Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis

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1 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Ricardo M. S. Rosa Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ) I EBED Escola Brasileira de Equações Diferenciais 9 a 13 de junho de 2003 IMECC - Unicamp 1 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Tópicos: 1. As equações de Navier-Stokes, equações correlatas e algumas questões fundamentais 2. Aspectos matemáticos das equações de Navier-Stokes 3. Teoria estatística convencional de turbulência 4. Soluções estatísticas das equações de Navier-Stokes 5. Aplicações das soluções estatísticas em turbulência 2

2 Equações de Navier-Stokes (escoamento compressível) ρ u 3 i t + u i u j = σ ij + f i, i = 1, 2, 3, x j x j ρ 3 t + j=1 j=1 (ρu j ) x j = 0, (u 1, u 2, u 3 ) = vetor velocidade do fluido, (x 1, x 2, x 3 ) = posição, (f 1, f 2, f 3 ) = força de volume, ρ = densidade, σ ij = tensor de stress. 3 Tensor de stress e pressão d dt (momento) = fç volume {}}{ V (t) f + fç superfície {}}{ V (t) σ n = V (t) (f + div σ). PSfrag replacements V (t 0 ) V (t 1 ) σ ij = pδ ij + d ij, p def = σ kk def δ ij = delta de Kronecker, 3 ( d ij = 2µ e ij e ) kk 3 δ ij (escoamento Newtoniano), def e ij = 1 ( ui + u ) j = tensor rate-of-strain. 2 x j x i (p = pressão hidrostática, σ ij = pδ ij, caso fluido estático). 4

3 Escoamentos Newtonianos Newton (1687): d = µ u 1 x 2, caso laminar u 1 (x 2 ) 0 d 0 u = 0 = d ij = d 0 0, d = d 12 = d Euler (1755): d ij = 0 (fluido ideal ) eqs. de Euler; Navier (1822), Cauchy (1828), Poisson (1829), Saint-Venant (1843) e Stokes (1845): ( d ij = 2µ e ij e ) kk 3 δ ij equações de Navier-Stokes. 5 Equações de Navier-Stokes Navier (1822): µ = função do espaçamento molecular, sem significado físico; Cauchy (1828), Poisson (1829): idem; Saint-Venant (1843): derivação das equações com mais fundamento físico, valendo para escoamentos não necessariamente laminares; Stokes (1845): idem, da forma feita atualmente, com µ = viscosidade molecular (atrito). 6

4 A ponte suspensa de Navier (Pont des Invalides) Navier: Blow-up and Collapse, AMS Notices, Janeiro Navier: professor École des Ponts et Chaussées, Paris. Pontes Suspensas: Finley, pioneiro, nos EUA ( 1800), depois engenheiros da Grã-Bretanha, finalmente Navier na França, sob incentivo de seus superiores e do governo... Navier: Após estudar pontes da Grã-Bretanha, entre 1821 e 1823, escreve tratado sobre pontes usando métodos matemáticos modernos (equações diferenciais simples e séries de Fourier, uma de suas especialidades). 7 Navier: Em 1823, apresenta projeto com cálculos precisos, sem necessidade de exagerar na estrutura para compensar aproximações e erros típicos da engenharia. A ponte: Em 1826, 5 semanas antes da conclusão, um suporte dos cabos da ponte racha, devido a um vazamento de água próximo. A ponte foi eventualmente desmontada. Oscilações induzidas pelo vento (turbulento, em certos casos) são difíceis de serem calculadas; provavelmente o modelo usado não tinha a precisão necessária. 8

5 Equações de Navier-Stokes (compressível - vetorial) ( u ρ t ρ t ) + (u )u + p = µ u + µ ( u) + f, 3 + (ρu) = 0. u = (u 1, u 2, u 3 ), x = (x 1, x 2, x 3 ) f = (f 1, f 2, f 3 ), σ = p + µ u + µ ( u), 3 σ = (σ ij ) ij, σ ij = pδ ij + 2µ(e ij ( u)δ ij), 9 Escoamentos incompressíveis e homogêneos Variação de volume: d dv = dt V (t) V (t) u n ds = V (t) u dv. Escoamentos incompressíveis (densidade independente de variações na pressão): u = 0 e 0 = ρ t + (ρu) = ρ t + (u )ρ + ρ u = Dρ Dt. Escoamentos incompressíveis e homogêneos: u = 0 e ρ ρ 0 (constante). 10

6 Equações de Navier-Stokes (incompressível e homogêneo) ( ) u ρ 0 + (u )u + p = µ u + f, t u = 0. Dividindo por ρ 0 e substituindo p/ρ 0 por p e f/ρ 0 por f: u + (u )u + p = ν u + f, t u = 0. u = (u 1, u 2, u 3 ) = campo de velocidades, p = pressão cinemática, f = (f 1, f 2, f 3 ) = densidade das forças de volume, ν = viscosidade cinemática. 11 Algumas questões fundamentais Existência e unicidade de soluções globais (o prêmio de US$ 1, da Fundação Clay); Limite de Euler (Re ); Derivação das equações via mecânica estatística; Estabilidade, instabilidade e transição para turbulência; Turbulência completamente desenvolvida; α model ou equações de Camassa-Holm; Estruturas coerentes (vórtices - linhas, folhas, etc.); Variedade inercial (lenta), aprox numérica, inicialização; Escoamentos geostróficos, no. Rossby e fça de Coriolis. 12

7 Prêmio: US$1, da Clay Foundation Problema A: (Solução global) Dado u 0 suave, com u 0 = 0 e k x i u 0 (x) c km (1 + x ) m, k, m N, x R 3, achar soluções suaves u = u(t, x), p = p(t, x) das ENS em R 3, com u, p C ([0, ) R 3 ), Ω u(t, x) 2 dx C, t 0, e u(0, x) = u 0 (x). Problema B: (explosão em tempo finito) Mostrar existência de u 0 e f suaves, com u 0 = 0 e k x i u 0 (x) c km (1 + x ) m, r t k x i u 0 (x) c rkm (1 + t + x ) m, r, k, m N, t 0, x R 3, tais que que não existam soluções das ENS em R 3 como acima. Problemas A, B : com condições de contorno periódicas. 13 Resultados conhecidos Existência global (no tempo) de soluções fracas (não necessariamente suaves ou únicas) Existência local (no tempo) de soluções suaves Um pouco de regularidade (L s (0, T ; L r (Ω) 3 ), r > 3, 2/s + 3/r 1, Serrin (1962)) implica em soluções locais suaves e únicas Existência e unicidade global de soluções suaves em duas dimensões Estimativas fractais do conjunto de singularidades ( u = ) no tempo, d H (S t ) 1/2 (dimensão de Hausdorff), e no espaço-tempo, P 1 (S e:t ) = 0 (medida de Hausdorff parabólica, tempo conta dobrado ) 14

8 Escoamentos geostróficos u + (u )u + 2Ω u + p = ν u + Φ + f, t u = 0. Ω PSfrag replacements Φ = φ + φ c = potenciais gravitacional + fç centrífuga 2Ω u = força de Coriolis Ω = velocidade angular (direção e magnitude) 15 Escoamentos com rápida rotação 2Ω u 1 ɛ e Ω u, e Ω = Ω Ω, Ω = Ω ε = U = número de Rossby 2ΩL U θ ε θ = = número de Rossby local (latitude θ) 2ΩL θ sin θ Escoamentos geostróficos longe do equador: ε 0.1 Grande interesse em escoamentos com rápida rotação pela comunidade de meteorologia e climatologia. Escoamentos com rápida rotação são quase 2D ( 2 1/2 ): existência e unicidade global de soluções suaves (Babin, Malahov, Nicolaenko) 16

