Problemas Capítulo 4: Solução e Dicas

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1 Problemas Capítulo 4: Solução e Dicas José Fernando de Jesus & Rodrigo Fernandes Lira de Holanda 6 de junho de Se estamos nos movimentando na direção do grande atrator, podemos dizer que nossa galáxia está em órbita em torno dele, o que dá uma estimativa da velocidade orbital por: Assim: Temos: v 2 = GM R M = v2 R G R = 45 Mpc = 45, cm =, cm () (2) Logo: G = 6, din cm 2 g 2 v = 600kms = cm s M = (6 07 ) 2, , = 7, g () Como M =, g, temos: M GA M Como a densidade de radiação por comprimento de onda é dada por ρ λ = 4π c B λ, temos: ρ λ = 8πhc λ 5 exp(hc/λkt ) (4)

2 A densidade de radiação é dada pela integral de (4) no comprimento de onda: ρ γ = ρ λ dλ (5) O intervalo de comprimentos de onda da faixa óptica do espectro eletromagnética é dada por cm < λ < cm, portanto: ρ γ,opt = λ2 λ ρ λ dλ (6) onde λ = cm e λ 2 = cm. Como esta faixa é muito estreita, podemos aproximar a integral (6) por: ρ γ,opt = 8πhc λ 5 λ exp(hc/λ kt ) (7) onde λ = λ 2 λ e λ = 5, cm é o ponto médio do intervalo. Além disso, calculando o argumento da exponencial com as constantes: h = 6, erg s c = 2, cm s k =, erg K e a temperatura da radiação cósmica de fundo T = 2, 725 K e λ como dado acima, temos: exp(hc/λ kt ) = e 9596 >> Assim, podemos usar a aproximação de Wien, e escrever: Assim, temos: ρ γ,opt = 8πhc λe hc/λ kt (8) λ 5 ρ opt = 297, 60 e , = 2, erg cm Transformando para ev m, temos: ρ opt =, ev m 2

3 o que é muito pequeno comparado com o valor da tabela 4.2, de 2 0 ev m. Já a densidade númérica de fótons é dada por: Portanto: n γ = n γ = ρλ dλ hc/λ 8πdλ λ 4 (exp(hc/λkt ) ) Novamente, fazendo as mesmas aproximações, temos, para o óptico: o que resulta em: n opt (9) (0) 8π λ λ 4 (e hc/λ kt ) 8π λ e hc/λ kt () λ 4 n cm = m o que também é bem menor que o valor dado pela tabela 4.2 de n opt 0 m. Concluímos que os fótons da faixa óptica da radiação cósmica de fundo dicilmente serão observados e os valores da tabela 4.2 são dados provavelmente por alguma outra contribuição de foreground Como as galáxias estão muito afastadas umas das outras, podem ser consideradas como partículas de um gás ideal e, portanto, obedecem: P = nkt (2) onde P é a pressão das galáxias, n é sua densidade numérica, k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura de agitação das partículas (galáxias). Além disso, podemos denir a velocidade quadrática média: < v 2 >= kt 2m () onde m é a massa das partículas. Isolando kt em () e substituindo em (2), temos: P = nm < v2 > = ρ < v2 > (4) onde ρ é a densidade e usamos a igualdade ρ = nm. Temos, para as galáxias hoje: ρ gal g cm

4 < v 2 >= (00 Km s ) 2 = 0 4 cm 2 s 2 Assim: P = =, 0 8 din cm 2 (5) Enquanto que a pressão de radiação é dada por: P r = ρ rc 2 como ρ r0 4, g cm e c 0 0 cm s, temos: (6) P r = 4, =, 9 0 din cm 2 (7) Portanto, P r 0 5 P gal, ou seja, P r >> P gal Uma possível maneira de obter o redshift de equipartição é a seguinte: ρ r ρ m = ρ r0 ρ m0 R Na equipartição ρr ρ m, h 2 Ω 0m R 2, ( + z) =, então, + z eq = R eq =, h 2 Ω 0m 4668, Utilizamos o fato de que ρ m0 = Ω 0 ρ 0c =, Ω 0m h 2 g.cm e h = 0, 7 e Ω 0m = 0,. A temperatura pode ser obtida por T eq = T 0 ( + z eq ) = 8, h 2 Ω 0m K 2, 725K. Para obter a densidade de partículas, lembramos que: ρ meq = ρ mo R eq = 6, h 8 Ω 4 0m g cm 2, g cm Temos, da equação de Friedmann: Ṙ 2 = 8πG ( ρm0 R2 R + ρ ) r0 kc2 (8) R 4 R 0 4

5 Se ρ r >> ρ m, (8) ca: Ṙ 2 = 8πG R2 ρ r kc2 R 0 (9) Nessa época, o parâmetro de densidade é dado por: Ω = ρ r ρ c = 8πGρ r H 2 (20) Dividindo (9) por Ṙ2 e usando a denição de H Ṙ R, temos: Portanto: = 8πGρ r H 2 kc2 R 0 Ṙ 2 (2) Ω = + Agora, calculando (22) em t 0, temos: kc2 R 0 Ṙ 2 (22) Ω 0 = + kc2 R 0 H0 2 kc2 R 0 = H 2 0(Ω 0 ) (2) Substituindo em (22), temos: Ω = + H2 0(Ω 0 ) Ṙ 2 (24) Vamos agora estimar o parâmetro de densidade no nal da era de Planck. Para isso, vamos usar a equação (24) e a seguinte aproximação, válida para a era da radiação: ( ) t /2 R = (25) onde t r = 2π. Derivando esta equação, chegamos a: Gρ r0 Ṙ = t r 2(t r t) /2 (26) 5

