Termodinâmica II - FMT 259

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1 Termodinâmica II - FMT 259 Diurno e Noturno, primeiro semestre de 2009 Lista 3 GABARITO (revisado em 22/04/0). Se as moléculas contidas em,0 g de água fossem distribuídas uniformemente sobre a superfície da Terra, quantas moléculas haveria em,0 cm 2 da superfície do laneta? A massa molar da água é m H2 O = 8 g/mol, logo g de água corresponde a /8 moles, o que dá 3, moléculas. O raio da Terra é aproximadamente R T = km, assumindo um formato esférico para terra então sua área de superfície é A = 4 π R 2 T = 5, cm 2, () Dividindo o número de moléculas por essa área teremos moléculas por cm 2 aproximadamente. 2. Calcule as velocidades quadráticas médias das moléculas de Hélio e de Argônio a 40 o C, a partir da velocidade quadrática média das moléculas do oxigênio, que é 460 m/s a 0,0 o C. O peso molecular do Oxigênio é 32 g/mol, o do argônio é 40 g/mol e o do hélio 4 g/mol. ara cada grau de liberdade (ou termo quadrático na expressão da energia) temos uma energia de /2 k B T (teorema da equipartição da energia). ortanto a energia cinética média de translação de uma molécula é dada por: 2 m v2 = 3 2 k B T, e a velocidade quadrática média das partículas é dada por: 3 k B T m. (2) À mesma temperatura, duas partículas com massas diferentes m e m 2 tem a mesma energia cinética média de translação e vão ter velocidades quadráticas médias v e v 2 respectivamente. Utilizando a equação (2) obtemos a relação v = v 2 m2 m. (3) artículas de mesmo tipo em temperaturas diferentes T a e T b, terão velocidades respectivamente v a e v b. Essas grandezas também podem ser relacionadas pela expressão da velocidade quadrática média (2) de forma que T a v a = v b. (4) T b rimeiramente, calculamos a v qm do O 2 a 40 o C: v O2,40 o C = v O2,0 o C 33 K 273 K = 492 m/s. Agora podemos calcular a velocidade quadrática média do Hélio e do Argônio, a 40 o C, tal que

2 32 g v He = v O2,40 o C 4 g = 392 m/s, v Ar = v O2,40 o C 32 g 40 g = 440 m/s. 3. A temperatura na superfície da Lua chega a atingir 27 o C. Calcule a velocidade quadrática média de moléculas de hidrogênio a essa temperatura e compare-a com a velocidade de escape da superfície da Lua. Que conclusão pode ser tirada dessa comparação? elo teorema da equipartição de energia podemos estimar a velocidade quadrática média das partículas de moléculas de hidrogênio tal que 2 m v2 = 3 2 k B T, v 2 3 k B T = m, a massa de uma molécula de H 2 é 3, kg, então v qm 2233 m/s. A velocidade de escape v esc da Lua é obtida através de 2 m v esc = m g L R L, v esc = 2 g L R L, onde g L =, 67 m/s 2 é a gravidade na superfície da Lua e R L =, m é o raio médio da Lua, então v esc 2 40 m/s. Como critério de comparação, a velocidade de escape da terra é 70 m/s. Comprovamos que v qm < v esc. ortanto, de acordo com nossos cálculos, há moléculas de hidrogênio na superfície da Lua. Na verdade existem 23% de Hidrogênio na atmosfera da lua. Sim, a Lua possue atmosfera. E a atmosfera lunar é composta por outros elementos além de Hidrogênio, tais como: Hélio 25%, Neônio ou Néon 25%, Argônio ou Árgon e 20% de Metano, entre outros. A velocidade de escape é a velocidade mínima necessária para que um objeto, lançado verticalmente para cima, escape do campo gravitacional de um corpo celeste, como a Terra, ou seja, para que continue a subir indenidamente, sem nunca retornar à superfície. Você pode recordar como a velocidade de escape pode ser calculada dando uma olhada em um livro de mecânica, por exemplo o volume do livro Curso de física básica, H. Moysés Nusseinsveig, cap. 7.5, Energia potencial gravitacional na escala astronômica. 2

