Movimento de partículas. p.1

Transcrição

1 Moimento de partículas. Francisco Alberto Marcus Instituto de Física da Uniersidade de São Paulo Moimento de partículas. p.1

2 Liro Esta apresentação é a primeira de uma série do Grupo de Estudos Plasmáticos. aseada no capítulo 2 do liro: INTRODUCTION TO PLASMA PHYSICS AND CONTROLLED FUSION Vol. 1: Plasmas Physics 2 a edição (1984), de Francis F. Chen Moimento de partículas. p.2

3 Resumo da Apresentação - Campos E e uniformes. E= 0 - E finito e constante - Campo Graitacional Campo Magnético não uniforme. - Deria pelo - Deria por curatura de Moimento de partículas. p.3

4 E 0 Admite-se que os campos das partículas carregadas. E e não são modificados pela presença E 0. A partícula carregada possui apenas a rotação ciclotrônica. Equação de moimento: m d dt q (1) Adotando ẑ, temos m x q y m y q x m z 0 Moimento de partículas. p.4

5 E 0 Deriando as equações, x q m y q m 2 x y q m x q m 2 y (2) Estas equações descreem o oscilador harmônico cuja frequência ciclotronica é dada por ω c q m (3) a solução das equações (2) é dada por x,y e ω c t (4) Moimento de partículas. p.5

6 E 0 onde Então é a elocidade positia no plano perpendicular à. x e iω ct ẋ (5) y m q x 1 ω c x i e iω ct ẏ (6) integrando noamente temos x x 0 i ω c e iω ct y y 0 i ω c e iω ct (7) Definimos o raio de Larmor como r L ω c m q Moimento de partículas. p.6 (8)

7 E 0 Temos como resultado Órbita circular em trono de um centro de guia x 0, y 0. A direção de rotação da partícula é sempre no sentido a criar um campo magnético oposto ao campo magnético externo (figura 1). Portanto, o plasma é diamagnético. Figura 1: Rotação das partículas em relação ao centro de guia. Moimento de partículas. p.7

8 E 0 A trajetória descrita é uma hélice cilíndrica (figura 2). Figura 2: Rotação das partículas em relação ao centro de guia. Moimento de partículas. p.8

9 Campo elétrico finito. O moimento será a composição do moimento circular de Larmor com a deria dos centro de guia. Escolhemos E estando no plano x-z de modo que E y 0. Como no item anterior, a componente z não está relacionada com as componentes transersas e pode ser tratada separadamente. Equação de moimento: m d dt q E (9) Temos como soluções: x e iω ct ẋ (10) y i e iω ct E x Moimento de partículas. p.9 (11)

10 Campo elétrico finito. z qe z m t z0 (12) Como antes, temos o moimento circular de Larmor, mas sobreposta à elocidade de deria gc do centro de guia na direção -y, isto para o campo E x 0 conforme mostra a figura abaixo. Figura 3: Moimento do centro de guia. Moimento de partículas. p.10

11 Campo elétrico finito. Obtendo gc atraés da expressão etorial. Omitimos m d dt na equação 9, por este termo tratar apenas do moimento circular ω c, já conhecido. E 0 (13) Tomando o produto etorial com e utilizando a propriedade A C A C C A temos: E 2 (14) Moimento de partículas. p.11

12 Campo elétrico finito. A componente transersa desta equação é gc E 2 E (15) Definimos E como elocidade de deria dos centros de guia pelo campo eletrico. E é independente de q, m e. Tridimensionalmente, temos o aspecto mostrado na figura 4. Figura 4: Órbita do centro de guia. Moimento de partículas. p.12

13 Campo Graitacional. O resultado anterior pode ser aplicado a outras forças trocando qe na equação 9 por uma força qualquer F. Esta F causa um moimento de deria do centro de guia dado por: f 1 q F 2 (16) Em particular, se F é a força graitacional mg g m q g 2 (17) Moimento de partículas. p.13