9 Equações primitivas da atmosfera Densidade varia com a altura; Aproximação de Boussinesq; Altura relativamente pequena em relação ao globo; Falta existência e unicidade global mesmo em duas dimensões (escoamento latitudinal ou longitudinal), no caso sem viscosidade vertical. Outros componentes: temperatura, salinidade (no oceano), substâncias químicas, calotas polares, etc. 17 α-model ou equações de Camassa-Holm (viscosas) v t + (u )v + ( ut ) v + p = ν v + f, u = 0, v = (I α 2 )u. Existência e unicidade global em 3D conhecidas; Utilizado como modelo para fechamento turbulento; Semelhanças com a regularização de Leray: v = (I + α( ) 1/2 )u e sem o termo ( u t ) v. α Euler = Camassa-Holm sem visc., 3D em aberto Marsden, Foias, etc. 18

10 Transição para turbulência - bifurcações 19 O problema de Couette-Taylor Couette: ω i = 0, ω e 0 Mallock, Taylor: ω i 0, ω e = 0 ω e ω i r i r e PSfrag replacements 20

11 Couette-Taylor - Chossat-Iooss (1994): ω e = 0, ω i > 0 escoamento de Couette escoamento de Taylor A) B) ponto fixo ponto fixo C) D) PSfrag replacements escoamento "wavy vortex" órbita quasi periódica (toro T^2) ondas moduladas órbita quasi periódica (toro T^n) 21 Bifurcações Couette-Taylor - 2 parâmetros Reynolds Re i = r i(r e r i )ω i ν, Re e = r e(r e r i )ω e. ν 22

12 Escoamentos turbulentos: várias escalas presentes, se movendo de maneira imprevisível, mas bem comportadas em um sentido estatístico. 23 Estruturas coerentes e intermitência Estruturas coerentes: filamentos de vórtices com baixa dissipação de energia, diâmetro da ordem de l ɛ, comprimento (l T, l 0 ). Universalidade questionada devido a variações intermitentes na dissipação de energia. 24

13 Mais estruturas coerentes 25 PSfragAtrator replacements global órbita Exemplo 1 A Conjunto compacto A Invariante: S(t)A = A, t R Atrai todas as órbitas, uniformemente para condições PSfrag replacements iniciais limitadas A órbita Exemplo 1A órbita Exemplo 2 26

14 Dimensão do atrator global Sendo compacto, A pode ser aproximado por subespaços afins de dimensão finita Na maioria dos casos, A tem dimensão fractal finita Nesses casos, A pode ser imerso em variedades euclidianas de dimensão finita Possibilidade de se obter sistemas finitos de EDOs com o mesmo comportamento assintótico diminuição de volumes para dimensão fractal finita 27 Dimensão do atrator das ENS dim f A graus de liberdade Landau-Lifchitz ENS 2D periódico: dim f A ( l0 l η ) 2 ( 1 + ln ENS 2D com aderência na fronteira: dim f A ( )) 1/3 l0 ENS 3D, para conjuntos invariantes regulares V: dim f V ( ) 3 l0 l ɛ l η ( ) 2 l0 l ɛ onde η e ɛ similares a ɛ = ν lim sup T sup u 0 V 1 T T 0 Ω u(t, x) 2 dxdt 28

15 Variedade inercial Variedade Lipschitz de dimensão finita Positivamente invariante, i.e. S(t)M M, t 0 Atrai todas as órbitas exponencialmente e uniformemente para condições iniciais limitadas u 0 M u = u(t) ag replacements A 29 Completude assintótica de variedades inerciais Em geral, para toda solução u = u(t), existe solução v = v(t) M com o mesmo comportamento assintótico lim u(t) v(t) = 0 e ω(u) = ω(v) t Atração exponencial M captura boa parte do comportamento transiente u PSfrag replacements M v 30

16 Existência de variedades inerciais Requer forte dissipação (contração uniforme de volumes) Existência demonstrada para várias equações em uma dimensão espacial e em casos especiais em 2D Em aberto para NSE 2D e 3D Transformada de Kwak ainda incompleta Relação com variedades lentas em meteorologia dados atmosféricos variedade inercial (lenta) inicializações 31 Aproximação de variedades inerciais Métodos numéricos mais precisos baseados em aproximações de variedades inerciais Eficiência depende da regularidade das soluções e do objetivo do estudo Apropriado para estudos da dinâmica (e.g. captura de ligações heterocĺınicas) variedade inercial aproximada variedade inercial aproximação de Galerkin 32

17 Atrator exponencial Intermediário entre atrator global e variedade inercial Aproxima exponencialmente as órbitas mas não é variedade euclidiana Existência para várias equações, inclusive ENS 2D Parametrização por mapeamentos Hölder-contínuos Resultados parciais sobre existência de sistemas de dimensão finita com dinâmica equivalente parametrização do atrator exponencial atrator exponencial 33 Modos determinantes, nódulos determinantes, etc. Sejam H = espaço de fase X n = espaço de dimensão finita P : H X n (Galerkin, diferenças finitas, etc.) Questões: P u(t) P v(t) 0, t, implica em u(t) v(t) 0? P restrito ao atrator é bijetivo? Relacionado com reconstrução de atratores. 34

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19 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Ricardo M. S. Rosa Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ) I EBED Escola Brasileira de Equações Diferenciais 9 a 13 de junho de 2003 IMECC - Unicamp Aula 2-10 de junho 1 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Tópicos: 1. As equações de Navier-Stokes, equações correlatas e algumas questões fundamentais 2. Aspectos matemáticos das equações de Navier-Stokes 3. Teoria estatística convencional de turbulência 4. Soluções estatísticas das equações de Navier-Stokes 5. Aplicações das soluções estatísticas em turbulência 2

20 Equações de Navier-Stokes Região Ω R 3 ocupada pelo fluido Variáveis espacial x = (x 1, x 2, x 3 ) Ω e temporal t 0 Campo de velocidades u = u(t, x) = (u 1, u 2, u 3 ) R 3 Pressão p = p(t, x) R e força de volume f = (f 1, f 2, f 3 ) Equações de Navier-Stokes (ENS) para um escoamento incompressível e homogêneo, viscosidade cinemática ν: u + (u )u + p = ν u + f, t u = 0. 3 Formulação matemática das ENS - Leray (1933,34) Eliminar pressão, considerando espaços de divergente nulo, para obter equação de evolução envolvendo somente u. Se p e v suaves, com v = 0 e condições apropriadas de contorno para v (livre, aderência, periódica, etc.), então ( p) v dv = p( v) dv + p(v n) ds = 0 Ω onde n = normal exterior a Ω. Ω Ω Portanto, o termo da pressão desaparece na formulação fraca e na formulação funcional, em espaços de divergente nulo. 4

21 Espaços de função básicos Condições naturais para o campo de velocidades (com condições apropriadas de contorno): u(x) 2 dx < energia cinética finita Ω u 2 dx = ω 2 dx < enstrofia finita Ω Ω onde u = ( xi u j ) 3 i,j=1 e ω = curl u = u. Espaços de partida: { L 2 (Ω) = u : Ω R 3, u 2 def = H 1 (Ω) = { u L 2 (Ω), u 2 def = Ω Ω } u(x) 2 dx < } u 2 dx < 5 Espaços de divergente nulo Partimos de funções suaves: V = { u C0 (Ω) 3 ; u = 0 } e definimos por completamento: H = fecho de V em L 2 (Ω), V = fecho de V em H 1 (Ω). Em certos domínios regulares e limitados, é possível caracterizar melhor esses espaços. 6

22 Caracterização dos espaços em Ω limitado de classe C 2 Espaço de divergente em L 2 : E = { u L 2 (Ω); u L 2 (Ω) } Se u E, então existe o traço u n H 1/2 ( Ω), com Ω u ϕ dv = ( u)ϕ ds + ϕu n dv Ω Ω Então H = u L2 (Ω); u = 0, V = u H1 (Ω); u = 0, u n = 0, ou u n = anti-periódico u = 0, ou u = periódico 7 Decomposição de Leray-Helmholtz H é um subespaço vetorial fechado de L 2 PSfrag replacements H Decomposição ortogonal L 2 = H H (Helmholtz: Ω = R 3, Leray: Ω mais geral) H v = u + p, u = 0 p dado por problema de Neumann (aplicando ): p = v, em Ω p/ n = v n, em Ω Ω aberto qualquer: H = { w L 2 (Ω), w = p, p L 2 loc (Ω)} 8

