Teoria da Relatividade Restrita

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA DATA: 1//17 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE FÍSICA MODERNA I Prof.: Dr. Clóves Gonçalves Rodrigues Teoria da Relatividade Restrita Os Postulados 3) Determine a velocidade de uma partícula que leva dois anos a mais do que a luz para viajar uma distância de 6, anos-luz. A Relatividade do Tempo 5) O tempo de vida média de múons encerrados numa caixa de chumbo num laboratório é de, s. O tempo de vida média de múons de alta velocidade, na explosão de raios cósmicos observada da Terra, é de 16 s. Determine a velocidade destes múons de raios cósmicos em relação à Terra. 7) Um píon é gerado na alta atmosfera da Terra quando partículas de alta energia de raios cósmicos colidem com núcleos atômicos. Um píon assim formado desce em direção à Terra com uma velocidade de,99c. Num sistema de referência em que ele está em repouso, um píon decai com uma vida média de 6 ns. Determine, para um sistema fixo em relação à Terra, a distância percorrida por tal píon, que se desloca através da atmosfera, antes do seu decaimento. A Relatividade do Comprimento 9) Uma barra está colocada paralelamente no eixo x de um sistema de referência S, deslocando-se ao longo deste eixo com velocidade de,63c. Seu comprimento de repouso é de 1,7 m. Qual será o comprimento medido no sistema S? 11) Um elétron de 1 MeV, para o qual =,999987, desloca-se ao longo do eixo de um tubo vazio de comprimento igual a 3, m, assim medido por um observador S no laboratório, em relação ao qual o tubo está em repouso. Um observador deslocando-se juntamente com o elétron, entretanto, veria este tubo se deslocar para trás, com uma velocidade v (=c). Que comprimento este observador encontraria se medisse o tubo? 1

2 Consequências das Equações de Lorentz 17) Um observador S determina as seguintes coordenadas de tempo e espaço para um evento: x = 1 km, t = s. Quais as coordenadas deste evento num sistema S, que se desloca no sentido do aumento de x com velocidade,95c? Suponha que x x para t t. 19) Um sistema inercial S desloca-se com uma velocidade de,6c em relação ao sistema S. Dois eventos são registrados. No sistema S, o evento 1 ocorre na origem de x para t = e o evento ocorre no eixo x para x = 3, km e para t = 4, s. Quais os tempos de ocorrência registrados pelo observador S para estes mesmos eventos? Explique a diferença na ordem do tempo. 1) As equações da transformação de Lorentz são x = g( x - vt) e t = g( t - vx/ c ). Deduza diretamente por manipulação algébrica dessas equações que x = g ( x + vt ) e t = g ( t + vx / c ). Transformação das Velocidades 5) Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x de um sistema S à velocidade de,4c. O sistema S desloca-se à velocidade de,6c em relação ao sistema S. Qual é a velocidade da partícula medida no sistema S? 7) Uma partícula de raio cósmico aproxima-se da Terra ao longo do seu eixo com uma velocidade de,8c em direção ao pólo norte e uma outra, com velocidade de,6c, em direção ao pólo sul. Qual é a velocidade relativa de aproximação entre as duas partículas? (Sugestão: é muito útil considerar a Terra e uma das partículas como os dois sistemas de referência inerciais). 8) Observamos que a Galáxia A afasta-se de nós a uma velocidade de,35c. A Galáxia B, localizada exatamente no sentido oposto, também está se afastando de nós com esta mesma velocidade escalar. Qual é a velocidade de afastamento que um observador na Galáxia A determina: (a) para a nossa Galáxia? (b) para a Galáxia B?