3 4. Jean errin é um físico-químico francês, que cou famoso por realizar, em 908, experiências que con- rmaram as previsões de Einstein para o movimento browniano e determinaram com precisão o número de Avogadro. Considere uma partícula esférica de 0,5 µm de raio e densidade,2 g/cm 3, como as que foram utilizadas por Jean errin. Uma tal partícula, em suspensão num líquido, adquire um movimento de agitação térmica que satisfaz à lei de equipartição de energia. De acordo com essa lei, qual seria a velocidade quadrática média da partícula em suspensão à temperatura de 27 o C? O enunciado fala que as partículas estão em suspensão num líquido. Isso sugere que as partículas estão restritas a se moverem na superfície desse líquido. Nessa situação, essas partículas tem apenas dois graus de liberdade translacionais. ode-se ainda interpretar "partículas em suspensão" como moléculas diluídas em um soluto, sendo assim as moléculas são livres para se moverem livremente em três dimensões. ortanto, as moléculas tem três graus de liberdade translacionais. Vamos generalizar esse problema e assumir que as partículas imersas no líquido possuam q graus de liberdade translacionais. elo teorema da equipartição da energia podemos escrever a energia cinética média das partículas como 2 m v2 = q 2 k B T. ortanto q k B T m. (5) Considerando que a partícula tem formato esférico, com raio r = 0, 5 µm e densidade ρ =, kg/m 3, a massa de uma partícula é dada por m = ρ 4 π r 3 /3; portanto a expressão (5) ca 3 q kb T 4 ρ π r 3, (6) na situação em que q = 2 obtemos Já na situação em que q = 3 obtemos 3, m/s, ou seja, da ordem de 0,36 cm/s. 4, m/s, ou seja, da ordem de 0,44 cm/s. ara que a velocidade fosse da ordem de grandeza da resposta do Moysés (, 4 cm/s), o raio deveria ser metade do fornecido no enunciado. 5. A lei de Dalton arma que, em uma mistura de gases que não interagem quimicamente, a pressão que cada constituinte exerce, em uma dada temperatura, é a mesma que ele exerceria se ocupasse sozinho o recipiente; e ainda que a pressão total é dada pela soma das pressões parciais de cada gás. Deduza essa lei a partir da teoria cinética (arta da equação = 3 ρ < v2 >). Vimos em sala que a pressão total que um gás do tipo A exerce nas paredes de um reservatório é dada por A = 3 m A n i vi 2 = 3 m A n A v 2 i onde m A é massa das partículas constituintes do gás A e n A é a densidade de moléculas do tipo A. Se estivermos lidando com uma mistura de vários gases a pressão total será = 3 ρ v2, onde a densidade ρ = (N A m A + N B m B + N C m C +...)/V = (n A m A + n B m B + n C m C +...). N i é o número de moléculas do tipo i e n i = N i /V a densidade de moléculas do tipo i. Temos então 3