23 Projeção das equações de Navier-Stokes Projeção ortogonal P LH : L 2 H e Q LH = I P LH Decomposição das ENS (assumindo P LH f = f): P LH ( u t Q LH ( u t ) + (u )u ν u + p f = 0 ) + (u )u ν u + p f = 0 Então, como P LH p = 0 e Q LH t u = 0, u t + P LH(u )u νp LH u = f (eq. evolução para u) Q LH (u )u νq LH u + p = 0 (eq. p = p(u)) 9 Formulação funcional das ENS u t + P LH(u )u νp LH u = f Operador de Stokes Au = νp LH u Termo inercial B(u, u) = P LH (u )u Espaço dual V H V : (u, v) def = u(x) v(x) dx u, v V,V. Ω Temos A : V V, B : V V V contínuos Forma funcional das ENS: du + νau + B(u, u) = f dt 10

24 Formulação variacional (fraca) das ENS Multiplicar ENS por função teste v de divergente nulo e suporte compacto em Ω e integrar em Ω: ( ) u + (u )u ν u + p v dx = 0; t Ω Integrando por partes e usando que v = 0, d u v dx+ [((u )u) v)] dx+ν u : v dx = 0; dt Ω Ω Ou, em notação compacta, e incluindo f, d (u, v) + b(u, u, v) + a(u, v) = (f, v), v V. dt Ω 11 Ortogonalidade do termo inercial Obter estimativas de energia usando ortogonalidade do termo inercial: b(u, v, v) = = Em particular, Ω ((u )v) v dv = 3 i,j=1 = Ω u i Ω x i ( v 2 j 2 ) 3 i,j=1 ( u) 1 2 v 2 dv = 0 Ω dv = u i v j x i v j dv 3 i,j=1 b(u, u, u) = 0 e b(u, v, w) = b(u, w, v). Ω u i x i v 2 j 2 dv 12

25 Desigualdade de energia para aproximação de Galerkin Via método de Galerkin, obter aproximações u (n) em espações de Galerkin V n de dimensão finita, d dt (u(n), v) + b(u (n), u (n), v) + a(u (n), v) = (f, v), v V n. Fazendo v = u (n) : 1 d 2 dt u(n) 2 + ν u (n) 2 = (f, v) Usando Cauchy-Schwarz e Young no último termo, d dt u(n) 2 + ν u (n) 2 1 f 2, νλ 1 onde λ 1 > 0 primeiro autovalor do operador de Stokes 13 Estimativas globais Assumindo f independente de t (ou f L 2 (0, T ; V )), u (n) (t) 2 u 0 2 e νλ1t + 1 ν 2 λ 2 f 2 (1 e νλ1t ) 1 Para a enstrofia, ν T u (n) (t) 2 dt 1 T T u f 2 νλ 1 0 Para a derivada temporal de u (n), usando b(u, u, v) = b(u, v, u) u 2 L 4 v u 1/2 u 3/2 v, temos B(u, u) 4/3 V u 2/3 u 2, logo 1 T T 0 t u (n) (t) 4/3 V dt C 14

26 Obtemos convergência (forte) em L 2 (0, T ; H), suficiente para a passagem ao limite no termo bilinear. Aubin (1963): Sejam E 1 E 2 E 3, E 1, E 3 reflexivos. Se {u n } n for limitado em L p (0, T ; E 1 ) e {u n} n limitado em L q (0, T ; E 3 ), p, q > 1, então {u n } é compacto em L p (0, T ; E 2 ). Temam (1983): Sejam E 1 E 2 (não necessariamente reflexivos). Se {u n } n for limitado em L 1 (0, T ; E 1 ) e em L p (0, T ; E 2 ), p > 1, e T h lim sup u n (s + h) u n (s) p E h 0 2 ds = 0, n 0 então {u n } n é compacto em L p (0, T ; E 2 ). Tartar (1999): p = 1 e integral M h θ, θ > Solução fraca de Leray-Hopf Após a passagem ao limite, obtemos solução fraca: u L (0, T ; H) L 2 (0, T ; V ); u/ t L 4/3 (0, T ; V ); u C([0, T ]; H w ), onde H w : topologia fraca; u(t) u 0, em H, quando t 0; u é solução das ENS no sentido fraco (e funcional) u satisfaz a desigualdade de energia no sentido das distribuições em (0, T ): 1 d 2 dt u(t) 2 + ν u(t) 2 (f, u(t)) 16

27 Recuperação da pressão Defina U(t) = F(t) = t 0 t 0 u(s) ds, β(t) = t 0 B(u(s), u(s)) ds e f(s) ds, todos pertencem a C(0, T ; V ). Da formulação fraca, para todo v V e todo t [0, T ], u(t) ν U(t) + β(t) F(t) u 0, v = 0. Da versão para distribuições da caracterização de H, P (t) C([0, T ]; L 2 (Ω)), com ν U(t) + P (t) = g(t), onde g(t) = F(t) β(t) u(t) + u 0 C(0, T ; V ). A derivada p(t) = P (t)/ t em D satisfaz (em D ) u ν u + (u )u + p = f. t 17 Unicidade A regularidade das soluções fracas não é suficiente para garantir a unicidade. Se u 1 e u 2 são soluções, u = u 2 u 1 satisfaz du dt + νau + B(u, u 2) + B(u 1, u) = 0 Mas falta ortogonalidade, logo 1 d 2 dt u 2 + ν u 2 + b(u, u 2, u) = 0. Precisa de regularidade de pelo menos uma das soluções (soluções regulares são únicas na classe de soluções fracas). Ladyzhenskaya (1969): Não unicidade de soluções fracas, mas com o domínio variando com t e com condições de contorno não homogêneas. 18

28 Regularidade Para mais regularidade, estimar enstrofia (usando base de autovalores para a aproximação de Galerkin) Solução fraca satisfaz d (u, v) + b(u, u, v) + a(u, v) = (f, v), v V. dt Tomando v = Au (n), d dt (u(n), Au (n) ) + b(u (n), u (n), Au (n) ) + a(u (n), Au (n) ) = 1 2 = (f, Au (n) ), d dt u(n) 2 + ν 2 Au(n) 2 + b(u (n), u (n), Au (n) ) = 1 2 f 2 19 Para estimar o termo b(u (n), u (n), Au (n) ), fazemos b(u (n), u (n), Au (n) ) u (n) L 6 u (n) L 3 Au (n) ( u (n) u (n) 1/2 Au (n) 1/2) Au (n) 1/2 u (n) 3/2 Au (n) 3/2 C u (n) 6 + ν 4 Au(n) 2. Assim, d dt u(n) 2 + ν 2 Au(n) 2 C u (n) 6 + f 2. Utilizando λ 1 u 2 Au 2, chegamos a d dt u(n) 2 + λ 1ν 2 u(n) 2 C u (n) 6 + f 2, que é da forma r + r r 3 + k, para r = u (n) 2. 20

29 de r 3 r + k. PSfrag replacements A solução de r + r = r 3 + k explode em tempo finito, se r > r, e é limitada, se 0 r r, onde r é a maior raiz r r 3 r k r r r t Conclusão: existência de soluções regulares locais; existência de soluções regulares globais para forças externas e dados iniciais pequenos. 21 Singularidades no tempo As estimativas anteriores indicam a possibilidade de explosão em tempo finito de soluções regulares; Possibilidade de perda de regularidade das soluções fracas em certos instantes de tempo (singularidades temporais - a enstrofia (vorticidade total) deixa de ser limitada): r PSfrag replacements u(t) 2 singularidades t Segundo Leray, essas singularidades estariam associadas a escoamentos turbulentos. 22

