Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

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1 Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais Prova de Física Processo de Admissão para o Programa de Pós-Graduação em Astrofísica do INPE 03/12/2015 Duração: 4 horas Nome: Instruções para realização do exame: a) a prova é individual, sem qualquer consulta; b) não é permitido o uso de telefones celulares; c) é permitido o uso de calculadora científica, desde que não seja um aplicativo de celular; d) a prova poderá ser feita a lápis, mas as respostas finais devem ser apresentadas em caneta; e) escreva seu nome em cada folha de prova e use somente um lado da folha de respostas; f) resolva uma questão por folha e numere as folhas, informando o total de folhas utilizadas (ex.: no caso de 12 folhas utilizadas, ao terminar, numere as folhas em sequência 1/12, 2/12, 3/12, etc.); g) todas as questões valem um (1,0) ponto, incluindo a questão bônus (11 questões no total); h) se estiver fazendo a prova fora do INPE, use papel A4 e deixe margens de ~ 2 cm; i) solicitamos que a prova seja enviada ao INPE por fax [ ] e/ou por , para os endereços eletrônicos pg.ast@inpe.br e andre.milone@inpe.br; j) os originais devem ser enviados pelo correio, aos cuidados de André Milone, para o endereço abaixo. INPE - Divisão de Astrofísica Av. dos Astronautas Prédio CEA I Jardim da Granja - São José dos Campos, SP Cep Brasil 1

2 1) Filme de ficção científica Interestelar: massa com valor negativo! Dois corpos de cargas elétricas q de sinais opostos tem massas pontuais m de igual valor absoluto mas hipoteticamente com sinais contrários. Estando separados por uma distância r num ambiente livre de campos gravitacional e eletromagnético externos, calcule qual deveria ser a massa de cada corpo em função das outras grandezas para que a distância entre os dois corpos se mantenha constante. (a) A massa m depende da distância r? Justifique. (m 1, q 1 ) r (m 2, q 2 ) m 1 = m 2 = m, tal que m 1 = m & m 2 = -m q 1 = q 2 = q, tal que q 1 = q & q 2 = -q F E = F G pra que exista equilíbrio de forças (sinal negativo: força repulsiva, sinal positivo: força atrativa) F E = - q 1.q 2 /r 2 = - q.(-q)/r 2 = q 2 /r 2 F G = G m 1.m 2 /r 2 = G m.(-m)/r 2 = - G m 2 /r 2 igualdade em módulo, q 2 /r 2 = G m 2 /r 2 assim, m = (1/G) 1/2 q m 1 = (1/G) 1/2 q m 2 = - (1/G) 1/2 q (a) O valor da massa m não depende da distância r. porque ambas as forças têm a mesma dependência com a distância (inverso do quadrado de r). 2

3 2) Teorema do Virial. Em alguns contextos, podemos representar uma nuvem interestelar como uma nuvem esférica de um fluido de massa total M e raio R. Vamos considerar que nessa nuvem não há campos magnéticos nem existe fluxo de matéria atravessando sua superfície. Nessa situação, podemos aplicar o Teorema do Virial na forma abaixo: (d²i/d²t)² = ϲ = 2U + W onde I é o momento de inércia do sistema, U é a energia total interna do sistema (soma das energias cinética e térmica de suas partículas), e W é a energia gravitacional do sistema. a) Como fica este Teorema do Virial se a nuvem estiver em equilíbrio hidrostático? b) Considerando densidade de massa uniforme para a nuvem, obtenha uma expressão para o termo W? Expresse seu resultado como função de M e R. c) Considerando que o único movimento das partículas seja térmico e que possamos considerar o fluido como um gás ideal de temperatura uniforme T, obtenha uma expressão para o termo 2U? Expresse seu resultado como função de M e T. a) (d²i/d²t)² = ϲ = 2U + W = 0 3

