Física e Tecnologia dos Plasmas

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1 Física e Tecnologia dos Plasmas Difusão e mobilidade em plasmas fracamente ionizados Mestrado em Engenharia Física Tecnológica Instituto Superior Técnico Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear Vasco Guerra 1

2 As perguntas fundamentais Difusão e mobilidade Estudámos ondas em meios idealizados infinitos e homogéneos Qualquer situação mais realista envolve gradientes de densidade Plasma tende a difundir para as regiões de menor densidade Começamos por estudar o caso B= e plasmas fracamente ionizados (δe<10-3 ) 2

3 As perguntas fundamentais Plasmas fracamente ionizados As colisões com os neutros são dominantes Temos uma distribuição não-uniforme de electrões e iões sobre um fundo de neutros Plasma difunde em resultado das forças de pressão e eléctrica, num processo fortemente colisional Os parâmetros de colisão são para colisões entre partículas carregadas e o gás neutro 3

4 Parâmetros As perguntas de colisão fundamentais Secção eficaz Toda a dinâmica da colisão está contida na secção eficaz diferencial de colisão, σ(θ,φ), que pode ser calculada se conhecermos o potencial de interacção A secção eficaz total obtém-se integrando σ(θ,φ) nos ângulos Tem dimensões de área Pode depender da energia da colisão 4

5 Parâmetros As perguntas de colisão fundamentais Secção eficaz No modelo de esferas rígidas, σtot=πd 2 Podemos definir uma secção eficaz para a transferência de momento m = Z (1 cos ) ( )d 5

6 Parâmetros As perguntas de colisão fundamentais Livre percurso médio Consideremos um feixe de electrões com uma dada velocidade, incidente num alvo de área A e espessura dx, com n átomos por unidade de volume, cada um com secção eficaz total σ, colocado ortogonalmente ao feixe -O número de átomos na fatia é nadx -A probabilidade de um electrão colidir ao atravessar a fatia é (nadx)σ/a=nσdx 6

7 Parâmetros As perguntas de colisão fundamentais Livre percurso médio -Se N electrões incidirem no alvo, o número N dos que atravessam o alvo sem colidir é N =N(1-nσdx) dn=-nnσdx N(x)=N0exp(-nσx) N0exp(-x/λ) = 1 n 7

8 Parâmetros As perguntas de colisão fundamentais Livre percurso médio e frequência de colisão Um electrão tem uma probabilidade razoável de fazer uma colisão após ter percorrido uma distância igual ao livre percurso médio λ O tempo médio entre colisões é = v A frequência de colisão é = 1 = v = n v 8

9 Parâmetros As perguntas de colisão fundamentais Livre percurso médio e frequência de colisão Em geral Temos ainda = (v) = 1 n (v) = (v) =n (v)v A frequência média obtém-se integrando ν(v) na distribuição de velocidades dos electrões (frequentemente uma Maxwelliana): h i = nh vi 9

10 Parâmetros As perguntas de difusão fundamentais Difusão e mobilidade A equação da força é mn d~v dt = ±ne ~ E ~ rp nm ~v Assumimos: -ν = cte -regime colisional (v pequeno e/ou ν grande): um elemento de fluido não se move para zonas de E e P diferentes no tempo de colisão 10

11 Parâmetros As perguntas de difusão fundamentais Difusão e mobilidade -Regime estacionário -Plasma isotérmico (γ=1) Nestas condições, d/dt = 0 e obtemos o fluxo s = n s v s = ±µ s n s E D s n s onde a mobilidade é µ = q m 11

12 Parâmetros As perguntas de difusão fundamentais Difusão e mobilidade e o coeficiente de difusão é D = kt m A mobilidade e o coeficiente de difusão relacionam-se pela relação de Einstein D µ = kt q Esta abordagem corresponda à aproximação de deriva-difusão 12

13 Parâmetros As perguntas de difusão fundamentais Difusão e mobilidade A mobilidade e o coeficiente de difusão podem calcular-se usando a teoria cinética, a partir de integrais sobre a função de distribuição A energia característica, uk=ed/μ, corresponde a kt no caso duma distribuição Maxwelliana e a (1/3)m v 2 se ν for independente de v 13

14 Parâmetros As perguntas de difusão fundamentais Lei de Fick Se E=0 e/ou as partículas não tiverem carga, obtemos a lei de Fick = D n A difusão é um processo de tipo random walk Nos plasmas podemos ter comportamentos colectivos, caso em que o processo de difusão não é totalmente aleatório 14

15 Decaimento As perguntas de um fundamentais plasma Difusão ambipolar Queremos saber como decai um plasma limitado, por difusão para as paredes do contentor Electrões e iões recombinam quando chegam às paredes A densidade de espécies carregadas junto às paredes é aproximadamente zero Consideramos a aproximação de derivadifusão 15

16 Decaimento As perguntas de um fundamentais plasma Difusão ambipolar n s t + s =0 s = ±µ s n s E Ds ns Se L λd o plasma é quase neutro, ni ne Γi Γe (hipótese de congruência) As taxas de difusão dos electrões e iões ajustam-se de modo a serem iguais! 16

17 Decaimento As perguntas de um fundamentais plasma Difusão ambipolar Fisicamente, o que se passa é o seguinte: os electrões, mais leves (vt maior) chegam primeiro à parede os iões positivos ficam para trás estabelece-se um campo ambipolar, que tende a retardar o movimento dos electrões em direcção à parede e a acelerar o dos iões 17

18 Decaimento As perguntas de um fundamentais plasma Difusão ambipolar Obtém-se = Da n D a = µ id e + µ e D i µ i + µ e Se Da for constante, n t = D a 2 n 18