30 Estimativa da quantidade de singularidades temporais Considere solução fraca u = u(t), t 0, e o conjunto de singularidades temporais S = {t 0; u(t) = }; Como T 0 u(t) 2 dt <, temos S de medida nula; Quão grande pode ser S? Denso na reta? Discreto? S não é denso: pela existência local de soluções regulares, o conjunto de instantes regulares ( u(t) < ) é união de intervalos semi-abertos e de medida cheia. Como podemos medir o tamanho de S? 23 Dimensão de Hausdorff Quantificar o tamanho de S pela dimensão de Hausdorff Medida de dimensão D de Hausdorff de S µ D (S) = lim µ D,ɛ (S) = sup µ D,ɛ (S), ɛ 0 ɛ>0 onde µ D,ɛ = inf (t + j (t j,t+ j ) S, t+ j t j ɛ j t j )D ; Dimensão de Hausdorff dim H (S) = inf{d; µ D (S) = 0}; dim H pode ser definida em várias dimensões e coincide PSfrag replacements com a dimensão euclidiana de subvariedades euclidianas j cobertura: ɛ ɛ/2 n ọ de bolas : n ɛ 2 d n ɛ d = dimensão euclidiana µ D,ɛ/2 j = 2 j(d D) µ D,ɛ 24

31 Estrutura das soluções fracas - Leray (1934) Seja u(t) solução fraca em [0, T ] e defina R = [0, T ] \ S = {t [0, T ]; u(t) V }, R 0 = {t (0, T ); ε > 0, u(t) C((t ε, t + ε), V )} R 0 é aberto, logo R 0 = j N I j, com I j = (t j, t+ j ) disjuntos. Para cada t R, temos t R 0 ou t = t j para algum j, logo R \ R 0 é enumerável. Como u L 2 (0, T ; V ), temos R = T, logo R 0 = T, onde = medida de Lebesgue Vamos estimar o comprimento de cada (t j, t+ j ) Da inequação r + r r 3 + k para enstrofia r = 1 2 u 2 temos soluções definidas para 0 t t 0 < α/(1 + r 0 ) 2, r 0 = r(t 0 ), α > 0; Em cada intervalo maximal (t, t + ) de regularidade, t + α 1 t (1 + u(t) 2 ) 2 (t + t) (1 + u(t) 2 ) ; 1/2 α Integrando no tempo: (t + t ) 1/2 = t + t dt 2(t + t) 1/2 t u(t) 2 t 2 α Somando em todos os intervalos (Leray (1934)): dt; intervalos regulares (t + j t j )1/2 T 0 u(t) 2 dt < ; 26

32 Dimensão das singularidades em t - Scheffer (1976) Temos S [0, T ] \ m j=1 I j, que escrevemos como união finita de intervalos fechados disjuntos k m PSfrag replacements Se I j K (m) n j=1 K (m) j. com j > m, então I j K n (m), pois os extremos de K (m) n são extremos de outros I j e não podem estar no interior de I j. Assim, k m n=1 K (m) k m n=1 I 1 I 2 I 3 j K (3) 1 j>m I j e K (3) 2 K n (m) I j 1/2 = j>m j>m(t + j t j )1/2 0, m Como k m n=1 K (m) j é uma cobertura de S, temos da estimativa acima que µ 1/2 (S) = 0 e dim H (S) 1/2. 27 Singularidades espaço-temporais - Scheffer (1976), Caffareli, Khon, Nirenberg (1982), Lin (1998),... Análise mais precisa no conjunto E de singularidades espaço-temporais (de suitable weak solutions ): {(t, x ), u(t, x) ilimitado em vizinhanças de (t, x )}; ɛ > 0, lim sup R 0 R 1 Q R (t,x) u 2 < ɛ (t, x) regular; P 1 (E) = 0, onde P D é uma versão parabólica da medida de Hausdorff (com cilindros parabólicos Q ɛ = I ɛ 2 B ɛ ao invés de bolas); singularidade tipo folha de vórtice em nenhum instante de tempo (singularidade de dimensão dois); singularidade tipo vórtice pontual existindo em um intervalo de tempo (tb. dimensão dois devido a I ɛ 2). 28

33 Suitable weak solutions Sohr e von Wahl (1986): Leray-Hopf solutions p L 5/3 (R 3 (0, T ). Caffarelli, Kohn, Nirenberg (1982): suitable weak solutions p L 5/4 (Ω (0, T )) ( ) de fato, p L 5/4 t L 5/3 x. F. H. Lin (1998) e Ladyzhenskaya e Seregin (1999): suitable weak solutions p L 3/2 ((0, T ) Ω). 29 Condições para a regularidade ou explosão foram obtidas e têm sido refinadas; Condições geométricas sobre o alinhamento de vórtices são particularmente interessantes: ( t + u νδ) ω 2 + ν ω 2 = Sω ω = α ω 2, α(x) = 3 4π P.V. D(y/ y, ξ(x + y), ξ(x)) ω(x + y) dy/ y 3 ξ = ω/ ω, D(s 1, s 2, s 3 ) = (s 1 s 3 ) det(s 1, s 2, s 3 ), s i = 1; ϕ = ângulo entre ξ(x + y) e ξ(x), então D sin ϕ e ângulo local pequeno reduz α, associado ao PSfrag replacements crescimento de singularidades; ξ(x) ξ(x + y) ϕ 30

34 Resultados condicionais de regularidade Constantin-Fefferman (1993): sin ϕ(y) c y em Ω t,m explosão em t = T. Ω t,m = {(t, x) (0, T ) Ω; ω(t, x) M} Beirão da Veiga-Berselli (2002): sin ϕ(y) c y 1/2 em Ω t,m explosão em t = T. Ruzmaikina e Grujić (2003): Para q 2, ω q/(q 1) L q (Ω) L 1 (0, T ) e sin ϕ(y) c y 1/q em Ω t,m explosão em t = T. 31 Regularidade eventual de Leray Considere o caso sem força externa, f = 0; Nesse caso 2ν T 0 u(t) 2 dt u 0 2, T > 0; Então, lim inf t u(t) = 0, i.e. a solução assume valores arbitrariamente pequenos de enstrofia; Pelo resultado de regularidade global para dados iniciais com enstrofia suficientemente pequena, segue que a solução u é regular a partir de algum tempo t T L PSfrag replacements suficientemente grande. r u(t) T L t 32

35 Regularidade assintótica? Para f 0, não há, necessariamente, regularidade eventual; Um possível resultado intermediário de regularidade é o conjunto ω-limite fraco ter enstrofia limitada; Outro, mais fraco, seria o suporte de medidas invariantes ( soluções estatísticas em 3D) ter enstrofia limitada; Este último resultado tem relação com o esperado decaimento exponencial do espectro, na teoria estatística de turbulência, associado ao espectro de funções anaĺıticas. 33 Atrator global fraco As estimativas a priori obtidas na teoria de existência das ENS são suficientes para mostrar a existência de um atrator global na topologia fraca: A w ={u 0 H; solução global, sup u(t) <, u(0) = u 0 }; t R Pelas estimativas, A w é limitado em H e atrai todas as soluções na topologia fraca, uniformemte para condições iniciais limitadas. Se A w V (regularidade assintótica), então todas as soluções são atraídas na topologia forte. 34

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37 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Ricardo M. S. Rosa Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ) I EBED Escola Brasileira de Equações Diferenciais 9 a 13 de junho de 2003 IMECC - Unicamp Aula 3-11 de junho 1 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Tópicos: 1. As equações de Navier-Stokes, equações correlatas e algumas questões fundamentais 2. Aspectos matemáticos das equações de Navier-Stokes 3. Teoria estatística convencional de turbulência 4. Soluções estatísticas das equações de Navier-Stokes 5. Aplicações das soluções estatísticas em turbulência 2

