direção e sentido) D Para deduzir a expressão da aceleração, considere uma partícula que se desloca no sentido AB com elocidade numa circunferência de raio r. 1 f Adaptado de: O ponto encontra-se em A no instante t-dt/ com elocidade instante t+dt/, com elocidade. V e em B no Se a elocidade for uniforme os dois etores têm o mesmo módulo,. A ariação do etor elocidade pode ser calculada graficamente colocando os dois etores com origem no ponto médio P. V 1

17 Como o triângulo é isósceles, porque os módulos dos etores elocidade instantânea nos dois pontos são iguais, tem-se: ΔV n sen(α) O ângulo ao centro descrito no interalo de tempo Dt é: f O espaço percorrido pelo corpo no mesmo interalo de tempo: Ds r f r O interalo de tempo Dt pode ser expresso em função da elocidade Dt Ds Dt r O módulo do etor aceleração média que traduz a ariação da elocidade no interalo de tempo Dt, pode escreer-se: ( D) n a média a média ΔV n ΔtD t sen( ) r r sen( )

18 : a média ΔV n Para determinar o alor da aceleração instantânea calcula-se Quando Δt Será então: a n lim Δt ΔV n Δt sen( ) Dt ; 1 porque para ângulos muito pequenos o alor do seno é igual ao ângulo Esta expressão permite calcular a aceleração normal ou centrípeta em função da elocidade escalar e do raio da circunferência. Considerando a elocidade angular a n r a n ( D lim t Dt ) n D r a n r

19 b) MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO No moimento circular uniformemente ariado existe, em cada ponto da cura, uma componente normal da aceleração deido à curatura. Há também uma componente tangencial que é constante e que se define como a ariação da elocidade linear com o tempo. d at const at + att dt A equação dos espaços deduz-se de forma idêntica à do moimento retilíneo e fica: s s o + o t + 1 a t t O etor aceleração calcula-se com o a soma das suas duas componentes: Ԧa a t Ԧt + a n n a a t + a n

20 . MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL A figura mostra dois projéteis com diferentes moimentos no eixo Ox, mas idênticos moimentos no eixo Oy; - um corresponde ao moimento de uma bola largada no espaço sem elocidade inicial - o outro de uma bola lançada na horizontal com elocidade inicial. Em ambos os moimentos as bolas percorrem a mesma distância medida na ertical em interalos de tempo iguais. Esta obseração permite-nos concluir que, no º moimento, a posição P(x,y) da bola num instante t, pode ser determinada calculando separadamente as suas coordenadas. a) Moimento projetado segundo Ox (uniforme) x x x + x t x t x x b) Moimento projetado em Oy (uniformemente acelerado) 1 y y + y t gt y y gt No caso presente a elocidade inicial do moimento ertical é nula e o ponto parte da origem dos eixos, fica: 1 y gt y gt

21 Quando o projétil é lançado na atmosfera numa direção que faz um ângulo com a horizontal, a trajetória é a seguinte: Coloca-se a origem dos eixos no ponto de lançamento do projétil. x ; y ; As componentes da elocidade inicial nos eixos são: x cos( α ); y sen(α ) x x + y y + y t x t 1 gt x cos( ) t 1 y sen( ) t gt Mo. uniforme da projeção em Ox. Mo. un/ acelerado da projeção em Oy.

22 As componentes do etor elocidade obtêm-se deriando em ordem ao tempo as coordenas do ponto P(x,y) x x y x o cos( ) gt sen ) gt y y ( + x y O módulo do etor elocidade é: V + x y O etor elocidade é, em cada posição, tangente à trajetória. A sua direção e o sentido podem ser identificados pelo angulo que o etor faz com Ox. y atg No ponto em que a trajetória interseta o eixo Ox é, x como se pode obserar na figura No ponto mais alto da trajetória a componente da elocidade segundo Oy é nula e a elocidade é igual à componente horizontal da elocidade inicial. No ponto em que o projétil olta a encontrar o eixo Ox o módulo da elocidade é igual ao módulo da elocidade inicial.

23 A equação da trajetória yf(x) obtém-se eliminando t entre as duas equações que fornecem os alores de x e y respetiamente. Da 1ª equação tira-se que x t cos( ) Substituindo este alor na ª equação tem-se: x cos( ) t 1 y sen( ) t gt y sen( ) x cos( ) g x cos( ) y g tg( ) x x cos ( ) É a equação de uma parábola do tipo y a x bx A altura máxima atinge-se quando a componente ertical da elocidade é nula. y sen α gt t sen α g

24 ALCANCE (x a ) é o alor de x na posição em que a trajetória cruza o eixo Ox. Considerando a equação da trajetória, faz-se y y g g tg( ) x ( ) cos ( ) a xa xa tg cos xa tg( g sen( ( ) ) xa x a cos ( ) cos( ) cos ( ) ) g sen( ) cos x a cos( ) g ( ) sen( a)cos( xa o) g ALCANCE MÁXIMO O alcance máximo calcula-se encontrando o alor de que torna máximo a função x a f() V ( cos ( ) sen ( )) cos( ) d( xa) V d( ) g g cos( ) a cos() 4 Para a mesma elocidade inicial, o alcance máximo atinge-se com uma ângulo de 45º

25 VELOCIDADE RELATIVA a) Dois moimentos retilíneos com a mesma direção e o mesmo sentido Se uma passageira P se deslocar no corredor de um comboio, a sua elocidade em relação a um ciclista, que está parado, será calculada pela expressão geral etorial: V P/A V P/B +V B/A Como os dois moimentos têm a mesma direção e o mesmo sentido podemos substituir a elocidade etorial pela elocidade escalar P / A P / B + B / A

26 b) Dois moimentos retilíneos com a mesma direção e sentidos contrários A equação geral é: V T/E V T/Y +V Y/E A elocidade relatia dos eículos será: V T/Y V T/E -V Y/E Como os etores elocidade dos eículos em relação à estrada têm a mesma direção mas sentidos contrários, podemos tomar as elocidades escalares considerando positio o sentido da deslocação de T. Nesse caso a equação anterior escree-se: T / Y T / E + Y / E

27 c) Dois moimentos retilíneos com direções diferentes A V P/A V P/B +V B/A Como se pode obserar na figuram a passageira desloca-se agora perpendicularmente ao corredor, em direção ao seu lugar. Neste caso o problema tem que ser resolido etorialmente.