Mecânica dos Fluidos. Análise Dimensional AULA 18. Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho

Transcrição

1 Mecânica dos Fluidos AULA 18 Análise Dimensional Prof.: Anastácio Pinto Gonçalves Filho

2 Análise Dimensional Muitos problemas práticos de escoamento de fluidos são muitos complexos, tanto geometricamente quanto fisicamente, para serem resolvidos de maneira analítica. Eles devem ser testados por experimentos ou aproximados pela dinâmica dos fluidos computacional.

3 Análise Dimensional Os resultados são tipicamente apresentados como dados experimentais ou dados numéricos e curvas ajustadas. Estes têm uma generalidade muito maior se forem expressos em forma compacta. Esse é o objetivo da análise dimensional.

4 Análise Dimensional A técnica é um pilar importante da mecânica dos fluidos e é também amplamente utilizada em todos os campos da engenharia e das ciências físicas, biológicas, médicas e sociais.

5 Análise Dimensional A análise dimensional é um método para reduzir o número e a complexidade experimentais que afetam um dado fenômeno, pela aplicação de um tipo de técnica de compactação.

6 Análise Dimensional Se um fenômeno depende de n variáveis dimensionais, a análise dimensional redurizará o problema a apenas k variáveis adimensionais, em que a redução n k = 1, 2, 3, ou 4, depende da complexidade do problema.

7 Análise Dimensional Geralmente, n-k é igual ao número de dimensões diferentes (as vezes chamadas de dimensões básicas ou primárias ou fundamentais) que regem o problema.

8 Análise Dimensional Na mecânica dos fluidos, as quatro dimensões básicas são usualmente consideradas como massa M, comprimento L, tempo T e temperatura θ, ou de maneira abreviada um sistema MLT θ.

9 Análise Dimensional Princípio da Homogeneidade Dimensional (PHD) se uma equação expressa realmente uma relação apropriada entre variáveis em um processo físico, ela será dimensionalmente homogênea, isto é, cada um de seus termos aditivos terá as mesmas dimensões.

10 Análise Dimensional Variáveis dimensionais são grandezas que realmente variam durante um caso e podem ser representadas em gráfico, uma em relação à outra para mostrar os dados. Todas têm dimensão e podem ser adimensionalizadas com uma técnica de análise dimensional.

11 Análise Dimensional Constantes dimensionais podem variar de um caso para outro, mas são mantidas constantes durante um experimento. Todas têm dimensões e eventualmente poderiam ser adimensionalizadas, mas elas são normalmente usadas para ajudar a admensionalizar as variáveis no problema. Constantes Puras não têm dimensões e nunca tiveram. Elas surgem de manipulações matemáticas.

12 Análise Dimensional O fundamento do método de análise dimensional repousa sobre duas hipóteses: (1) a relação física proposta é dimensionalmente homogênea, (2) todas as variáveis relevantes foram incluídas na relação proposta.

13 Análise Dimensional Há vários métodos para reduzir um conjunto de variáveis a um conjunto menor de grupos admensionais. O esquema dado aqui é conhecido como Teorema Pi de Buckingham. O nome pi vem da notação matemática П, para representar um produto de variáveis.

14 TEOREMA PI Se um processo fisico satisfaz o PHD e envolve n variáveis dimensionais, ele pode ser reduzido a uma relação entre apenas k variáveis adimensionais ou П. A redução j = n k é igual ao número máximo de variáveis que não forma um pi entre elas e é sempre menor ou igual ao número de dimensões que descrevem as variáveis.

15 TEOREMA PI Encontre a redução j, depois selecione varáveis de escala de escala que não formem um pi entre elas mesmas. Cada grupo pi desejado será um produto de potências dessas j variáveis mais uma variável adicional, à qual é atribuído qualquer expoente diferente de zero. Cada grupo pi assim encontrado é independente.

16 TEOREMA PI - PASSO 1 Liste e conte as n variáveis envolvidas no problema. Se estiver faltando qualquer variável importante, a análise dimensional falhará.