38 Teoria estatística convencional de turbulência Ordem e médias estatísticas Turbulência homogênea e isotrópica Espectro de energia Cascata de energia A teoria homogêna isotrópica local de Kolmogorov estruturas coerentes e intermitência Graus de liberdade Lei de dissipação de energia Número de Reynolds, lei de Moore e DNS Cascata de enstrofia e espectro de Kraichnan em 2D 3 Equações de Navier-Stokes Região Ω R 3 ocupada pelo fluido Variáveis espacial x = (x 1, x 2, x 3 ) Ω e temporal t 0 Campo de velocidades u = u(t, x) = (u 1, u 2, u 3 ) R 3 Pressão p = p(t, x) R e força de volume f = (f 1, f 2, f 3 ) Equações de Navier-Stokes (ENS) para um escoamento incompressível e homogêneo, viscosidade cinemática ν: u + (u )u + p = ν u + f, t u = 0. 4

39 Escoamentos turbulentos: várias escalas presentes, se movendo de maneira imprevisível, mas bem comportadas em um sentido estatístico. 5 Reynolds (1895): Decomposição do escoamento em escoamento médio + flutuações Escoamento médio previsível? 6

40 Tipos de média: Média temporal: U(x) 1 T T 0 u(t, x) dt Média amostral: U(x) 1 N N u (n) (t, x) n=1 Média espacial: U(x) 1 N N u(t, x + l (n) ) n=1 Hipótese ergódica: Os valores médios independem do tipo de média considerada, inspirada em mecânica estatística. Reynolds (1895): Operação formal de média, satisfazendo propriedades de linearidade. 7 Quantidades médias - notação ϕ(u) ou ϕ(u) = 1 N N ϕ(u (n) ) n=1 onde u = u(t, x) e ϕ = ϕ(u). Exemplos: u 1 (t, x), u 1 (t, x), ρ 0 2 u(t, x) 2 Linearidade: u 3 = u 3, u(t, y) dy = u(t, y) dy, x 2 x 2 Ω Ω mas u 1 (x)u 2 (y) u 1 (x) u 2 (y) 8

41 Escoamento médio U(x, t) = u(t, x) = 1 N N u (n) (t, x) n=1 Energia cinética média por unidade de massa: e(t, x) = 1 2 u(t, x) 2 = 1 N N n=1 1 2 u(n) (t, x) 2 Razão de dissipação viscosa de energia por unidade de tempo e unidade de massa: ɛ(t, x) = ν u(t, x) 2 = ν N N 3 n=1 i,j=1 ( ) u (n) 2 i x j 9 Equação de energia Equações de Navier-Stokes: u t ν u + (u )u + p = f, u = 0, Multiplicando as ENS por u e integrando no domínio: (ENS) u dx = 0 Ω Usando condição de incompressibilidade e mult. por ρ 0 : d dt energia cinética { }}{ ρ 0 u 2 + νρ 0 2 Ω dissipação de energia {}}{ Ω ( ) termos de termos u 2 + = produção no bordo de energia 10

42 Equações de Reynolds para o escoamento médio Equações de Navier-Stokes: u t ν u + (u )u + p = 0, u = 0. Substituindo u = U + u e tomando a média: U t ν U + (U )U + P = (u u ), U = 0. ρ 0 (u u ) = ρ 0 (u i u j )3 i,j=1 = tensor de Reynolds. 11 Escoamentos turbulentos médios Em canais: camadas Várias camadas com diferentes perfis de velocidade média (simplificação do tensor de Reynolds via simetrias, análise dimensional, argumentos fenomenológicos,...) Analogamente para outras geometrias (tubos, etc.) 12

43 Correlações e métodos estatísticos - Taylor (1921,35) Correlações (de 2 pontos): u i (x)u j (x + l) Sfrag replacements u(x) u(x + l) u (n) (x + l) e u (n) (x) apontam freqüentemente na mesma direção e mesmo sentido u i (x)u i (x + l) > 0 e as velocidades estão correlacionadas. u (n) (x + l) e u (n) (x) apontam em direções arbitrariamente diferentes u i (x)u i (x + l) = 0 e as velocidades não estão correlacionadas. 13 Turbulência homogênea - Taylor (1935) Em certos escoamentos, correlações são homogêneas: u i (x)u j (x + l) = função apenas de l, independe de x 14

44 Comprimento de Taylor (1921,1935) Correlação lateral de segunda ordem normalizada: g(0) = 1 g(l) = u 1(x)u 1 (x + le 2 ), l R. u 1 (x) 2 Homogeneidade implica em g( l) = g(l), logo g (0) = g (0) =... = 0. ( ) ( 2 ( ) ) 4 l g(l) = 1 l T + O l l T l T = comprimento de Taylor 1 l 2 T 1 g(l) = lim = 1 l 0 l 2 2 g (0) = 1 2 ( u1 (x) x 2 ) 2 u 1 (x) 2 15 Comprimento de Taylor - verificação experimental g(l) = u 1(x)u 1 (x + le 2 ) u 1 (x) 2 ( ) ( 2 ( ) ) 4 l l = 1 + O l T l T l T = comprimento médio dos menores turbilhões responsáveis pela dissipação de energia pela viscosidade 16

45 Turbulência homogênea isotrópica - Taylor (1935) Em certos escoamentos turbulentos, em particular quando o escoamento médio é desprezível, as correlações são homogêneas e isotrópicas no espaço, isto é independentes de translações e rotações do conjunto de pontos. função apenas do módulo l = l, u i (x)u j (x + l) = independe de x e da direção l l ag replacements u 2 (x + le 2 ) u 1 (x le 1 ) u 2 (x) l u 1 (x) l 17 Conseqüências da isotropia Kármán e Howarth (1937): em escoamentos homogêneos isotrópicos, correlações de segunda ordem podem ser escritas em termos de apenas uma correlação ( ui (x)u j (x + l) u(x) 2 ) 3 i,j=1 = f(l) g(l) l 2 l l + g(l)δ i,j, onde f(l) = u 1(x)u 1 (x + le 1 ), g(l) = u 1(x)u 1 (x + le 2 ) u(x) 2 u(x) 2 e, da condição de incompressibilidade, f(l) + l 2 f (l) = g(l). Verificado experimentalmente por Taylor (1937). 18

46 Espectro de energia e correlações - Taylor (1938) Traço do tensor de correlações Tr R(l) = R 11 (l) + R 22 (l) + R 33 (l), R ij = u i (x)u j (x + l) Transformada de Fourier Q(κ) de Tr R(l) Tr R(l) = 1 Q(κ)e il κ dκ (2π) 3/2 R 3 Espectro de energia (segundo Batchelor (1953)) S(κ) = 1 1 Q(κ) dσ(κ) 2 (2π) 3/2 κ =κ = e = 1 2 u(x) 2 = 1 2 Tr R(0) = S(κ) dκ 0 19 Cascata de energia - Richardson (1922) ag replacements injeção de energia transferência/cascata dissipação de energia de energia 20

47 Transferência de energia/enstrofia 21 Número de Reynolds Escala de comprimento: L Escala de velocidade: U Dimensão física do termo inercial: (u )u U 2 Dimensão física do termo viscoso: ν u νu L 2 Razão entre os dois termos: Re = inercial viscoso = LU ν Re 1 termo inercial domina (grandes escalas) Re 1 viscosidade domina (pequenas escalas) L 22

48 Teoria de Kolmogorov Produção de energia nas grandes escalas l l 0 No intervalo de equiĺıbrio, l l 0, o escoamento tem um comportamento universal, independente das características de produção de energia e dependentes apenas de ν e ɛ. O escoamento perde a memória das grandes escalas, devido à cascata turbulenta de energia. A viscosidade se torna importante apenas a partir de escalas muito menores, da ordem do comprimento de Kolmogorov, l ɛ = (ν 3 /ɛ) 1/4. No intervalo inercial, l 0 l l ɛ, a viscosidade é desprezível em relação às forças de inercia (cinéticas), com o espectro de energia S(κ) ɛ 2/3 κ 5/3. 23 Teoria de turbulência homogênea isotrópica local - Kolmogorov (1941) Correlações de diferenças de velocidades são homogêneas e isotrópicas no espaço e em equiĺıbrio estatístico (homogêneas) no tempo. Homogeneidade ɛ = ν 2 u(t, x) 2 independe de t, x. 1 ạ hipótese de similaridade: correlações dependem apenas de ɛ e ν (nas escalas suficientemente menores que as de produção de energia, l 0 ) 2 ạ hipótese de similaridade: Há um subintervalo de escalas no qual as correlações dependem apenas de ɛ 24

