PME Análise Dimensional, Semelhança e Modelos
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- Marcelo Canejo
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1 PME 3230 Análise Dimensional, Semelhança e Modelos Alberto Hernandez Neto PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional /53
2 Aplicação da análise dimensional: Desenvolvimento de equações Conversão entre diferentes sistemas de unidades Avaliação das variáveis relevantes em um determinado problema teórico ou experimental Desenvolvimento de protótipos Aplicação não restrita à Mecânica dos Fluidos PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 2/53
3 Exemplo: Determinação da força de arrasto (F a ) no escoamento ao redor de uma esfera lisa em um líquido V D, F a PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 3/53
4 Parâmetros importantes: V D, F a D =Diâmetro da esfera V = velocidade de escoamento μ = viscosidade dinâmica do fluido ρ = massa específica do fluido F a = força de arrasto F f D, V,, a Como determinar f? PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 4/53
5 ª solução: Variação de cada parâmetro, mantendo os demais constantes Procedimento: Bancada experimental montada para medição de F a Variação de cada parâmetro para 0 valores diferentes Número total de experimentos: 0 4 Tempo de cada experimento: 5 minutos Tempo total de experimentos: 5x0 4 minutos 830 horas 35 dias corridos Custo alto Relação entre os parâmetros PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 5/53
6 2ª solução: Aplicação da Análise Dimensional V D, F a D =Diâmetro da esfera V = velocidade de escoamento μ = viscosidade dinâmica do fluido ρ = massa específica do fluido F a = força de arrasto Força de arrasto adimensional Fa 2 2 V D VD f Número de Reynolds (adimensional) PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 6/53
7 Teorema de Buckingham Enunciado: Dada uma relação entre n parâmetros da forma g(q ; q 2 ;... ; q n ) = 0, então os n parâmetros podem ser agrupados em n - m razões independentes adimensionais, ou parâmetros, que podem ser expressos em forma funcional por: PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 7/53
8 Teorema de Buckingham G( ; 2 ;... ; n ) = 0, ou =G( 2 ; 3 ;... ; n-m ) = 0 O número m é usualmente (mas nem sempre) igual ao número mínimo r de dimensões independentes necessárias para especificar as dimensões de todos os parâmetros q ; q 2 ;... ; q n. A forma de G ou G não é prevista pelo teorema determinação experimental Este teorema é baseado no conceito de homogeneidade dimensional PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 8/53
9 Teorema de Buckingham Determinação dos grupos :. Liste os parâmetros envolvidos (n) 2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias) MLt ou FLt (r) 3. Liste as dimensões dos parâmetros em termos das dimensões primárias (matriz dimensional) 4. Selecione da lista um número m de parâmetros, chamados de repetentes, que, em conjunto, incluam todas as dimensões primárias. Não selecione o parâmetro dependente. 5. Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros repetentes com cada um dos remanescentes (n-m) equações 6. Verifique se cada grupo obtido é adimensional PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 9/53
10 Teorema de Buckingham Aplicando o teorema ao problema do escoamento da esfera:. Fa, D, V,, n 5 2. Usando M, L e t r=3 ML L M 3. Fa 2 D L V t t M Lt L 3 Matriz dimensional: F a D V ρ μ 4. Usando D, V e ρ M 5. n-m equações 5-3=2 L t m=3 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 0/53
11 Logo: Teorema de Buckingham a b c 2 b 3 c Fa D V MLt L Lt ML M L t a M : c 0 c L: a b 3c 0 t: 2 b 0 b 2 Portanto: a a 2 F a 2 2 V D PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional /53
12 2 Logo: Teorema de Buckingham a b c b 3 c D V ML t L Lt ML M L t a M : c 0 c L: a b 3c 0 t: b 0 b Portanto: a 3 0 a 2 VD PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 2/53
