= f u Ae. Aula 3

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1 Aula 3 Nesta aula, iremos rever nosso entendimento sobre a temperatura de um gás, entender o fenômeno de blindagem de campos elétricos em plasma, conhecer as condições para existência de plasmas e finalmente, vamos discutir sobre algumas aplicações dos plasmas. 1.5 Conceito de Temperatura Um conceito importante para quantificar o estado de um gás é sua temperatura. É muito importante ter em mente que a temperatura está na verdade, associada com a energia de movimento das partículas constituintes do gás. Para um gás em equilíbrio térmico, a maneira pela qual as velocidades das partículas do gás estão distribuídas, é dada por uma função conhecida como função de distribuição de velocidades maxwelliania, conforme a equação para o caso unidimensional ( ) f u Ae mu 1 KT = 1.5.1

2 , onde u é a velocidade da partícula, energia cinética das partículas do gás e constante mu A é a é uma Observação: Para calcular A basta substituir a equação na expressão abaixo, para a densidade de partículas no gás n= f( u) du m A= n π KT 1/ Calcular! Como um exemplo, a curva da função de distribuição de velocidades maxwelliana, é indicada no gráfico abaixo

3 Curva da Função de Distribuição de Velocidades daspartículas numgás. Valores Médios: A partir das definições da Física Estatística, conhecida a função de distribuição de velocidades das partículas do gás, os valores médios de grandezas macroscópicas podem ser encontrados. A equação 1.5. abaixo, permite encontrar a velocidade média das partículas do gás ou velocidade térmica (velocidade mais provável da partícula, entre todas aquelas da distribuição) para o caso unidimensional.

4 u ( ) f u udu KT = = v th = m f u du ( ) 1/ 1.5. Calcular! Observação: Para determinar a expressão 1.5., basta substituir a equação em 1.5. e consultar as integrais de Gauss tabeladas. Da mesma maneira, a energia média das partículas (energia mais provável), pode ser calculada segundo a equação E = E = av mu ( ) ( ) f udu f udu Para resolver a equação 1.5.3, devemos substituir a equação em e realizar uma mudança de variável, isto é y = u v th (mudança de variável)

5 Calcular! E = av ( ) m yv th Ae y Ae th y v dy v dy th Finalmente, utilizando a técnica da integração por partes para resolver a última expressão acima, a energia média das partículas do gás é determinada, segundo a expressão abaixo Calcular! mvth KT Eav = = Portanto, a temperatura pode ser identificada com a energia cinética média das partículas do gás, através de KT Observação: Para não se confundir 19 KT ev J 1 = 1 = J T = 11600K J K

6 Para o caso em 3 dimensões, a energia média é E = av 3KT Calcular! Observação: Para encontrar o resultado generalizado acima, utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados para o caso em 1 dimensão e deve-se considerar também, o fato de que a função de distribuição de velocidades maxwelliana é isotrópica (a distribuição de velocidades é a mesma em qualquer uma das três direção). 1.5 Blindagem de Debye O comprimento de Debye (λ ) proposto pelo D físico francês P. J. W. Debye em 1935, fornece uma medida da distância na qual a influência de um campo elétrico perturbativo é sentida no interior do plasma.

7 Físico francês P. J. W. Debye. Teoricamente, o comprimento de Debye pode ser obtido a partir da equação de Poisson combinada com a função de distribuição de velocidades para os elétrons ou íons perturbada pela ação do campos eléticos. A figura abaixo, mostra o fenômeno da blindagem Ilustração da Blindagem de Debye. Para facilitar a resolução, vamos considerar

8 problema unidimensional na direção x φ = d φ dx 4πe( n i n e ) E assumir a seguinte hipótese uma vez que a mobilidade dos elétrons é maior com relação à mobilidade dos íons, considere apenas a função de distribuição de velocidades dos elétrons. f e mv x eφ KTe ( V ) = Ae x Substituindo a equação (agora u=v x) em 1.6., obtêm-se a densidade eletrônica em qualquer posição ao longo de x, conforme a expressão abaixo n e eφ = e x x KTe ( x) f ( V ) dv = n e, onde n é a densidade do plasma longe da região de blindagem, isto é, região eletricamente neutra ( n ne n i ).

9 Também da hipótese acima, a densidade iônica é n i = n, longe da região de blindagem. Substituindo os resultados das densidades eletrônica e iônica na equação d φ KTe φ = = 4πen (1 e ) dx Agora, desejamos encontrar a solução da equação 1.6.4, para regiões onde o potencial elétrico é baixo, então eφ φ << KT e e (vizinhança da região de blindagem), Para tanto, aplica-se a expansão da exponencial, em série de Taylor, da expresssão φ = d φ dx 4πen [(1 + eφ KT eφ + e KT e +...) 1] 1.6.5