49 Comprimento de Kolmogorov (1941) É o comprimento l ɛ para o qual os efeitos de viscosidade e inércia são comparáveis e significativos. Pela transformação l = l/λ, t = t/τ, temos ν = τ λ 2 ν, ɛ = τ 3 λ 2 ɛ. ( ) λ ɛ 2 1/3 = 1 τ =, ν = 1 τ = λ2 ɛ ν, ɛ ν = τ 2 ɛ ν Portanto, ɛ /ν diminui com λ 4 e ν 1 ɛ def λ l ɛ = ν ɛ 1 λ l ɛ ɛ ν 1 λ l ɛ. ( ν 3 ɛ ) 1/4 = λ4 ɛ ν 3, 25 A lei de potência 2/3 de Kolmogorov (1941) Pela segunda hipótese de similaridade, as correlações para l ɛ l l 0 só dependem de ɛ. ( S 2 (l) = (u(x + l) u(x)) Pela similaridade, S 2(l ) = g(l, ɛ ), logo Tomando τ 2 λ S 2(l) = g( l 2 λ, τ 3 λ ɛ). 2 l λ = 1, τ 3 λ 2 ɛ = 1, ) 2 l = g(l, ɛ). l = S 2 (l) = g(1, 1) λ2 τ 2 = g(1, 1) l 2 (l 2/3 /ɛ 1/3 ) 2 = const. (ɛl)2/3. 26

50 O espectro 5/3 de Kolmogorov S(κ) = espectro de energia dimensão = L3 T ɛ = razão de dissipação de energia no tempo = L2 T 3 Hipótese de similaridade S(κ) depende de ɛ e κ (no intervalo inercial) Intervalo inercial: κ 0 κ κ ɛ, κ 0 = l 1 0, κ ɛ = l 1 ɛ Análise dimensional S(κ) = const. ɛ 2/3 κ 5/3, κ 0 κ κ ɛ 27 Espectro de energia - mecanismo de Oboukhof (1941) Energia cinética média para os turbilhões de comprimento l = 1/κ: e κ = S(κ)κ Tempo característico para esses turbilhões: τ κ = (S(κ)κ 3 ) 1/2 No intervalo inercial, energia cinética é transferida para as escalas menores, à razão temporal da ordem da e κ razão de dissipação de energia: ɛ τ κ Logo, S(κ)κ (S(κ)κ 3 ) 1/2 ɛ = S(κ) ɛ2/3 κ 5/3 28

51 Diagrama da teoria de Kolmogorov Os espectros de energia e de dissipação de energia ag replacements S(κ)κ/e νκ 2 S(κ)κ/ɛ κ 0 intervalo inercial κ ɛ intervalo de dissipação intervalo de equiĺıbrio κ 29 Espectro de energia 30

52 Estruturas coerentes e intermitência Universalidade questionada devido a variações intermitentes na dissipação de energia ɛ Estruturas coerentes: filamentos de vórtices com baixa dissipação de energia, diâmetro da ordem do comprimento de Kolmogorov e comprimento variando entre comprimento de Taylor e escala integral. 31 Intermitência, leis de potência e lei -4/5 Via análise dimensional ou similaridade: ( ) p l S p (l) = (u(x + l) u(x)) (ɛl) p/3. l Intermitência diferentes dissipações locais ɛ j Então, para a correlação longitudinal 2-pts de ordem p: S p (l) = 1 J J j=1 S p (j) (l) = 1 J J (ɛ j l) p/3 1 J j=1 p/3 J ɛ j l = (ɛl) p/3, j=1 exceto quando p = 3, que é o único valor para o qual Kolmogorov obteve uma lei de potência sem usar similaridade (lei -4/5 de Kolmogorov): S 3 (l) = 4 5 ɛl 32

53 Graus de liberdade - Landau e Lifchitz (1971) Teoria de Kolmogorov: escalas l l ɛ são dominadas pela dissipação e irrelevantes para o movimento Basta representarmos as escalas de ordem até l ɛ Basta uma malha de espaçamento l 0 /l ɛ Graus de liberdade: (l 0 /l ɛ ) 3 l 0 PSfrag replacements l ɛ 33 Lei de dissipação de energia Comprimento típico das grandes escalas: l 0 Velocidade típica das grandes escalas: U 0 Energia cinética das grandes escalas: e 0 = U0 2 /2 Tempo de circulação das grandes escalas: τ 0 = l 0 /U 0 Razão de dissipação de energia: ɛ e 0 τ 0 ɛ U 3 0 l 0 (lei de dissipação de energia) Mais precisamente, lei considerada para a velocidade turbulenta U 0 = u 1 (x) 2 1/2 e a escala integral l 0 = 1 u 2 1 u 1 (x)u 1 (x + le1) dl 0 34

54 Graus de liberdade em termos do número de Reynolds Número de Reynolds das grandes escalas: Re = l 0 U 0 /ν Comprimento de Kolmogorov: l ɛ = (ν 3 /ɛ) 1/4 Lei de dissipação de energia: ɛ U 3 0 /l 0 Logo, l 0 /l ɛ Re 3/4 Graus de liberdade: N ( l0 l ɛ ) 3 Re 9/4 35 Exemplos de números de Reynolds de escoamentos Túnel de vento l 0 2m, U 0 5m/s, ν 10 5 m 2 /s Re 10 6, N 10 13, l ɛ 0.1mm Escoamentos geofísicos l km, U 0 100km/h, Re 10 12, N 10 27, l ɛ 1cm Obs: estimativas aproximadas, pois não estamos considerando a escala integral e a intensidade turbulenta. 36

55 Número de Reynolds e CFD Para a representação espacial apropriada do escoamento: N Re 9/4 graus de liberdade. Para escoamentos periódicos 3D (via fft): N ln N operações de ponto flutuante (flop) por iteração. Como a escala de tempo dos menores turbilhões é τ ɛ = (l 2 ɛ/ɛ) 1/3 = (ν/ɛ) 2, precisamos (usando ɛ U 0 /l 0 ), de τ 0 /τ ɛ = (l 0 U 0 /ν) 1/2 = Re 1/2 iterações para integração em um ciclo de circulação das grandes escalas, logo N 11/9 ln N Re 11/4 ln Re flop para cada ciclo. Com os supercomputadores teraflop (10 12 flop/s), podemos chegar a aproximadamente Re Para escoamentos com simetria: Re 10 5, Lei de Moore: performance 1.58 por ano. Mudanças na arquitetura: performance 1.82 por ano. 38

56 Previsão para DNS: Re= em 2100? Para simulação DNS homogênea: P Re 3 flop/s. Como a performance P Re 4/11 se multiplica por 1.82 por ano, temos Re se multiplica por (1.82) 4/ ag replacementsturbulência em duas dimensões 1 Conservação de enstrofia: ω(x) 2 dx 2 Cascata de enstrofia para as escalas menores Cascata inversa de energia para as escalas maiores S(κ)κ/e νκ 2 S(κ)κ/ɛ νκ 4 S(κ)κ/η Ω cascata produção inversa de enstrofia cascata de enstrofia de energia dissipação de enstrofia κ 40

57 O espectro de Kraichnan (1967) Injeção de enstrofia nas escalas κ κ f Razão de dissipação de enstrofia η Comprimento de Kraichnan κ η = (η/ν 3 ) 1/6 Dissipação de enstrofia nas escalas κ κ η Cascata de enstrofia em κ f κ κ η Espectro de Kraichnan S(κ) η 2/3 κ 3 em κ f κ κ η Cascata inversa de energia em κ 0 κ κ f Espectro de Kolmogorov S(κ) ɛ 2/3 κ 5/3 em κ 0 κ κ f 41