13 Teorema de Buckingham 6. Usando F, L e t (M=FL - t 2 ) Fa F V D FL t Lt L 4 2 F L t VD FL t Lt L 2 FL t F L t 4 2 Portanto: F a 2 2 V D VD PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 3/53
14 Teorema de Buckingham Qualquer potência ou produto de adimensionais também é adimensional 2 2 VD Fa 2 2 V D VD Sendo que φ é determinado experimentalmente PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 4/53
15 Exercício Obter grupos adimensionais necessários para a determinação experimental da ascensão capilar h que ocorre quando um tubo de diâmetro D é inserido em um líquido de densidade ρ e tensão superficial. h Aplicando o teorema :. h, D,, n 4 2. Usando M, L e t r=3 3. h L D L M M 2 t L 3 D, PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 5/53 h f D,,
16 Matriz dimensional: Exercício h D ρ M L m=2 t Usando D e ρ 5. n-m equações 4-2=2 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 6/53
17 a a b 3 b hd L L ML M L t M: b 0 L: a 3b 0 a Portanto: Exercício h D Quando m<r, uma das equações será Linearmente Dependente PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 7/53
18 Exercício Introduzindo um novo parâmetro: gravidade g h D g h f D,,, g, Aplicando o teorema :. h, D,,, g n 5 2. Usando M, L e t r=3 3. h L D L M M 2 t L 3 g L 2 t PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 8/53
19 Exercício Matriz dimensional: h D g ρ M m=3 L -3 0 t Usando D, g e ρ r=3 5. n-m equações 5-2=3 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 9/53
20 a b c a b c D g h ML L Lt L M L t M: a 0 t: 2c 0 c 0 Exercício L : 3a b c b 0 0 b Portanto: h D PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 20/53
21 a b c 3 a 2 c D g ML L Lt Mt M L t M : a 0 a t: 2c 2 0 c b L : 3a b c 0 3 b 0 0 b 2 Logo: gd 2 2 Exercício Portanto: 2 h D gd Fluido estático, tempo não afeta o fenômeno PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 2/53
22 Exercício 6. Usando F, L e t (M=FL - t 2 ) h L D L F L t FL gd FL t Lt L F L t Portanto: 2 h D gd PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 22/53
23 Exercício 2 Escoamento permanente incompressível viscoso através de um tubo retilíneo horizontal l V, Aplicando o teorema : p f, V, D, L,, D. p,, V, D,,, n 7 2. Usando M, L e t r=3 3. M M L p V 2 3 D L Lt L t L M Lt L PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 23/53
24 Exercício 2 Matriz dimensional: M L t p ρ V D l ε m=3 4. Usando ρ, V e D 5. n-m equações 7-3=4 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 24/53
25 Exercício 2 a b c 2 3 a b c p V D ML t ML Lt L M L t M : a 0 a t: 2 b 0 b 2 L : 3a b c c 0 c 0 Portanto: p V 2 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 25/53
26 Exercício 2 a b c 3 a b c V D L ML Lt L M L t M: a 0 t: b0 L : 3a b c c 0 c Portanto: 2 D PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 26/53
27 Exercício 2 a b c 3 a b c V D ML t ML Lt L M L t M : a 0 a t: b 0 b L : 3a b c 0 3 c 0 c Portanto: 3 VD PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 27/53
28 Exercício 2 a b c 3 a b c V D L ML Lt L M L t M: a 0 t: b 0 b 0 Portanto: L : 3a b c c 0 c 4 D Logo: p,, 2 V D VD D PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 28/53
29 Grupos adimensionais importantes Número de Reynolds Re VL Forças de inércia Forças viscosas Número de Euler Eu p Forças de pressão 2 Forças de inércia V 2 Número de Froude Fr V gl Forças de inércia Forças gravitacionais Número de Weber We 2 V L Forças de inércia Forças de tensão superficial Número de Mach Ma V c Forças de inércia Forças de compressibilidade Número de Strouhal St L V Forças de aceleração local Forças de aceleração convectiva PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 29/53
30 Correlação de dados experimentais a) parâmetro : = C Análise Dimensional fornece a forma específica da relação. Exemplo: partícula esférica se movendo em fluido ultra-viscoso: Fa Fa f d, V, Fa CVd Vd PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 30/53
