INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA

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1 Introdução à Astrofísica Lição 9 O Espectro da Luz INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA LIÇÃO 10 O ESPECTRO CONTÍNUO DA LUZ

2 A medição do brilho das estrelas está diretamente ligada à medida de distância. A medida de distância é feita através da paralaxe, como já vimos. Seja p o Ângulo de paralaxe, a distância até o objeto, medido em parsec (pc), será: d = 1 p O valor 1 representa a unidade astronômica. O brilho de um objeto é medido em termos do fluxo recebido da fonte. O fluxo é a quantidade total de energia em todos os comprimentos de onda que atravessam uma área unitária do detector por unidade de tempo. Seja um objeto de luminosidade L a uma distância r da Terra, e assumindo que nenhuma luz é absorvida no caminho, o fluxo será: f = L 4πr 2

3 A magnitude é uma escala logarítmica do brilho de um objeto. A magnitude absoluta é definida como a magnitude aparente que um objeto teria se fosse colocado a uma distância de 10 pc. Uma diferença de 5 magnitudes corresponde a uma diferença de 100 vezes o brilho. Assim: f 1 = 100 m 1 m 2 5 f 2 m 1 m 2 = 2,5 log f 1 f m M 5 = f 10 f = d 10pc 2 d = 10 m M+5 5 pc m M = 5 log d 5 m M = 5 log d 10pc Onde f 10 é o fluxo que o objeto teria se estivesse a 10 pc, d é a distância e m-m é o módulo de distância. Os m representam as magnitudes.

4 Exemplo: a magnitude aparente do sol é -26,83 e sua distância é 1 UA = 4, pc. Determine a magnitude absoluta e seu módulo de distância. Fazemos: M S = m 5 log d 10 = 26,83 5 log 4, m M S = 31,57 = +4,74 Note que, quanto maior o brilho de um objeto, menor é sua magnitude.

5 Podemos analisar a temperatura de um corpo pela energia cinética média dos seus átomos. Assim, um corpo absorvendo energia aumenta sua temperatura. Os elétrons são acelerados e emitem radiação, o que reduz a energia cinética dos átomos. Se a taxa de absorção é igual a taxa de emissão, então o corpo está em equilíbrio térmico. Um emissor ideal não reflete a luz, então o chamamos de corpo negro. A radiação do corpo negro é o nome dado à essa emissão de energia. A luminosidade L de um corpo negro de área A e temperatura T é dado por: L = AσT 4 Onde σ = 5, Wm 2 K 4 é a constante de Stefan-Boltzmann.

6 Para uma estrela esférica de raio R com área 4πR²: L = 4πR 2 σt 4 O fluxo na superfície da estrela é: f S = σt 4 Exemplo: a luminosidade do Sol é L = 3, W e seu raio é R = 6, m. Temos então: T = L 4πR 2 σ 1 4 = 5777K O fluxo na superfície é: f S = σt 4 = 6, Wm 2

7 A relação do comprimento de onda onde está a máxima emissão de radiação eletromagnética de corpo negro com sua temperatura é dada pela lei de Wien: λ máx T = 0,0029 mk Logo, para o Sol: λ máx 0,0029 = 501,6 nm 5777 Um dos grandes problemas para a física no final do século XIX, como vimos, era derivar a curva representando a radiação de corpo negro.

8 Consideremos a função distribuição espectral R(λ) para um corpo negro, que determina a densidade de energia para ondas eletromagnéticas no interior de uma cavidade. Temos uma caixa com uma cavidade, onde dentro existe radiação. A probabilidade de um raio de luz sair da cavidade antes de ser absorvido pelas paredes internas é muito pequena. A potência irradiada para fora é proporcional à densidade total de energia U no interior da cavidade. É possível demonstrar que essa constante de proporcionalidade é igual a c/4.

9 Então: R λ = U c 4 Sendo u λ dλ a fração de energia por unidade de volume no interior da cavidade no intervalo de comprimento de onda entre λ e λ + dλ, então: R λ = u λ c 4 Para calcular u(λ) basta determinar o número de modos de oscilações do campo eletromagnético no interior da cavidade. Pode-se mostrar que o número de modos de oscilação por unidade de volume, n(λ), não depende da forma da cavidade e é dado por n λ = 8πλ 4. De acordo com a teoria clássica, a energia média por modo de oscilação é igual a kt, onde k é a constante de Boltzmann. A distribuição espectral da densidade de energia é: u λ = ktn λ = 8πkTλ 4 Essa é a lei de Rayleigh-Jeans. Para λ tendendo a zero, u(λ) tende a infinito. E isso é um grave problema. Esse problema ficou conhecido como catástrofe do ultravioleta.

10 Planck reformulou esse problema. Na época, se escrevia a função distribuição de energia como f E = Ae E/kT, onde A é uma constante. Podemos escrever a energia média como: E = E = 0 0 Ef E de EAe E/kT de E = kt Planck resolveu assumir que a energia não era contínua, mas sim discreta. Assim: E = n i=0 E n Ae E n/kt ε E = e ε/kt 1 = hν e hν/kt 1 = hc/λ e hc/λkt 1 Multiplicando esse resultado pelo número de osciladores por unidade de volume entre λ e λ + dλ, obtemos a função distribuição de densidade de energia no interior da cavidade: E essa é a lei de Planck. u λ = 8πhcλ 5 e hc/λkt 1

11 A densidade total de energia pode ser calculada integrando a nossa função: U = 0 u λ dλ = 0 8πhcλ 5 e hc/λkt 1 dλ