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59 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Ricardo M. S. Rosa Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ) I EBED Escola Brasileira de Equações Diferenciais 9 a 13 de junho de 2003 IMECC - Unicamp Aula 4-12 de junho 1 Resultados recentes sobre as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis Tópicos: 1. As equações de Navier-Stokes, equações correlatas e algumas questões fundamentais 2. Aspectos matemáticos das equações de Navier-Stokes 3. Teoria estatística convencional de turbulência 4. Soluções estatísticas das equações de Navier-Stokes 5. Aplicações das soluções estatísticas em turbulência 2

60 Formalização do conceito de média amostral As médias amostrais são definidas a partir de N escoamentos u (n) (t, x), n = 1,..., N: ϕ(u) = 1 N N ϕ(u (n) ) n=1 Em termos probabiĺısticos: N escoamentos considerados, cada um com peso 1/N. PSfrag replacements u u (2) u (médio) u (1) t 3 Mais geralmente: podemos ter escoamentos com pesos diferentes θ n, com n θ n = 1, N ϕ(u) = ϕ(u (n) )θ n n=1 Ou uma infinidade de escoamentos u (ω), com densidade de probabilidade dρ(ω), ϕ(u) = ϕ(u (ω) ) dρ(ω) PSfrag replacements u (ω) dρ(ω) u (médio) ω 4

61 Podemos usar probabilidades ρ = ρ(ω) em um espaço de probabilidades (P, Σ, ρ) e considerar variáveis aleatórias u = u(ω) para representar os possíveis escoamentos. Ou podemos usar medidas de probabilidade µ em algum espaço natural para escoamentos, e.g. H da teoria de Leray: ϕ(u) = H ϕ(v) dµ(v). Nesse caso, v é uma variável de integração e, na verdade, ϕ(u) = ϕ, com u virtual (ϕ é função do escoamento, representado por u). Em termos de espaço de probabilidade, temos P = H, Σ = borelianos de H e µ = medida de probabilidade de Borel em H. 5 Medidas relevantes As medidas µ podem depender do tempo (µ = µ t, e.g. turbulência em decaimento), ou não (turbulência estatisticamente estacionária) As informações estatísticas do escoamento estão contidas em µ. Os momentos generalizados, são as expressões ϕ(u) = H ϕ(v) dµ(v) de onde podemos tirar os momentos clássicos, para funções polinomiais apropriadas, e.g. ϕ(u) = (u u ) k. Quais são as medidas relevantes para um escoamento? Equação para µ ou µ t? 6

62 Evolução de medidas em sistemas dinâmicos Se u = F(u) gera sistema dinâmico {S(t)} t 0, dada uma distribuição inicial µ 0 de condições iniciais, é natural que a evolução dessa distribuição seja dada por µ t = S(t)µ 0, i.e. µ t (E) = µ 0 (S(t) 1 E), Assim, para os momentos generalizados (v = S(t)w): d ϕ(v) dµ t (v) = d ϕ(s(t)w) dµ 0 (w) dt H dt H = ϕ (S(t)w) d H dt S(t)w dµ 0(w) = F(S(t)w), ϕ(s(t)w) V,V dµ 0 (w) H = F(v), ϕ (v) V,V dµ t (v). H 7 Outra dedução para a evolução dos momentos Se pensarmos na média amostral de N escoamentos com peso, os momentos generalizados ϕ : H R satisfazem d dt ϕ(u(t)) = d dt = = = N θ n ϕ(u (n) (t)) = n=1 N n=1 N θ n ϕ (u (n) (t)) d dt u(n) (t) n=1 N θ n ϕ (u (n) (t))) F(u (n) (t)) n=1 θ n d dt ϕ(u(n) (t)) N θ n F(u (n) (t)), ϕ (u (n) (t)) V,V. n=1 8

63 Em termos de medida de probabilidade em H, podemos escrever µ t = N θ n δ u (t), (n) n=1 onde δ u = medida de Dirac em u. Dessa forma, ϕ(u(t)) = N θ n ϕ(u (n) (t)) = n=1 H ϕ(v) dµ t (v) Assim, podemos reescrever a equação anterior: d dt N θ n ϕ(u (n) (t)) = n=1 como N n=1 d ϕ(v) dµ t (v) = dt H ) θ n (F(u (n) (t)), ϕ (u (n) (t)) H (F(v), ϕ (v)) dµ t (v) 9 A formulação obtida elimina a dependência expĺıcita na solução das ENS, introduzindo uma variável de integração v e a incógnita µ t : d ϕ(v) dµ t (v) = (F(v), ϕ (v)) dµ t (v) dt H Essa equação para µ t é em termos dos momentos generalizados (a regra para medidas) e é linear(!) em µ t Equação do tipo Liouville da mecânica estatística e pode ser chamada de equação de Liouville-Foias-Prodi ou equação de Navier-Stokes estatística O termo F(u) = f νau B(u, u) mora no espaço dual V, logo só os momentos com ϕ (v) em V podem ser considerados H 10

64 Funções teste ciĺındricas Na equação dos momentos generalizados, d Φ(v) dµ t (v) = (F(v), Φ (v)) dµ t (v) dt H serão consideradas funções ciĺındricas Φ : H R da forma Φ(u) = φ((u, g 1 ),..., (u, g k )), onde k N, φ C 1 c(r k ), g 1,..., g k V. A diferential Φ em H tem a forma H Φ (u) = k j φ((u, g 1 ),..., (u, g k ))g j, j=1 com Φ (u) V, pois g j V. 11 Soluções estatísticas das ENS - Foias (1972) Família {µ t } t 0 de medidas de probabilidade de Borel: [0, ) t H ϕ(v) dµ t(v) contínuo, ϕ C bdd (H w ) t H v 2 dµ t (v) em L (0, ) e contínuo em t = 0 t H v 2 dµ t (v) em L 1 loc (0, ) Inequação de energia no sentido das distribuições em (0, ): 1 d v 2 dµ t (v) + ν v 2 dµ t (v) (f, v) dµ t (v); 2 dt H H H Satisfaz as ENS estatísticas no sentido das distribuições em (0, ), para toda função teste Φ. 12

65 Inequação de energia em níveis. A inequação de energia anterior parece natural, mas uma outra inequação, mais precisa e útil, pode ser exigida: 1 d ψ( u 2 ) dµ t (u) + ν ψ ( u 2 ) v 2 dµ t (v) 2 dt H H ψ ( u 2 )(f, v) dµ t (v), para todo ψ C 1 ([0, )), 0 ψ (r) c <. H Segue da inequação correspondente para sols. individuais: 1 d 2 dt ψ( u 2 ) = 1 2 ψ ( u 2 ) d dt u 2 ψ ( u 2 ) ( (f, u) ν u 2). 13 Soluções estatísticas sentido Vishik-Fursikov (1977) Seja X T (R) = C([0, T ]; B H (R) w ) (esp. métrico completo) Seja U T (R) = {u X (R); u( ) solução fraca em [0, T ]} (subconjunto compacto de X T (R)). Uma solução estatística de Vishik-Fursikov é uma medida de probabilidade µ em U T (R). Pela continuidade das soluções em H w, podemos aplicar Teorema da Representação de Kakutani-Riesz e obter solução estatística de Foias-Prodi: ϕ(u(t)) dµ(u) = ϕ(v) dµ t (u). U(R) para todo ϕ C(H w ). (ϕ(u(t)) = ϕ δ t (u).) H 14

66 Existência de soluções estatísticas Dada uma medida de Borel de probabilidade µ 0 em H, com energia cinética média finita H v 2 dµ 0 (v) < (µ 0 representando a distribuição de probabilidades do campo inicial de velocidades) Foias (1972), Foias-Prodi (1976), Vishik-Fursikov (1977): Existência via método de Galerkin, passando ao limite as medidas definidas por µ (n) t (t)(e) = µ 0 (S (n) ( t)e), para qualquer boreliano E H, onde {S (n) (t)} t 0 é o operador solução associado à aproximação de Galerkin Foias, Manley, Rosa, Temam (2001): Ou via Teorema de Krein-Milman Existência via Teorema de Krein-Milman Aproximar µ 0 por combinação convexa de pontos extremos, que são deltas de Dirac δ (n) u, n = 1,..., N. 0 Considerar aproximações µ (N) t definidas como as combinações convexas das deltas de Dirac δ u (n) (t), nas soluções fracas correspondes das ENS, e passar ao PSfrag replacements limite quando N H soluções fracas H suporte da medida µ 0 suporte da medida µ t t 16