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5 3) A figura abaixo mostra um navio pirata ancorado a 560 m de um forte, que defende a entrada de uma baía. O canhão de defesa está localizado ao nível do mar e tem uma velocidade de tiro de 82 m/s. Calcule: (a) Em qual(is) ângulo(s) de elevação, o canhão precisa ser orientado para poder atingir o navio pirata? Despreze a resistência do ar. (b) Qual(is) é(são) o(s) tempo(s) de percurso(s) do projétil até alcançar o navio? (c) A que distância do forte deve ficar o navio pirata, para se manter fora do alcance do canhão? a) Dois ângulos: aproximadamente 27º e 63º (como mostrados na figura acima). 5

6 b) Dois tempos de alcance: 7,2 s para 27º e 15 s para 63º. 6

7 c) 690 m com 45º. 7

8 4) Gotas de chuva. Quando um corpo se move através de um fluido, o corpo experimenta uma força de viscosidade F v, que se opõe ao seu movimento relativo e tem sentido da corrente do fluido relativa ao corpo. A força de viscosidade pode ser expressa como abaixo. Considere uma gota esférica de chuva com raio R = 1,5 mm que cai de uma nuvem a uma altura h de 1200 m acima do solo. O coeficiente de viscosidade C para a gota é igual a 0,60. Considere que a forma esférica da gota é mantida durante a queda. (a) Qual a velocidade limite atingida pela gota de água? (b) Se não houvesse viscosidade, qual seria a velocidade da gota imediatamente antes do impacto? F v = ½ C ρ A v 2 onde C é o coeficiente de viscosidade do corpo em movimento e que pode depender da velocidade relativa v do corpo em relação ao fluido quando v varia significativamente, ρ é a densidade de massa do fluido, e A é a área transversal ou seção reta efetiva do corpo em movimento. DADOS: Considere a densidade da água na gota igual a 1000 kg/m 3 e densidade do ar 1,2 kg/m 3. (a) v limite = 7,4 m/s (b) v final = 150 m/s (a) Quando a gota atinge a velocidade limite, ela começa a cair com velocidade constante e há um equilíbrio da força peso com a força de viscosidade. 8

9 (b) Quando não há força de viscosidade, a gota experimenta queda livre. Usa-se v f 2 = v o 2 2g(y y o ) 9

10 5) Relativística. Se a energia total de uma partícula de massa m é igual a duas vezes sua energia de repouso, expresse o momentum da partícula em unidades de m.c, onde c é a velocidade da luz no meio onde a partícula se encontra. : E total = G m c², onde G é o fator de Lorentz.! G = 2 Mas G² = 1/(1 v²/c²), onde v é a velocidade da partícula. Logo, 1/(1 v²/c²) = 4 1 (v/c)² = ¼ (v/c)² = ¾ v = c. 3 1/2 /2 Como o momentum p = G m v, temos p = 3 1/2 m c 10

11 6) Corpo negro. Se a temperatura T de equilíbrio de um corpo negro triplicar, calcule o fator de aumento ou diminuição da energia eletromagnética irradiada através de sua superfície por unidade de tempo e unidade de área? T i = T T f = 3T Energia por unidade de tempo e área = Fluxo = F = σ T 4 F i = σ T 4 F f = σ (3T) 4 F f /F i = 81! fator de 81 vezes maior! 11

12 7) Choque com uma mola. Um bloco de massa m = 5,7 kg desliza sem atrito sobre um plano horizontal com velocidade constante v = 1,2 m/s em direção de uma mola conforme mostrado na figura abaixo. Após se chocar com a mola, sua velocidade se reduz a zero no momento em que o comprimento da mola diminui por uma distância d em relação ao comprimento natural. Qual é o valor de d? A constante da mola k é 1500 N/m. 12

13 8) As equações de Maxwell são dadas pelas expressões abaixo. Mostre que estas equações são consistentes com a conservação da carga elétrica.!! E = ρ εo!! B = 0!!! B E = t!!! B = µ J + µ 0 0 ε 0! E t Calcule o divergente da quarta equação e depois use a primeira equação. 13