31 Correlação de dados experimentais a) 2 parâmetros : gráfico xy Coeficiente de arrasto de uma esfera lisa PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 3/53
32 Correlação de dados experimentais a) 3 parâmetros : curvas de nível Diagrama de Moody PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 32/53
33 Modelos : Modelos e semelhança Representação de um sistema físico (protótipo) que pode ser utilizado para predizer o comportamento de alguma característica do sistema. Podem ser matemáticos, computacionais, físicos,... Semelhança : Característica que faz com que os dados obtidos em testes com modelos possam ser transpostos por escala e predizer características do protótipo. a) Geométrica: dimensões (razão de escala linear, ângulos e direções do escoamento preservados) b) Cinemática: velocidades no escoamento (partículas homólogas atingem pontos homólogos em tempos homólogos) c) Dinâmica: forças aplicadas. Grupos adimensionais têm que ter o mesmo valor no modelo e no protótipo. Dinâmica Cinemática Geométrica PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 33/53
34 Escalas Modelos e semelhança Razão entre o valor de uma grandeza no modelo e o valor da mesma grandeza no protótipo. Comprimento: L L L m p Velocidade: V V V m p Massa específica: m p Exemplo: números de Reynolds iguais V L pvl p p V L p Re Re m m m m m m m p V L V L m p p p p m PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 34/53
35 Exercício 3 Um experimento para predizer a força de arrasto em um sonar de submarino é realizado com um modelo em escala :5 em água a 20 ºC. Quando a velocidade do escoamento no modelo é de V m = 60km/h, mede-se uma força F am = 30N. Sabendo que o protótipo navegará em águas a 4ºC, qual será a velocidade do protótipo V p para que haja semelhança completa? Neste caso, qual será a força de arrasto correspondente F ap? Fa 2 2 V L VL Re m mvl m m Re p m VL p p p p 3 20º C 4º C 000kg m 20º C 0 3 kg m. s 3 L m p,58x0 Vp Vm 60x x 9km h 3 L 5,00x0 p m 4º C,58x0 3 kg m. s PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 35/53
36 Exercício 3 C F C am, ap, a, m a, p mvm Lm pvp Lp F V p L p 9 5 Fa, p Fa, m 30x 75, 2N 2 2 V m L m 60 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 36/53
37 Exercício 4 Um hélice de 6m de diâmetro desloca um barco com V = 7,5m/s, girando a 20 rpm. Para um modelo geometricamente semelhante, escala :0, usado para medir a força axial F, determine qual a velocidade e rotação do modelo, V m e n m, para que haja semelhança completa. Nessa condição, qual a escala das forças? Dado: F = f(ρ, V,D, n; g). Aplicando o teorema :. F,, V, D, n, g n 6 2. Usando M, L e t r=3 3. F ML M L V 2 3 D L t L t n t L t g 2 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 37/53
38 Exercício 4 Matriz dimensional: F ρ V D n g M L m=3 t Usando ρ, V e D 5. n-m equações 6-3=3 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 38/53
39 Exercício 4 a b c 2 3 a b c F V D ML t ML Lt L M L t M : a 0 a t: 2 b 0 b 2 L : 3a b c c 0 c 2 Portanto: F V D 2 2 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 39/53
40 2 Exercício 4 a b c 3 a b c n V D t ML Lt L M L t M: a 0 t: b 0 b L : 3a b c c 0 c Portanto: 2 nd V PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 40/53
41 3 Exercício 4 a b c 2 3 a b c g V D Lt ML Lt L M L t M: a 0 t: 2 b 0 b 2 L : 3a b c c 0 c Portanto: gd V 3 2 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 4/53
42 3 Exercício 4 a b c 2 3 a b c g V D Lt ML Lt L M L t M: a 0 t: 2 b 0 b 2 L : 3a b c c 0 c Portanto: gd V 3 2 F nd gd, V D V V PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 42/53
43 Exercício 4 Igualando os adimensionais para semelhança completa: nd nd gd gd m p 2 2 V V V m m p p V n Vm Vp D m p D D V 0 0 n D 2 D D 0 Vm VV p x 7,5 2,37 m s nm nnp 0x20 379rpm 0 F F m p mvm Dm pvp Dp F V D D D D 000 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 43/53