19 Decaimento As perguntas de um fundamentais plasma Difusão ambipolar Como μe μi D a ' D i + µ i µ e D e = D i 1+ T e T i Se Te=Ti, Da 2Di 19

20 Decaimento As perguntas de um fundamentais plasma Modos próprios de difusão A difusão num sistema finito faz-se segundo vários modos próprios, cada um deles com um tempo de decaimento característico O modo próprio fundamental é o que tem o tempo de decaimento mais longo Dada uma densidade electrónica inicial arbitrária, ao fim de algum tempo o plasma está a decair segundo o modo próprio fundamental 20

21 As perguntas fundamentais Soluções estacionárias Para o plasma se manter e termos uma situação estacionária é preciso haver fontes de ionização e/ou injecção de plasma. A equação da continuidade tem que incluir o termo de criação de novos electrões, S(r): n t D a r 2 n = S( r) Em regime estacionário, D a r 2 n = S(r) 21

22 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Frequência de ionização constante Em muitos casos a ionização é assegurada por electrões rápidos na cauda da função de distribuição A taxa de ionização é dada por nνi νi é a frequência de ionização, obtida integrando a respectiva secção eficaz O regime estacionário é descrito por r 2 n = n i D a 22

23 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Frequência de ionização constante Os perfis espaciais estacionários correspondem ao perfil do modo próprio fundamental de difusão! Tem que haver uma fonte de energia exterior que mantenha a temperatura electrónica constante e compense as perdas por difusão 23

24 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Fontes localizadas Para fontes de ionização localizadas no espaço é necessário resolver a equação r 2 n =0 válida em todos os pontos excepto sobre as fontes 24

25 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Recombinação em volume Pode também haver perda de cargas em volume, por recombinação electrão-ião Tem que haver uma terceira partícula envolvida para conservar o momento da colisão, que pode ser -um fotão emitido (recobinação radiativa) M + + e! M + h 25

26 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Recombinação em volume -uma partícula neutra (recobinação a 3 corpos) M + + M + e! M + M -um produto de dissociação (no caso de gases e iões moleculares - recombinação dissociativa) AB + + e! A + B 26

27 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Recombinação em volume 27

28 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Recombinação em volume Em qualquer dos casos há um termo de perda proporcional a nine=n 2 Na ausência de difusão, a equação da continuidade é n t = n2 onde α é o coeficiente de recombinação em volume [m 3 /s] 28

29 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Recombinação em volume A solução é ou n(t) = 1 t + c 1 1 n(t, r) = 1 n 0 ( r) + com c1=1/n0 t onde n0(r) é a distribuição inicial Para tempos grandes, n(t) / 1 o que t permite distinguir do decaimento por difusão! 29

30 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Recombinação em volume 30

31 Soluções As perguntas estacionárias fundamentais Recombinação em volume 31

32 As perguntas fundamentais Difusão num campo magnético A difusão altera-se na presença de um campo magnético O movimento na direcção paralela a B (uz) não é afectado z = ±µne z D n z Se não houvesse colisões não haveria difusão na direcção perpendicular a B (partícula gira em torno da mesma linha de B) 32

33 As perguntas fundamentais Difusão num campo magnético As colisões fazem as partículas migrar através das linhas de B! A fase do movimento de rotação muda abruptamente (e o raio de Larmor pode também variar), num processo aleatório do tipo random walk A partícula vai difundir na direcção perpendicular a B no sentido oposto a n A escala de comprimento do movimento aleatório é rl e não λm! 33

34 As perguntas fundamentais Difusão num campo magnético Podemos diminuir a difusão através do campo magnético diminuindo rl, i.e., aumentando B Assumindo (como anteriormente) um plasma isotérmico (γ=1) e uma frequência de colisão ν suficientemente elevada para podermos negligenciar dv /dt, v = ±µ E D n n + v E + v D 1+ 2 / 2 c 34

35 As perguntas fundamentais Difusão num campo magnético A velocidade perpendicular tem duas componentes: -Há as derivas usuais (ExB e diamagnética), nas direcções perpendiculares aos gradientes do potencial e da densidade -Estas derivas são mais lentas do que na ausência de colisões, por um factor 1+(ν/ω) 2 35

36 As perguntas fundamentais Difusão num campo magnético -Há derivas paralelas aos gradientes de potencial e da densidade -São semelhantes ao caso B=0, mas os coeficientes de difusão e mobilidade são reduzidos dum factor 1+(ω/ν) 2 O factor ω/ν=ωτ=μb λm/rl é relevante: -ωτ 1, B não afecta a difusão -ωτ 1, B retarda significativamente a difusão 36

37 As perguntas fundamentais Difusão num campo magnético No caso ωτ 1, temos D k B T m 1 c 2 2 = k BT m c 2 Comparando como caso B=0 -a dependência com ν é inversa D 1 ; D -a dependência com m é inversa D m 1/2 ; D m 1/2 37

38 As perguntas fundamentais Difusão num campo magnético Electrões difundem mais rapidamente que os iões na direcção paralela, mas difundem mais lentamente na direcção perpendicular Finalmente, D 2 m ; D rl 2 o que mostra que temos processos de random walk com escalas espaciais λm e rl 38

39 Difusão As num perguntas campo fundamentais magnético Difusão ambipolar A difusão ambipolar na presença de um campo magnético é um assunto complexo :) As perdas totais por difusão têm que ser ambipolares, mas as perdas de cada uma das componentes ( ou ) não! Por exemplo, os iões podem perder-se essencialmente por difusão radial a B e os electrões por difusão ao longo de B A condição a impôr é Γi= Γe 39