3 Efeito Doppler 33) Uma nave espacial, deslocando-se da Terra a uma velocidade de,9c, comunica-se por transmissão a uma freqüência (medida no sistema da nave) de 1 MHz. Para que freqüência deve a Terra ajustar seus receptores para receber este sinal? 35) Calcule a diferença de comprimento de onda de Doppler,, caso exista, para a linha D do sódio (589, nm), emitida por uma fonte que se desloca em círculo, com velocidade constante (=,1c), como seria medida por um observador fixo no centro do círculo. 36) Uma astronave afasta-se da Terra a uma velocidade de,c. Uma luz na parte traseira da nave parece azul ( = 45 nm) para um passageiro da nave. Qual a cor que um observador na Terra veria? Uma Nova Visão da Energia 39) Um elétron desloca-se a uma velocidade tal que pode circunavegar a Terra, pelo equador, em um segundo. (a) Qual é a sua velocidade em termos da velocidade da luz? (b) E a sua energia cinética K? (c) Qual o erro percentual, se você usar a fórmula clássica para calcular K? 41) Determine o parâmetro de velocidade e o fator de Lorentz para uma partícula cuja energia cinética é de 1 MeV, se a partícula for: (a) um elétron; (b) um próton; (c) uma partícula alfa. 43) Uma partícula tem uma velocidade de,99c no sistema de referência do laboratório. Quais são as energias cinética e total e o seu momento linear se a partícula for: (a) um próton ou (b) um elétron? 45) Os quasares são considerados núcleos de galáxias ativas em estágio primitivo de formação. Um quasar típico irradia energia a uma taxa de 1 41 W. Para fornecer esta energia, a que taxa se reduz a massa deste quasar? Expresse sua resposta em unidade de massa solar por ano, sabendo que uma unidade de massa solar (ums = 3 1 kg) é a massa do sol. 47) Qual será a velocidade de uma partícula: (a) cuja energia cinética é igual ao dobro de sua energia de repouso? (b) Cuja energia total é igual ao dobro de sua energia de repouso? 49) Uma partícula tem um momento linear igual a mc. (a) Qual a sua velocidade? (b) Qual a sua massa relativística? (c) Qual a sua energia cinética? 3

4 51) Considere as partículas seguintes, todas elas deslocando-se no vácuo: um fóton de, ev, um elétron de,4 MeV e um próton de 1 MeV. (a) Qual delas se desloca mais rapidamente? (b) Qual delas se move mais lentamente? (c) Qual delas tem o maior momento linear? (d) Qual delas tem o menor momento linear? (nota: fóton é uma partícula da luz com massa de repouso zero). 53) (a) Se a energia cinética K e o momento linear p de uma partícula puderem ser medidos, será possível determinarmos sua massa de repouso m e assim identificarmos a partícula. Mostre que m ( pc) - K =. Kc (b) Mostre que esta expressão se reduz ao resultado esperado quando v << c, no qual v é a velocidade da partícula. (c) Determine a massa de repouso da partícula cuja energia cinética é de 55, MeV e cujo momento é de 11 MeV/c. Expresse sua resposta em termos da massa de repouso do elétron. 61) O síncroton do Fermilab acelera prótons com uma energia cinética de 5 GeV. Para esta energia, calcule: (a) o Fator de Lorentz; (b) o parâmetro de velocidade; (c) o campo magnético, sabendo que a órbita do próton tem um raio de curvatura de 75 m (o próton possui uma energia de repouso igual a 938,3 MeV). Respostas 3),75c 5) v,99c 7) 54,74m 9) 1, 3 m 11),15m 4 17) x 137,7 km, t 3, 7 1 s 19) 1: t, 6 : t,51 s 5),8c 7),946c 8) a),35c ; b) -, 6c 7 33), 91 Hz 35) l 59 nm, l- l 3 nm 36) 551,13nm (amarelo) 39) a),134c b) 4,599 kev c), 4% 41) a) g,57, b,9988 b) g 1, 1, b,145 c) g 1, 3, b, 77 43) a) K 5, 71GeV, E 6,65GeV, p 6,58GeV / c b) K 3,11MeV, E 3, 6MeV, p 3,58MeV / c 45) dm / dt = 17,5 ums/a 47) a),948c b), 866c 49) a) c b) m c) mc( - 1) 51) a) o fóton b) o próton c) o próton d) o fóton. 61) a) g 534 b) b, c) B, 3 T 4

