FÍSICA MÓDULO EXTRA TÓPICOS DE FÍSICA MODERNA II. Professor Ricardo Fagundes

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2 FÍSICA Professor Ricardo Fagundes MÓDULO EXTRA TÓPICOS DE FÍSICA MODERNA II

3 RELATIVIDADE ESPECIAL Vamos começar com um exemplo: O píon (π + ou π ) é uma partícula que pode ser criada em um acelerador de partículas de alta energia. É uma partícula muito instável, com vida média de 26 ns. Em um experimento, píons foram criados a uma velocidade de 0,913c. Nesse caso, observou-se que essas partículas percorriam uma distância de 17,4 m antes de se desintegrarem. 17,4 Sendo assim, elas se deslocaram durante = 63,7 ns, um tempo 8 0, muito maior que a vida média dessa partícula me repouso. Esse efeito de dilatação do tempo surge devido ao movimento relativo entre a partícula e o laboratório. Agora, para um sistema de coordenadas fixo no píon, o seu deslocamento foi de 0, = 7,1 m. Ou seja, dois observadores que estão em movimento relativo (um fixo no laboratório e outro na partícula) medem valores diferentes para o mesmo comprimento, o que não acontecia na física clássica.

4 Em 1905, Einstein propôs dois postulados que formam a base de sua teoria especial da relatividade: 1. As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. 2. A velocidade da luz no espaço livre tem o mesmo valor c em todos os referenciais inerciais.

5 Vamos interpretar esses postulados com um exemplo. Vamos imaginar duas pessoas em diferentes referenciais: uma no solo, do lado de fora do trem (S) e outra dentro do trem em movimento relativístico (S ), como mostra a figura abaixo:

6 O referencial que está dentro do trem está com uma lâmpada a uma distância vertical L 0 de um espelho, no teto do vagão. Para o menino dentro do trem, a luz irá realizar uma trajetória vertical. Irá bater no espelho e voltar. Já para o menino do lado de fora do trem, a trajetória é a que está na figura acima, já que o trem se move com alta velocidade na horizontal. Portanto, para o menino dentro do vagão, o tempo de deslocamento da luz será: t 0 = 2L 0 c Já para o menino do lado de fora, a luz irá percorrer uma distância 2L igual a: 2L = 2 L v t 2 2

7 Então o intervalo de tempo medido por ele será: Ou seja: t = 2L 2 L 0 + v t 2 2 c = 2 c t = t 0 1 v 2 c 2 = t 0 Onde é o fator de Lorentz, que é sempre maior que 1.

8 Aplicando no exemplo dos píons: t 0 t = t = 1 v 2 c 2 26ns 1 0,913 2 = 63,7 ns. Valor medido pelo observador em repouso no laboratório. Usando um raciocínio análogo, com um pouco de cálculo, podemos chegar a relação de relatividade do comprimento: L = L 0 1 v 2 c 2 = L 0 γ Voltando ao exemplo dos píons, L = 17, ,913 2 = 7,1 m. Onde L 0 é a distância medida pelo observador em repouso no laboratório.

9 VELOCIDADE RELATIVA De acordo com Galileu, o módulo da velocidade de um corpo A em relação a um corpo B é medida pela equação a seguir: v AB = v A ± v B + sentidos opostos - mesmo sentido Ou seja, para um corpo A que se move na horizontal, da direita para esquerda, com módulo de velocidade de 20 m/s, um outro, no sentido oposto, a 30 m/s, apresenta uma velocidade relativa de = 50 m/s. Então, usando esse raciocínio, um corpo que se move a 0,6 c no sentido oposto a outro, que se move a 0,8c, o vê com uma velocidade de 1,4c, o que violaria o 2º postulado de Einstein! v A ± v B Significa, então, que essa equação não está correta. Funcionava para baixas velocidades.

10 O que temos acima é velocidade relativa de Galileu, que funciona para baixas velocidades. Para movimentos relativísticos (altas velocidades), temos que aplicar a velocidade relativa de Einstein: v AB = v A ± v B 1 ± v A v B c 2

11 Voltando no exemplo de dois corpos em sentidos opostos, um a 0,6c e o outro a 0,8c, em relação ao solo. A velocidade com que o 1º observa o 2º (e vice-versa) vale: v AB = 0,6c + 0,8c 1 + 0,48 = 1,4 1,48 c 0,95c Repare que, para baixas velocidades, esse efeito é desprezível. Vamos voltar ao caso clássico, 20 m/s e 30 m/s, do exemplo anterior: v AB = = 50 m/s /9. 10

12 QUANTIDADE DE MOVIMENTO RELATIVÍSTICA Resolvendo um problema simples de colisão de partículas que apresentam movimento relativístico, fica claro que, se Q = m.v, como conhecemos classicamente, a quantidade de movimento não se conservará. Como essa grandeza deve se conservar, devido há ausência de forças externas em uma colisão, há a necessidade de consertarmos essa fórmula. Einstein, debruçado sob esse problema, usando Lorentz, chegou à formulação abaixo: Q = mv 1 v 2 c 2 = γmv O que pode ser interpretado como uma alteração na massa devido ao movimento da partícula.

13 Exemplo: Qual é o módulo da quantidade de movimento de um próton a 0,86c? Resolução: Q = mv 1 v 2 c 2 = 1, , ,86 2 = 8, kgm/s

14 OBSERVAÇÃO: Quando estudamos física de partículas não utilizamos o sistema m.k.s.. Como a unidade de energia /velocidade equivale a unidade de quantidade de movimento, vamos transformar a unidade acima: 8, = 2, J 1, = ev ou 1580 MeV. A quantidade de movimento do próton vale, portanto, 1580 MeV/c.

15 ENERGIA RELATIVÍSTICA Usando a equação de quantidade de movimento a fim de conservar a energia mecânica na colisão, conseguimos chegar a energia total (mecânica) de uma partícula de massa m a velocidade v: E = mc 2 1 v 2 c 2 = γmc 2 Sendo a energia de repouso da partícula (o equivalente a energia potencial) vale: E 0 = mc 2 Portanto a energia cinética vale: E E 0 = (γ 1)mc 2

16 Exemplo: O Sol libera aproximadamente 3, erg/s de energia devido a fusão de aproximadamente 600 milhões de toneladas de Hidrogênio em Hélio por segundo. Sabendo-se que 1 erg = 10-7 J, qual é a massa que o Sol perde por ano? Resolução: 1 ano 3, s

17 Vamos considerar que o Sol está em repouso. Sendo assim, a relação entre energia e massa perdidas fica: E = mc 2 m = 3, , = 1, kg Apesar de o número ser bem grande, se compararmos com a massa do Sol, que é de aproximadamente kg, esse valor representa uma parcela ínfima. Uma pessoa que tem uma massa de 80 kg, ao perder 1kg, está perdendo, proporcionalmente, uma quantidade infinitamente maior que o Sol ao longo de um ano inteiro.

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