67 Aproximação da medida inicial via Krein-Milman (K-M): Sejam K X = espaço vetorial topológico localmente convexo. Seja E = pontos extremos de K. Então os fechos convexos coincidem: coe = cok. Seja M 0 (R 0 ) = {medidas de probabilidade em B H (R 0 )}. M 0 (R 0 ) limitado fechado convexo em lctvs C(B H (R 0 ) w ). Extremos de M 0 (R 0 ) são deltas δ u0, com u 0 B H (R 0 ). Dado µ 0 em M 0 (R 0 ), existem µ 0n M 0 (R 0 ), µ 0n def = J(n) j=1 θ (n) j δ (n) u 0j µ 0, em M 0 (R 0 ), com J(n) N, u (n) 0j B H (R 0 ), θ (n) j (0, 1], e J(n) j=1 = Soluções estatísticas aproximadas Para cada condição inicial u (n) 0j, considere uma solução fraca u (n) j = u (n) j (t) com u (n) j (0) = u (n) 0j. Cada solução fraca u (n) j pertence a U T (R 0 ) e define uma medida de probabilidade δ (n) u em M T (R 0 ). j Como M T (R 0 ) é convexo, temos que def µ n = j=1 J(n) θ (n) j δ (n) u j pertence a M T (R 0 ). Como M T (R 0 ) é compacto (fraco-estrela), temos µ n µ, com µ M T (R 0 ), com µ = solução estatística de V-F e {µ t } t de F-P. 18

68 Observações Demonstração acima (e definição de Vishik-Fursikov) válida para medida inicial de suporte limitado em H. Caso geral tem que trabalhar mais um pouco. As soluções estatísticas acima são importantes para o tratamento de turbulência dependente do tempo, como turbulência em decaimento. Versão estacionária útil para turbulência em equiĺıbrio estatístico no tempo (estacionária). Para o tratamento de turbulência homogênea, pode-se usar o caso periódico. Para o tratamento de turbulência homogênea isotrópica é necessário considerar o caso ilimitado, i.e. Ω = R Soluções estatísticas homogêneas em R 3 Soluções estatísticas homogêneas tem energia infinita (caso contrario a energia decairia no infinito e a homogeneidade não seria válida). Vishik-Fursikov (1978): Considerar soluções individuais das ENS em R 3 em espaços com peso e energia infinita. Dificuldade: perde ortogonalidade do termo bilinear. Foias-Temam (1980): Aproximar pelo caso periódico e passar ao limite nas soluções estatísticas com o período L (Passagem ao limite delicada, usando teorema de representação em L 1 (0, T ; X), teorema de compactificação de Čech-Stone, etc.) 20

69 Soluções estatísticas homogêneas em R 3 Energia e enstrofia médias são definidas localmente: e(µ) = 1 1 u(x) 2 dx dµ(u), 2 H Q Q E(µ) = 1 1 u(x) 2 dx dµ(u), 2 Q H independentes de Q pois µ é homogênea. Q Desigualdade de energia: e(µ t ) + ν t 0 E(µ s) ds e(µ 0 ). Define-se soluções auto-semelhantes {µ ν,ɛ t } t em ν, ɛ satisfazendo leis de potência. São caracterizadas por soluções estatísticas estacionárias de v s 1 2 v 1 (y )v + (v )v v + q = 0 2 Existência de solução com ω-limite não trivial??? 21 Solução estatística estacionária Medida de probabilidade de Borel µ em H, satisfazendo Energia cinética média finita: H v 2 dµ(v) < Enstrofia média finita: H v 2 dµ(v) < Inequação de energia { ν v 2 (f, v) } dµ(v) 0, {e v 2 <e 2 } para todos os níveis de energia 0 e 1 e 2 Equação de NS estatística estacionária: (F(v), Φ (v)) dµ(v) = 0, H para as funções teste. 22

70 Limite generalizado de Banach Para o tratamento das médias temporais e para evitar a hipótese ergódica, utilizamos o limite generalizado de Banach, que estende, via Teorema de Hahn-Banach, o conceito de limite para qualquer função limitada (é um funcional linear no espaço vet. das funções limitadas) Limite generalizado não satisfaz propriedade do limite de produto ser o produto dos limites e não é único Para funções periódicas, é a média dos valores assumidos, ponderada pelo número de vezes assumido PSfrag replacements 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1.5 1, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 3, Soluções estatísticas estacionárias e médias temporais Seja u = u(t), t 0, solução fraca e seja ϕ C(H w ). Então ϕ(u(t)) é limitado em t 0, assim como (0, ) T 1 T T 0 ϕ(u(t)) dt. O limite generalizado existe e define funcional linear positivo em C(H w ), com H w localmente compacto: 1 T ϕ Lim ϕ(u(t)) dt. T T Teorema da Representação de Kakutani-Riesz: existe medida de Borel µ = µ u em H w tal que Lim T 1 T T 0 0 ϕ(u(t)) dt = H ϕ(v) dµ u (v). 24

71 Suporte de solução estatística de média temporal Seja u = u(t) solução fraca e SSS associada µ u : Lim T 1 T T 0 ϕ(u(t)) dt = H ϕ(v) dµ(v). Seja ω w (u) conjunto limite (fraco) de u em H w. Então supp(µ u ) ω w (u). De fato... R > 0, ω w (u) B H (R) (limitado) B H (R) w Hausdorff compacto, então podemos separar o fracamente fechado ω w (u) do fracamente fechado B H (R) w \ O, onde O é vizinhança fraca de ω w (u), com outro aberto fraco O entre eles. 25 PSfrag replacements B H (R) O ωw(u) O Lema de Urysohn ϕ : B H (R) w R contínuo, com 0 ϕ 1, ϕ O w B H (R) w 1 e ϕ BH (R) w \O 0. Como ω w (u) atrai u(t) fracamente, temos u(t) O para t T grande. Além disso, ϕ 0 sempre, com ϕ = 1 em O B H (R) w, logo µ(o) µ(o 1 T ) Lim ϕ(u(t)) dt = = 1. T T 0 Como O é aberto fraco arbitrário contendo ω w (u) e µ é regular, temos µ(ω w (u)) = inf{µ(o)} = 1, e como ω w (u) é fechado, temos supp(µ) ω w (u) 26

72 Teoremas de topologia Urysohn: A, B X fechados disjuntos em X = esp. top. normal. Então, f : X R contínuo tq. 0 f(x) 1, f(a) = 0, f(b) = 1. Tietze: A X fechado em X = esp. top. normal; f : A R contínuo limitado. Então extensão F : X R contínua limitada, F (x) = f(x) em A, e sup x X F (x) = sup x A f(x). Čech-Stone: X = esp. top. completamente regular (pontos são fechados e A = {x 0 }, B X fechados disjuntos, ϕ como em Urysohn), então X é homeomorfo a subconjunto denso de um espaço de Hausdorff compacto ˇX tq. função contínua limitada em X possui extensão única para uma fç cont. em ˇX. 27 Turbulência em equiĺıbrio estatístico Médias amostrais associadas a escoamentos turbulentos em equiĺıbrio estatístico (no tempo, i.e. estatisticamente estacionária) são interpretadas como médias em relação a soluções estatísticas estacionárias As soluções estatísticas estacionárias das ENS colocam as médias amostrais em um contexto rigoroso A partir desse conceito, são considerados rigorosamente os conceitos da teoria estatística convencional de turbulência. As soluções estatísticas estacionárias (em particular as obtidas via médias temporais) não são necessariamente únicas (as médias temporais podem depender da solução fraca - não há prova de ergodicidade). 28