5 ********************PROBLEMAS ADICIONAIS******************** 13) Uma astronave com um comprimento de repouso igual a 13 m passa por uma estação de observação com uma velocidade de,74c. (a) Qual é o comprimento da astronave medido pela estação? (b) Qual o intervalo de tempo registrado pelo monitor da estação, entre a passagem da parte frontal e da parte traseira da nave? 7 RESPOSTA: a) 87,4m b) 3,941 s 9) Os físicos concluíram a partir de medida do deslocamento para o vermelho da luz emitida, que um quasar Q 1 afasta-se de nós com uma velocidade de,8c. O quasar Q, que também se afasta de nós e está na mesma direção no espaço, sendo-nos mais próximo que Q 1, desloca-se a uma velocidade de,4c. Que velocidade para Q será medida por um observador em Q 1? RESPOSTA:,588c 3) Uma astronave, cujo comprimento de repouso mede 35 m, tem uma velocidade de,8c em relação a um certo sistema de referência. Um micrometeorito, também com velocidade de,8c neste sistema, passa pela astronave numa linha antiparalela. Quanto tempo leva este objeto para ultrapassar a astronave? RESPOSTA: 6 1,19 1 s 37) Um radar transmissor T está fixo em um referencial S que se desloca em linha reta, com velocidade v em relação ao referencial S (Veja a Fig. 17). Um cronômetro mecânico (essencialmente um relógio) no sistema S, possui um período (medido em S ), causando no transmissor T a emissão de pulsos de fradar que se propagam à velocidade da luz e são recebidos por R, um receptor fixo no sistema S. (a) Qual seria o período do cronômetro em relação ao observador A que está fixo no sistema S? (b) Mostre que o receptor R observaria o intervalo de tempo entre os pulsos que chegam de T não como ou como, mas como R c v c v. (c) Explique por que o observador em R mede um período do transmissor diferente daquele medido pelo observador A, que está no mesmo sistema de referência. (Sugestão: um relógio e um pulso de radar não são a mesma coisa). 4) Demonstre que um elétron com uma energia cinética de 1 MeV propaga-se com 99,9987% da velocidade da luz. 5

6 5) Um tablete de aspirina contendo cinco grãos tem uma massa de 3 mg. Por quantos quilômetros a energia equivalente a esta massa, em forma de gasolina, daria a potência necessária a um automóvel? 7 Suponha 13 km/litro e um calor de combustão para a gasolina de 3,5 1 J/litro. 54) Numa colisão de alta energia de uma partícula elementar de raios cósmicos, em uma região da atmosfera terrestre a 1 km acima do nível do mar, um píon é gerado com uma energia total E de 5 1,35 1 MeV, deslocando-se verticalmente para baixo. Em seu sistema próprio, este píon decai 35 ns após ser gerado. A que altitude acima do nível do mar deve ocorrer este decaimento? A energia de repouso do píon é 139,6 MeV. 55) O tempo de vida médio de múons em repouso é de, s. Em medidas realizadas em laboratório sobre o decaimento de múons em descarga de um feixe que emerge de um acelerador de partículas, encontra-se um tempo de vida médio de 6,9 s para estes múons assim produzidos. Quais são: (a) a velocidade deste múons no laboratório; (b) a massa relativística (em termos de de elétron); (c) a energia cinética; (d) o momento linear? Dado: A massa de repouso do múon é 7 vezes maior que a do elétron. m e, a massa de repouso 57) Na seção 5 do Cap. 3, mostramos que uma partícula de carga q e massa m, deslocando-se com velocidade v perpendicularmente a um campo magnético uniforme B, movia-se num círculo de raio r dado por (veja a Eq. 16 do Cap. 3) m r v. qb Foi demonstrado também que o período T do movimento circular é independente da velocidade da partícula. Agora, estes resultados são válidos somente se v << c. Para partículas que se movem em altas velocidades. O raio da trajetória circular pode ser demonstrado como p m( v) mv r. qb qb qb 1 Esta equação é valida para todas as velocidades. Calcule o raio da trajetória de um elétron de 1 MeV que se desloca perpendicularmente a um campo magnético uniforme de, T. Utilize (a) a fórmula clássica e (b) a fórmula relativística. (c) Calcule o verdadeiro período do movimento circular. O resultado é independente da velocidade do elétron? 58) Medidas de ionização mostram que uma determinada partícula nuclear transporta uma carga dupla igual a e e desloca-se a uma velocidade de,71c. Sua trajetória num campo magnético de 1, T tem um raio de curvatura igual a 6,8 m. Determine a massa de repouso da partícula e identifique-a (sugestão: partículas nucleares leves são constituídas por nêutrons, que não transportam carga, e por prótons 6

7 cuja carga é igual a +e, em números aproximadamente iguais. Suponha a massa de repouso de cada uma destas partículas igual a 1, u). (Veja problema 57). 59) Numa radiação cósmica, um próton de 1 GeV aproxima-se da Terra pelo seu equador geométrico, por cima de uma região em que o campo magnético médio terrestre vale 55 T. Qual é o raio de curvatura da trajetória nesta região? *****************FÓRMULAS***************** v 1 c 1 L t t L x ( xv t) m m p m u v t ( tv x/ c ) v 1 vu/ c v K m c ( 1) E m c E ( pc) ( m c ) f f 1 1 f f 1 7