10 Podemos desprezar os termos de segunda ordem ou quadráticos na equação 1.6.5, pois são muito pequenos d φ 4πe n φ = dx KT e φ = λ D φ 1.6.6, onde λ D = n KT e 4π e 1/ é o comprimento de Debye. Portanto, a solução da equação é φ e x λd = φ O comportamento da solução 1.6.7, isto é, do potencial elétrico versus posição é

11 Curva do Potencial Elétrico versus Posição. 1.6 Critérios de Existência do Plasma Quasi-neutralidade: O campo elétrico E r perturbativo que, eventualmente surge no interior de um plasma (com dimensão L ) deve anular-se (blindagem de Debye) para distâncias L >> λ D sendo λd o comprimento de Debye, em conseqüência Para valores de L no interior da esfera de Debye (esfera de raio igual ao comprimento de Debye), isto é L < λd φ 0 n e n i r E 0

12 Para valores de L fora da esfera de Debye (esfera de raio igual ao comprimento de Debye), isto é L > λd φ 0 n e n i r E = 0 A figura abaixo, mostra a relação entre as dimensões de L e λd Ilustração Idealizada para L >> λ D. Número de Partículas (N D) na Esfera de Debye : O número de partículas que interagem coletivamente, no interior da esfera de Debye (esfera de raio igual ao comprimento de Debye), deve ser

13 grande o suficiente para que a blindagem de campos elétricos seja eficiente. N 4πλ 3 3 D = nv = n D = 3098 ( KT ) n 1/ 3/ ( KT em ev ) Para que haja eficiênia na blindagem (comportamento coletivo) devemos supor que N D >>1 Abaixo, uma ilustração idealizada da esfera de Debye (esfera de raio igual ao comprimento de Debye) Ilustração Idealizada da Esfera de Debye. Gases Ionizados versus Freqüência de Colisões

14 Para que gases ionizados sejam considerados plasma, a freqüência de colisões (v ) entre as partículas carregadas e os átomos neutros do gás, deve ser menor que a freqüência natural de oscilação das partículas carregadas deste gás na condição de plasma, isto é, menor que a freqüência ω p de plasma ( ). ω > v p ou ω p τ > 1, onde τ = 1 v é o tempo entre colisões sucessivas. A figura abaixo, distribui os diversos tipos de plasmas segundo sua temperatura e densidade Os Plasmas em termos da Temperatura e da Densidade.

15 1.7 Aplicações Dentre as várias aplicações dos plasmas (consultar o livro texto), discutiremos, resumidamente, apenas aplicações. Propulsão de Veículos Espaciais: A idéia de utilizar plasmas para propulsão, surge do simples fato de que o empuxo do veículo no espaço depende da velocidade de exaustão das partículas (V ) do plasma e da variação temporal da massa total ( dm t dt ) do mesmo, segundo a equação abaixo F = V dm dt t Como o plasma é composto por partículas carregadas, é possível acelerar (através de campos elétrico e magnético combinados) as mesmas, a altas velocidades, isto é, maiores que aquelas obtidas pela simples combustão de combustíveis líquido e sólido. Como um exemplo para comparação

16 Feixe do Propulsor Iônico do INPE. Propulsor Líquido do Ariane 5. V Plasma 10 4 m / s V Liquido 10 m / s V Plasma 10 V Liquido Fusão Termonuclear Controlada: A idéia fundamental é aquecer e confinar o plasma de isótopos leves do Hidrogênico (Deutério e Trítio), até que os íons possam realizar colisões de alta energia, vencendo a barreira de potencial Colombiano, de maneira que a ação de forças nucleares inicie uma reação de fusão. Abaixo, temos as principais reações de fusão dos isótopos leves do Hidrogênio

17 D + 3 H + n + 3,7MeV D T + p + 4,03MeV D + T 4 H + n + 17,6MeV As figuras abaixo, mostram algumas reações idealizadas para os isótopos leves do hidrogênio Reação de Fusão: Deutério-Deutério. Reação de Fusão: Deutério-Trítio. Para o aquecimento do plasma, são utilizadas

18 Injeção de partículas neutras: Um feixe de átomos neutros é acelerado e injetado na região de confinamento, aumentando a temperatura do plasma por colisões de alta energia; Aquecimento por Injeção de Partículas Neutras. Injeção de Radiofreqüência: Ondas de rádio injetadas na região de confinamento, transferem energia para determinadas partículas (íons ou elétrons), aquecendo o plasma por absorção;

19 Aquecimento via RF. Compressão Adiabática: O plasma é deslocado de uma região de campo magnético fraco para outra região de campo magnético forte, sendo aquecido por compressão. Aquecimento por Compressão das Linhas de Campo Magnético. Agora para o confinamento magnético são utilizados

20 Espelhos Magnéticos; Na região de confinamento, a configuração do campo magnético é linear; Linhas de Campo num Espelhos Magnéticos. TOKAMAK; Na região de confinamento, a configuração do campo magnético é poloidal; Linhas de Campo do TOKAMAK. Stellarator; Na região de confinamento, a configuração do campo magnético é helicoidal na direção poloidal.

21 Superfície Magnética do Stellarator.