17 TEOREMA PI - PASSO 2 Liste as dimensões de cada variável de acordo com o sistema MLTθ.

18 TEOREMA PI - PASSO 3 Encontre j. Inicialmente, escolha j igual ao número das diferentes dimensões presentes e procure j variáveis que não formem pi entre si. Se não for possível, reduza j de 1 e procure novamente. Com a prática, você encontrará j rapidamente.

19 TEOREMA PI - PASSO 4 Selecione j parâmetros de escala que não formem produto pi. Certifique-se que eles sejam satisfatórios e, se possível, tenham alguma generalidade, porque aparecerão em todos grupos pi. Escolha, por exemplo, a massa específica ou a velocidade ou o comprimento.

20 TEOREMA PI - PASSO 5 Acrescente mais uma variável às j variáveis repetitivas e forme um produto de potências. Determine algebricamente os expoentes que tornam o produto adimensional.

21 TEOREMA PI - PASSO 5 Tente arranjar as coisas de maneira que suas variáveis de saída ou dependente (força, queda de pressão, torque, potência) apareçam no numerador. Faça isso sequencialmente, acrescentando uma nova variável a cada vez, e você encotrará todos os n-j= k produtos desejados.

22 TEOREMA PI - PASSO 6 Escreva a função final adimensional e verifique os termos para ter certeza de que todos os grupos pi são adimensionais.

23 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Símbolo Dimensões Comprimento l L Tempo t T Massa m M Força F ML/T 2 Velocidade V L/T Aceleração a L/T 2 Freqüência w T -1 Gravidade g L/T 2 Área A L 2

24 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Símbolo Dimensões Vazão Q L 3 /T Fluxo de massa M/T Pressão p M/LT 2 Tensão t M/LT 2 Massa específica r M/L 3 Peso específico g M/L 2 T 2 Viscosidade m M/LT Viscosidade cinemática n L 2 /T m

25 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Símbolo Dimensões Trabalho W ML 2 /T 2 Potencia, fluxo de calor W,Q ML 2 /T 3 Tensão superficial s M/T 2 Módulo da elasticidade volumétrica B M/LT 2

26 Teorema p de Buckingham É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica. x 1 f(x 2,x 3,x 4,..., x n ) n- número de variáveis p f(v, r, m,d,h) Dependente Independentes

27 EXERCÍCIO Encontre a equação adimensionalizada para a função F = f(l,v,ρ, μ).

28 SOLUÇÃO 1º PASSO: Determinar o número n de variáveis que influenciam o fenômeno. n = 5

29 SOLUÇÃO 2º PASSO: Escrever a equação dimensional de cada uma das variáveis. [F] = MLT -2 [V] = L T -1 [ρ] = M L 3 [µ] = M L -1 T -1 [L] = L

30 SOLUÇÃO 3º PASSO: Determinar o número de dimensões j envolvidas no fenômeno. j = 3

31 SOLUÇÃO 3º PASSO: Determinar o número de adimensionais k que caracterizam o fenômeno. K = n - j K = 5 3 K = 2. O teorema pi garante, para este problema, que haverá exatamente dois grupos adimensionais independentes

32 SOLUÇÃO 4º PASSO: Selecionar j variáveis repetitivas. O grupo L, V, ρ funcionará bem.

33 SOLUÇÃO 5º PASSO: Combine L, V, ρ com uma variável adicional, em sequência, para encontrar os dois produtos pi. Primeiro adicione a força para encontrar П1.

34 SOLUÇÃO 5º PASSO: Combine L, V, ρ com uma variável adicional, em sequência, para encontrar os dois produtos pi. Finalmente adicione a viscosidade para encontrar П2.

35 EXERCÍCIO A potência fornecida a uma bomba centrífuga é uma função da vazão volumétrica Q, do diâmetro do rotor D, da velocidade de rotação ω, da massa específica ρ e da viscosidade μ do fluido: P = f (Q, D, ω, ρ, μ) Reescreva isso na forma de uma relação adimensional. Sugestão: use ω, ρ e D como variáveis repetitivas.