O modelo de Lorenz. E a transição para o caos via intermitência. Universidade de São Paulo

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1 O modelo de Lorenz E a transição para o caos via intermitência Caike Crepaldi 1 Taymara R. Dias 1 1 Instituto de Física, Universidade de São Paulo PRGF Caos em Sistemas Dissipativos, 07 de maio de 2018 Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

2 Sumário 1 O Modelo de Lorenz 2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet 3 Estruturas Intermitentes em Física Experimental: A Turbulência em Plasmas 4 Referências Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

3 O Modelo de Lorenz Sumário 1 O Modelo de Lorenz 2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet 3 Estruturas Intermitentes em Física Experimental: A Turbulência em Plasmas 4 Referências Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

4 O Modelo de Lorenz Um pouco de história Dentro os modelos fenomenológicos que apresentam características caóticas (ou seja, imprevisíveis) não podemos esquecer do sistema extremamente complicado que está por trás do clima e do tempo. Com o intuito de simplificar o conjunto complicado de equações que modelam a atmosfera da Terra, com base nas equações de Navier-Stokes, Edward Norton Lorenz (1963) acabou dando sua enorme contribuição no campo do estudo de sistemas caóticos. A situação específica que ele considerou foi o problema de Rayleigh-Bérnard, que consiste em um fluido em um recipiente cujas superfícies superior e inferior estão a temperaturas diferentes. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

5 O Modelo de Lorenz Um pouco de história Num sistema como esse vemos que conforme a diferença de temperatura entre as duas superfícies aumenta, o fluido vai de um estado estacionário, a um estado de fluxo constante (convecção), até por fim atingir um fluxo caótico. Considerando o poder computacional restrito acessível na época, Lorenz resolveu simplificar as equações de Navier-Stokes do problema de Rayleigh-Bérnard. Ele simplificou tanto o problema que o reduziu a apenas 3 equações (1). Essas equações ficaram então conhecidas como as equações de Lorenz (ou o modelo de Lorenz). Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

6 O Modelo de Lorenz Introdução ao Modelo O modelo tem 3 parâmetros de controle (σ, r, e b) e 3 variáveis (x, y, e z). Para estudar intermitência, utilizaremos σ = 10 e b = 8/3, o que é uma escolha bem comum na qual alguns autores atribuem a um sistema com água fria. O valor de r representa a diferença de temperatura entre as duas superfícies. ẋ = σ(y x) ẏ = xz + rx y ż = xy bz (1a) (1b) (1c) Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

7 O Modelo de Lorenz Intermitência 120 r=35 Lorenz Model: σ=10, b=8/ r=20 z r= t Figura 1: Transição para o caos. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

8 O Modelo de Lorenz Intermitência 140 Lorenz Model: σ=10, b=8/ x t Figura 2: Transição para o caos. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

9 O Modelo de Lorenz Intermitência 140 Lorenz Model: σ=10, b=8/ y t Figura 3: Transição para o caos. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

10 O Modelo de Lorenz Intermitência 20 Lorenz Model: r=20 y x 40 z x z y Figura 4: Caminhando para um ponto fixo. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

11 O Modelo de Lorenz Intermitência Figura 5: Caminhando para um atrator. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

12 O Modelo de Lorenz Intermitência r=185 Lorenz Model: σ=10, b=8/ r= z 700 r= r= t Figura 6: Surgimento da intermitência. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

13 O Modelo de Lorenz Intermitência Figura 7: Caminhando para atratores com orbitas periódicas e caóticos. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

14 O Modelo de Lorenz Intermitência 80 r = y x Figura 8: Atrator de órbita periódica. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

15 O Modelo de Lorenz Intermitência 100 r = y x Figura 9: Atrator de órbita caótica. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

16 O Modelo de Lorenz Bifurcação Figura 10: Diagrama de Bifurcação. Modelo de Lorenz com σ = 10 e b = 8/3. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

17 O Modelo de Lorenz Bifurcação Figura 11: Janela periódica ao redor de r = 155. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

18 Encontrando as Estruturas Intermitentes Sumário 1 O Modelo de Lorenz 2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet 3 Estruturas Intermitentes em Física Experimental: A Turbulência em Plasmas 4 Referências Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

19 Encontrando as Estruturas Intermitentes Transformada Wavelet A transformada wavelet (ondaleta, em pt-br) é um método de análise de séries temporais que permite a localização de estruturas intermitentes. Podemos considerar a Transformada de Wavelet como uma Transformada de Fourier Janelada com o tamanho da janela variável. Como eventos de baixa frequência precisam de uma maior janela no domínio do tempo para serem observados e eventos de alta frequência precisam de uma janela menor para uma maior resolução temporal, uma janela de tamanho variável permite decompor o sinal tanto no domínio da frequência quanto no domínio do tempo. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