4 = 3 (n A m A + n B m B + n C m C +...) v 2. Rearranjando os termos teremos ( ) ( ) ( ) = 3 m A n A v m B n B v m C n C v , portanto = A + B + C +..., onde i = 3 m i n i v 2 é a pressão que o gás i exerceria se ocupasse sozinho o volume V, como prevê a lei de Dalton das pressões parciais. 6. A lei de Avogadro estabelece que, sob as mesmas condições de temperatura e pressão, volumes iguais de diferentes gases contém o mesmo número de moléculas. Como essa lei pode ser explicada pela teoria cinética? Lembrando que n = N/V, teremos = 3 m n v2 = 2 N 3 V = E c = m v 2 /2. Como, no equilíbrio térmico, a energia cinética média das moléculas de dois gases A e B é a mesma, ou seja, 2 m A v 2 A = 2 m B v 2 B, Então, para dois gases sob as mesmas condições de temperatura e pressão teremos Se V A = V B então 2 3 N A V A = m A v 2 A /2 = m B v 2 B /2 = N A = 2 3 N B = N A = N B. Ou seja, nas mesmas condições de temperatura e pressão volumes iguais de dois gases quaisquer contém o mesmo número de moléculas. N B V B. 7. Um gás é formado de moléculas diatômicas com momento de inércia I = g.cm 2, calculado em relação ao eixo perpendicular à linha que une os centros dos dois átomos que constituem a molécula. Conhecendo a lei da equipartição de energia, calcule a velocidade de rotação quadrática média de uma molécula do gás em torno desse eixo, nas condições normais de temperatura e pressão. A energia cinética de rotação dessa molécula possuem dois termos quadráticos da velocidade de rotação. ela lei da equipartição de energia cada um desses termos contribui com /2 k B T para a energia interna do sistema. Como estamos interessados na velocidade de rotação quadrática média em torno de um desses eixo teremos 4

5 2 I ω2 = 2 k B T, ω qm = ω 2 = k B T I Substituindo I = kg. m 2 e T = 273, 5 K chegamos em ω qm = 2, rad/s. 8. A massa de uma molécula de H 2 é 3, g. Se 0 23 moléculas de hidrogênio chocam-se por segundo contra 2,0 cm 2 de uma parede inclinada de 45 o em relação à direção da velocidade, cujo módulo é 0 5 cm/s, qual a pressão que elas exercem nessa superfície? O momento transferido por molécula é p = 2mv cos θ. Se Φ for o uxo (partículas por unidade de tempo) incidindo sobre a área A, então a pressão é = 2 m v Φ cos θ A substituindo os valores m H2 = 3, g, v = 0 5 cm/s, θ = 45 o, A = 2, m 2, Φ = 0 23 moléculas /s, então = 2, a 9. O menor vácuo atingido no laboratório é de 0 0 mmhg. Quantas moléculas de um gás, por cm 3, permanecem nesse vácuo, a 20 o C? Sabendo que, 0 mmhg 760 atm a, então a pressão atingida no laboratório é = 0 0 mmhg = / a. Denindo n como sendo o número de partículas por unidade de volume. Teremos, pela lei dos gases ideais que V = Nmolec k B T N molec V = k B T n = k B T, onde k B =, J/K é a constante de Boltzmann. Substituindo T = 297 K, então n = 3, moléculas/m 3. Isso é cerca de 3 trimilhões de moléculas por m 3, um número ainda bastante grande! Entretanto, em um gás nas condições normais de temperatura e pressão temos cerca de moléculas/m 3, um número (dez trilhões!!!) de vezes maior do que o vácuo acima descrito. Dessa forma, realmente faz sentido falarmos em `vácuo'. 5

6 0. Um dado grupo de partículas tem a distribuição de velocidades da tabela abaixo (N i é o número de partículas que tem velocidade v i ). N i v i 2,00 4 2,00 6 3,00 8 4,00 2 5,00 Calcule a velocidade média <v> e a velocidade quadrática média v qm para esse grupo de moléculas. odemos calcular os valores desejados a partir das denições. O número total de partículas é N = i N i = 22, sendo assim a velocidade média é e a média da velocidade ao quadrado é < v >= N i v i = 3, 8 m/s, N i < v 2 >= N N i vi 2 =, 36 m 2 /s 2. i Deste último resultado obtemos < v 2 > = 3, 37 m/s. A velocidade mais provável é a velocidade v i com i tal que N i é máximo, logo v p = 4. Dados: massa molar da água 8, 0 g/mol densidade da água, 0 g/cm 3 raio médio da terra 6, m massa de uma molécula de H 2 3, g Um mol de qualquer gás, nas condições NT, ocupa o volume de 22, 45 l 6