14 Campo Graitacional. Sob a força graitacional, os ions e os eletrons moimentam-se em direções opostas, então haerá uma corrente resultante no plasma dado por J n M m g 2 (18) A razão física para esta deria (figura 5) é noamente a mudança no raio de Larmor pelo fato da particula ganhar e perder energia no campo graitacional. Moimento de partículas. p.14

15 Campo Graitacional. O sentido de rotação continua sendo diferente para ions e eletrons, mas a força sobre eles atua na mesma direção, e portanto a deria é no sentido oposto. Figura 5: Órbita do centro de guia sob influência do campo graitacional. Moimento de partículas. p.15

16 Deria pelo. Introdução. Dada a complexidade com que as equações são escritas, deido à introdução da inomogeneidade, torna-se difícil obter expressões exatas para descreer o moimento dos centros de guia. Para obter uma solução aproximada, é comum expandir as expressões em um raio de conergencia na ordem de r L /L, onde L é a escala de comprimento da inomogeneidade. Este tipo de teoria é chamado de Teoria Orbital. Deria pelo gradiente de Neste caso, as linhas de campo magnético são retilineas, mas sua densidade aumenta, por exemplo, na direção y (figura 6). Moimento de partículas. p.16

17 Deria pelo. Figura 6: Órbita do centro de guia em um campo magnético não uniforme. Modelo esquemático. O gradiente de faz com que o raio de Larmor seja maior na parte inferior, onde as linhas de campo são menos densas, e menor na parte superior, proporcionando a deria em direções opostas para íons e elétrons, perpendicular ao e. r L /L Moimento de partículas. p.17

18 Deria pelo. Considerando m d dt q, e tomando a média sobre um ciclo de rotação. Temos F x 0. Desejamos calcular F y. Usaremos os resultados das expressões (4) e (7). Temos: F y q x z z q cos ω c t 0 r L cos ω c t y (19) Moimento de partículas. p.18

19 Deria pelo. Tomando Taylor de : z 0 y z y... (20) para r L /L 1 onde L é a escala de comprimento de z y. A média do primeiro termo é zero, para cos ω c t é 1/2, de modo que F y q r L 1 2 y (21) Moimento de partículas. p.19

20 Deria pelo. Então a elocidade do centro de guia é gc 1 q F 2 1 q F y ˆx r L 1 2 z y ˆx (22) Pode ser generalizado 1 2 r L 2 (23) - Íons e elétrons deslocam-se em direções opostas produzindo um corrente transersa a. Moimento de partículas. p.20

21 Deria por curatura de. Assumimos inicialmente, que as linhas de campo magnético tem curatura constante com raio R c, figura 7. A deria do centro de guia aparece deido à força centrífuga resultante do moimento das partículas ao longo das linhas de campo curas. Figura 7: Campo magnético de curatura constante. Moimento de partículas. p.21

22 Deria por curatura de. Se 2 o quadrado da componente randômica da elocidade ao longo de, a força centrifuga média é dada por: De acordo com a eq.16, F c m 2 R c ˆr m2 R c R 2 c (24) R 1 q F c 2 R é chamado de deria por curatura. m 2 q 2 R c R 2 c (25) Moimento de partículas. p.22

23 Deria por curatura de. Calculemos o gradiente de deido à ariação de quando leamos em conta o raio. No ácuo 0. Em coordenadas cilíndricas tem apenas a componente z, desde que tem apenas a componente θ e apenas a r. Temos então, z 1 r r r θ 0 θ 1 r (26) Moimento de partículas. p.23

24 Deria por curatura de. Portanto 1 R c R c R 2 c (27) Usando a equação (23) montamos 1 2 r L 2 R c R 2 c ω c R c R 2 c 1 2 m q 2 R c R 2 c (28) Moimento de partículas. p.24

25 Deria por curatura de. Adicionando este resultado a do campo magnético curo é R, temos que a deria total resultante R m q R c R 2 c (29) Isto significa que curar o campo magnético para confinar o plasma, causa a deria das particulas na direção radial. Moimento de partículas. p.25

26 Deria por curatura de. Conseqüencias: Moimento de partículas. p.26

27 Deria por curatura de. Moimento de partículas. p.27