14 9) Entropia. Um recipiente bem isolado, mistura-se duas amostras de 0,5 kg de água. Uma das amostras está inicialmente a 290 ºK e a outra a 310 ºK, de modo que a mistura final entra em equilíbrio a 300 ºK. (a) Calcule a variação de entropia do sistema devido à mistura? (b) Por que essa variação de entropia não é zero? DADOS: Calor específico da água a pressão constante c P = 4,180 J. Kg -1.ºK -1 Variação de entropia ds = dq/t 14

15 10) Moeda em vibração vertical. Um pesquisador coloca uma moeda em cima de uma plataforma plano-horizontal vibratória do Laboratório de Integração e Testes (LIT) do INPE, a qual está oscilando com amplitude vertical na frequência de 6 mil ciclos por minuto. Calcule de modo aproximado a amplitude de oscilação mínima da plataforma para que a moeda comece a pular na plataforma. Aceleração vertical = w² x amplitude de oscilação vertical a = w². h, onde w = 2πf, f = frequência A moeda começa a "pular" quando a aceleração vertical da plataforma horizontal for maior que a aceleração da gravidade g. Então, a amplitude de oscilação vertical h precisa ser igual ou menor que 9,8 m / (2 x pi x 100)^2 ~ 25 microns, ou seja, h = a/w²! h a/w² tal que a = g = G M Terra /R Terra ² = 9,8 m/s² & w = 2 π f = 2 π (6000/60 s) = 2 π 100 s -1 = 628,3 Hz h 9,8 m.s -2 /(628,3 Hz)² 0, m 24,8 x 10-6 m 25 μm 15

16 QUESTÃO BÔNUS 11) Família em uma viagem de avião Um grupo de familiares composto por nove (9) pessoas adultas precisa marcar seus assentos num dado vôo. No ato da reserva e marcação de assentos, a ser feito por um deles, estão disponíveis quinze (15) assentos vagos dispostos de modo aleatório na aeronave. Pergunta-se: quantas combinações de marcação de assentos são possíveis para acomodar todos na aeronave? Resposta: 15! 6! Prova: São 15 assentos que precisam ser preenchidos por 9 passageiros. Então o número de maneiras de escolher os 9 lugares para as pessoas entre 15 lugares disponíveis é dado pela combinação abaixo. C 15,9 = 15!/(9! 6!) pois C 15,9 = P(15,9)/P(9,9) = (15!/(15-9)!)/9! ) = 15!/(6! 9!) Para cada maneira de escolha de lugares, podem-se permutar 9 pessoas da familia, assim, o total de combinações de acomodar essa família é: (15! / 9! 6! ) x 9! = 15! / 6! Ou então do modo abaixo, tendo o primeiro passageiro 15 poltronas pra escolher, o seguinte 14 poltronas sobrando pra escolher e assim por diante, tal que: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 15! / 6! 16

17 Formulário Constantes físicas c = 2,99 x cm.s -1 m próton = 1,67 x g k = 1,38 x erg / K m nêutron = 1,67 x g h = 6,63 x erg.s m elétron = 9,11 x g G = 6,67 x 10-8 dyn.cm 2.g -2 σ Stefan-Boltzmann = 5,67 x 10-5 erg.cm -2.s -1 K -4 e = 4,80 x esu R = 8,31 x 10 7 erg/mol.k (const. gás perfeito) Permissividade elétrica = 1 Permeabilidade magnética = c -2 k e =1 1 erg = 10-7 J Dados Astronômicos Massa da Terra = 5,98 x g Raio da Terra = 6,37 x 10 8 cm Massa do Sol = 1,99 x g Raio do Sol = 6,96 x cm Luminosidade do Sol = 3,9 x erg/s Massa da Lua = 7,36 x g 1 unidade astronômica = 1,50 x cm 1 parsec (pc) = 3,08 x cm Fatores de conversão 1 statc = 1 esu = 3,3 x C 1 u.m.a. = 1,6605 x g 1 ev = 1,60 x erg 1 Å = 10-8 cm 17