44 Semelhança incompleta A semelhança dinâmica pode requerer a duplicação de diversos adimensionais, o que pode não ser possível na prática. Exemplo : Escoamentos com superfície livre Gravidade (Fr ) e tensão superficial (We) podem ser importantes para a formação de ondas. Casos típicos: navios, rios e lagos. Arrasto em navio Duas origens: resistência de onda (g), forças viscosas (μ) C f Fr,Re A PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 44/53
45 Semelhança incompleta Igualando os adimensionais do modelo e do protótipo: Fr Re V V Fr () gl gl m p 2 m p V L m p VL VL m m p p Re (2) m p V L m p Substituindo () em (2): L L L Considerando: L Não existe líquido com υ = 0,00υ água PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 45/53
46 Semelhança incompleta Solução: CA Fr CAo Fr CA Utilizar a hipótese:,re Re Procedimento:. Realiza-se o experimento com semelhança de número de Froude com o protótipo 2. Mede-se o arrasto total no modelo 3. Calcula-se o arrasto viscoso no modelo com relação derivada da teoria da camada limite 4. Subtrai-se o arrasto viscoso calculado do arrasto total medido para obter o arrasto de onda no modelo 5. Transpõe-se por escala o arrasto de onda para o protótipo, pois: Fr p Fr m PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 46/53
47 Semelhança incompleta 6. Calcula-se o arrasto viscoso no protótipo com relação derivada da teoria da camada limite 7. Somam-se os arrastos viscoso e de onda no protótipo para se obter o arrasto total Exemplo: rios e lagos Pequena profundidade do modelo faz com que a tensão superficial torne-se importante no experimento. A solução normalmente adotada é utilizar duas escalas de comprimento diferentes, uma para o plano horizontal e outra para a direção vertical. PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 47/53
48 Escoamentos confinados Internos ou externos, sem superfície livre Dominam forças de inércia e viscosas (Re é importante) Compressibilidade do fluido também é importante se Ma>0,3 Exercício 5 Um modelo de automóvel em escala :5 será usado para estimar a força de arrasto no protótipo andando a 90 km/h. Qual deve ser a velocidade do modelo, V m? Qual será a escala de forças, F F F A, m A, p, nesta condição? CA f Re Re Re m p V PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 48/53 L
49 Escoamentos confinados Se usarmos o mesmo fluido (ar): m p V L V 5V 450km h m p Nas condições normais de temperatura e pressão, Ma=0,3 significa V=360 km/h, portanto os efeitos de compressibilidade são importantes Solução: para corpos aerodinâmicos (sem separação da camada limite) ou para corpos onde a separação é fixa, C A não varia muito com Re para Re muito alto PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 49/53
50 Escoamentos confinados PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 50/53
51 Escoamentos confinados Para automóveis, o comprimento característico normalmente utilizado é o comprimento do automóvel, que para carros de passeio varia entre 3,8m e 4,3 m. Vamos considerar que o comprimento do protótipo seja de Lp=4m. Logo: 90 / 3,6 x4 6 VL p p Re p 6,7x0 5,5 x0 p Re está na faixa onde a camada limite é turbulenta C A não varia mais com Re Se V m =90 km/h Re=,3x0 6 C A não varia mais com Re e pode-se usar V m C A,m =C A,p C F C Am, Ap, A, m A, p mvm Lm pvp Lp F F L 2 Am, m F 2 F A, p L p 25 0,04 PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 5/53
52 Escoamentos confinados Caso C A =f(re,ma) (compressibilidade afeta o fenômeno): Re Re m p V L Ma V V Ma m p m p V c cm cp Utilizando o mesmo fluido e em condições de temperatura e pressão semelhantes impossível igualar Re e Ma Solução: impor semelhança em Ma, pois Re é alto e suficiente para que C A não dependa de Re PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 52/53
53 Escoamentos confinados PME MECÂNICA DOS FLUIDOS I - Alberto Hernandez Neto Análise Dimensional 53/53
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