Física e Tecnologia dos Plasmas Movimento de par.culas individuais

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1 Física e Tecnologia dos Plasmas Movimento de par.culas individuais Mestrado em Engenharia Física Tecnológica Instituto Superior Técnico Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear Vasco Guerra

2 As perguntas fundamentais Como estudar os plasmas? Movimento das partículas individuais Equações cinéticas Equações de fluidos

3 As perguntas fundamentais Movimento de uma partícula Num plasma há muitas partículas carregadas que se movem em campos eléctricos e magnéticos auto-consistentes Começamos pelo estudo do movimento em campos impostos F = m d v dt = q( E + v B)

4 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes I. E=0 Muitos dos plasmas na natureza e no laboratório existem na presença de campos magnéticos F = q v B F v a cinética da partícula é constante Movimento circular uniforme no plano perpendicular a B F =0 v =cte ; movimento uniforme na direcção de B

5 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes I. E=0 No plano perpendicular a B: B Guiding centre ion Frequência ciclotrónica: Raio de Larmor: electron ω c = q B m r L = mv q B = v ω c

6 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes I. E=0 Se v 0, o movimento é uma hélice

7 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) Carga move-se no plano xoy com um campo magnético segundo z m d v dt = q( E + v B)

8 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) Movimento paralelo m dv dt = qe movimento uniformemente acelerado na direcção de B, a =qe /m

9 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) Movimento perpendicular -A carga ao acelerar modifica o raio de Larmor! r L = v m q B -A carga não acelera indefinidamente, pois B faz rodar a partícula -o raio de Larmor é maior na parte da trajectória em que v é maior

10 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) B B Há uma deriva na direcção perpendicular aos campos, que se designa por deriva ExB A deriva é a E e a B A deriva é no mesmo sentido para electrões e iões positivos

11 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) Qual o valor da velocidade de deriva vd? -Se fizermos a média sobre vários giroperíodos, a aceleração média é... zero! -A força média deve ser nula d vd m = q( E dt + v d B) 0

12 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) -Fazendo o produto externo com B (e assumindo vd B) E B +( v d B) B = E B v d (B 2 ) = 0 v d = E B B 2

13 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) -A deriva é independente de m e q e v -Razão subjacente: num referencial movendo-se com vd o campo E é nulo! E = γ( E + v d B) [ = γ E + ( E B) = γ B 2 [ E E B 2 B 2 ] 0 B ]

14 Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) -Qualquer força perpendicular a B provoca uma deriva v d = 1 F B q B 2 -O movimento da partícula é descrito por v = v + v d + v L vl é a velocidade correspondente ao movimento ciclotrónico de raio rl; vd é a deriva do centro-guia (ou girocentro).

15 As perguntas fundamentais Deriva ExB

16 B não uniforme I. Deriva B Uma partícula a girar num campo B não uniforme sofre uma deriva de algum modo semelhante à deriva ExB: r L = v m q B -o raio de Larmor é maior na parte da trajectória em que B é menor

17 B não uniforme I. Deriva B Electrões e iões têm derivas em sentidos opostos há uma corrente resultante Assumindo fracas inomogeneidades (rl B/ B ) -a correcção é uma perturbação ao movimento ciclotrónico -expandimos B em torno do centro-guia B B 0 +( r ) B 0

18 B não uniforme I. Deriva B -r é medido a partir do centro-guia -exprimimos a velocidade como uma correcção ao movimento ciclotrónico v v L + v d (...) -A deriva B é dada por ( vl =v ) v d = q q v 2 B B 2ω c B 2 = 1 q mv 2 2B B B B 2

19 B não uniforme II. Deriva de curvatura Linhas de B curvas e v 0 A partícula tenta girar numa espiral ao longo da linha do campo, mas sente uma força centrífuga F c = m v2 R c u r Rc é o raio de curvatura ur aponta para fora