20 Encontrando as Estruturas Intermitentes Transformada Wavelet A Transformada de Wavelet contínua W n (s) de uma série temporal x n é definida como uma convolução de x n com uma versão escalonada e transladada da função wavelet Ψ 0 (η), onde, W n (s) = N 1 n =0 [ (n x n Ψ ] n)δ t s Ψ é o complexo conjugado da função wavelet normalizada; δt é o passo da série temporal x n ; s é a escala, um fator proporcional ao período T e que depende da função wavelet escolhida. (2) Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

21 Encontrando as Estruturas Intermitentes A Função Morlet Uma das funções wavelets utilidas é a Morlet. Essa função pode consiste em uma onda plana modulada por uma gaussiana onde, ω 0 é a frequência adimensional; Ψ 0 (η) = π 1/4 e iω 0η e η2 /2 η é um parâmetro adimensional de tempo. Para essa wavelet, a relação entre a a escala s e o período T é T = 4π s (4) ω ω0 2 (3) Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

22 Encontrando as Estruturas Intermitentes A Função Morlet 1 Morlet Wavelet Ψ(η) η Figura 12: Wavelet Morlet. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

23 Encontrando as Estruturas Intermitentes A Função Morlet 1 s=2 1 s=1 1 s= Ψ(t/s) t t t Figura 13: A função Morlet para diferentes escalas. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

24 Encontrando as Estruturas Intermitentes Método de Wavelet 4 Wavelet analysis (σ=10, b=8/3, r=185) 2 z z 6 4 Σ j W n (s j ) log 2 [T] s t Figura 14: O método de Wavelet. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

25 Encontrando as Estruturas Intermitentes Método de Wavelet z Wavelet analysis for Lorenz model with σ=10, b=8/3, r= z log 2 [T] t Figura 15: O método de Wavelet. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

26 Encontrando as Estruturas Intermitentes Método de Wavelet z Wavelet analysis for Lorenz model with σ=10, b=8/3, r= z log 2 [T] t Figura 16: O método de Wavelet. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

27 Estruturas Intermitentes em Física Experimental Sumário 1 O Modelo de Lorenz 2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet 3 Estruturas Intermitentes em Física Experimental: A Turbulência em Plasmas 4 Referências Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

28 Estruturas Intermitentes em Física Experimental O plasma no Tokamak A fusão termonuclear controlada tem sido idealizada por meio do estudo de plasmas quentes em reatores de confinamento magnético, e.g. tokamaks, que tem por característica sua geometria toroidal. Já o plasma é formado por íons e elétrons dissociados em um estado de quasineutralidade, onde as interações eletrostáticas de longo alcance geram movimentos coletivos das partículas carregadas, como ondas. Essas ondas, associadas com gradientes presentes no plasma, acabam transportando partículas para fora deste através de processos turbulentos. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

29 Estruturas Intermitentes em Física Experimental O plasma no Tokamak Figura 17: Joint European Torus. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

30 Estruturas Intermitentes em Física Experimental O plasma no Tokamak Figura 18: Esquema de um Tokamak. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

31 Estruturas Intermitentes em Fı sica Experimental O plasma no Tokamak Figura 19: TCABR. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

32 Estruturas Intermitentes em Física Experimental Bursts Figura 20: Corrente de Saturação de íons na borda do TCABR. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

33 Estruturas Intermitentes em Física Experimental Bursts Figura 21: Histograma da corrente de saturação. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

34 Estruturas Intermitentes em Física Experimental Bursts 5 Tokamak TCABR shot - Wavelet transform analysis I sat t (ms) Figura 22: Detecção dos bursts por wavelet. Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

35 Referências Sumário 1 O Modelo de Lorenz 2 Encontrando as Estruturas Intermitentes: A Transformada Wavelet 3 Estruturas Intermitentes em Física Experimental: A Turbulência em Plasmas 4 Referências Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36

36 Referências Referências Gustavo Lima, Análise espectral por Wavelet da turbulência no Tokamak TCABR, 2005 C. Torrence & G. P. Compo, A practical guide to wavelet analysis, Bull. Am. Meteor. Soc., 79(1), 61 78, 1998 P. Manneville & Y. Pomeau, Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems, Physica D: Nonlinear Phenomena, Volume 1, Issue 2, June 1980, Pages Radu Balescu, Aspects of Anomalous Transport in Plasmas, 2005 Nicholas J. Giordano, Computational Physics, 2ed., Pearson, 2005 Caike, Taymara (IFUSP) O modelo de Lorenz Caos / 36