6 Calculando (26) no tempo de Planck, t pl (24), temos: De onde, com os valores: Ω = + H 2 0(Ω 0 ) Chegamos ao seguinte resultado: H 0 = 9, h anos h = 0, 72 ρ r0 = 4, g cm h =, erg s c = 2, cm s Ω = + 7, = ( G h c 5 ) /2, e inserindo em h 2πc 5 ρ r0 (27) Conforme visto nos capítulos anteriores a maior contribuição para a densidade de energia da radiação vem dos fótons da radiação de fundo, entretanto, durante a era da inação é gerado um fundo de neutrinos que, por terem massa muito pequena, têm praticamente a velocidade da luz e portanto contribuem, tanto quanto os fótons, para elevar a contribuição dinâmica da matéria na forma relativística alterando o valor de Ω 0 na equação acima A energia total relativística de uma partícula com massa m é dada por: E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 (28) onde c é a velocidade da luz e p é o momento da partícula. O limite não-relativístico é dado por p << mc e a energia térmica é dada por: kt = E mc 2 (29) onde k é a constante de Boltzmann. A energia total de uma partícula no limite não-relativístico é encontrado expandindo-se a energia relativística (28) para pequenos p, de onde tem-se: E mc 2 + p2 2m (0) 6

7 A energia térmica ca, então: kt = p2 2m que é a energia cinética não-relativística. Portanto: () e: p mc p = 2mkT (2) p mc = 2kT c m () Se <<, a partícula é não-relativística. Vamos conferir se isso é válido para o próton e o nêutron. Temos: m p =, g m n =, g c = 2, cm s Vamos utilizar como temperatura da nucleossíntese a temperatura inicial, que é dada por kt MeV. Se as partículas forem não-relativísticas a essa temperatura, obviamente elas serão não-relativísticas em toda a nucleossíntese, uma vez que essa é a maior temperatura dessa fase. Inserindo os valores acima, temos: p p mc p n = 4, 62% = 4, 6% mc o que pode ser considerado não-relativístico. Chegaríamos à mesma conclusão se utilizássemos a fórmula relativística completa (28) A taxa de interação por partícula é Γ = nσv, onde n é a densidade espacial de partículas, σ é a seção de choque e v a velocidade quadrática média. A escala de tempo é o inverso da taxa de reação, ou seja, t = /Γ, portanto, t = (n p σv). Vamos tomar a idade do Universo igual a 2 s, pois foi em torno desta idade que a reação em questão pôde se iniciar. Então, temos que obter a densidade de prótons, a temperatura e a velocidade quadrática média 7

8 dos prótons naquela época, para isso vamos obter iniciamente o fator de escala utilizando a relação da época da radiação R = (t/ 0 9 ) /2, então R = 2, 8 0 9, de forma que /R =, A temperatura,08 MeV é obtida por T = t = 0, 086 MeV. A densidade de bárions naquele instante é dado por η = η 0 (/R) 0 9 cm. A velocidade quadrática média é dada por v = kt/m =, cm/s. Portanto, t 6s. Bem menor que o tempo de vida médio dos nêutrons A abundância do 4 He é dada por: ( ) η 0,056 Y 0, 22 (4) 0 0 onde η é a razão bárion-fóton. A abundância de deutério é dada por: ( ) D η,4 H (5) 0 0 Se a abundância de bárions fosse 0 vezes maior que as estimativas atuais, teríamos uma razão bárion-fóton dez vezes maior, η + = 0η e as abundâncias dos elementos leves seriam: Y + Y = [D/H] + [D/H] = ( η+ η ( η+ η ) 0,056 = 0 0,056 =, 4 ),4 = 0,4 = 0, 072 Por outro lado, se a a abundância de bárions fosse dez vezes menor teríamos uma razão bárion-fóton η = η 0 e: Y Y = ( η η ) 0,056 = 0 0,056 = 0, 879 [D/H] [D/H] = ( η η ),4 = 0,4 = 26, 92 8

9 4.0 - A entropia por bárion é denida por s = 4aT n b e n γ = 0, 70 at, onde k n é a densidade de partículas de cada componente. Podemos obter então s =, 6 nγ n b ou s =, 6/η, com η = n b n γ = 2, Ω 0b h 2. Se Ω 0b = 0, 04, teríamos s = 6, 6 0 9, se Ω 0b =, teríamos s = 2, 8 0 8, ou seja, a entropia por bárion diminuiria em uma ordem de grandeza. Como η = 2, Ω 0b h 2, se Ω 0b = 0, 04, teríamos η = 5, 5 0 0, mas se Ω 0b =, teríamos η 0 8, o que não está de acordo com o intervalo permitido para η via nucleossíntese primordial, que restringe, < η < O fato de o Universo ser dominado pela matéria hoje e ter sido dominado pela radiação no passado é explicado pela dependência temporal das densidades de matéria e radiação. Enquanto a densidade de matéria escala com ρ m R, a densidade de radiação escala com ρ r R 4. Assim, em tempos primitivos (R 0) o que prevalece é a radiação e, em tempos atuais (R ), o que prevalece é a matéria Sabemos que N n = N n0 e 0,69t/τ /2, se Nn0 = 200, depois de 228 segundos teríamos apenas 42 nêutrons para cada volume com 000 prótons, assim, o número de prótons aumentaria para 58. Como consequência disto, N n /N p = 0, 06. Então apenas 2 átomos de He 4 seriam formados com os deutérios disponíveis e teríamos Y = 4 2/( ) = 0, 086, em total desacordo com as observações astronômicas, 0, 2 < Y < 0, 25. 9