20 B não uniforme II. Deriva de curvatura Há uma deriva v d = 1 q F c B B 2 = mv2 qb 2 u r B R c Para campos no vácuo (J=0), a deriva B é 1 2 mv 2 qb 2 u r B R c

21 B não uniforme II. Deriva de curvatura As derivas de curvatura e B somam-se São em sentidos opostos para cargas de sinal contrário São proporcionais à energia das partículas v d (T ot) = ( ) mv2 + mv 2 u r B qb 2 R c Para uma distribuição Maxwelliana os dois termos contribuem o mesmo

22 B não uniforme III. Efeito de espelho Vimos derivas devidas a forças B Há também forças B responsáveis por efeitos muito importantes Momento magnético: μ=ia Para uma partícula carregado girando num campo magnético, I = q ω c 2π A = πr 2 L = π ( v ω c ) 2

23 B não uniforme III. Efeito de espelho µ = 1 2 mv2 B = W B Uma partícula a girar num campo magnético não uniforme sente uma força F = µ B

24 B não uniforme III. Efeito de espelho μ é uma constante do movimento, desde que a escala de variação espacial de B seja muito maior que o raio de Larmor Corresponde à conservação do momento angular em torno do centro-guia: l = r L mv = mv q B mv = 2m q 1 2 mv2 B 2m q µ

25 B não uniforme III. Efeito de espelho O mesmo resultado pode obter-se a partir da equação do movimento na direcção, escrevendo a equação do movimento e usando a conservação da energia cinética Efeito de espelho Uma carga que se desloque na direcção de campos B mais intensos é travada por uma força F = µ B, podendo ser reflectida

26 B não uniforme III. Efeito de espelho Conservação do momento magnético µ = 1 2 mv2 B = const. Conservação da energia U = 1 2 m (v 2 + v 2 ) = const. Quando B aumenta, v aumenta, v diminui, podendo chegar a zero a partícula é reflectida!

27 B não uniforme III. Efeito de espelho B Z!"#"$%&'()*'&(%)))

28 B não uniforme III. Efeito de espelho Para uma situação inicial, 0, o ponto de reflexão, R, é dado por 1 ( ) 2 m v v 0 2 = 1 2 mv2 R e por 1 2 mv2 0 B 0 = 1 2 mv2 R B R donde B 0 B R = v 2 0 v v2 0

29 B não uniforme III. Efeito de espelho As partículas podem escapar e não ser reflectidas (v 0 pequeno). Ângulo de ataque: tan ϑ = v v Ponto de reflexão: Ângulo crítico: B 0 B R = v 2 0 v v2 0 sin ϑ c = arcsin 1 ( = sin 2 ϑ 0 B0 B Max ) 1/2

30 B não uniforme III. Efeito de espelho Cone de perdas: as partículas com ângulo de ataque inferior ao ângulo crítico não são reflectidas. Razão de espelho: Bmax/Bmin

31 B não uniforme III. Efeito de espelho Máquina de espelho magnético

32 B não uniforme III. Efeito de espelho Espelhos magnéticos na natureza!

33 B não uniforme III. Efeito de espelho 1. Movimento ciclotrónico (Larmor); 2 Efeito de espelho; 3 Deriva de curvatura

34 E variável no tempo Deriva de polarização A deriva ExB é dada por vd=(exb)/b 2 Se E variar no tempo, esta velocidade também varia O centro-guia é acelerado. No referencial do centro guia sente-se uma força ( ) E B F = m d dt B 2

35 E variável no tempo Deriva de polarização Esta força provoca uma deriva v d = 1 q F B B 2 que se designa por deriva de polarização v d = m d qb 2 E dt

36 E variável no tempo Deriva de polarização Há uma corrente de polarização J = ne( v i v e )= n B 2 (M + m) d dt E Se ligarmos um campo eléctrico repentinamente [E(t=0 - )=0], a posição média do giro-centro desloca-se na direcção de E

37 As perguntas fundamentais Difusão por efeito das colisões As colisões entre duas partículas diferentes num campo magnético podem originar uma difusão significativa! "# B B